传染病的传播和隔离措施
摘要
传染病由病毒导致，具有很强的传播性，若不加以控制，后果将十分严重。本文通过对传染病传播人数变化建立模型，就相关问题进行了解答。
针对问题一、问题二以及问题三，利用题目给出的条件，通过计算传播病毒人数，建立递归数学模型，经计算得到发病第11、12、13日需要隔离的人数分别为7951213、33542029、134660890，病毒携带者的人数分别为33912837、240977916、1453135464，这3天发病者人数分别为719604、684612、7022781。
针对问题四，通过改变隔离的时间寻找最优解，得到提前五天时隔离的方法最好，即需控制的人数以及需要控制的时间最少。
在文章的最后，分析了模型的优缺点，给出了模型的若干推广。
关键字：传染病 隔离 递归方程 最优解
1 问题重述
某传染病由一种病毒导致，凡感染此病毒者必然导致发病。现作如下假设：
（1）患者在感染该种病毒至发病期间称为病毒携带者，此段时期称为该病的潜伏期。设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。（2）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触。（3）该病毒在某一个人身上最先发现。从该患者发病当日(第1日)算起至第10日决定采取隔离措施以阻断传播途径；第11日起，凡与该种病患者（发病当日算起3日内）有过亲密接触者均隔离，隔离时期均为3天。试计算：
1、第11、12、13日需要隔离的人数（含前日已隔离者）。
2、第11日起（含）病毒携带者的人数。
3、第11日起（含）未来三天每天发病者人数。
4、有没有更好的隔离方法？如有，请说明方法及根据。
5、假设潜伏期为2到3天，且服从分布为
与病毒携带者亲密接触者人数服从参数为λ
=3的泊松分布，与之接触者染上病毒概率为0.50。
2 问题分析
分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人左右亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。以后的情况以此类推。由于在发病
第11日时以后开始采取隔离措施，患病人数将发生变化。
对问题（1），求发病第11、12和13日需要隔离的人数，可根据传染病传播的规律，计算出感染此病、处于潜伏期以及发作期的患者数目，通过递归的方法求出发病第11、12和13日需要隔离的人数。
对问题（2）和（3）求解发病第11、12和13日病毒携带者和每天感染病毒的人数，可用类似的方法进行求解。
传染病发展方式
3 符号约定
4 模型假设
（1）设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。
（2）设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。
（3）该病毒由一个人开始传播。
（4）发病者在被隔离的当天不传染给任何人。
（5）传染时每一个处于潜伏期或者发病期的患者，接触人员没有交叉。
（6）发病者不会痊愈。
（7）被隔离者仍会发病且为病毒携带者。
（8）在统计期间没有病毒携带者死亡。
（9）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触且不会重复接触。
（10）从第11天开始隔离，隔离所以与病患接触过的人员，包括前10天发病者接触的人。
5模型的建立和求解
5.1 模型的分析
分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。以后的情况以此类推，可通过递归的方法进行求解。由于在发病第11日时以后开始对与患者有过亲密接触的人采取隔离措施，患病人数将发生变化。本文将分阶段进行讨论。
5.2 模型的建立
（1）根据以上分析，可得到发病的前10天处于各种阶段的患者人数： 第t天发病的人数是t-1天处于潜伏期第二天的患者，那么有
a(t)=b(t-1)。
第t天处于潜伏期第二天的患者是t-1天处于潜伏期第一天的患者，那么有
b(t)=d(t-1) 。
第t天处于潜伏期第一天的患者是t-1天处于被感染当天的患者，那么有
d(t)=e(t-1) 。
第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数，那么有
e(t)=3a(t)+3a(t)+3d(t)。
第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者的人数总和，那么有
p(t)=b(t)+d(t)+e(t)。
（2）发病10天后处于各种阶段的患者人数：
发病10天后，开始进行隔离，患病人数的组成将发生变化。因此，第t天发病的人数是t-1天处于潜伏期第二天的患者，那么有
a(t)=b(t-1)。
第t天处于潜伏期第二天的患者是t-1天处于潜伏期第一天的患者，那么有
b(t)=d(t-1) 。
第t天处于潜伏期第一天的患者是t-1天处于被感染当天的患者，那么有
d(t)=e(t-1) 。
第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数与前3天被隔离患者能传染的人数之差，那么有
e(t)=a(t)+b(t)+d(t)-3a(t-1)-3a(t-2)-3a(t-3)。
第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者以及t天来发病者的人数总和，那么有
p(t)=b(t)+d(t)+e(t)。
第t天隔离的病患者为
h(t)=6a(t)+h(t-1)
5.3 模型的求解
通过以上分析知道，当 t≤10时，患者数目有以下关系：
⎧e(t)=3*⎡⎣a(t)+b(t)+d(t)⎤⎦⎪⎪a(t)=b(t-1)⎪ ⎨b(t)=d(t-1)⎪⎪d(t)=e(t-1)
⎪p(t)=b(t)+d(t)+e(t)⎩
当t≥11时，患者数目由以下关系：
⎧e(t)=a(t)+b(t)+d(t)⎪⎪a(t)=e(t-1)⎪ ⎨b(t)=d(t-1)⎪⎪d(t)=e(t-1)
⎪h(t)=6a(t)+h(t-1)⎩
初始条件为：
发病第一天只有一人，即a(1)=1；
发病第11日隔离的人数为
h(10)=∑a(t)+6a(10)+3a(9)
t=110
利用MATLAB编程求解，得到发病13天以来的患者情况，如表 1：
那么，可以得到发病第11、12和13日累计隔离人数、携带病毒人数和每天发病人数，如表 2所示：
6 问题（4）的求解
通过上一个模型的求解分析，可以得出：当提前隔离的天数不超过5天时，能传播病毒的人数迅速减少；当提前的天数超过3天时，能传播病毒的人数改变并不明显。在实际生活中很难做到早发现早隔离，因为在实际生活中当有一种未知的传染病开始在人群中传播，初期很难发现它为传染性疾病，当受传染的人数增长很快同时数量很多时，经过医学鉴定才可以断定为传染性疾病，所以在该问题中提前隔离最好做到5天，低于5天不太切合实际。
7 问题（5）的求解
将感染的人分为两种，分别为潜伏期为2天的e(t),与潜伏期为3天的e'(t)，设潜伏期第三天的人数为s(t)
由前一模型推广可得，
⎧e-λλi
⎪e(t)=i!0.6⨯⎡⎣a(t)+b(t)+d(t)⎤⎦⎪e-λλi⎪'⎣a(t)+b(t)+d(t)⎤⎦⎪e(t)=i!0.4⨯⎡
⎪'⎪a(t)=e(t-3)+e(t-4)⎪'⎨s(t)=e(t-3)⎪'⎪b(t)=e(t-2)+e(t-2)
⎪d(t)=e(t-1)+e'(t-1)⎪⎪p(t)=b(t)+d(t)+e(t)⎪⎪ ⎩
其中，λ=3。
8模型评价
1、本模型简单，易懂，操作性强，适应范围广。
2、本模型在考虑疾病传染时没有计算交叉感染的人群，且每天传染人数与传染概率为固定值，与实际情形不符。
3、在计算时没有考虑治愈人群，而且发病者在隔离当天仍有可能传染给其他人。
4、本模型还没有考虑病毒携带者死亡的情形。
参考文献
[1]卓金武，MATLAB在数学建模中的应用，北京航空航天出版社，2004
传染病的传播和隔离措施
摘要
传染病由病毒导致，具有很强的传播性，若不加以控制，后果将十分严重。本文通过对传染病传播人数变化建立模型，就相关问题进行了解答。
针对问题一、问题二以及问题三，利用题目给出的条件，通过计算传播病毒人数，建立递归数学模型，经计算得到发病第11、12、13日需要隔离的人数分别为7951213、33542029、134660890，病毒携带者的人数分别为33912837、240977916、1453135464，这3天发病者人数分别为719604、684612、7022781。
针对问题四，通过改变隔离的时间寻找最优解，得到提前五天时隔离的方法最好，即需控制的人数以及需要控制的时间最少。
在文章的最后，分析了模型的优缺点，给出了模型的若干推广。
关键字：传染病 隔离 递归方程 最优解
1 问题重述
某传染病由一种病毒导致，凡感染此病毒者必然导致发病。现作如下假设：
（1）患者在感染该种病毒至发病期间称为病毒携带者，此段时期称为该病的潜伏期。设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。（2）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触。（3）该病毒在某一个人身上最先发现。从该患者发病当日(第1日)算起至第10日决定采取隔离措施以阻断传播途径；第11日起，凡与该种病患者（发病当日算起3日内）有过亲密接触者均隔离，隔离时期均为3天。试计算：
1、第11、12、13日需要隔离的人数（含前日已隔离者）。
2、第11日起（含）病毒携带者的人数。
3、第11日起（含）未来三天每天发病者人数。
4、有没有更好的隔离方法？如有，请说明方法及根据。
5、假设潜伏期为2到3天，且服从分布为
与病毒携带者亲密接触者人数服从参数为λ
=3的泊松分布，与之接触者染上病毒概率为0.50。
2 问题分析
分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人左右亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。以后的情况以此类推。由于在发病
第11日时以后开始采取隔离措施，患病人数将发生变化。
对问题（1），求发病第11、12和13日需要隔离的人数，可根据传染病传播的规律，计算出感染此病、处于潜伏期以及发作期的患者数目，通过递归的方法求出发病第11、12和13日需要隔离的人数。
对问题（2）和（3）求解发病第11、12和13日病毒携带者和每天感染病毒的人数，可用类似的方法进行求解。
传染病发展方式
3 符号约定
4 模型假设
（1）设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。
（2）设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。
（3）该病毒由一个人开始传播。
（4）发病者在被隔离的当天不传染给任何人。
（5）传染时每一个处于潜伏期或者发病期的患者，接触人员没有交叉。
（6）发病者不会痊愈。
（7）被隔离者仍会发病且为病毒携带者。
（8）在统计期间没有病毒携带者死亡。
（9）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触且不会重复接触。
（10）从第11天开始隔离，隔离所以与病患接触过的人员，包括前10天发病者接触的人。
5模型的建立和求解
5.1 模型的分析
分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。以后的情况以此类推，可通过递归的方法进行求解。由于在发病第11日时以后开始对与患者有过亲密接触的人采取隔离措施，患病人数将发生变化。本文将分阶段进行讨论。
5.2 模型的建立
（1）根据以上分析，可得到发病的前10天处于各种阶段的患者人数： 第t天发病的人数是t-1天处于潜伏期第二天的患者，那么有
a(t)=b(t-1)。
第t天处于潜伏期第二天的患者是t-1天处于潜伏期第一天的患者，那么有
b(t)=d(t-1) 。
第t天处于潜伏期第一天的患者是t-1天处于被感染当天的患者，那么有
d(t)=e(t-1) 。
第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数，那么有
e(t)=3a(t)+3a(t)+3d(t)。
第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者的人数总和，那么有
p(t)=b(t)+d(t)+e(t)。
（2）发病10天后处于各种阶段的患者人数：
发病10天后，开始进行隔离，患病人数的组成将发生变化。因此，第t天发病的人数是t-1天处于潜伏期第二天的患者，那么有
a(t)=b(t-1)。
第t天处于潜伏期第二天的患者是t-1天处于潜伏期第一天的患者，那么有
b(t)=d(t-1) 。
第t天处于潜伏期第一天的患者是t-1天处于被感染当天的患者，那么有
d(t)=e(t-1) 。
第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数与前3天被隔离患者能传染的人数之差，那么有
e(t)=a(t)+b(t)+d(t)-3a(t-1)-3a(t-2)-3a(t-3)。
第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者以及t天来发病者的人数总和，那么有
p(t)=b(t)+d(t)+e(t)。
第t天隔离的病患者为
h(t)=6a(t)+h(t-1)
5.3 模型的求解
通过以上分析知道，当 t≤10时，患者数目有以下关系：
⎧e(t)=3*⎡⎣a(t)+b(t)+d(t)⎤⎦⎪⎪a(t)=b(t-1)⎪ ⎨b(t)=d(t-1)⎪⎪d(t)=e(t-1)
⎪p(t)=b(t)+d(t)+e(t)⎩
当t≥11时，患者数目由以下关系：
⎧e(t)=a(t)+b(t)+d(t)⎪⎪a(t)=e(t-1)⎪ ⎨b(t)=d(t-1)⎪⎪d(t)=e(t-1)
⎪h(t)=6a(t)+h(t-1)⎩
初始条件为：
发病第一天只有一人，即a(1)=1；
发病第11日隔离的人数为
h(10)=∑a(t)+6a(10)+3a(9)
t=110
利用MATLAB编程求解，得到发病13天以来的患者情况，如表 1：
那么，可以得到发病第11、12和13日累计隔离人数、携带病毒人数和每天发病人数，如表 2所示：
6 问题（4）的求解
通过上一个模型的求解分析，可以得出：当提前隔离的天数不超过5天时，能传播病毒的人数迅速减少；当提前的天数超过3天时，能传播病毒的人数改变并不明显。在实际生活中很难做到早发现早隔离，因为在实际生活中当有一种未知的传染病开始在人群中传播，初期很难发现它为传染性疾病，当受传染的人数增长很快同时数量很多时，经过医学鉴定才可以断定为传染性疾病，所以在该问题中提前隔离最好做到5天，低于5天不太切合实际。
7 问题（5）的求解
将感染的人分为两种，分别为潜伏期为2天的e(t),与潜伏期为3天的e'(t)，设潜伏期第三天的人数为s(t)
由前一模型推广可得，
⎧e-λλi
⎪e(t)=i!0.6⨯⎡⎣a(t)+b(t)+d(t)⎤⎦⎪e-λλi⎪'⎣a(t)+b(t)+d(t)⎤⎦⎪e(t)=i!0.4⨯⎡
⎪'⎪a(t)=e(t-3)+e(t-4)⎪'⎨s(t)=e(t-3)⎪'⎪b(t)=e(t-2)+e(t-2)
⎪d(t)=e(t-1)+e'(t-1)⎪⎪p(t)=b(t)+d(t)+e(t)⎪⎪ ⎩
其中，λ=3。
8模型评价
1、本模型简单，易懂，操作性强，适应范围广。
2、本模型在考虑疾病传染时没有计算交叉感染的人群，且每天传染人数与传染概率为固定值，与实际情形不符。
3、在计算时没有考虑治愈人群，而且发病者在隔离当天仍有可能传染给其他人。
4、本模型还没有考虑病毒携带者死亡的情形。
参考文献
[1]卓金武，MATLAB在数学建模中的应用，北京航空航天出版社，2004