课题：等比数列
教学目标：掌握等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，掌握等比数列的有关性质，
并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．
教学重点：等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式以及等比数列的有关性质的应用．
（一） 主要知识：
1.
n 2. 等比数列的有关性质； 3. 等比数列的充要条件:
(1){a n }是等比数列⇔(2){a n }是等比数列⇔
a n +1a n
=q （q 为非零常数）；
n
a n =cq （c ≠0, q ≠0） a n +1=a n ⋅a n +2 S n =kq -k （k =
n
2
(3){a n }是等比数列⇔(4){a n }是等比数列⇔
a 1q -1
，k ≠0，q ≠1）
（二）主要方法：
1. 涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量a 1, q 来处理；
2. 已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为a , a q , a q 或
2
a
a
, a , a q ；四个数时设为3、q q
a q
、aq 、aq
3
3. 等比数列的相关性质:
(1)若{a n }是等比数列，则a m
=a n ⋅q
m -n
；
=p +t 时，a m ⋅a n =a p ⋅a t
(2)若{a n }是等比数列，m , n , p , t ∈N *，当m +n
特别地，当m +n =2p 时，a m ⋅a n =a p
2
(3)若{a n }是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；
则S m , S 2m (4)若{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，
-S m , S 3m -S 2m …成等比数列．
(5)两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ⋅b n }、⎨
【典型例题】
⎧a n ⎫⎧1⎫
、 ⎬⎨⎬仍为等比数列．b b ⎩n ⎭⎩n ⎭
题型一：基本量运算
例1、已知{a }为等比数列，a
n
3
=2，a 2+a 4=
203
，求{a n }的通项公式；
例2、在等比数列{a n }中，a 3-a 1=8，a 6-a 4=216，S n =40，求公比q 、a 1及n
问题2．(1)已知数列{a }是等比数列, 且a
n
n
>0, n ∈N , a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，
*
则a 4+a 6=
(2)（06苏州调研）在等比数列{a n }中，a 3
A . ±4
=2，a 5=m ，a 7=8，则m = C . -4
B . 5
D . 4
(3)（06湖北文）在等比数列{a n }中，a 1
A . 81 B .
2=1，a 10=3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=
C .
D . 243
(4)（05全国Ⅱ文）在和
38
272
之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的
乘积是
(5)（07南京高三期末调研）在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2
则该数列前15项的和S 15=+a 3=1，a 4+a 5+a 6=-2，
问题3．（04
全国Ⅱ）数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1，a n +1=
⎧S n ⎫
⎬是等比数列，(2)S n +1=4a n ⎩n ⎭
n +2n
S n
（n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅） 证明：(1)数列⎨
问题4．已知数列{a }中，S
n
n
是它的前n 项和，且S n +1=4a n +2(n =1, 2, ⋅⋅⋅)，a 1=1.
a n 2
n
(1)设b n =a n +1-2a n (n =1, 2, ⋅⋅⋅)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n =(n =1, 2, ⋅⋅⋅)，
求证：{c n }是等差数列；(3)求{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n
问题5．（06陕西）已知正项数列{a }，其前n 项和S a 成等比数列，求数列{a }的通项a
n
15
n
满足10S n =a n +5a n +6且a 1，a 3，
2
n n
（四）巩固练习：
1. （07湖南文）在等比数列{a n }（n ∈N ）中，若a 1=1，a 4=
*
18
，则该数列的前10项和
12
11
为 A . 2-
12
4
B . 2-
12
9
C . 2-
12
10
D . 2-
2. （07海南文）已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y =x -2x +3的顶点是(b , c )，
2
则a d 等于 A . 3
B . 2
C . 1
D . -2
3. （07重庆）设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2004和a 2005是方程4x -8x +3=0的两
2
根，则a 2006+a 2007=______．
4. （07湖北）若数列{a n }满足
a n +1a n
2
2
=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数
列”．甲：数列{a n }是等方比数列； 乙：数列{a n }是等比数列，则
A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
（五）走向高考：
1. （07陕西）各项均为正数的等比数列{a n } 的前n 项和为S n 为，若S n =2，S 3n =14，
则S 4n 等于 A . 80 B . 30 C . 26 D . 16
2. （06辽宁）在等比数列{a n }中, a 1=2, 前n 项和为S n , 若数列{a n +1}也是等比数列, 则
S n 等于 A . 2
n +1
-2 B . 3n C . 2n D . 3-1
n
3. （05湖北）设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，
则q 的值为
4. （07全国文Ⅱ）设等比数列{a n }的公比q
求{a n }的通项公式．
5. （07北京）数列{a n }中，a 1=2a n +1=a n +cn （c 是常数，n =1，，23， ），且a 1, a 2, a 3
成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{a n }的通项公式．
6. （07山东）设数列{a n }满足a 1+3a 2+3a 3+…+3
2
n -1
a n =
n 3
，a ∈N ．
*
（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）设b n =
n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
7. （06福建文）已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N ).
*
（Ⅰ）证明：数列{a n +1-a n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）若数列{b n }满足4
b 1-1
b 2-1
b n -1
b
*
4...4
=(a n +1) n (n ∈N ), 证明{b n }是等差数列。
课题：等比数列
教学目标：掌握等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，掌握等比数列的有关性质，
并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．
教学重点：等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式以及等比数列的有关性质的应用．
（一） 主要知识：
1.
n 2. 等比数列的有关性质； 3. 等比数列的充要条件:
(1){a n }是等比数列⇔(2){a n }是等比数列⇔
a n +1a n
=q （q 为非零常数）；
n
a n =cq （c ≠0, q ≠0） a n +1=a n ⋅a n +2 S n =kq -k （k =
n
2
(3){a n }是等比数列⇔(4){a n }是等比数列⇔
a 1q -1
，k ≠0，q ≠1）
（二）主要方法：
1. 涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量a 1, q 来处理；
2. 已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为a , a q , a q 或
2
a
a
, a , a q ；四个数时设为3、q q
a q
、aq 、aq
3
3. 等比数列的相关性质:
(1)若{a n }是等比数列，则a m
=a n ⋅q
m -n
；
=p +t 时，a m ⋅a n =a p ⋅a t
(2)若{a n }是等比数列，m , n , p , t ∈N *，当m +n
特别地，当m +n =2p 时，a m ⋅a n =a p
2
(3)若{a n }是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；
则S m , S 2m (4)若{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，
-S m , S 3m -S 2m …成等比数列．
(5)两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ⋅b n }、⎨
【典型例题】
⎧a n ⎫⎧1⎫
、 ⎬⎨⎬仍为等比数列．b b ⎩n ⎭⎩n ⎭
题型一：基本量运算
例1、已知{a }为等比数列，a
n
3
=2，a 2+a 4=
203
，求{a n }的通项公式；
例2、在等比数列{a n }中，a 3-a 1=8，a 6-a 4=216，S n =40，求公比q 、a 1及n
问题2．(1)已知数列{a }是等比数列, 且a
n
n
>0, n ∈N , a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，
*
则a 4+a 6=
(2)（06苏州调研）在等比数列{a n }中，a 3
A . ±4
=2，a 5=m ，a 7=8，则m = C . -4
B . 5
D . 4
(3)（06湖北文）在等比数列{a n }中，a 1
A . 81 B .
2=1，a 10=3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=
C .
D . 243
(4)（05全国Ⅱ文）在和
38
272
之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的
乘积是
(5)（07南京高三期末调研）在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2
则该数列前15项的和S 15=+a 3=1，a 4+a 5+a 6=-2，
问题3．（04
全国Ⅱ）数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1，a n +1=
⎧S n ⎫
⎬是等比数列，(2)S n +1=4a n ⎩n ⎭
n +2n
S n
（n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅） 证明：(1)数列⎨
问题4．已知数列{a }中，S
n
n
是它的前n 项和，且S n +1=4a n +2(n =1, 2, ⋅⋅⋅)，a 1=1.
a n 2
n
(1)设b n =a n +1-2a n (n =1, 2, ⋅⋅⋅)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n =(n =1, 2, ⋅⋅⋅)，
求证：{c n }是等差数列；(3)求{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n
问题5．（06陕西）已知正项数列{a }，其前n 项和S a 成等比数列，求数列{a }的通项a
n
15
n
满足10S n =a n +5a n +6且a 1，a 3，
2
n n
（四）巩固练习：
1. （07湖南文）在等比数列{a n }（n ∈N ）中，若a 1=1，a 4=
*
18
，则该数列的前10项和
12
11
为 A . 2-
12
4
B . 2-
12
9
C . 2-
12
10
D . 2-
2. （07海南文）已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y =x -2x +3的顶点是(b , c )，
2
则a d 等于 A . 3
B . 2
C . 1
D . -2
3. （07重庆）设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2004和a 2005是方程4x -8x +3=0的两
2
根，则a 2006+a 2007=______．
4. （07湖北）若数列{a n }满足
a n +1a n
2
2
=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数
列”．甲：数列{a n }是等方比数列； 乙：数列{a n }是等比数列，则
A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
（五）走向高考：
1. （07陕西）各项均为正数的等比数列{a n } 的前n 项和为S n 为，若S n =2，S 3n =14，
则S 4n 等于 A . 80 B . 30 C . 26 D . 16
2. （06辽宁）在等比数列{a n }中, a 1=2, 前n 项和为S n , 若数列{a n +1}也是等比数列, 则
S n 等于 A . 2
n +1
-2 B . 3n C . 2n D . 3-1
n
3. （05湖北）设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，
则q 的值为
4. （07全国文Ⅱ）设等比数列{a n }的公比q
求{a n }的通项公式．
5. （07北京）数列{a n }中，a 1=2a n +1=a n +cn （c 是常数，n =1，，23， ），且a 1, a 2, a 3
成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{a n }的通项公式．
6. （07山东）设数列{a n }满足a 1+3a 2+3a 3+…+3
2
n -1
a n =
n 3
，a ∈N ．
*
（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）设b n =
n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
7. （06福建文）已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N ).
*
（Ⅰ）证明：数列{a n +1-a n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）若数列{b n }满足4
b 1-1
b 2-1
b n -1
b
*
4...4
=(a n +1) n (n ∈N ), 证明{b n }是等差数列。