椭圆焦点三角形
椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。
1、椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。
x2y2
+2=12
b证法一：设P是椭圆a （a>b>0，c为半焦距）上的一点，O为原点，E、F是椭圆的两m2+n2-4c24b2-2mn2b22b2cos∠EPF===-1≥2-1PE=mPF=n2mn2mnmna焦点，， 则，由余弦函数图象2b2
arccos(2-1)
a性质知∠EPF的最大值为，当且仅当P
证法二：如图1，设M的纵坐标为y0，
11
∵S∆BF1F2=F1F2⋅b>F1F2⋅y0=S∆F1MF2，
22∠FBF∠FMF∠FBF∠FMF
图1 ∴b2tan12>b2tan12， 即tan12>tan12，
2222
1111
又∠F1BF2,∠F1MF2都是锐角，故∠F1BF2>∠F1MF2 从而有∠F1BF2>∠F1MF2． 2222
证法三：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1=a+exo，PF1=a-exo
在∆F1PF2中，cosθ=
PF1+PF1-F1F2
2PF1PF2
222
=
(PF1+PF2)2-2PF1PF2-4c2
2PF1PF2
2b24a2-4c24b2
=-1 -1=-1=2
22
2PF1PF22(a+exo)(a-exo)a-exo
2
-a≤x0≤a ∴xo≤a2
2、椭圆焦点三角形定义及面积公式推导
解：在∆PF1F2中，设∠F1PF2=α，PF1=r1，PF2=r2，由余弦定理得
PF1+PF2-F1F2
cosα=
2PF1⋅PF2
2
2
2
2
2
r+r-(2c)
=
2r1⋅r2
2
2
2122
2
=
(r1+r2)-2r1r2-4c(2a)-2rr12-4c =
2r1r22rr12
2b4(a-c)-2r1r22b-r1r22
rr= ∴rr 即， =cosα=2b-rr121212
1+cosα2r1r2r1r2
sinαα112b2
=r1r2sinα=⨯⨯sinα=b2=b2tan．
1+cosα2221+cosα
2
2
2
2
图2
=
∴S∆PF1F2
x2y2
3、已知椭圆方程为2+2=1(a>b>0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ,则
ab
cosθ≥1-2e2.
证明：设PF1=r1,PF2=r2,则在∆F1PF2中，由余弦定理得：
r12+r22-F1F2(r1+r2)2-2r1r2-4c22a2-2c2 cosθ===-1
2r1r22r1r22r1r2
2a2-2c22a2-2c22
-1=-1=1-2e. ≥2
r1+r222a2()
2
2
x2y2
4、已知椭圆方程为2+2=1(a>b>0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，
ab
∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则椭圆的离心率e=
sin(α+β)
。
sinα+sinβ
由等比定理得：
证明：
F1F2
sin(180o-α-β)
=
PF2sinα
=
PF1sinβ
F1F2sin(α+β)
=
PF1+PF2sinα+sinβ
而
PF1+PF2csin(α+β)2c2a， ∴e==。 ==
asinα+sinβsin(α+β)sin(α+β)sinα+sinβsinα+sinβ
5、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．
解：在∆PF1F2中，设∠F1PF2=α，PF1=r1，PF2=r2，由余弦定理得
PF1+PF2-F1F2
cosα=
2PF1⋅PF2
2
2
2
F1F2
r12+r22-(2c)2
=
2r1⋅r2
图3
2
(r1-r2)2+2r1r2-4c2(2a)2+2rrr1r2-2(c2-a2)r1r2-2b2212-4c ∴rr====12cosα=rr12-2b
2r1r22r1r2r1r2r1r2
sinαα2b2112b2
⨯sinα=b2即r1r2=， ∴S∆PF1F2=r1r2sinα=⨯=b2cot．
1-cosα21-cosα221-cosα
椭圆焦点三角形
椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。
1、椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。
x2y2
+2=12
b证法一：设P是椭圆a （a>b>0，c为半焦距）上的一点，O为原点，E、F是椭圆的两m2+n2-4c24b2-2mn2b22b2cos∠EPF===-1≥2-1PE=mPF=n2mn2mnmna焦点，， 则，由余弦函数图象2b2
arccos(2-1)
a性质知∠EPF的最大值为，当且仅当P
证法二：如图1，设M的纵坐标为y0，
11
∵S∆BF1F2=F1F2⋅b>F1F2⋅y0=S∆F1MF2，
22∠FBF∠FMF∠FBF∠FMF
图1 ∴b2tan12>b2tan12， 即tan12>tan12，
2222
1111
又∠F1BF2,∠F1MF2都是锐角，故∠F1BF2>∠F1MF2 从而有∠F1BF2>∠F1MF2． 2222
证法三：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1=a+exo，PF1=a-exo
在∆F1PF2中，cosθ=
PF1+PF1-F1F2
2PF1PF2
222
=
(PF1+PF2)2-2PF1PF2-4c2
2PF1PF2
2b24a2-4c24b2
=-1 -1=-1=2
22
2PF1PF22(a+exo)(a-exo)a-exo
2
-a≤x0≤a ∴xo≤a2
2、椭圆焦点三角形定义及面积公式推导
解：在∆PF1F2中，设∠F1PF2=α，PF1=r1，PF2=r2，由余弦定理得
PF1+PF2-F1F2
cosα=
2PF1⋅PF2
2
2
2
2
2
r+r-(2c)
=
2r1⋅r2
2
2
2122
2
=
(r1+r2)-2r1r2-4c(2a)-2rr12-4c =
2r1r22rr12
2b4(a-c)-2r1r22b-r1r22
rr= ∴rr 即， =cosα=2b-rr121212
1+cosα2r1r2r1r2
sinαα112b2
=r1r2sinα=⨯⨯sinα=b2=b2tan．
1+cosα2221+cosα
2
2
2
2
图2
=
∴S∆PF1F2
x2y2
3、已知椭圆方程为2+2=1(a>b>0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ,则
ab
cosθ≥1-2e2.
证明：设PF1=r1,PF2=r2,则在∆F1PF2中，由余弦定理得：
r12+r22-F1F2(r1+r2)2-2r1r2-4c22a2-2c2 cosθ===-1
2r1r22r1r22r1r2
2a2-2c22a2-2c22
-1=-1=1-2e. ≥2
r1+r222a2()
2
2
x2y2
4、已知椭圆方程为2+2=1(a>b>0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，
ab
∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则椭圆的离心率e=
sin(α+β)
。
sinα+sinβ
由等比定理得：
证明：
F1F2
sin(180o-α-β)
=
PF2sinα
=
PF1sinβ
F1F2sin(α+β)
=
PF1+PF2sinα+sinβ
而
PF1+PF2csin(α+β)2c2a， ∴e==。 ==
asinα+sinβsin(α+β)sin(α+β)sinα+sinβsinα+sinβ
5、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．
解：在∆PF1F2中，设∠F1PF2=α，PF1=r1，PF2=r2，由余弦定理得
PF1+PF2-F1F2
cosα=
2PF1⋅PF2
2
2
2
F1F2
r12+r22-(2c)2
=
2r1⋅r2
图3
2
(r1-r2)2+2r1r2-4c2(2a)2+2rrr1r2-2(c2-a2)r1r2-2b2212-4c ∴rr====12cosα=rr12-2b
2r1r22r1r2r1r2r1r2
sinαα2b2112b2
⨯sinα=b2即r1r2=， ∴S∆PF1F2=r1r2sinα=⨯=b2cot．
1-cosα21-cosα221-cosα