2015中考数学动点问题及解析
一．选择题
2
1．如图，抛物线y=﹣2x +8x﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A ．﹣2＜m ＜
B ．﹣3＜m ＜﹣ C．﹣3＜m ＜﹣2 D ．﹣3＜m ＜﹣
2．如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣1，m ）在直线y=2x+3上，连结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y=﹣x+b上，则b 的值为（ ） A ．﹣2 B ．1
C ．
D ．2
3．如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5．若点M 、N 分别是线段AC ，AB 上的两个动点，则BM+MN的最小值为（ ） A ．10 B ．8 C ．5 D ．6
4．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒第2015秒时，点P 的坐标是（ ）
个单位长度，则
A ．（2014，0） B ．（2015，﹣1） C．（2015，1） D ．（2016，0） 二．填空题
5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 ．
6．如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM=1，ON=3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
2
7．如图，已知抛物线y=ax+bx+c与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为﹣2，现将抛
2
物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x +b1x+c1，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
2
①b ＞0 ②a ﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c=﹣1，则b =4a．
2
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ． 9．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处．若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 ． 三．解答题
10．如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停止运动，设平行移动x 秒后，射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y ． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC 平行移动到O ′C ′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在△POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴
2
上，且点A （0，2），点C （﹣1，0），如图所示；抛物线y=ax+ax﹣2经过点B ． （1）求点B 的坐标和抛物线的解析式； （2）△ABC 绕AC 的中点旋转180°得到△ABC ，试判断点B 是否在抛物线上，请说明理由； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使A 、C 、P 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx﹣3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
2
13．已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；
②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；
（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数； （3）如图2
，
，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段
AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．
14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值； （2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；
（3）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
15．如图1，点O 在线段AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且∠BOC=60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒． （1）当t=秒时，则OP= ，S △ABP =
（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP=∠B ，求证：AQ •BP=3．
16．如图1，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ． （1）求证：△DEC ≌△EDA ； （2）求DF 的值；
（3）如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作△AEC 的内接矩形，使其顶点Q 落在线段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题
2
1．如图，抛物线y=﹣2x +8x﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A ．﹣2＜m ＜
B ．﹣3＜m ＜﹣ C．﹣3＜m ＜﹣2 D ．﹣3＜m ＜﹣
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与几何变换． 【专题】压轴题．
【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出C 2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C 2相切时m 的值以及直线y=x+m过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案．
2
【解答】解：令y=﹣2x +8x﹣6=0，
2
即x ﹣4x+3=0， 解得x=1或3， 则点A （1，0），B （3，0）， 由于将C 1向右平移2个长度单位得C 2，
2
则C 2解析式为y=﹣2（x ﹣4）+2（3≤x ≤5）， 当y=x+m1与C 2相切时，
2
令y=x+m1=y=﹣2（x ﹣4）+2，
2
即2x ﹣15x+30+m1=0， △=﹣8m 1﹣15=0， 解得m 1=﹣
，
当y=x+m2过点B 时， 即0=3+m2， m 2=﹣3， 当﹣3＜m ＜﹣故选：D ．
时直线y=x+m与C 1、C 2共有3个不同的交点，
【点评】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣1，m ）在直线y=2x+3上，连结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y=﹣x+b上，则b 的值为（ ）
A ．﹣2 B ．1
C ．
D ．2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转． 【专题】压轴题．
【分析】先把点A 坐标代入直线y=2x+3，得出m 的值，然后得出点B 的坐标，再代入直线y=﹣x+b解答即可．
【解答】解：把A （﹣1，m ）代入直线y=2x+3，可得：m=﹣2+3=1， 因为线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，所以点B 的坐标为（1，1）， 把点B 代入直线y=﹣x+b，可得：1=﹣1+b，b=2， 故选D ．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据代入法解解析式进行分析．
3．如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5．若点M 、N 分别是线段AC ，AB 上的两个动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A ．10 B ．8 C ．5 D ．6 【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】过B 点作AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到E 点，过E 作EF 垂直AB 交AB 于F 点，EF 就是所求的线段．
【解答】解：过B 点作AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到E 点，过E 作EF 垂直AB 交AB 于F 点， AC=5，
AC 边上的高为2，所以BE=4． ∵△ABC ∽△EFB ， ∴
=
，即
=
EF=8． 故选B ．
【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒第2015秒时，点P 的坐标是（ ）
个单位长度，则
A ．（2014，0） B ．（2015，﹣1） C．（2015，1） D ．（2016，0） 【考点】规律型：点的坐标． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A 2015的坐标．
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒∴点P1秒走个半圆，
，
个单位长度，
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为（4，0）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为（5，1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为（6，0）， …，
∵2015÷4=503…3
∴A 2015的坐标是（2015，﹣1）， 故选：B ．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
二．填空题
5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 π+ ．
【考点】旋转的性质；扇形面积的计算． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】由勾股定理求出AB ，由题意得出点A 经过的路线与x 轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴AB==；
根据题意得：△ABC 绕点B 顺时针旋转135°，BC 落在x 轴上；△ABC 再绕点C 顺时针旋转90°，AC 落在x 轴上，停止滚动；
∴点A 的运动轨迹是：先绕点B 旋转135°，再绕点C 旋转90°；如图所示： ∴点A 经过的路线与x 轴围成的图形是：
一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；
∴点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积 =
故答案为：π+．
+×1×1+
=π+；
【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A 经过的路线与x 轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．
6．如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM=1，ON=3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP+PQ+QN的最小值是
．
【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题． 【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP+PQ+QN的最小值．
【解答】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′， 连接M ′N ′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ=∠M ′OB=30°，∠ONN ′=60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形， ∴∠N ′OM ′=90°， ∴在Rt △M ′ON ′中，
M ′N ′=故答案为
=．
．
【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
7．如图，已知抛物线y=ax+bx+c与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为﹣2，现将抛
2
物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x +b1x+c1，则下列结论正确的是 ③④ ．（写出所有正确结论的序号） ①b ＞0
2
②a ﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
2④若c=﹣1，则b =4a．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a ＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b ＜0，据此判断即可．
2②根据抛物线y=ax+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b+c＞0，据此判断即可．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a ＞0，
又∵对称轴为x=﹣＞0， ，判断出c=﹣1时，a 、b 的关系即可．
∴b ＜0，
∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y ＞0，
∴a ﹣b+c＞0，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
2∵函数y=ax+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴结论③正确； ∵
2，c=﹣1， ∴b =4a，
∴结论④正确．
综上，结论正确的是：③④．
故答案为：③④．
【点评】（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常
可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 1 ．
2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD 的最小值．
22【解答】解：∵y=x﹣2x+2=（x ﹣1）+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD 为矩形，
∴BD=AC，
而AC ⊥x 轴，
∴AC 的长等于点A 的纵坐标，
当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD 的最小值为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
9．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处．若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】根据翻折的性质，可得B ′E 的长，根据勾股定理，可得CE 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i ）当B ′D=B′C 时，
过B ′点作GH ∥AD ，则∠B ′GE=90°，
当B ′C=B′D 时，AG=DH=DC=8，
由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B ′E=BE=13．
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B ′G===12，
∴B ′H=GH﹣B ′G=16﹣12=4，
∴DB ′===4
（ii ）当DB ′=CD时，则DB ′=16（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）．
（iii ）当CB ′=CD时，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E 、C 在BB ′的垂直平分线上，
∴EC 垂直平分BB ′，
由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB ′的长为16或4．
故答案为：16或4．
【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．
三．解答题
10．如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停止运动，设平行移动x 秒后，射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y ．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC 平行移动到O ′C ′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在△POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）判断出△ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO ⊥CO ，再根据平移的性质可得AO ⊥C ′O ′，从而判断出△OO ′G 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO ′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G 的坐标，然后设抛物线解析式为
2y=ax+bx，再把点B 、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式求出h ，再分点P 在x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．
【解答】解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO 是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，
∴AO ⊥CO ，
∵C ′O ′是CO 平移得到，
∴AO ⊥C ′O ′，
∴△OO ′G 是等腰直角三角形，
∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度，
∴OO ′=2x，
∴其以OO ′为底边的高为x ，
∴y=×（2x ）•x=x；
（2）当x=3秒时，OO ′=2×3=6， ∵×6=3，
∴点G 的坐标为（3，3），
2
设抛物线解析式为y=ax+bx， 则， 2
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x +x ；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，
则S △POB =×8h=8，
解得h=2，
当点P 在x 轴上方时，﹣x +x=2，
整理得，x ﹣8x+10=0，
解得x 1=4﹣，x 2=4+，
此时，点P 的坐标为（4﹣，2）或（4+
当点P 在x 轴下方时，﹣x +x=﹣2，
整理得，x ﹣8x ﹣10=0，
解得x 1=4﹣，x 2=4+，
此时，点P 的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），
综上所述，点P 的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB 的面积S=8．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论．
11．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （﹣1，0），如图所示；抛物线y=ax+ax﹣2经过点B ．
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）△ABC 绕AC 的中点旋转180°得到△ABC ，试判断点B 是否在抛物线上，请说明理由；
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使A 、C 、P 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
222222，2）；
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）过B 作x 轴的垂线，设垂足为D ，通过证三角形BDC 和三角形COA 全等来求出B 点的坐标；得出B 点坐标后，将其代入抛物线的解析式中即可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式；
（2）根据（1）求得的B 点坐标可知，B 点正好和AC 的中点的纵坐标相同，因此三角形绕AC 中点，选择180°后，B ′的纵坐标不变，由此可求出B ′坐标为（2，1）．将其代入抛物线的解析式中即可判定出旋转后B 点是否在抛物线上；
（3）本题符合条件的P 点较多：
可将A 点的纵坐标代入抛物线的解析式中，可求出两个Q 点的坐标，即可得出AQ 的长，然后将C 点坐标向左或向右平移AQ 个单位，可得出4个符合条件的P 点的坐标；取A 点关于x 轴的对称点A ′，将其纵坐标代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的Q 点坐标，然后根据直线AC 的斜率求出直线PQ 的解析式，即可得出P 点的坐标，这种情况可得出2个符合条件的P 点坐标，综上所述应该有6个符合条件的P 点坐标．
【解答】解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
∴∠BCD=∠CAO ；
又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴△BCD ≌△CAO ，
∴BD=OC=1，CD=OA=2；
∴点B 的坐标为（﹣3，1）；
2∵抛物线y=ax+ax﹣2经过点B （﹣3，1），则得到1=9a﹣3a ﹣2，
解得a=，
所以抛物线解析式为
y=x +x ﹣2；
（2）B （2，1）
经检验点B （2，1）在抛物线y=x +x ﹣2．
（3）P 1（，0），P 2（，0），P 3（，0），P 4（，0），22P 5（0，0），P 6（1，0）
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形的旋转、函数图象交点、平行四边形的判定等知识，要注意的是（3）题中要将所有可能的条件都考虑到，不要漏解．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx﹣3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点2
时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】方法一：
（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣（t ﹣1）+2．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为
y=x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，m ﹣m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =．则根据图形得到：S △CBK =S△CEK +S△BEK
=EK •
m+•EK •（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣m +3m=．易求得K 1（1，﹣22），K 2（3，﹣）．
方法二：
（1）略．
（2）作QH ⊥AB ，并分别列出AP ，BQ ，PB 的参数长度，利用三角函数得出HQ 的参数长度，进而求出△PBQ 的面积函数．
（3）利用水平底与铅垂高乘积的一半求解．
【解答】方法一：
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax+bx﹣3（a ≠0），得
， 2
解得
，
所以该抛物线的解析式为：
y=x ﹣x ﹣3；
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．
在Rt △BOC 中，BC==5． 2如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ，
∴△BHQ ∽△BOC ， ∴=，即=，
∴HQ=t ．
∴S △PBQ =PB •HQ=（6﹣3t ）•t=﹣
当△PBQ 存在时，0＜t ＜2
∴当t=1时，
S △PBQ 最大=．
； t +t=﹣2（t ﹣1）+2． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是
（3）设直线BC 的解析式为y=kx+c（k ≠0）．
把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
，
解得
，
∴直线BC 的解析式为
y=x ﹣3．
∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，m ﹣m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，m ﹣3）．
∴
EK=m ﹣3﹣（m ﹣m ﹣3）=﹣m +m ．
222
当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =
∴S △CBK =．
S △CBK =S△CEK +S△BEK =EK •m+•EK •（4﹣m ） =×4•EK
=2（﹣m +m ）
=﹣m +3m． 即：﹣m +3m=．
解得 m 1=1，m 2=3．
∴K 1（1，﹣），K 2（3，﹣）． 222
．
方法二：
（1）略．
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t ，
∴点C 的坐标为（0，﹣3），
∵B （4，0），∴l BC ：y=x ﹣3，
过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，
∴tan ∠HBQ=，∴sin ∠HBQ=，
∵BQ=t，∴HQ=t ，
∴S △PBQ =PB •HQ=
∴当t=1时，S △PBQ 最大=． =﹣，
（3）过点K 作KE ⊥x 轴交BC 于点E ，
∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =
∴S △CBK =，
设E （m ，m ﹣3），K （m ，
S △CBK
=∴﹣=，
， ）， ==﹣，
∴m 1=1，m 2=3，
∴K 1（1，﹣），K 2（3，﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
13．已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．
①求证：△OCP ∽△PDA ；
②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；
（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；
（3）如图2
，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．
【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值．
【专题】综合题；压轴题；动点型；探究型．
【分析】（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC 长以及AP 与OP 的关系，然后在Rt △PCO 中运用勾股定理求出OP 长，从而求出AB 长．
（2）由DP=DC=AB=AP 及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP 的度数，进而求出∠OAB 的度数．
（3）由边相等常常联想到全等，但BN 与PM 所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF 是PB 的一半，只需求出PB 长就可以求出EF 长．
【解答】解：（1）如图1，
①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO ，∠APO=∠B ．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC ．
∵∠D=∠C ，∠APD=∠POC ．
∴△OCP ∽△PDA ．
②∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4， ∴==
==．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x ．
在Rt △PCO 中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x ，
222∴x =（8﹣x ）+4．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB 的长为10．
（2）如图1，
∵P 是CD 边的中点，
∴DP=DC ．
∵DC=AB，AB=AP，
∴DP=AP ．
∵∠D=90°，
∴sin ∠DAP==．
∴∠DAP=30°．
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO ，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°．
∴∠OAB 的度数为30°．
（3）作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图2．
∵AP=AB，MQ ∥AN ，
∴∠APB=∠ABP ，∠ABP=∠MQP ．
∴∠APB=∠MQP ．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME ⊥PQ ，
∴PE=EQ=PQ ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ ∥AN ，
∴∠QMF=∠BNF ．
在△MFQ 和△NFB 中，
．
∴△MFQ ≌△NFB ．
∴QF=BF．
∴
QF=QB ．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB ．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=∴
EF=PB=2=4．
．
． ∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，长度为2
【点评】本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键．
14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．
（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；
（2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；
（3）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）分两种情况讨论：①当△BPQ ∽△BAC 时，==，当△BPQ ∽△BCA
时，，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t ，根据△ACQ ∽△CMP ，得出=，代入计算即可；
，再把QC=4t，PE=8﹣CM=8（3）作PE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，先得出
DF=
﹣4t 代入求出DF ，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，得出RC=DF，D 在过R 的中位线上，从而证出PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
【解答】解：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10cm，
①当△BPQ ∽△BAC 时， ∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴=，
∴t=1；
②当△BPQ ∽△BCA 时， ∵∴∴t===，
时，△BPQ 与△ABC 相似； ， ， ∴t=1或
（2）如图所示，过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8﹣4t ，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM 且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ ∽△CMP ， ∴∴=， =，
解得：t=；
（3）如图，作PM ⊥BC 于点M ，PQ 的中点设为D 点，再作PE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，
∵∠ACB=90°，
∴DF 为梯形PECQ 的中位线，
∴
DF=，
∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t ，
∴
DF==4，
∵BC=8，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，
∴RC=DF=4成立，
∴D 在过R 的中位线上，
∴PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．
15．如图1，点O 在线段AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且∠BOC=60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t=秒时，则OP= 1 ，S △ABP =
；
（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP=∠B ，求证：AQ •BP=3．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；
（2）当△ABP 是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ ∽△PBO ，利用相似关系证明结论．
【解答】（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．
如答图1，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．
在Rt △POD 中，PD=OP•sin60°=1×∴S △ABP =AB •PD=×（2+1）×==， ．
（2）解：当△ABP 是直角三角形时，
①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC ＞∠A ，
∴∠A ≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：
∵∠BOC=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，又OP=2t，
∴t=1；
③若∠APB=90°，如答图3所示：
过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=
∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t ．
222在Rt △ABP 中，由勾股定理得：PA +PB=AB
22222∴（AD +PD）+（BD +PD）=AB，
22222即[（2+t）+（t ）]+[（1﹣t ）+（t ）]=3
解方程得：t=
∴t=．
． 或t=（负值舍去）， t ， 综上所述，当△ABP 是直角三角形时，t=1或t=
（3）证明：如答图4，过点O 作OE ∥AP ，交PB 于点E ， 则有
∴PE=PB ． ，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B ，
∵OE ∥AP ，
∴∠OEB=∠APB ，
∴∠OEB=∠B ，
∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ ∥PB ，
∴∠OAQ+∠B=180°，
∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B ，∠QOP=∠B ，
∴∠1=∠2；
∴△OAQ ∽△PEO ， ∴，即，
化简得：AQ •PB=3．
【点评】本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．
16．如图1，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．
（1）求证：△DEC ≌△EDA ；
（2）求DF 的值；
（3）如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作△AEC 的内接矩形，使其顶点Q 落在线段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．
【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS ”可求得△DEC ≌△EDA ；
（2）根据勾股定理即可求得．
（3）由矩形PQMN 的性质得PQ ∥CA ，所以，从而求得PQ ，由PN ∥EG ，得出=，求得PN ，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．
【解答】（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，
在△ADE 与△CED 中，
∴△DEC ≌△EDA （SSS ）；
（2）解：如图1，
∵∠ACD=∠BAC ，∠BAC=∠CAE ，
∴∠ACD=∠CAE ，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=4﹣x ，
222在Rt △ADF 中，AD +DF=AF，
222即3+x=（4﹣x ），
解得：x=，
即DF=．
（3）解：如图2，由矩形PQMN 的性质得PQ ∥CA ∴
=5
，即PQ= 又∵CE=3，AC=设PE=x（0＜x ＜3），则
过E 作EG ⊥AC 于G ，则PN ∥EG ， ∴=
， 又∵在Rt △AEC 中，EG •AC=AE•CE ，解得EG=
∴=，即PN=（3﹣x ），
设矩形PQMN 的面积为S ，
则S=PQ•PN=﹣x +4x=
﹣2+3（0＜x ＜3）
所以当x=，即PE=时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．
2015中考数学动点问题及解析
一．选择题
2
1．如图，抛物线y=﹣2x +8x﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A ．﹣2＜m ＜
B ．﹣3＜m ＜﹣ C．﹣3＜m ＜﹣2 D ．﹣3＜m ＜﹣
2．如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣1，m ）在直线y=2x+3上，连结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y=﹣x+b上，则b 的值为（ ） A ．﹣2 B ．1
C ．
D ．2
3．如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5．若点M 、N 分别是线段AC ，AB 上的两个动点，则BM+MN的最小值为（ ） A ．10 B ．8 C ．5 D ．6
4．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒第2015秒时，点P 的坐标是（ ）
个单位长度，则
A ．（2014，0） B ．（2015，﹣1） C．（2015，1） D ．（2016，0） 二．填空题
5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 ．
6．如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM=1，ON=3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
2
7．如图，已知抛物线y=ax+bx+c与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为﹣2，现将抛
2
物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x +b1x+c1，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
2
①b ＞0 ②a ﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c=﹣1，则b =4a．
2
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ． 9．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处．若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 ． 三．解答题
10．如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停止运动，设平行移动x 秒后，射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y ． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC 平行移动到O ′C ′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在△POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴
2
上，且点A （0，2），点C （﹣1，0），如图所示；抛物线y=ax+ax﹣2经过点B ． （1）求点B 的坐标和抛物线的解析式； （2）△ABC 绕AC 的中点旋转180°得到△ABC ，试判断点B 是否在抛物线上，请说明理由； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使A 、C 、P 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx﹣3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
2
13．已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；
②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；
（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数； （3）如图2
，
，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段
AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．
14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值； （2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；
（3）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
15．如图1，点O 在线段AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且∠BOC=60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒． （1）当t=秒时，则OP= ，S △ABP =
（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP=∠B ，求证：AQ •BP=3．
16．如图1，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ． （1）求证：△DEC ≌△EDA ； （2）求DF 的值；
（3）如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作△AEC 的内接矩形，使其顶点Q 落在线段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题
2
1．如图，抛物线y=﹣2x +8x﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A ．﹣2＜m ＜
B ．﹣3＜m ＜﹣ C．﹣3＜m ＜﹣2 D ．﹣3＜m ＜﹣
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与几何变换． 【专题】压轴题．
【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出C 2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C 2相切时m 的值以及直线y=x+m过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案．
2
【解答】解：令y=﹣2x +8x﹣6=0，
2
即x ﹣4x+3=0， 解得x=1或3， 则点A （1，0），B （3，0）， 由于将C 1向右平移2个长度单位得C 2，
2
则C 2解析式为y=﹣2（x ﹣4）+2（3≤x ≤5）， 当y=x+m1与C 2相切时，
2
令y=x+m1=y=﹣2（x ﹣4）+2，
2
即2x ﹣15x+30+m1=0， △=﹣8m 1﹣15=0， 解得m 1=﹣
，
当y=x+m2过点B 时， 即0=3+m2， m 2=﹣3， 当﹣3＜m ＜﹣故选：D ．
时直线y=x+m与C 1、C 2共有3个不同的交点，
【点评】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣1，m ）在直线y=2x+3上，连结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y=﹣x+b上，则b 的值为（ ）
A ．﹣2 B ．1
C ．
D ．2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转． 【专题】压轴题．
【分析】先把点A 坐标代入直线y=2x+3，得出m 的值，然后得出点B 的坐标，再代入直线y=﹣x+b解答即可．
【解答】解：把A （﹣1，m ）代入直线y=2x+3，可得：m=﹣2+3=1， 因为线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，所以点B 的坐标为（1，1）， 把点B 代入直线y=﹣x+b，可得：1=﹣1+b，b=2， 故选D ．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据代入法解解析式进行分析．
3．如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5．若点M 、N 分别是线段AC ，AB 上的两个动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A ．10 B ．8 C ．5 D ．6 【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】过B 点作AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到E 点，过E 作EF 垂直AB 交AB 于F 点，EF 就是所求的线段．
【解答】解：过B 点作AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到E 点，过E 作EF 垂直AB 交AB 于F 点， AC=5，
AC 边上的高为2，所以BE=4． ∵△ABC ∽△EFB ， ∴
=
，即
=
EF=8． 故选B ．
【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒第2015秒时，点P 的坐标是（ ）
个单位长度，则
A ．（2014，0） B ．（2015，﹣1） C．（2015，1） D ．（2016，0） 【考点】规律型：点的坐标． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A 2015的坐标．
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒∴点P1秒走个半圆，
，
个单位长度，
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为（4，0）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为（5，1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为（6，0）， …，
∵2015÷4=503…3
∴A 2015的坐标是（2015，﹣1）， 故选：B ．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
二．填空题
5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 π+ ．
【考点】旋转的性质；扇形面积的计算． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】由勾股定理求出AB ，由题意得出点A 经过的路线与x 轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴AB==；
根据题意得：△ABC 绕点B 顺时针旋转135°，BC 落在x 轴上；△ABC 再绕点C 顺时针旋转90°，AC 落在x 轴上，停止滚动；
∴点A 的运动轨迹是：先绕点B 旋转135°，再绕点C 旋转90°；如图所示： ∴点A 经过的路线与x 轴围成的图形是：
一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；
∴点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积 =
故答案为：π+．
+×1×1+
=π+；
【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A 经过的路线与x 轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．
6．如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM=1，ON=3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP+PQ+QN的最小值是
．
【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题． 【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP+PQ+QN的最小值．
【解答】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′， 连接M ′N ′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ=∠M ′OB=30°，∠ONN ′=60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形， ∴∠N ′OM ′=90°， ∴在Rt △M ′ON ′中，
M ′N ′=故答案为
=．
．
【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
7．如图，已知抛物线y=ax+bx+c与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为﹣2，现将抛
2
物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x +b1x+c1，则下列结论正确的是 ③④ ．（写出所有正确结论的序号） ①b ＞0
2
②a ﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
2④若c=﹣1，则b =4a．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a ＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b ＜0，据此判断即可．
2②根据抛物线y=ax+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b+c＞0，据此判断即可．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a ＞0，
又∵对称轴为x=﹣＞0， ，判断出c=﹣1时，a 、b 的关系即可．
∴b ＜0，
∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y ＞0，
∴a ﹣b+c＞0，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
2∵函数y=ax+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴结论③正确； ∵
2，c=﹣1， ∴b =4a，
∴结论④正确．
综上，结论正确的是：③④．
故答案为：③④．
【点评】（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常
可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 1 ．
2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD 的最小值．
22【解答】解：∵y=x﹣2x+2=（x ﹣1）+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD 为矩形，
∴BD=AC，
而AC ⊥x 轴，
∴AC 的长等于点A 的纵坐标，
当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD 的最小值为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
9．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处．若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】根据翻折的性质，可得B ′E 的长，根据勾股定理，可得CE 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i ）当B ′D=B′C 时，
过B ′点作GH ∥AD ，则∠B ′GE=90°，
当B ′C=B′D 时，AG=DH=DC=8，
由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B ′E=BE=13．
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B ′G===12，
∴B ′H=GH﹣B ′G=16﹣12=4，
∴DB ′===4
（ii ）当DB ′=CD时，则DB ′=16（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）．
（iii ）当CB ′=CD时，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E 、C 在BB ′的垂直平分线上，
∴EC 垂直平分BB ′，
由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB ′的长为16或4．
故答案为：16或4．
【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．
三．解答题
10．如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停止运动，设平行移动x 秒后，射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y ．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC 平行移动到O ′C ′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在△POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）判断出△ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO ⊥CO ，再根据平移的性质可得AO ⊥C ′O ′，从而判断出△OO ′G 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO ′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G 的坐标，然后设抛物线解析式为
2y=ax+bx，再把点B 、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式求出h ，再分点P 在x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．
【解答】解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO 是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，
∴AO ⊥CO ，
∵C ′O ′是CO 平移得到，
∴AO ⊥C ′O ′，
∴△OO ′G 是等腰直角三角形，
∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度，
∴OO ′=2x，
∴其以OO ′为底边的高为x ，
∴y=×（2x ）•x=x；
（2）当x=3秒时，OO ′=2×3=6， ∵×6=3，
∴点G 的坐标为（3，3），
2
设抛物线解析式为y=ax+bx， 则， 2
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x +x ；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，
则S △POB =×8h=8，
解得h=2，
当点P 在x 轴上方时，﹣x +x=2，
整理得，x ﹣8x+10=0，
解得x 1=4﹣，x 2=4+，
此时，点P 的坐标为（4﹣，2）或（4+
当点P 在x 轴下方时，﹣x +x=﹣2，
整理得，x ﹣8x ﹣10=0，
解得x 1=4﹣，x 2=4+，
此时，点P 的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），
综上所述，点P 的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB 的面积S=8．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论．
11．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （﹣1，0），如图所示；抛物线y=ax+ax﹣2经过点B ．
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）△ABC 绕AC 的中点旋转180°得到△ABC ，试判断点B 是否在抛物线上，请说明理由；
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使A 、C 、P 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
222222，2）；
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）过B 作x 轴的垂线，设垂足为D ，通过证三角形BDC 和三角形COA 全等来求出B 点的坐标；得出B 点坐标后，将其代入抛物线的解析式中即可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式；
（2）根据（1）求得的B 点坐标可知，B 点正好和AC 的中点的纵坐标相同，因此三角形绕AC 中点，选择180°后，B ′的纵坐标不变，由此可求出B ′坐标为（2，1）．将其代入抛物线的解析式中即可判定出旋转后B 点是否在抛物线上；
（3）本题符合条件的P 点较多：
可将A 点的纵坐标代入抛物线的解析式中，可求出两个Q 点的坐标，即可得出AQ 的长，然后将C 点坐标向左或向右平移AQ 个单位，可得出4个符合条件的P 点的坐标；取A 点关于x 轴的对称点A ′，将其纵坐标代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的Q 点坐标，然后根据直线AC 的斜率求出直线PQ 的解析式，即可得出P 点的坐标，这种情况可得出2个符合条件的P 点坐标，综上所述应该有6个符合条件的P 点坐标．
【解答】解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
∴∠BCD=∠CAO ；
又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴△BCD ≌△CAO ，
∴BD=OC=1，CD=OA=2；
∴点B 的坐标为（﹣3，1）；
2∵抛物线y=ax+ax﹣2经过点B （﹣3，1），则得到1=9a﹣3a ﹣2，
解得a=，
所以抛物线解析式为
y=x +x ﹣2；
（2）B （2，1）
经检验点B （2，1）在抛物线y=x +x ﹣2．
（3）P 1（，0），P 2（，0），P 3（，0），P 4（，0），22P 5（0，0），P 6（1，0）
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形的旋转、函数图象交点、平行四边形的判定等知识，要注意的是（3）题中要将所有可能的条件都考虑到，不要漏解．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx﹣3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点2
时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】方法一：
（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣（t ﹣1）+2．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为
y=x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，m ﹣m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =．则根据图形得到：S △CBK =S△CEK +S△BEK
=EK •
m+•EK •（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣m +3m=．易求得K 1（1，﹣22），K 2（3，﹣）．
方法二：
（1）略．
（2）作QH ⊥AB ，并分别列出AP ，BQ ，PB 的参数长度，利用三角函数得出HQ 的参数长度，进而求出△PBQ 的面积函数．
（3）利用水平底与铅垂高乘积的一半求解．
【解答】方法一：
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax+bx﹣3（a ≠0），得
， 2
解得
，
所以该抛物线的解析式为：
y=x ﹣x ﹣3；
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．
在Rt △BOC 中，BC==5． 2如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ，
∴△BHQ ∽△BOC ， ∴=，即=，
∴HQ=t ．
∴S △PBQ =PB •HQ=（6﹣3t ）•t=﹣
当△PBQ 存在时，0＜t ＜2
∴当t=1时，
S △PBQ 最大=．
； t +t=﹣2（t ﹣1）+2． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是
（3）设直线BC 的解析式为y=kx+c（k ≠0）．
把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
，
解得
，
∴直线BC 的解析式为
y=x ﹣3．
∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，m ﹣m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，m ﹣3）．
∴
EK=m ﹣3﹣（m ﹣m ﹣3）=﹣m +m ．
222
当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =
∴S △CBK =．
S △CBK =S△CEK +S△BEK =EK •m+•EK •（4﹣m ） =×4•EK
=2（﹣m +m ）
=﹣m +3m． 即：﹣m +3m=．
解得 m 1=1，m 2=3．
∴K 1（1，﹣），K 2（3，﹣）． 222
．
方法二：
（1）略．
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t ，
∴点C 的坐标为（0，﹣3），
∵B （4，0），∴l BC ：y=x ﹣3，
过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，
∴tan ∠HBQ=，∴sin ∠HBQ=，
∵BQ=t，∴HQ=t ，
∴S △PBQ =PB •HQ=
∴当t=1时，S △PBQ 最大=． =﹣，
（3）过点K 作KE ⊥x 轴交BC 于点E ，
∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =
∴S △CBK =，
设E （m ，m ﹣3），K （m ，
S △CBK
=∴﹣=，
， ）， ==﹣，
∴m 1=1，m 2=3，
∴K 1（1，﹣），K 2（3，﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
13．已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．
①求证：△OCP ∽△PDA ；
②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；
（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；
（3）如图2
，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．
【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值．
【专题】综合题；压轴题；动点型；探究型．
【分析】（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC 长以及AP 与OP 的关系，然后在Rt △PCO 中运用勾股定理求出OP 长，从而求出AB 长．
（2）由DP=DC=AB=AP 及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP 的度数，进而求出∠OAB 的度数．
（3）由边相等常常联想到全等，但BN 与PM 所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF 是PB 的一半，只需求出PB 长就可以求出EF 长．
【解答】解：（1）如图1，
①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO ，∠APO=∠B ．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC ．
∵∠D=∠C ，∠APD=∠POC ．
∴△OCP ∽△PDA ．
②∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4， ∴==
==．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x ．
在Rt △PCO 中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x ，
222∴x =（8﹣x ）+4．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB 的长为10．
（2）如图1，
∵P 是CD 边的中点，
∴DP=DC ．
∵DC=AB，AB=AP，
∴DP=AP ．
∵∠D=90°，
∴sin ∠DAP==．
∴∠DAP=30°．
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO ，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°．
∴∠OAB 的度数为30°．
（3）作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图2．
∵AP=AB，MQ ∥AN ，
∴∠APB=∠ABP ，∠ABP=∠MQP ．
∴∠APB=∠MQP ．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME ⊥PQ ，
∴PE=EQ=PQ ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ ∥AN ，
∴∠QMF=∠BNF ．
在△MFQ 和△NFB 中，
．
∴△MFQ ≌△NFB ．
∴QF=BF．
∴
QF=QB ．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB ．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=∴
EF=PB=2=4．
．
． ∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，长度为2
【点评】本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键．
14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．
（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；
（2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；
（3）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）分两种情况讨论：①当△BPQ ∽△BAC 时，==，当△BPQ ∽△BCA
时，，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t ，根据△ACQ ∽△CMP ，得出=，代入计算即可；
，再把QC=4t，PE=8﹣CM=8（3）作PE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，先得出
DF=
﹣4t 代入求出DF ，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，得出RC=DF，D 在过R 的中位线上，从而证出PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
【解答】解：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10cm，
①当△BPQ ∽△BAC 时， ∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴=，
∴t=1；
②当△BPQ ∽△BCA 时， ∵∴∴t===，
时，△BPQ 与△ABC 相似； ， ， ∴t=1或
（2）如图所示，过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8﹣4t ，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM 且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ ∽△CMP ， ∴∴=， =，
解得：t=；
（3）如图，作PM ⊥BC 于点M ，PQ 的中点设为D 点，再作PE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，
∵∠ACB=90°，
∴DF 为梯形PECQ 的中位线，
∴
DF=，
∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t ，
∴
DF==4，
∵BC=8，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，
∴RC=DF=4成立，
∴D 在过R 的中位线上，
∴PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．
15．如图1，点O 在线段AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且∠BOC=60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t=秒时，则OP= 1 ，S △ABP =
；
（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP=∠B ，求证：AQ •BP=3．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；
（2）当△ABP 是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ ∽△PBO ，利用相似关系证明结论．
【解答】（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．
如答图1，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．
在Rt △POD 中，PD=OP•sin60°=1×∴S △ABP =AB •PD=×（2+1）×==， ．
（2）解：当△ABP 是直角三角形时，
①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC ＞∠A ，
∴∠A ≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：
∵∠BOC=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，又OP=2t，
∴t=1；
③若∠APB=90°，如答图3所示：
过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=
∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t ．
222在Rt △ABP 中，由勾股定理得：PA +PB=AB
22222∴（AD +PD）+（BD +PD）=AB，
22222即[（2+t）+（t ）]+[（1﹣t ）+（t ）]=3
解方程得：t=
∴t=．
． 或t=（负值舍去）， t ， 综上所述，当△ABP 是直角三角形时，t=1或t=
（3）证明：如答图4，过点O 作OE ∥AP ，交PB 于点E ， 则有
∴PE=PB ． ，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B ，
∵OE ∥AP ，
∴∠OEB=∠APB ，
∴∠OEB=∠B ，
∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ ∥PB ，
∴∠OAQ+∠B=180°，
∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B ，∠QOP=∠B ，
∴∠1=∠2；
∴△OAQ ∽△PEO ， ∴，即，
化简得：AQ •PB=3．
【点评】本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．
16．如图1，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．
（1）求证：△DEC ≌△EDA ；
（2）求DF 的值；
（3）如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作△AEC 的内接矩形，使其顶点Q 落在线段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．
【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS ”可求得△DEC ≌△EDA ；
（2）根据勾股定理即可求得．
（3）由矩形PQMN 的性质得PQ ∥CA ，所以，从而求得PQ ，由PN ∥EG ，得出=，求得PN ，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．
【解答】（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，
在△ADE 与△CED 中，
∴△DEC ≌△EDA （SSS ）；
（2）解：如图1，
∵∠ACD=∠BAC ，∠BAC=∠CAE ，
∴∠ACD=∠CAE ，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=4﹣x ，
222在Rt △ADF 中，AD +DF=AF，
222即3+x=（4﹣x ），
解得：x=，
即DF=．
（3）解：如图2，由矩形PQMN 的性质得PQ ∥CA ∴
=5
，即PQ= 又∵CE=3，AC=设PE=x（0＜x ＜3），则
过E 作EG ⊥AC 于G ，则PN ∥EG ， ∴=
， 又∵在Rt △AEC 中，EG •AC=AE•CE ，解得EG=
∴=，即PN=（3﹣x ），
设矩形PQMN 的面积为S ，
则S=PQ•PN=﹣x +4x=
﹣2+3（0＜x ＜3）
所以当x=，即PE=时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．