圆及圆的综合题型练习
一．选择题（共25小题）
1．（2016•连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（ ）
A ．2＜r ＜ B ．＜r ＜3 C ．＜r ＜5 D ．5＜r ＜
2．（2015•湘西州）⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm，则点A 与圆O 的位置关系为（ ）
A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．无法确定
3．（2016•湘西州）在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是（ ）
A ．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
4．（2015•张家界）如图，∠O=30°，C 为OB 上一点，且OC=6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是（ ）
A ．相离 B．相交
C ．相切 D．以上三种情况均有可能
5．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（ ）
A ．8≤AB ≤10 B ．8＜AB ≤10 C ．4≤AB ≤5 D ．4＜AB ≤5
6．（2016•衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
7．（2016•湖州）如图，圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是（ ）
A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°
8．（2016•无锡）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于点D ，若∠C=70°，则∠AOD 的度数为（ ）
A ．70° B ．35° C ．20° D ．40°
9．（2015•岳阳）如图，在△ABC 中，AB=CB，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA ∽△CDE ；③（ ）
=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是
A ．①② B ．①②③ C．①④ D ．①②④
10．（2014•台湾）如图，P 为圆O 外一点，OP 交圆O 于A 点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P 点且与圆O 相切的直线，其作法如下：
（甲）以P 为圆心，OP 长为半径画弧，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求；
（乙）作OP 的中垂线，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A ．两人皆正确 B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误 D ．甲错误，乙正确
11．（2014•泰安）如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°． 其中正确的个数为（ ）
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
12．（2011•台湾）如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=19°，则∠AFB 的度数为何？（ ）
A ．97° B ．104° C ．116° D ．142°
13．（2005•烟台）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=BC．AT 是⊙O 的切线，∠BAT=55°，则∠D 等于（ ）
A ．110° B ．115° C ．120° D ．125°
14．（2002•佛山）如图，直线AB 切⊙O 于点A ，割线BDC 交⊙O 于点D 、C ．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（ ）
A ．70° B ．50° C ．30° D ．20°
15．（2008•上海）如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）
A ．4 B ．8 C ． D．
16．（2008•泰州）如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D ，C ，E ．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）
A ．9 B ．10 C ．12 D ．14
17．（2005•北京）如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B ．如果OP=4，PA=2那么∠AOB 等于（ ）
，
A ．90° B ．100° C ．110° D ．120°
18．（2004•云南）如图，若△ABC 的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ，则AF 的长为（ ）
A ．5 B ．10 C ．7.5 D ．4
19．（2007•双柏县）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA 的长等于（ ）
A ．4cm B ．16cm C ．20cm D ．2cm
20．（2006•永州）如图，PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，∠APB=60°，点P 到圆心O 的距离OP=2，则⊙O 的半径为（ ）
A ． B ．1 C ． D ．2
21．（2016•遵义）如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是（ ）
A ． B ． C ． D ．2
22．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．
23．（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ）
A ．2， B ．2，π C ．， D ．2，
24．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A ．1 B ． C ．2 D ．2
25．（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A ．3 B．9 C ．18 D ．36
二．解答题（共4小题）
26．（2016•永州）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ，E 是BD 中点，连接CE ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD 和CE 的长．
27．（2016•咸宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．
（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
28．（2014•三明）已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是线段AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．
（1）当直线CD 与半圆O 相切时（如图①），求∠ODC 的度数；
（2）当直线CD 与半圆O 相交时（如图②），设另一交点为E ，连接AE ，若AE ∥OC ， ①AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC 的度数．
29．（2016•新疆）如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠
CBF=∠CAB ．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．
圆及圆的综合题型练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．（2016•连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（ ）
A ．2＜r ＜ B ．＜r ＜3 C ．＜r ＜5 D ．5＜r ＜
【分析】如图求出AD 、AB 、AE 、AF 即可解决问题．
【解答】解：如图，∵AD=2，
AE=AF=，AB=3，
∴AB ＞AE ＞AD ， ∴＜r ＜3时，以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，
故选B ．
【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型．
2．（2015•湘西州）⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm，则点A 与圆O 的位置关系为（ ）
A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，
即点A 到圆心O 的距离小于圆的半径，
∴点A 在⊙O 内．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d，则有点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆内⇔d ＜r ．
3．（2016•湘西州）在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是（ ）
A ．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式求出CD ，得出d ＜r ，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：过C 作CD ⊥AB 于D ，如图所示：
∵在Rt △ABC 中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC 的面积=AC ×BC=AB ×CD ，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d ＜r ，
∴以2.5为半径的⊙C 与直线AB 的关系是相交；
故选A ．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD 的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
4．（2015•张家界）如图，∠O=30°，C 为OB 上一点，且OC=6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是（ ）
A ．相离 B．相交
C ．相切 D．以上三种情况均有可能
【分析】利用直线l 和⊙O 相切⇔d=r，进而判断得出即可．
【解答】解：过点C 作CD ⊥AO 于点D ，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是：相切．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d 与r 的关系是解题关键．
5．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（ ）
A ．8≤AB ≤10 B ．8＜AB ≤10 C ．4≤AB ≤5 D ．4＜AB ≤5
【分析】此题可以首先计算出当AB 与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB ≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB ≤10．
【解答】解：当AB 与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2=8．
∵大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB ≤10．
故选：A ．
【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．
6．（2016•衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【解答】解：连接OC ，
∵CE 是⊙O 切线，
∴OC ⊥CE ，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，
∴sin ∠E=sin30°=．
故选A ．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
7．（2016•湖州）如图，圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是（ ）
A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°
【分析】首先连接OC ，由∠A=25°，可求得∠BOC 的度数，由CD 是圆O 的切线，可得OC ⊥CD ，继而求得答案．
【解答】解：连接OC ，
∵圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB 是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD 是圆O 的切线，
∴OC ⊥CD ，
∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．
故选B ．
【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
8．（2016•无锡）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于点D ，若∠C=70°，则∠AOD 的度数为（ ）
A ．70° B ．35° C ．20° D ．40°
【分析】先依据切线的性质求得∠CAB 的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD 的度数．
【解答】解：∵AC 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，
∴AB ⊥AC ．
∴∠CAB=90°．
又∵∠C=70°，
∴∠CBA=20°．
∴∠DOA=40°．
故选：D ．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．
9．（2015•岳阳）如图，在△ABC 中，AB=CB，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA ∽△CDE ；③（ ）
=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是
A ．①② B ．①②③ C．①④ D ．①②④
【分析】根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD ⊥AC ，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA ∽△CDE ，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE ⊥AE ，根据平行线的性质得到AB ⊥AE ，然后根据切线的判定定理得AE 为⊙O 的切线，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵AB 为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD ⊥AC ，
而AB=CB，
∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，
∴∠1=∠2，
而CD=ED，
∴∠3=∠4，
∵CF ∥AB ，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA ∽△CDE ，所以②正确；
∵△ABC 不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°， ∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，
∴点E 在以AC 为直径的圆上，
∴∠AEC=90°，
∴CE ⊥AE ，
而CF ∥AB ，
∴AB ⊥AE ，
∴AE 为⊙O 的切线，所以④正确．
故选：D ．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．
10．（2014•台湾）如图，P 为圆O 外一点，OP 交圆O 于A 点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P 点且与圆O 相切的直线，其作法如下：
（甲）以P 为圆心，OP 长为半径画弧，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求；
（乙）作OP 的中垂线，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A ．两人皆正确 B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误 D ．甲错误，乙正确
【分析】（甲）由OP=BP，得出∠OBP=∠BOP ，所以∠OBP ≠90°，故（甲）错误；
（乙）根据线段的垂直平分线得出OB=PB，OM=PM，由已知条件OA=2AP，得出OM=
OA=OB ，从而得出∠BOP=∠BPO ≠45°，即∠OBP ≠90°，故（乙）错误；
【解答】解：（甲）如图1，∵以P 为圆心，OP 长为半径画弧，交圆O 于B 点，
∴OP=BP，
∴∠OBP=∠BOP ，
∴∠OBP ≠90°，
∴PB 不是⊙O 的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，∵作OP 的中垂线，交圆O 于B 点，交OP 于M ，
∴OB=PB，OM=PM，
∵OA=2AP，
∴OM=OA=OB ，
∴∠BOP=∠BPO ≠45°，
∴∠OBP ≠90°，
∴（乙）错误，
故选B ．
【点评】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的判定等．
11．（2014•泰安）如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°． 其中正确的个数为（ ）
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO ≌△PDO （SSS ），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD ，进而求出△CPB ≌△DPB （SAS ），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO ≌△BCA （ASA ），进而得出CO=PO=AB ；
（4）利用四边形PCBD 是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO ，DO ，
∵PC 与⊙O 相切，切点为C ，
∴∠PCO=90°，
在△PCO 和△PDO 中，
，
∴△PCO ≌△PDO （SSS ），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD 与⊙O 相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD ，
在△CPB 和△DPB 中，
，
∴△CPB ≌△DPB （SAS ），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四边形PCBD 是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC ，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP ，
∵AB 是⊙O 直径，
∴∠ACB=90°，
在△PCO 和△BCA 中，
，
∴△PCO ≌△BCA （ASA ），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO=PO=AB ，
∴PO=AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD 是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A ．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
12．（2011•台湾）如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=19°，则∠AFB 的度数为何？（ ）
A ．97° B ．104° C ．116° D ．142°
【分析】先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD 的度数，根据角平分线的定义得出角BAF 的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD 的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB 的度数．
【解答】解：∵BD 是圆O 的直径，
∴∠BAD=90°，
又∵AC 平分∠BAD ，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵直线ED 为圆O 的切线，
∴∠ADE=∠ABD=19°，
∴∠AFB=180°﹣∠BAF ﹣∠ABD=180°﹣45°﹣19°=116°．
故选C ．
【点评】此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题．
13．（2005•烟台）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=BC．AT 是⊙O 的切线，∠BAT=55°，则∠D 等于（ ）
A ．110° B ．115° C ．120° D ．125°
【分析】连接AC ，由弦切角定理知∠ACB=∠BA T=55°，又AB=BC得到∠ACB=∠CAB=55°，求出∠B ，再由圆内接四边形的性质就可以求出∠D ．
【解答】解：如图，连接AC ，
由弦切角定理知∠ACB=∠BA T=55°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=55°，
∴∠B=180°﹣2∠ACB=70°，
∴∠D=180°﹣∠B=110°．
故选A ．
【点评】本题利用了弦切角定理和圆内接四边形的性质，三角形内角和定理求解．
14．（2002•佛山）如图，直线AB 切⊙O 于点A ，割线BDC 交⊙O 于点D 、C ．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（ ）
A ．70° B ．50° C ．30° D ．20°
【分析】根据弦切角定理求得∠BAD 的度数，再根据三角形的外角的性质再进一步求解．
【解答】解：∵直线AB 切⊙O 于点A ，
∴∠BAD=∠C=30°，
∴∠ADC=50°．
故选B ．
【点评】此题综合运用了弦切角定理和三角形的外角的性质．
15．（2008•上海）如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）
A ．4 B ．8 C ． D．
【分析】根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦AB 的长．
【解答】解：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB 是等边三角形，即AB=PA=8，
故选B ．
【点评】此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．
16．（2008•泰州）如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D ，C ，E ．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）
A ．9 B ．10 C ．12 D ．14
【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD ，已知了AB 和⊙O 的半径，由此可求出梯形的周长．
【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选
D ．
【点评】运用切线长定理，将梯形上下底的和转化为梯形的腰AB 的长是解答本题的关键．
17．（2005•北京）如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B ．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB 等于（ ）
A ．90° B ．100° C ．110° D ．120°
【分析】由切线长定理知△APO ≌△BPO ，得∠AOP=∠BOP ．可求得sin ∠AOP=：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB 的值．
【解答】解：∵△APO ≌△BPO （HL ），
∴∠AOP=∠BOP ．
∵sin ∠AOP=AP：OP=2：4=：2，
∴∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°．
故选D ．
【点评】本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，正弦的概念求解．
18．（2004•云南）如图，若△ABC 的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ，则AF 的长为（ ）
A ．5 B ．10 C ．7.5 D ．4
【分析】由切线长定理，可知：AF=AD，CF=CE，BE=BD，用未知数设AF 的长，然后表示出BD 、CF 的长，即可表示出BE 、CE 的长，根据BE +CE=5，可求出AF 的长．
【解答】解：设AF=x，根据切线长定理得AD=x，BD=BE=9﹣x ，CE=CF=CA﹣AF=6﹣x ，
则有9﹣x +6﹣x=5，解得x=5，即AF 的长为5．
故选A ．
【点评】此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解．
19．（2007•双柏县）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA 的长等于（ ）
A ．4cm B ．16cm C ．20cm D ．2cm
【分析】根据已知得到PC 的长，再根据切割线定理即可求得PA 的长．
【解答】解：∵PB=2cm，BC=8cm，
∴PC=10cm，
2∵PA =PB•PC=20，
∴PA=2，
故选D ．
【点评】此题主要是运用了切割线定理．注意：切线长的平方应是PB 和PC 的乘积．
20．（2006•永州）如图，PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，∠APB=60°，点P 到圆心O 的距离OP=2，则⊙O 的半径为（ ）
A ． B ．1 C ． D ．2
【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知∠APO 的度数，连接OA ，可知OA ⊥AP ，故在Rt △AOP 中，根据三角函数公式，可将半径求出．
【解答】解：连接OA
∵PA 为⊙O 的切线
∴PA ⊥OA
∵∠APO=∠APB=30°
∴OA=OP×sin ∠APO=2×=1
∴⊙O 的半径为1
故选B ．
【点评】本题主要考查圆的切线长定理．
21．（2016•遵义）如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是（ ）
A ． B ． C ． D ．2
【分析】根据矩形的性质可得出⊙P 和⊙Q 的半径相等，利用直角三角形内切圆半径公式即可求出⊙P 半径r 的长度．连接点P 、Q ，过点Q 作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，求出线段QE 、EP 的长，再由勾股定理即可求出线段PQ 的长，此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴△ACD ≌△CAB ，
∴⊙P 和⊙Q 的半径相等．
在Rt △BC 中，AB=4，BC=3，
∴AC=
∴⊙P 的半径r=
=5， ==1．
连接点P 、Q ，过点Q 作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，则∠QEP=90°，如图所示．
在Rt △QEP 中，QE=BC﹣2r=3﹣2=1，EP=AB﹣2r=4﹣2=2，
∴PQ===．
故选B ．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是求出⊙P 和⊙Q 的半径．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的借用了直角三角形内切圆的半径公式求出了⊙P 和⊙Q 的半径．
22．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=；
如图2，
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=
如图3，
；
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=， 、， 则该三角形的三边分别为：、∵（）+（2）=（2）， 2
∴该三角形是以、为直角边，
=为斜边的直角三角形， ， ∴该三角形的面积是××故选：D ．
【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
23．（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ）
A ．2， B ．2，π C ．， D ．2，
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM ，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB ，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
=故选D ．
=π，
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
24．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A ．1 B ． C ．2 D ．2
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA 、OB ，OG ；
∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA•sin60°=2×=，
． ∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为
故选B ．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A ．3 B．9 C ．18 D ．36
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C ．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
二．解答题（共4小题）
26．（2016•永州）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ，E 是BD 中点，连接CE ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD 和CE 的长．
【分析】（1）连接OC ，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A ，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO +∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A ，证出∠ACO=∠BCE ，得出∠BCE +∠BCO=90°，得出CE ⊥OC ，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB ，再由三角函数得出tanA=可得出CE 的长．
【解答】（1）证明：连接OC ，如图所示：
∵BD 是⊙O 的切线，
∴∠CBE=∠A ，∠ABD=90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO +∠BCO=90°，∠BCD=90°，
∵E 是BD 中点，
∴CE=BD=BE，
∴∠BCE=∠CBE=∠A ，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A ，
∴∠ACO=∠BCE ，
∴∠BCE +∠BCO=90°，
即∠OCE=90°，CE ⊥OC ，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB=
∵tanA=====，
，
．
=2， ==，求出BD=AB=，即∴BD=AB=∴CE=BD=
【点评】本题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．
27．（2016•咸宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．
（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC 是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD 中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB 的面积减去扇形DOF 面积即可确定出阴影部分面积．
【解答】解：（1）BC 与⊙O 相切．
证明：连接OD ．
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD ．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA ．
∴∠CAD=∠ODA ．
∴OD ∥AC ．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD ⊥BC ．
又∵BC 过半径OD 的外端点D ，
∴BC 与⊙O 相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
22222根据勾股定理得：OB =OD+BD ，即（x +2）=x+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt △ODB 中，OD=OB ，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S 扇形AOB ==，
﹣=2﹣． 则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF
=×2×2故阴影部分的面积为2﹣．
【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
28．（2014•三明）已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是线段AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．
（1）当直线CD 与半圆O 相切时（如图①），求∠ODC 的度数；
（2）当直线CD 与半圆O 相交时（如图②），设另一交点为E ，连接AE ，若AE ∥OC ， ①AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC 的度数．
【分析】（1）连接OC ，因为CD 是⊙O 的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD ，即可求得．
（2）连接OE ，
①证明△AOE ≌△OCD ，即可得AE=OD；
②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC 的度数．
【解答】解：（1）如图①，连接OC ，
∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD，
∴∠ODC=∠COD ，
∵CD 是⊙O 的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ODC=45°；
（2）如图②，连接OE ．
∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AE ∥OC ，
∴∠2=∠3．
设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．
∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x ．
①AE=OD．理由如下：
在△AOE 与△OCD 中，
∴△AOE ≌△OCD （SAS ），
∴AE=OD．
②∠6=∠1+∠2=2x．
∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．
∵AE ∥OC ，
∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x +2x +2x=180°，
∴x=36°．
∴∠ODC=36°．
【点评】本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出辅助线是解题的关键．
29．（2016•新疆）如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠
CBF=∠CAB ．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．
【分析】（1）连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC ∽△ABF ，利用比例式求得线段的长即可．
【解答】（1）证明：连接AE ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB ．
∵∠
CBF=∠CAB ，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF +∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB 是⊙O 的直径，
∴直线BF 是⊙O 的切线．
（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于G ．
∵sin ∠
CBF=
∴sin ∠1=， ，∠1=∠CBF ，
∵在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin ∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=∴sin ∠2=
==，cos ∠2====2， ，
在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC ∥BF ，
∴△AGC ∽△ABF ， ∴
∴
BF= =
【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
圆及圆的综合题型练习
一．选择题（共25小题）
1．（2016•连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（ ）
A ．2＜r ＜ B ．＜r ＜3 C ．＜r ＜5 D ．5＜r ＜
2．（2015•湘西州）⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm，则点A 与圆O 的位置关系为（ ）
A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．无法确定
3．（2016•湘西州）在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是（ ）
A ．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
4．（2015•张家界）如图，∠O=30°，C 为OB 上一点，且OC=6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是（ ）
A ．相离 B．相交
C ．相切 D．以上三种情况均有可能
5．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（ ）
A ．8≤AB ≤10 B ．8＜AB ≤10 C ．4≤AB ≤5 D ．4＜AB ≤5
6．（2016•衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
7．（2016•湖州）如图，圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是（ ）
A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°
8．（2016•无锡）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于点D ，若∠C=70°，则∠AOD 的度数为（ ）
A ．70° B ．35° C ．20° D ．40°
9．（2015•岳阳）如图，在△ABC 中，AB=CB，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA ∽△CDE ；③（ ）
=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是
A ．①② B ．①②③ C．①④ D ．①②④
10．（2014•台湾）如图，P 为圆O 外一点，OP 交圆O 于A 点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P 点且与圆O 相切的直线，其作法如下：
（甲）以P 为圆心，OP 长为半径画弧，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求；
（乙）作OP 的中垂线，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A ．两人皆正确 B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误 D ．甲错误，乙正确
11．（2014•泰安）如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°． 其中正确的个数为（ ）
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
12．（2011•台湾）如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=19°，则∠AFB 的度数为何？（ ）
A ．97° B ．104° C ．116° D ．142°
13．（2005•烟台）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=BC．AT 是⊙O 的切线，∠BAT=55°，则∠D 等于（ ）
A ．110° B ．115° C ．120° D ．125°
14．（2002•佛山）如图，直线AB 切⊙O 于点A ，割线BDC 交⊙O 于点D 、C ．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（ ）
A ．70° B ．50° C ．30° D ．20°
15．（2008•上海）如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）
A ．4 B ．8 C ． D．
16．（2008•泰州）如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D ，C ，E ．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）
A ．9 B ．10 C ．12 D ．14
17．（2005•北京）如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B ．如果OP=4，PA=2那么∠AOB 等于（ ）
，
A ．90° B ．100° C ．110° D ．120°
18．（2004•云南）如图，若△ABC 的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ，则AF 的长为（ ）
A ．5 B ．10 C ．7.5 D ．4
19．（2007•双柏县）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA 的长等于（ ）
A ．4cm B ．16cm C ．20cm D ．2cm
20．（2006•永州）如图，PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，∠APB=60°，点P 到圆心O 的距离OP=2，则⊙O 的半径为（ ）
A ． B ．1 C ． D ．2
21．（2016•遵义）如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是（ ）
A ． B ． C ． D ．2
22．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．
23．（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ）
A ．2， B ．2，π C ．， D ．2，
24．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A ．1 B ． C ．2 D ．2
25．（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A ．3 B．9 C ．18 D ．36
二．解答题（共4小题）
26．（2016•永州）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ，E 是BD 中点，连接CE ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD 和CE 的长．
27．（2016•咸宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．
（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
28．（2014•三明）已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是线段AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．
（1）当直线CD 与半圆O 相切时（如图①），求∠ODC 的度数；
（2）当直线CD 与半圆O 相交时（如图②），设另一交点为E ，连接AE ，若AE ∥OC ， ①AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC 的度数．
29．（2016•新疆）如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠
CBF=∠CAB ．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．
圆及圆的综合题型练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．（2016•连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（ ）
A ．2＜r ＜ B ．＜r ＜3 C ．＜r ＜5 D ．5＜r ＜
【分析】如图求出AD 、AB 、AE 、AF 即可解决问题．
【解答】解：如图，∵AD=2，
AE=AF=，AB=3，
∴AB ＞AE ＞AD ， ∴＜r ＜3时，以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，
故选B ．
【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型．
2．（2015•湘西州）⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm，则点A 与圆O 的位置关系为（ ）
A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，
即点A 到圆心O 的距离小于圆的半径，
∴点A 在⊙O 内．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d，则有点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆内⇔d ＜r ．
3．（2016•湘西州）在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是（ ）
A ．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式求出CD ，得出d ＜r ，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：过C 作CD ⊥AB 于D ，如图所示：
∵在Rt △ABC 中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC 的面积=AC ×BC=AB ×CD ，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d ＜r ，
∴以2.5为半径的⊙C 与直线AB 的关系是相交；
故选A ．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD 的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
4．（2015•张家界）如图，∠O=30°，C 为OB 上一点，且OC=6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是（ ）
A ．相离 B．相交
C ．相切 D．以上三种情况均有可能
【分析】利用直线l 和⊙O 相切⇔d=r，进而判断得出即可．
【解答】解：过点C 作CD ⊥AO 于点D ，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是：相切．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d 与r 的关系是解题关键．
5．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（ ）
A ．8≤AB ≤10 B ．8＜AB ≤10 C ．4≤AB ≤5 D ．4＜AB ≤5
【分析】此题可以首先计算出当AB 与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB ≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB ≤10．
【解答】解：当AB 与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2=8．
∵大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB ≤10．
故选：A ．
【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．
6．（2016•衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【解答】解：连接OC ，
∵CE 是⊙O 切线，
∴OC ⊥CE ，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，
∴sin ∠E=sin30°=．
故选A ．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
7．（2016•湖州）如图，圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是（ ）
A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°
【分析】首先连接OC ，由∠A=25°，可求得∠BOC 的度数，由CD 是圆O 的切线，可得OC ⊥CD ，继而求得答案．
【解答】解：连接OC ，
∵圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB 是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD 是圆O 的切线，
∴OC ⊥CD ，
∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．
故选B ．
【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
8．（2016•无锡）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于点D ，若∠C=70°，则∠AOD 的度数为（ ）
A ．70° B ．35° C ．20° D ．40°
【分析】先依据切线的性质求得∠CAB 的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD 的度数．
【解答】解：∵AC 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，
∴AB ⊥AC ．
∴∠CAB=90°．
又∵∠C=70°，
∴∠CBA=20°．
∴∠DOA=40°．
故选：D ．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．
9．（2015•岳阳）如图，在△ABC 中，AB=CB，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA ∽△CDE ；③（ ）
=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是
A ．①② B ．①②③ C．①④ D ．①②④
【分析】根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD ⊥AC ，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA ∽△CDE ，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE ⊥AE ，根据平行线的性质得到AB ⊥AE ，然后根据切线的判定定理得AE 为⊙O 的切线，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵AB 为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD ⊥AC ，
而AB=CB，
∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，
∴∠1=∠2，
而CD=ED，
∴∠3=∠4，
∵CF ∥AB ，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA ∽△CDE ，所以②正确；
∵△ABC 不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°， ∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，
∴点E 在以AC 为直径的圆上，
∴∠AEC=90°，
∴CE ⊥AE ，
而CF ∥AB ，
∴AB ⊥AE ，
∴AE 为⊙O 的切线，所以④正确．
故选：D ．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．
10．（2014•台湾）如图，P 为圆O 外一点，OP 交圆O 于A 点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P 点且与圆O 相切的直线，其作法如下：
（甲）以P 为圆心，OP 长为半径画弧，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求；
（乙）作OP 的中垂线，交圆O 于B 点，则直线PB 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A ．两人皆正确 B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误 D ．甲错误，乙正确
【分析】（甲）由OP=BP，得出∠OBP=∠BOP ，所以∠OBP ≠90°，故（甲）错误；
（乙）根据线段的垂直平分线得出OB=PB，OM=PM，由已知条件OA=2AP，得出OM=
OA=OB ，从而得出∠BOP=∠BPO ≠45°，即∠OBP ≠90°，故（乙）错误；
【解答】解：（甲）如图1，∵以P 为圆心，OP 长为半径画弧，交圆O 于B 点，
∴OP=BP，
∴∠OBP=∠BOP ，
∴∠OBP ≠90°，
∴PB 不是⊙O 的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，∵作OP 的中垂线，交圆O 于B 点，交OP 于M ，
∴OB=PB，OM=PM，
∵OA=2AP，
∴OM=OA=OB ，
∴∠BOP=∠BPO ≠45°，
∴∠OBP ≠90°，
∴（乙）错误，
故选B ．
【点评】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的判定等．
11．（2014•泰安）如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°． 其中正确的个数为（ ）
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO ≌△PDO （SSS ），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD ，进而求出△CPB ≌△DPB （SAS ），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO ≌△BCA （ASA ），进而得出CO=PO=AB ；
（4）利用四边形PCBD 是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO ，DO ，
∵PC 与⊙O 相切，切点为C ，
∴∠PCO=90°，
在△PCO 和△PDO 中，
，
∴△PCO ≌△PDO （SSS ），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD 与⊙O 相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD ，
在△CPB 和△DPB 中，
，
∴△CPB ≌△DPB （SAS ），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四边形PCBD 是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC ，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP ，
∵AB 是⊙O 直径，
∴∠ACB=90°，
在△PCO 和△BCA 中，
，
∴△PCO ≌△BCA （ASA ），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO=PO=AB ，
∴PO=AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD 是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A ．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
12．（2011•台湾）如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=19°，则∠AFB 的度数为何？（ ）
A ．97° B ．104° C ．116° D ．142°
【分析】先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD 的度数，根据角平分线的定义得出角BAF 的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD 的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB 的度数．
【解答】解：∵BD 是圆O 的直径，
∴∠BAD=90°，
又∵AC 平分∠BAD ，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵直线ED 为圆O 的切线，
∴∠ADE=∠ABD=19°，
∴∠AFB=180°﹣∠BAF ﹣∠ABD=180°﹣45°﹣19°=116°．
故选C ．
【点评】此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题．
13．（2005•烟台）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=BC．AT 是⊙O 的切线，∠BAT=55°，则∠D 等于（ ）
A ．110° B ．115° C ．120° D ．125°
【分析】连接AC ，由弦切角定理知∠ACB=∠BA T=55°，又AB=BC得到∠ACB=∠CAB=55°，求出∠B ，再由圆内接四边形的性质就可以求出∠D ．
【解答】解：如图，连接AC ，
由弦切角定理知∠ACB=∠BA T=55°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=55°，
∴∠B=180°﹣2∠ACB=70°，
∴∠D=180°﹣∠B=110°．
故选A ．
【点评】本题利用了弦切角定理和圆内接四边形的性质，三角形内角和定理求解．
14．（2002•佛山）如图，直线AB 切⊙O 于点A ，割线BDC 交⊙O 于点D 、C ．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（ ）
A ．70° B ．50° C ．30° D ．20°
【分析】根据弦切角定理求得∠BAD 的度数，再根据三角形的外角的性质再进一步求解．
【解答】解：∵直线AB 切⊙O 于点A ，
∴∠BAD=∠C=30°，
∴∠ADC=50°．
故选B ．
【点评】此题综合运用了弦切角定理和三角形的外角的性质．
15．（2008•上海）如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）
A ．4 B ．8 C ． D．
【分析】根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦AB 的长．
【解答】解：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB 是等边三角形，即AB=PA=8，
故选B ．
【点评】此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．
16．（2008•泰州）如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D ，C ，E ．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）
A ．9 B ．10 C ．12 D ．14
【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD ，已知了AB 和⊙O 的半径，由此可求出梯形的周长．
【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选
D ．
【点评】运用切线长定理，将梯形上下底的和转化为梯形的腰AB 的长是解答本题的关键．
17．（2005•北京）如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B ．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB 等于（ ）
A ．90° B ．100° C ．110° D ．120°
【分析】由切线长定理知△APO ≌△BPO ，得∠AOP=∠BOP ．可求得sin ∠AOP=：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB 的值．
【解答】解：∵△APO ≌△BPO （HL ），
∴∠AOP=∠BOP ．
∵sin ∠AOP=AP：OP=2：4=：2，
∴∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°．
故选D ．
【点评】本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，正弦的概念求解．
18．（2004•云南）如图，若△ABC 的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ，则AF 的长为（ ）
A ．5 B ．10 C ．7.5 D ．4
【分析】由切线长定理，可知：AF=AD，CF=CE，BE=BD，用未知数设AF 的长，然后表示出BD 、CF 的长，即可表示出BE 、CE 的长，根据BE +CE=5，可求出AF 的长．
【解答】解：设AF=x，根据切线长定理得AD=x，BD=BE=9﹣x ，CE=CF=CA﹣AF=6﹣x ，
则有9﹣x +6﹣x=5，解得x=5，即AF 的长为5．
故选A ．
【点评】此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解．
19．（2007•双柏县）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA 的长等于（ ）
A ．4cm B ．16cm C ．20cm D ．2cm
【分析】根据已知得到PC 的长，再根据切割线定理即可求得PA 的长．
【解答】解：∵PB=2cm，BC=8cm，
∴PC=10cm，
2∵PA =PB•PC=20，
∴PA=2，
故选D ．
【点评】此题主要是运用了切割线定理．注意：切线长的平方应是PB 和PC 的乘积．
20．（2006•永州）如图，PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，∠APB=60°，点P 到圆心O 的距离OP=2，则⊙O 的半径为（ ）
A ． B ．1 C ． D ．2
【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知∠APO 的度数，连接OA ，可知OA ⊥AP ，故在Rt △AOP 中，根据三角函数公式，可将半径求出．
【解答】解：连接OA
∵PA 为⊙O 的切线
∴PA ⊥OA
∵∠APO=∠APB=30°
∴OA=OP×sin ∠APO=2×=1
∴⊙O 的半径为1
故选B ．
【点评】本题主要考查圆的切线长定理．
21．（2016•遵义）如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是（ ）
A ． B ． C ． D ．2
【分析】根据矩形的性质可得出⊙P 和⊙Q 的半径相等，利用直角三角形内切圆半径公式即可求出⊙P 半径r 的长度．连接点P 、Q ，过点Q 作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，求出线段QE 、EP 的长，再由勾股定理即可求出线段PQ 的长，此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴△ACD ≌△CAB ，
∴⊙P 和⊙Q 的半径相等．
在Rt △BC 中，AB=4，BC=3，
∴AC=
∴⊙P 的半径r=
=5， ==1．
连接点P 、Q ，过点Q 作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，则∠QEP=90°，如图所示．
在Rt △QEP 中，QE=BC﹣2r=3﹣2=1，EP=AB﹣2r=4﹣2=2，
∴PQ===．
故选B ．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是求出⊙P 和⊙Q 的半径．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的借用了直角三角形内切圆的半径公式求出了⊙P 和⊙Q 的半径．
22．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=；
如图2，
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=
如图3，
；
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=， 、， 则该三角形的三边分别为：、∵（）+（2）=（2）， 2
∴该三角形是以、为直角边，
=为斜边的直角三角形， ， ∴该三角形的面积是××故选：D ．
【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
23．（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ）
A ．2， B ．2，π C ．， D ．2，
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM ，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB ，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
=故选D ．
=π，
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
24．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A ．1 B ． C ．2 D ．2
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA 、OB ，OG ；
∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA•sin60°=2×=，
． ∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为
故选B ．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A ．3 B．9 C ．18 D ．36
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C ．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
二．解答题（共4小题）
26．（2016•永州）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ，E 是BD 中点，连接CE ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD 和CE 的长．
【分析】（1）连接OC ，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A ，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO +∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A ，证出∠ACO=∠BCE ，得出∠BCE +∠BCO=90°，得出CE ⊥OC ，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB ，再由三角函数得出tanA=可得出CE 的长．
【解答】（1）证明：连接OC ，如图所示：
∵BD 是⊙O 的切线，
∴∠CBE=∠A ，∠ABD=90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO +∠BCO=90°，∠BCD=90°，
∵E 是BD 中点，
∴CE=BD=BE，
∴∠BCE=∠CBE=∠A ，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A ，
∴∠ACO=∠BCE ，
∴∠BCE +∠BCO=90°，
即∠OCE=90°，CE ⊥OC ，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB=
∵tanA=====，
，
．
=2， ==，求出BD=AB=，即∴BD=AB=∴CE=BD=
【点评】本题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．
27．（2016•咸宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．
（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC 是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD 中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB 的面积减去扇形DOF 面积即可确定出阴影部分面积．
【解答】解：（1）BC 与⊙O 相切．
证明：连接OD ．
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD ．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA ．
∴∠CAD=∠ODA ．
∴OD ∥AC ．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD ⊥BC ．
又∵BC 过半径OD 的外端点D ，
∴BC 与⊙O 相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
22222根据勾股定理得：OB =OD+BD ，即（x +2）=x+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt △ODB 中，OD=OB ，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S 扇形AOB ==，
﹣=2﹣． 则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF
=×2×2故阴影部分的面积为2﹣．
【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
28．（2014•三明）已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是线段AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．
（1）当直线CD 与半圆O 相切时（如图①），求∠ODC 的度数；
（2）当直线CD 与半圆O 相交时（如图②），设另一交点为E ，连接AE ，若AE ∥OC ， ①AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC 的度数．
【分析】（1）连接OC ，因为CD 是⊙O 的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD ，即可求得．
（2）连接OE ，
①证明△AOE ≌△OCD ，即可得AE=OD；
②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC 的度数．
【解答】解：（1）如图①，连接OC ，
∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD，
∴∠ODC=∠COD ，
∵CD 是⊙O 的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ODC=45°；
（2）如图②，连接OE ．
∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AE ∥OC ，
∴∠2=∠3．
设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．
∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x ．
①AE=OD．理由如下：
在△AOE 与△OCD 中，
∴△AOE ≌△OCD （SAS ），
∴AE=OD．
②∠6=∠1+∠2=2x．
∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．
∵AE ∥OC ，
∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x +2x +2x=180°，
∴x=36°．
∴∠ODC=36°．
【点评】本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出辅助线是解题的关键．
29．（2016•新疆）如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠
CBF=∠CAB ．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．
【分析】（1）连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC ∽△ABF ，利用比例式求得线段的长即可．
【解答】（1）证明：连接AE ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB ．
∵∠
CBF=∠CAB ，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF +∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB 是⊙O 的直径，
∴直线BF 是⊙O 的切线．
（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于G ．
∵sin ∠
CBF=
∴sin ∠1=， ，∠1=∠CBF ，
∵在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin ∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=∴sin ∠2=
==，cos ∠2====2， ，
在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC ∥BF ，
∴△AGC ∽△ABF ， ∴
∴
BF= =
【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．