http://www.paper.edu.cn
半变异函数分析法的初步实践
曹庭校1,秦俊华2
1中国地质大学（北京）,北京（100083） 2武钢大冶铁矿,湖北黄石（435006）
E-mail ：摘 要：二十世纪六十年代初期法国地质学家G．马特龙（Matheron）提出的半变异函数曲线分析法广泛应用于矿体地质的研究。本文以变异函数为工具对大冶铁矿龙洞矿体样品品位沿走向和倾斜方向的变化特征进行尝试性的探讨。文中详细介绍了实验半变异函数的计算原理和理论变异函数模型的构制方法，利用所得到的模型参数讨论矿体的变异性质和变化程度，并进行了确定合理勘探网度的尝试。可供同类矿山进行矿体地质研究工作时参考。 关键词：半变异函数 矿体 变异性 勘探网度 中图分类号：TD
1. 引言
在矿山地质工作中，一项重要的工作内容是研究矿体各种标志（如品位、厚度）的变异特征。二十世纪六十年代初期法国地质学家G ．马特龙（Matheron ）提出了一种表征矿体变异性的新方法—半变异函数曲线分析法。他的基本特点是，以区域化变量的理论为基础，通过对变异函数的计算及变异函数曲线的分析，从而定性地判断矿体的变异特征和变异类型
[1]
。传统地质统计方法只能用方差、均值等参数来表达矿体标志值的总体变化性，而变异函
数却能充分考虑地质变量的空间变化特征与变化程度。在本文中，以变异函数为工具对大冶铁矿龙洞矿体样品品位沿走向和倾斜方向的变化特征进行尝试性的探讨。
2. 实验半变异函数的计算
变异函数就是区域化变量Z (x)和Z (x+h)的增量平方的数学期望，即区域化变量的方差。实际上，实测的样品个数是有限的。利用有限数据对所得到的半变异函数即为实验半变异函数，用r* (h)，其表达式为：
1N
r* (h)=[Z(xi )-Z(xi +h)]∑2N i =1
2
（1）
式中： N — 样品数据对数 h — 滞后距 Z (xi) — 空间上x i 点的品位值
龙洞矿体呈似层状，走向NW ，倾向SW ，倾角为40°～ 90°，整体上陡下缓，但在-50米标高以下又趋于变陡。主矿体走向长度约为380米，倾斜延深一般为150～350米，厚度一般10～30米。属铁矿Ⅲ勘探类型。采用无底柱分段崩落法采矿，进路间距为10米，±0
分段以上段高为10米，-12分段以下改为12米的段高。
本次计算中以10米为基本滞后距，沿走向和倾斜方向选取部分坑道样品和钻探样品全铁化验结果，根据（1）式分别计算两个方向的 r* (h)，以及原始品位数据的先验方差δ2。为了提高计算速度和准确性，全部计算过程利用Lotus1-2-3软件包在计算机上完成。倾斜方向和走向上品位实验半变异函数计算结果分别列于表1、表2。
表1 倾斜方向上品位实验半变异函数计算结果
h /m
2
10 2030 40 [***********]0 130 140 150
r*(h)/(%)20.9 33.639.0 35.2 34.234.731.435.036.443.439.334.0 33.4 34.9 42.9δ2=37.23
表2 走向上品位实验半变异函数计算结果
h /m 10 20 30
2
40 50 [1**********] [***********] 150
r*(h)/(%)18.7 22.4 27.3 30.8 25.2 29.220.532.630.530.531.428.026.933.5 29.1 32.4 31.6δ2=28.55
将上述计算结果分别投到 r* (h)－h 图，即可得到沿走向和倾斜方向的实验半变异函数曲线(图l 、图2) 。利用已求得的先验方差δ2作h 轴的平行线，以其与 r* (h)曲线第一个交点的横坐标的3/2倍作为 r* (h)的变程a。
图1 倾斜方向上品位半变异函数曲线
图2 走向上品位半变异函数曲线
3. 构制理论变异函数模型
利用有限实测数据计算得到的实验半变异函数曲线是非光滑的，必需要用一个适当的圆滑曲线来对它进行拟合。地质统计学中常用球状模型来拟合实验半变异函数曲线。对于有块金效应的球状理论模型，可用下式来表达：
3h h 3
r (h) =c 0+c (−3) h＜a
2a 2a
r (h) =c 0+c h≥a
H—滞后距 a —变程 c0—块金常数 c —跳迁常数 (c0+c )—被称为基台值，可以反映区域化变量的总体变异水平
(2 )
选用适当的球状模型参数（a 、c 0、c ），将理论变异曲线绘于实验半变异曲线图上，对 r* (h)－h 曲线进行拟合，检查其拟合程度，选择拟合程度高的模型参数，从而建立起理论变异函数模型。
经拟合实验，对走向和倾斜方向上球状模型参数分别选择如表3 所示。
表3 球状模型参数选择
方向 倾斜方向 走向
变程a
块金常数c 0
跳迁常数c
40 18 19.23 50 16 12.55
分别将表3中选择的参数代入（2）式中，得出倾斜方向和走向上的理论模型，并分别
将其理论变异函数曲线绘于图l 、图2上。
4. 有关应用问题的讨论
1．从图1、图2中可以看出，沿倾斜方向的半变异函数基台值(c0+c ) 高于走向，说明倾斜方向的品位变化总体水平较走向上高；倾斜方向上的变程a 小于走向，说明样品沿倾斜方向的影响范围比走向小；而倾斜方向的块金效应c 0高于走向，说明其在极小范围内的变化性质较走向上强。
2．利用得到的模型参数计算变化性质系数Q 和变化程度系数Φ。
Q=
c 0
3）
（
0+
4） （
式中：δ—为地质样品值的均方差，对于球状模型有了δ2= c0+c=基台值；
m—为样品值的平均值； L—为延伸方向长度的一半。
对于龙洞矿体m=53%，倾斜方向上L= 175米，走向上L=190米，经计算得到两个方向上的变化性质系数和变化程度系数列于表4。
表4 变化性质系数和变化程度系数计算结果
方向 倾斜方向 走向
变化性质系数Q 0.48 0.56
变化程度系数Φ 0.45 0.35
根据成都理工大学吴龙英对地质体变化程度和变化性质的分类标准（表5、表6），龙洞矿体铁品位在倾斜方向上具有明显坐标性变化，走向上具有明显随机性变化；而变化程度上有所差异，倾斜方向上变化程度较走向上稍复杂，但两个方向上的变化程度都属于较简单类型。显然，龙洞矿体具有各向异性。
表5 地质体变化性质分类表
[2]
类别 1 2 3 4
变化性质 坐标性变化 有明显坐标性变化 有明显随机性变化 随机性变化
Q 值 1～0.2 0.2～0.5 0.5～0.8 0.8～1
表6 地质体变化程度分类表
[2]
类别 1 2 3 4 5
变化程度 简 单 较简单 中 等 较复杂 复 杂
Ф值 0～0.3 0.3～0.6 0.6～0.8 0.8～0.9 ＞0.9
3．变异函数曲线的变程反映地质变量的影响范围，或者说反映地质变量的自相关范围。对于一个矿体来说，在变程a 范围之内，矿体的变量具有相依性，超出变程a 范围，则不具相依性。因此可以变程a 作为确定勘探工程间距的参考[1]。
确定勘探网度时，网度只有比变程小才能控制住矿体。因此对龙洞矿体要探得控制类储量，勘探网度应为走向×倾斜方向=50米×40米。也有学者提出以变程之半来确定勘探网度
[3]
，但这要根据储量级别的要求而定。对龙洞矿体要探得探明类储量，可按变程的一半来确
定勘探网度：走向×倾斜方向=25米×20米。
应当说明的是，这里所得到的网度仅是根据矿体全铁品位的空间变异性来确定的，实际应用中应结合其它方面的因素加以综合考虑。现把《铁、锰、铬矿地质勘查规范》（ＤＺ／Ｔ０２００－２００２）、武钢矿山地质规程内部规定的以及探采对比所确定的网度一并列于表7。
表7 不同方法确定的网度对比表（走向×倾向）
储量分类 勘查规范[4]探明类 控制类
—
内部规定 25×25
探采对比[5]
半变异函数分析法
25～35×20～30 25×20
100×50～100 50×50 50～75×50 50×40
表7表明，《铁、锰、铬矿地质勘查规范》推荐的控制类间距明显大于其他方法确定的间距。利用半变异函数分析法所确定的网度，在走向上的间距与内部规定和探采对比所确定的间距基本上是相当的，但沿倾斜方向的间距略低于稀释法。
5. 结束语
1．利用半变异函数分析法探讨龙洞矿体铁品位的空间变异性，由此得出的结论与前人积累的资料是基本相符合的。由于时间仓促，对利用本文已建立的矿体模型合理选择取样间距以及钻孔的合理布置设计等有关方面的应用问题有待进一步展开讨论。
2．半变异函数分析法同样适用于本矿床其它矿体，但对尚未开采的矿体（如铁门坎地下矿体）的研究更具实际指导意义，也可供同类矿山参考应用。
参考文献
[1] 李守义，叶松青．《矿产勘查学》[Ｍ]，北京：地质出版社，２００３．８．
[2] 吴龙英．《地质体变化性质与变化程度的地质统计学研究》[J ]，《地质与勘探》，１９９３年，第３期． [3] 候景儒，黄竞先等．《非参数及多元地质统计学的理论分析及其应用》[Ｍ]．北京：冶金工业出版社．
１９９４．
[4] ＤＺ／Ｔ０２００－２００２．《铁、锰、铬矿地质勘查规范》[Ｓ]．中华人民共和国国土资部． ２００３．
[5] 《矿山地质手册》编辑委员会．《矿山地质手册》[Ｍ]，北京：冶金工业出版社，１９９５．９．
Preliminary Application of the Semi-variation
Function Analysis
Cao Tingxiao1 Qing Junhua 2
1.Engineering and Technical College, China University of Geosciences(Beijing) , Beijing100083
2.Daye Iron Mine of WISCO,Huangshi 435006,Hubei
Abstract
The semi-variation function analysis method proposed by French geologist G. Matheron in the early 1960s the 20th century is widely used in ore-body geological studies. Author tried to study the grade
variation along to strike and tip in Daye Iron Longdong ore-body with the method. In the article ,writer intrdouc detailedly the calculation theory on experimental semi-variation function and the technique to set up the theoretical semi-variation function, discuss the ore body variability and
the degree of variation with the model parameters, determine the reasonable exploration grid too. It can serve as a reference for similar ore-body geological research.
Key words: semi-variation function, variability, ore-body, exploration grid
http://www.paper.edu.cn
半变异函数分析法的初步实践
曹庭校1,秦俊华2
1中国地质大学（北京）,北京（100083） 2武钢大冶铁矿,湖北黄石（435006）
E-mail ：摘 要：二十世纪六十年代初期法国地质学家G．马特龙（Matheron）提出的半变异函数曲线分析法广泛应用于矿体地质的研究。本文以变异函数为工具对大冶铁矿龙洞矿体样品品位沿走向和倾斜方向的变化特征进行尝试性的探讨。文中详细介绍了实验半变异函数的计算原理和理论变异函数模型的构制方法，利用所得到的模型参数讨论矿体的变异性质和变化程度，并进行了确定合理勘探网度的尝试。可供同类矿山进行矿体地质研究工作时参考。 关键词：半变异函数 矿体 变异性 勘探网度 中图分类号：TD
1. 引言
在矿山地质工作中，一项重要的工作内容是研究矿体各种标志（如品位、厚度）的变异特征。二十世纪六十年代初期法国地质学家G ．马特龙（Matheron ）提出了一种表征矿体变异性的新方法—半变异函数曲线分析法。他的基本特点是，以区域化变量的理论为基础，通过对变异函数的计算及变异函数曲线的分析，从而定性地判断矿体的变异特征和变异类型
[1]
。传统地质统计方法只能用方差、均值等参数来表达矿体标志值的总体变化性，而变异函
数却能充分考虑地质变量的空间变化特征与变化程度。在本文中，以变异函数为工具对大冶铁矿龙洞矿体样品品位沿走向和倾斜方向的变化特征进行尝试性的探讨。
2. 实验半变异函数的计算
变异函数就是区域化变量Z (x)和Z (x+h)的增量平方的数学期望，即区域化变量的方差。实际上，实测的样品个数是有限的。利用有限数据对所得到的半变异函数即为实验半变异函数，用r* (h)，其表达式为：
1N
r* (h)=[Z(xi )-Z(xi +h)]∑2N i =1
2
（1）
式中： N — 样品数据对数 h — 滞后距 Z (xi) — 空间上x i 点的品位值
龙洞矿体呈似层状，走向NW ，倾向SW ，倾角为40°～ 90°，整体上陡下缓，但在-50米标高以下又趋于变陡。主矿体走向长度约为380米，倾斜延深一般为150～350米，厚度一般10～30米。属铁矿Ⅲ勘探类型。采用无底柱分段崩落法采矿，进路间距为10米，±0
分段以上段高为10米，-12分段以下改为12米的段高。
本次计算中以10米为基本滞后距，沿走向和倾斜方向选取部分坑道样品和钻探样品全铁化验结果，根据（1）式分别计算两个方向的 r* (h)，以及原始品位数据的先验方差δ2。为了提高计算速度和准确性，全部计算过程利用Lotus1-2-3软件包在计算机上完成。倾斜方向和走向上品位实验半变异函数计算结果分别列于表1、表2。
表1 倾斜方向上品位实验半变异函数计算结果
h /m
2
10 2030 40 [***********]0 130 140 150
r*(h)/(%)20.9 33.639.0 35.2 34.234.731.435.036.443.439.334.0 33.4 34.9 42.9δ2=37.23
表2 走向上品位实验半变异函数计算结果
h /m 10 20 30
2
40 50 [1**********] [***********] 150
r*(h)/(%)18.7 22.4 27.3 30.8 25.2 29.220.532.630.530.531.428.026.933.5 29.1 32.4 31.6δ2=28.55
将上述计算结果分别投到 r* (h)－h 图，即可得到沿走向和倾斜方向的实验半变异函数曲线(图l 、图2) 。利用已求得的先验方差δ2作h 轴的平行线，以其与 r* (h)曲线第一个交点的横坐标的3/2倍作为 r* (h)的变程a。
图1 倾斜方向上品位半变异函数曲线
图2 走向上品位半变异函数曲线
3. 构制理论变异函数模型
利用有限实测数据计算得到的实验半变异函数曲线是非光滑的，必需要用一个适当的圆滑曲线来对它进行拟合。地质统计学中常用球状模型来拟合实验半变异函数曲线。对于有块金效应的球状理论模型，可用下式来表达：
3h h 3
r (h) =c 0+c (−3) h＜a
2a 2a
r (h) =c 0+c h≥a
H—滞后距 a —变程 c0—块金常数 c —跳迁常数 (c0+c )—被称为基台值，可以反映区域化变量的总体变异水平
(2 )
选用适当的球状模型参数（a 、c 0、c ），将理论变异曲线绘于实验半变异曲线图上，对 r* (h)－h 曲线进行拟合，检查其拟合程度，选择拟合程度高的模型参数，从而建立起理论变异函数模型。
经拟合实验，对走向和倾斜方向上球状模型参数分别选择如表3 所示。
表3 球状模型参数选择
方向 倾斜方向 走向
变程a
块金常数c 0
跳迁常数c
40 18 19.23 50 16 12.55
分别将表3中选择的参数代入（2）式中，得出倾斜方向和走向上的理论模型，并分别
将其理论变异函数曲线绘于图l 、图2上。
4. 有关应用问题的讨论
1．从图1、图2中可以看出，沿倾斜方向的半变异函数基台值(c0+c ) 高于走向，说明倾斜方向的品位变化总体水平较走向上高；倾斜方向上的变程a 小于走向，说明样品沿倾斜方向的影响范围比走向小；而倾斜方向的块金效应c 0高于走向，说明其在极小范围内的变化性质较走向上强。
2．利用得到的模型参数计算变化性质系数Q 和变化程度系数Φ。
Q=
c 0
3）
（
0+
4） （
式中：δ—为地质样品值的均方差，对于球状模型有了δ2= c0+c=基台值；
m—为样品值的平均值； L—为延伸方向长度的一半。
对于龙洞矿体m=53%，倾斜方向上L= 175米，走向上L=190米，经计算得到两个方向上的变化性质系数和变化程度系数列于表4。
表4 变化性质系数和变化程度系数计算结果
方向 倾斜方向 走向
变化性质系数Q 0.48 0.56
变化程度系数Φ 0.45 0.35
根据成都理工大学吴龙英对地质体变化程度和变化性质的分类标准（表5、表6），龙洞矿体铁品位在倾斜方向上具有明显坐标性变化，走向上具有明显随机性变化；而变化程度上有所差异，倾斜方向上变化程度较走向上稍复杂，但两个方向上的变化程度都属于较简单类型。显然，龙洞矿体具有各向异性。
表5 地质体变化性质分类表
[2]
类别 1 2 3 4
变化性质 坐标性变化 有明显坐标性变化 有明显随机性变化 随机性变化
Q 值 1～0.2 0.2～0.5 0.5～0.8 0.8～1
表6 地质体变化程度分类表
[2]
类别 1 2 3 4 5
变化程度 简 单 较简单 中 等 较复杂 复 杂
Ф值 0～0.3 0.3～0.6 0.6～0.8 0.8～0.9 ＞0.9
3．变异函数曲线的变程反映地质变量的影响范围，或者说反映地质变量的自相关范围。对于一个矿体来说，在变程a 范围之内，矿体的变量具有相依性，超出变程a 范围，则不具相依性。因此可以变程a 作为确定勘探工程间距的参考[1]。
确定勘探网度时，网度只有比变程小才能控制住矿体。因此对龙洞矿体要探得控制类储量，勘探网度应为走向×倾斜方向=50米×40米。也有学者提出以变程之半来确定勘探网度
[3]
，但这要根据储量级别的要求而定。对龙洞矿体要探得探明类储量，可按变程的一半来确
定勘探网度：走向×倾斜方向=25米×20米。
应当说明的是，这里所得到的网度仅是根据矿体全铁品位的空间变异性来确定的，实际应用中应结合其它方面的因素加以综合考虑。现把《铁、锰、铬矿地质勘查规范》（ＤＺ／Ｔ０２００－２００２）、武钢矿山地质规程内部规定的以及探采对比所确定的网度一并列于表7。
表7 不同方法确定的网度对比表（走向×倾向）
储量分类 勘查规范[4]探明类 控制类
—
内部规定 25×25
探采对比[5]
半变异函数分析法
25～35×20～30 25×20
100×50～100 50×50 50～75×50 50×40
表7表明，《铁、锰、铬矿地质勘查规范》推荐的控制类间距明显大于其他方法确定的间距。利用半变异函数分析法所确定的网度，在走向上的间距与内部规定和探采对比所确定的间距基本上是相当的，但沿倾斜方向的间距略低于稀释法。
5. 结束语
1．利用半变异函数分析法探讨龙洞矿体铁品位的空间变异性，由此得出的结论与前人积累的资料是基本相符合的。由于时间仓促，对利用本文已建立的矿体模型合理选择取样间距以及钻孔的合理布置设计等有关方面的应用问题有待进一步展开讨论。
2．半变异函数分析法同样适用于本矿床其它矿体，但对尚未开采的矿体（如铁门坎地下矿体）的研究更具实际指导意义，也可供同类矿山参考应用。
参考文献
[1] 李守义，叶松青．《矿产勘查学》[Ｍ]，北京：地质出版社，２００３．８．
[2] 吴龙英．《地质体变化性质与变化程度的地质统计学研究》[J ]，《地质与勘探》，１９９３年，第３期． [3] 候景儒，黄竞先等．《非参数及多元地质统计学的理论分析及其应用》[Ｍ]．北京：冶金工业出版社．
１９９４．
[4] ＤＺ／Ｔ０２００－２００２．《铁、锰、铬矿地质勘查规范》[Ｓ]．中华人民共和国国土资部． ２００３．
[5] 《矿山地质手册》编辑委员会．《矿山地质手册》[Ｍ]，北京：冶金工业出版社，１９９５．９．
Preliminary Application of the Semi-variation
Function Analysis
Cao Tingxiao1 Qing Junhua 2
1.Engineering and Technical College, China University of Geosciences(Beijing) , Beijing100083
2.Daye Iron Mine of WISCO,Huangshi 435006,Hubei
Abstract
The semi-variation function analysis method proposed by French geologist G. Matheron in the early 1960s the 20th century is widely used in ore-body geological studies. Author tried to study the grade
variation along to strike and tip in Daye Iron Longdong ore-body with the method. In the article ,writer intrdouc detailedly the calculation theory on experimental semi-variation function and the technique to set up the theoretical semi-variation function, discuss the ore body variability and
the degree of variation with the model parameters, determine the reasonable exploration grid too. It can serve as a reference for similar ore-body geological research.
Key words: semi-variation function, variability, ore-body, exploration grid