“解决问题的策略”单元教材编排结构及教学重难点（苏教版）
册数 教学内容
1、用列表的方法整
理题目中的条件和
问题，来解答类似归
一、归总的实际问
四上 题；
2、用列表整理条件
和问题的方法来解
答类似求两积和差
的实际问题。
1、用画直观示意图
的方法解决有关长
方形面积计算的实
际问题；
2、用画线段图或列
四下 表的方法解决有关
行程计算的实际问
题。
五上 用枚举的方法解决
实际问题。
五下 用倒推的方法解决
实际问题。 教学目标 1、使学生在解决简单实际问题的过程中，初步体会用列表的方法整理相关信息的作用，感受列表是解决问题的一种策略。会用列表的方法整理简单实际问题所提供的信息，会通过列表的过程分析数量关系，寻找解决问题的有效方法。 2、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的自信心。 1、使学生在解决实际问题的过程中学会用画直观示意图、线段图等方法整理相关的信息，能借助所画的直观图或线段图分析实际问题中的数量关系，确定解决问题的正确思路。 2、使学生在对解决实际问题过程的反思中，进一步感受用画图或列表的方法整理信息对于解决问题的价值，体会到画图或列表整理信息是解决问题的常用策略。 3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信息。 1．使学生经历用列举的策略解决简单的实际问题的过程，能通过不遗漏，不重复的列举找到符合要求的所有答案。 2．使学生在对解决简单实际问题的过程的反思和交流中，感受“一一列举”的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。 3．使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的信心。 1、使学生在解决实际问题的过程中学会用“倒过来推想”的策略寻求解决问题的思路，并能根据具体的问题确定合理的解题步骤，从而有效地解决问题。 2、使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定
问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理
能力。
3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解
决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，
提高学习数学的信心。 教学重难点 教学重点：体会策略的价值，主动运用策略解决问题 教学难点：灵活解决问题的能力 教学重点：让学生学会画图整理的方法，并内化为解决问题的策略。 教学难点：充分地体验画图、列表对解决问题的作用，从而形成自觉地、灵活地、有效地选用这些方法的态度和能力。 教学重点：能对信息进行用“一一列举”的策略解决实际问题。 教学难点：能有条理的一一列举，并进行分析 教学重点：学会运用“倒推”的策略寻找解决问题的思路, 并能根据问题的具体情况确定合理的解题步骤。 教学难点：在正确运用策略的过程中感受“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。
1、使学生理解数学中“替换”的理念。初步学
会用“替换”的策略去分析数量关系，并能根据
问题的特点确定合理的解题步骤。
2、使学生在解决实际问题的过程中，感受“替
六上 用假设替换的方法
解决实际问题。 换”策略对于特定问题的价值，并能灵活运用不同策略解决不同的问题，进一步发展分析、综合
和简单推理能力。
3、通过感知使学生能更好的增强解决问题的策
略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数
学的信心。
1. 教材让学生在直观的情境中想到转化，并应用
图形的平移和旋转知识进行图形的等积，等周长
的变形.
六下 用转化的方法解决
实际问题。 2. 在解决实际问题过程中体会转化的含义和应教学重点：使学生理解并运用假设的策略解决问题。 教学难点： 当假设与实际结果发生矛盾时该如何进行调整是学生学习的难点。 教学重点: 感受“转化”策略的价值。 用的手段，感受转化在解决这个问题时的价值。 教学难点： 会用
3. 进一步积累解决问题的经验, 增强解决问题的
" 转化" 意识, 提高学好数学的信心。 “转化”的策略解决问题。
浅谈人教版“数学广角”内容的教学策略
浙江省绍兴市北海小学 俞建栋
内容提要：“数学广角”是人教版教材中的一个亮点，也是一种新的尝试。它系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。如何有效的教学“数学广角”？教师应提高自身的数学素养；走出误区准确定位教学目标和要求；给学生充分的体验的空间，感悟数学思想方法的奥妙；在不断地应用中强化数学思想方法的渗透。
关键词： 数学广角 渗透 数学思想方法 策略 体验 感悟
在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、
定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之所在。
《数学课程标准》中也明确提出了：“让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”为了有效落实这一总体目标，人教版教材编排中不但加大力度把数学思想渗透在数与代数、量与计量等每一个知识板块中，更以新增设的单元“数学广角”为呈现形式，进一步集中向学生渗透数学思想方法。
那么如何把握“数学广角”这一新生事物所呈现的全新教学内容、教学目标、教学方法？已成为对每一个数学教育工作者的挑战，事实上在实际教学中许多教师也确实产生了不少的困惑。下面笔者在进一步研读《数学课程标准》及人教版全册的实验教材，对“数学广角”的教学内容、教学目标等进行一些梳理、解读与分析，并结合一些课堂实践，谈谈对“数学广角”的实践与思考。
一、品读“数学广角”的丰富内涵
1、品读“数学广角”编排的意义。
人教版教材总体设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。而“数学广角”正是安排了逻辑推理、等量代换等一些探索纯数学问题的内容，逐步向学生渗透一些重要的数学思想方法，把数学思想方法以解决学生容易接受的生活问题的形式，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。
2、品读“数学广角”内容的安排结构。
为了便于研究“数学广角”，笔者把整套人教版教材中“数学广角”教学内容整理成如下表：
从表中可以看出“数学广角”的内容安排上充分体现了《数学课程标准》中提出的：“重要的数学概念与数学思想宜逐级递进、螺旋上升。”这一理念。
例如在渗透排列和组合的数学思想方法时，实验教材先在二年级上册教材中，安排学生初步接触一点排列与组合知识，让学生通过观察、猜测以及实验的方法可以找出最简单的事物的排列数和组合数。如用两个数字卡片组成两位数的排列数，三个小朋友两两握手的组合数等。而在三年级上册教材中又继续学习排列与组合的内容。但目标定位为在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。如两件上装和三件下装有多少种不同的搭配等数学问题。与二年级上册教材相比，三年级教材的内容则更加系统和全面分别介绍排列以及组合。同样的安排也出现在“找规律”这一内容上。其次综观整个十二册教材中的“数学广角”，从简单的分类思想到较为抽象的运筹思想、对策论以及最后一册更为复杂的抽屉原理，无不体现了思维层次是从低到高，从具体到抽象，逐级递进、螺旋上升，向学生逐步渗透这些数学思想方法，以符合数学认知规律。
3、品读“数学广角”学习的素材。
“数学广角”在学习素材的设计上也能体现《数学课程标准》的理念，力求通过解决学生容易接受的且熟悉的生活问题的形式，为学生提供感受数学思想方法的素材和空间。
如，通过大家天天要穿的上衣和下装的搭配问题来渗透排列与组合思想；通过学校常见的参加兴趣小组的统计来渗透集合思想；通过家里来客人了沏茶来渗透最优化思想；通过植树、邮政编码来渗透植树问题及编码思想等等。无论是这些例题的情境还是习题中的素材选择无一不是学生熟悉的生活素材，这样的生活问题解决不但能激起学生探索知识的兴趣，更感受到数学思想方法的奥妙以及数学思想方法与实际生活的密切联系。
二、教学“数学广角”的有效策略
怎样让每一位学生能体验 “数学思想方法”呢？这是每一位数学教师在教学“数学广角”时都应该思考的问题。这几年笔者也听了不少数学广角的公开课，也尝试去教学过每一册中的“数学广角”。从这些课中能体会到要真正发挥“数学广角”渗透数学思想方法的作用，我们每一位数学教师需要做到以下四条策略。
策略一：要提升数学教师自身的数学素养。
有人说，要给学生一杯水，教师必须有一桶水。有人说，要给学生一杯水，教师必须有长流不息的小溪水。做一名有较高数学素养的教师，是时代的要求，也是促进每一个学生发展的迫切需求。因此要
想能通过有效的教学“数学广角” ，把这些数学思想方法渗透好，首先数学教师就应掌握这些基本的数学思想方法。数学，绝不是解决几个数学问题。数学教学，也不是仅仅教学生学会解题。数学教学的价值体现在对人的思维能力的发展上，也即体现在分析和解决问题的思想方法上。教师只有掌握了一定的数学思想方法，在教学中才能游刃有余，否则就会导致教学活动停留在表面而缺乏数学思想方法的渗透和体现。
策略二：要准确定位教学目标和要求。
“数学广角”是人教版教材中的一个亮点，也是一种新的尝试。因此它的教学目标的定位上与我们的数学常规课和数学实践活动有所不同，它更重视通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，感受数学思想方法的奇妙与作用，学会运用数学思想方法解决问题的策略、方法。所以在教学“数学广角”时，我们老师应该准确定位教学目标和要求，切不可走入下面两种误区。
误区一：一味地提高要求，不小心把“数学广角”上成奥数培训课，特别是有些公开课时，上课老师一味追求教学深度，却让不少学生“淹死”其中。
例如有一位教师在教学二年级上册的“简单的排列和组合”时为体现创新和与众不同，在教学中出现的例题和习题大部分却是三年级上册的内容。但实际上如笔者前面教材分析中所说：二年级与三年级的“简单的排列和组合”虽然属同一块内容，但两者的教学要求是不同的，虽可以适当调整一点，但却不能拔苗助长。
而事实上实验教材每一册教师用书中对“数学广角”的教学建议中都提到适当把握教学要求。如：四年级下册的“数学广角”教学建议是：本单元就是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用，教学时，应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程，逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。但是，也要注意不要对例题进行过多的变式、提高问题的难度，造成教学要求过高。所以认真研读体会这些教学建议对我们正确定位“数学广角”的目标很有帮助。
误区二：一味地追求解决问题的结果，甚至一节课下来只停留在直观的实验操作，而忽视了从直观上升上抽象的过程，从而也就忽视了数学思想方法的感悟，出现了目标定位偏低。例如教学搭配问题，有的老师出示的内容（如两件上衣和两件下装有几种搭配）都是让学生画一画来解答，从课的开始到课的结束，解决问题的策略都是停留在直观状态。这样做，只有直观，没有抽象，就缺少数学思想方法的渗透。
其次在教学目标的定位上还要体现以学生为本的层次性。学生学习起点的不同要求我们在教学中就不能同等相待。例如在教学三年级上册稍复杂的排列组合的例1时，有的学生一看就明白两件上衣搭配三件下装有6种不同的搭配方法，可有的学生却一脸茫然，这时，教师就要分解知识技能目标，对学习能力较差的学生可以让他们摆一摆图片，在摆中数出方法，对学习能力一般的学生让他们连一连，能力较强的学生启发他们算一算，这样，我们教师就可较好的处理面向全体与关注差异的关系，确保每个学生都有所收获。
策略三：体验感悟，经历抽象。
数学思想方法其特点是呈隐蔽形式，它比数学知识更抽象。而“数学广角”的内容都是把这些抽象的数学思想方法以学生可以理解的直观形式，采用生动有趣的事例呈现出来。所以“数学广角”的教学难点在于如何让学生从直观的解决问题去感悟其中抽象的数学思想方法。解决这个难点的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验；没有了体验，那数学思想方法的渗透只能是一句空话。因此在课堂上必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用。在动脑、动手、动口的过程中领悟体验数学思想方法的形成，揭示其中隐含的数学思想方法，并逐步掌握运用。
如笔者听过的关于三年级搭配问题的不同教学：
教师A 先出示内容：两件上衣和两件下装有几种搭配方法？然后引导学生通过画一画，得出是4种方法。接着再引导学生通过画一画来讨论三件上衣和两件下装的搭配方法。学生通过画一画得出有6种方法后，教师马上问：从刚才的过程中你能发现什么，能说说有什么计算方法吗？这时大部分学生都不知所措，只有一两个学生举手，其中一个学生回答：就是把两种乘起来。教师A ：你回答的真棒！（教师总结后）那么现在我们就用这个方法来算一算4件上衣和3件下装有多少种搭配方法……
而教师B 先让学生体验积累，设计了三个环节。
环节一、两件上衣和两件下装有几种搭配方法？
第一步：摆一摆或画一画 第二步：画图示
第三步：列式：2×2=4 讨论：为什么2×2？引导得出：每件上衣和2件下装有2种搭配方法，2件上衣就有2个2种，所以是2×2。
环节二、三件上衣和两件下装有几种搭配方法？
第一步：摆一摆或画一画 第二步：画图示
第三步：列式：2×3=6 讨论：为什么2×3？引导得出：每件上衣和2件下装有2种搭配方法，3件上衣就有3个2种，所以是2×3。
环节三、三件上衣和三件下装有几种搭配方法？
第一步：摆一摆或画一画 第二步：画图示
第三步：列式：3×3=9 讨论：为什么3×3？引导得出：每件上衣和3件下装有3种搭配方法，3件上衣就有3个3种，所以是3×3。
再让学生猜想验证：通过三次举例探索，让学生发现规律，提出猜想。然后试一试4件上次和3件下装有多少种搭配方法？尝试时让学生先想怎么计算，再列式计算，然后画图验证。最后教师B 问：你能说说搭配问题应该如何计算吗？大部分学生此时都水到渠成地概括出了计算方法。
显然两位教师对于同一个教学环节有着不同的教学设计。在教师A 的设计中学生最后机械地照搬刚才得出的方法进行练习，在一次一次重复练习中慢慢地终于学会了本节课的内容。虽然这位老师也注重了从直观到抽象的提升，但显然学生没有感悟没有理解，只是在模仿中学习，缺乏学习主动性。从直观到抽象太急，缺少了理解抽象的过程，学生的体验和感悟不够。而教师B 则从摆具体的东西或画事物图到用符号表示示意图，再到列式计算并思考为什么这样计算，不断的引导学生主动参与，积极体验知识的形成，让学生经历抽象的过程。虽然没有出现乘法原理，组合都词语，但却让学生感悟到了这些数学思想方法的奥妙之处。
又如我在教学五年级的数字编码时，先出现生活中常见的电话号码，门牌号，大桥上的限速标志等图片，让学生体验数字不仅可以表示为数量，还可以组成编码来表达信息。接着让学生简单的来讨论一下刘翔的运动员编号“043”，先让学生猜这个编码告诉你的信息，在学生的猜想和讨论中感悟出数字组成编码时0可以在第一位，3位数的编码可能是运动员的总人数在100至999之间，所以只要用三位编码就行等一些简单的编码思想。最后引导学生来体验身份证号的编码特点。在教学过程中我先让学生通过搜集家庭成员的身份证号和有关身份证号的资料初步体验，在课堂上同组交流体验，然后选择一家三口的身份证号让学生分别找出爸爸、妈妈、学生的号码并说说理由，深入体验感悟到身份证号的一些编码方法及特点。然后再让学生介绍一下身份证号其它编码的一些信息。在学生不断地自我探索中体验到这小小的18个数字能表达一个人这么多的信息。学生在活动中思考、观察、推理，教师恰当地点拨、引导，让学生充分感悟出编码的方法及给我们带来的便利，初步形成数字编码的经验。
因此在教学“数学广角”时我们要避免只有直观，没有抽象或者在直观和抽象之间没有阶梯、没有过渡，缺少递进的过程。而应该引导学生主动参与，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动来体验感悟，达到从直观的问题解决渗透入抽象的数学思想方法。
策略四：培养学生的主动应用意识。
从数学思想方法的特点和形成过程来说，对学生数学思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。而这一过程，需要教师做一
个“过程”的加强者，不断用数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的反思、不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后能主动应用。因此在教学“数学广角”时，不管在课堂上还是课外都应该注意培养学生应用数学思想方法解决问题的策略，更应该在问题解决之后进行“反思”，在此过程中体会数学思想方法的应用价值。
如四年级下册中在让学生感受了植树问题的解决策略后，可设计由植树问题变式的问题，如装路灯问题、上楼梯问题、锯木头问题、排队问题等，让学生进一步运用“化归思想”迁移解决类似植树问题，在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法。
又如在让学生从身份证号中感悟了数字编码的思想后，又用课件展示一组生活中常见的邮编、房牌号、公交站牌、车牌号、银联卡、积分卡等编码，在具体的情境中用编码的思想去解读这些信息，引导反思这些编码的特点，体会在生活各个方面中编码思想的应用价值。还设计了“给自己编个性学号”，“给宾馆房间编号”，“巧用身份证号破案”等情境来动手设计编码，在反复实践应用中感受数字编码的思想方法和实践应用价值，以及以后遇到类似问题能主动应用编码思想的意识。
总之，在小学数学教学中渗透数学思想方法对我们来说还是一个有挑战性的课题，而“数学广角”给了我们新的途径、新的起点，有待于在实践中进一步探索。
加强思想方法渗透，促进数学素养提升——“数学广角”教学的若干思考
杨健辉莫泳湘
“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学
生可以理解地简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来”是人教版课标实验教材
总体设想之一，因此在人教版实验教材中，以单元“数学广角”为呈现形式，较
为集中地安排了训练数学思维的教学内容，从而加大渗透数学思想方法的力度。
如何把握数学广角所呈现的全新教学内容的教学目标、教学方法？这既是
对数学教育研究者的挑战，也是摆在数学教育工作者面前急需要解决的问题。本
文试从数学思想方法的渗透、数学素养的提升的角度，提出了对人教版小学数学
教材中“数学广角”的教学的一些思考。
一、数学思想方法与数学广角
素质教育的主要任务不仅是发展学生的智力，培养学生的能力，还要培养
非智力因素和辩证唯物主义等思想，从根本上讲就是要全面提高学生的“数学素
养”，培养学生创新意识。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成“数学
素养”，树立创新意识的关键，美国心理学家布鲁纳指出，掌握基本数学思想方
法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”，使学生终生受益。
《数学课程标准》（试验稿）提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法”，“学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法，应该是数学课程的一个重要目的”。在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。在数学课堂的教学中，教师应把数学思想和方法对学生的渗透和培养当作极其重要的任务来看待。
那什么是数学思想方法？所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。数学思想方法蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。数学思想方法大体上可分为三种类型：第一类是宏观型思想方法，包括抽象概括、化归方法、数学模型、数形结合方法、归纳猜想等；第二类是逻辑型思想方法，包括演绎法、分类方法、完全归纳法、不完全归纳法、观察法、类比法等；第三类是操作技巧型思想方法，包括比较法、公式法、特殊化方法、坐标法等方法。
数学的思想方法是数学的精髓，在初中数学新大纲中已把它列入基础知识的范畴，因此在小学数学教学中适当渗透一些数学思想方法，对于开发学生智力，培养良好的思维品质以及加强中小学数学教学的衔接都是十分有益的。因此我们要有加强数学思想方法教学的意识，并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透。
从数学教材的构成体系来看，所涉及的数学知识点汇成了小学数学结构系统的两条“主线”，一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明线”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗线”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，使教学见效快，收益大。
实验教材中不但加大渗透数学思想方法的力度，还以新增设的单元“数学广角”为呈现形式，以将接近总内容的1/5的篇幅，较为集中地安排了训练数学思维的教学内容，试图在渗透数学思想方法方面做一些努力和探索，把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜测等直观手段解决这些问题，重在向学生渗透数学思想方法，促进学生的数学素养的提升。
可见，“数学广角”作为人教版课标实验教材的一个亮点，也是一种新的尝试，“数学广角”安排的是一些探索纯数学问题的内容，主要是向学生渗透一些重要的数学思想方法，把数学思想方法以解决学生容易接受的生活问题的形式，通过实验、观察、操作、推理等数学活动进行渗透，让学生在活动中感悟，感受数学思想方法的魅力，感受数学与生活的联系，在进一步激发学生探索数学问题的兴趣和发现、欣赏数学美的意识的同时，进一步提高学生的思维能力，激发解决问题的意识，提高解决问题的策略，从而促进数学素养的提升。
二、“数学广角”的教学安排
《数学课程标准》中指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。”人教版教材在“数学广角”内容的安排上也注意体现这一要求（见下表），有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力。
册数单元数内 容
一(下) 第八单元找规律
二(上) 第八单元简单的排列组合逻辑推理
二(下) 第九单元找规律
三(上) 第九单元排列组合
三(下) 第九单元重叠问题等量代换
四(上) 第七单元运筹学
四(下) 第八单元植树问题
五(上) 第七单元编码问题
五(下) 第七单元找次品
六(上) 第七单元鸡兔同笼问题
六(下) 第五单元抽屉原理
围绕学段目标，“数学广角”在内容安排上，第一学段出现了简单的排列组合、简单的推理、集合思想、等量代换等内容，让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识，同时培养他们探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识，进而达到《数学课程标准》第一学段的要求：使学生“在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考”；而在第二学段渗透了优化思想、对策论、解决由植树引发出来的问题、数字编码思想、假设法等数学思想方法，一方面继续让学生初步感受数学思想方法，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识，另一方面加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐步提高数学思维能力和解决问题的能力。
内容的选择注意贯彻《数学课程标准》的精神，联系日常生活中的一些简单事例，激发学生学习的兴趣，为学生提供积极思考与合作交流的空间。例如，通过观察生活中，家庭和一些公共场所如商场、宾馆的室内装修有很多美丽的有规律的图案。让学生发现生活中确实存在着写有规律排列的现象，从而激发学生的学习兴趣；又如提供用两个数字卡片组成多少个不同的两位数、三个小朋友两两握手等数学操作、观察、猜测、合作等活动去发现问题、探究规律。
内容的设计有一定的弹性与开放性，如安排了星号题和思考题，供学有余
力的学生选做，也给与教师更大的空间，根据学生的实际情况进行资源的开发、教材的再利用。在数学教育中, 加强数学思想和数学方法的渗透不只是单纯的思维活动, 它本身就蕴涵了情感素养的熏染。因此，内容设计上应高度重视培养学生良好的情感与态度，包括能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。创设的数学活动一方面能让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；另一方面让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯；还让学生在学习知识的过程中，学会合作学习，培养探究与创造精神，形成正确的人格意识。
三、“数学广角”的教学研究
如何把握“数学广角”所呈现的全新教学内容的教学目标、教学方法？这是摆在数学教育工作者面前急需要解决的问题。纵观数学教师在“数学广角”教学上，主要存在以下几个误区：（1）数学教师的数学素养滞后，导致教学活动缺乏数学思想方法的浸透和体现；（2）忽视或压缩教学过程，一味关注知识的结论，对于学生的要求是能领会多少算多少，教学随意性大；（3）要求过高，把这部分内容作为奥数学习的要求，导致教与学的畏难情绪。
要真正发挥“数学广角”渗透数学思想方法的作用，我们广大小学数学教师首先要进一步更新观念，深入钻研教材，提高渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复性，有意点拨，要以适应小学生年龄特点的大众化、生活化方式呈现教学内容，让学生通过现实活动，学会用数学思维方法提出问题、分析问题、解决问题；其次也要加强学习，促进自身数学素养的不断提升，从而让学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。
1．准确把握要求
“数学广角”教学不等同于数学实践活动，也不等同于数学常规课，它更重视通过活动，让学生感受数学的思想方法、学会运用数学的思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。
因此，要有“度”地把握好教学目标。“数学广角”是作为教材面向全体学生渗透数学思想方法的举措，意图是让每一个学生受到数学思维训练的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。因此，要防止把“数学广角”当作奥数培训课进行“英才”教育，它需要更多地、有计划地创设实践活动，让全体学生去观察、研究、尝试，重在活动中的感性积累、方法的感悟。
如：教材在三年级下册的“数学广角”单元中，安排了简单的集合思想和等量代换思想的教学。集合思想是数学中最基本的思想，等量代换是代数思想方法的基础。集合和等量代换的理论都是比较系统、抽象的数学思想方法，在这里，只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这两种思想方法，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了，教学时老师不要使用集合、集合的元素、基数、交集、并集、等量代换等数学化的语言进行描述。
又如：数字编码是一种抽象的数学思想方法，在这里只是让学生通过日常生活中的一些实例，初步体会数字编码在解决实际问题中的应用，并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，学会运用数进行编码，初步培养学生的抽象、概括能力。学生只要能从邮政编码、身份证号码等具体实例中初步了解蕴含其中的一些简单信息和编码的含义，探索出数字编码的简单方法，并能在实践活动中加以应用就可以了，并不要求学生掌握编码中每个数字的信息和含义。另外学生在实践中可以有不同的编码方法，教师要允许学生采用不同的形式，并且要放手让学生亲身去体会、经历运用所学知识解决实际问题的过程，培养学生的探索精神和实践能力。教师只是在必要时给以一定的点拨、引导。
2．重在体验感悟
由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制，数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在领会应用。离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。可见在我们的教学活动过程中，学生的参与非常重要，没有参与就不可能对数学知识、数学思想产生体验；没有了体验，那数学思想只能是一种空话。所以在教学过程中，我们应该创设能够吸引学生参与到数学教学过程中的来的各种情境，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程来，在这样的气氛下，我们的老师即可以启发引导，让学生根据自己的体验，然后逐步领悟，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。
不少教师在“数学广角”的教学中很容易顾此失彼，或重视了情境的创设，忽视了数学思想方法的挖掘；或关注了规律、方法的总结，而忽略了让出更多的空间给学生进行感悟内化。笔者认为，数学思想是我们进行“数学广角”教学设计的指导思想，有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。设计时可从三个层次考虑：宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到数学活动过程中去并获得发展。它不能只是数学认识过程中的“还原”，还要有数学思想的飞跃和创造。
例如：根据“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略”的目标，如何让学生学会寻找解决问题的策略？教材在四年级上册“数学广角”中就安排了渗透优化思想的内容，关键是让学生理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。其中例1通过讨论烙饼时怎样操作最省时间，让学生初步感受从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的运用。
教师可通过创设小组的探究活动，引导学生对比，感悟优化的思想。先从易到难，引导学生研究烙的饼数是双数的情况，初步感受解决问题过程中的策略选择的方法，接着研究烙的饼数是单数的情况，这时引导学生进行首次对比：为什么烙两个饼要用2分钟，烙一个饼也要用2分钟？让学生明确一个饼要烙两面，一个饼的两面不可能同时放在一个平面（铁锅）上。然后3块饼可放多点时间给同学操作常识、交流、进行不同方法的对比、碰撞，感悟优化思想。而5、7块饼则可以让学生进行方法的迁移类推，让学生在活动中感悟到双数块饼时，因为双数都可以分成若干个2，所以可在两块饼的时间上翻倍计算，而当饼数是单数时，
由于3以上的单数都可以分成1个3和若干个2，所以在烙3块饼的时间上加上烙若干个两块饼的时间即可。通过小组合作、操作尝试，让学生在活动中思考、观察、推理、迁移，教师恰当地点拨、引导，让学生充分感悟，形成经验。
3．注意及时点拨
随着运用同一种数学思想方法解决不同数学问题的机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索，直至产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被应用的多次的思想方法就会凸现出来，在这时候“正面突破”就是水到渠成。所谓正面突破就是正面地、直截了当地介绍和点明某种思想方法，要求学生初步掌握该方法解决问题的要领。 如：四年级下册的植树问题，教师通过教学两到三个相关问题后，可点明主题“今天研究的就是由植树的问题引发出来的数学问题，在整理这类问题的本质特征后再进行相关问题的延伸、转化。”通过教师的及时点拨，学生在不知不觉中感受到归纳法、化归法等数学思想方法。
4．循序渐进训练
一种思想的形成要比一个知识点获得来得困难得多。一般情况下，我们学生数学思想的形成要经历三个阶段：第一阶段模仿形成阶段，这一过程主要在数学知识的学习、获得基础上开始的，但这时的学生一般只留意数学知识，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和策略，即使有所觉察，也是处于“朦朦胧胧”、“似有所悟”的境界；第二阶段初步应用阶段，随着渗透的不断重复与加强，学生对数学思想的认识开始走向明朗，开始意识在理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结了；第三阶段自觉应用阶段，这是学生数学思想的成熟阶段，到了这时学生能根据具体的数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决了。
从学生的数学思想形成过程，我们不难发现学生的数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程，逐步积累而形成的。这一个过程中是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。在过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。
为此，在教学中首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。因此，教师要注意围绕主题循序渐进地进行联系设计，例如学生在初步感受植树问题的解决策略后，可设计由植树问题变式的问题，如上楼梯问题、挂灯笼问题、排队问题等，让学生进一步运用化归数学思想迁移解决问题。
让我们携起手来，充分发挥“数学广角”的平台作用，为加强数学思想方法渗透、促进数学素养提升而努力吧。
（作者单位广州市教育局教研室 白云区广园小学） 选自《广州教学研究》总第402期
“解决问题的策略”单元教材编排结构及教学重难点（苏教版）
册数 教学内容
1、用列表的方法整
理题目中的条件和
问题，来解答类似归
一、归总的实际问
四上 题；
2、用列表整理条件
和问题的方法来解
答类似求两积和差
的实际问题。
1、用画直观示意图
的方法解决有关长
方形面积计算的实
际问题；
2、用画线段图或列
四下 表的方法解决有关
行程计算的实际问
题。
五上 用枚举的方法解决
实际问题。
五下 用倒推的方法解决
实际问题。 教学目标 1、使学生在解决简单实际问题的过程中，初步体会用列表的方法整理相关信息的作用，感受列表是解决问题的一种策略。会用列表的方法整理简单实际问题所提供的信息，会通过列表的过程分析数量关系，寻找解决问题的有效方法。 2、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的自信心。 1、使学生在解决实际问题的过程中学会用画直观示意图、线段图等方法整理相关的信息，能借助所画的直观图或线段图分析实际问题中的数量关系，确定解决问题的正确思路。 2、使学生在对解决实际问题过程的反思中，进一步感受用画图或列表的方法整理信息对于解决问题的价值，体会到画图或列表整理信息是解决问题的常用策略。 3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信息。 1．使学生经历用列举的策略解决简单的实际问题的过程，能通过不遗漏，不重复的列举找到符合要求的所有答案。 2．使学生在对解决简单实际问题的过程的反思和交流中，感受“一一列举”的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。 3．使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的信心。 1、使学生在解决实际问题的过程中学会用“倒过来推想”的策略寻求解决问题的思路，并能根据具体的问题确定合理的解题步骤，从而有效地解决问题。 2、使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定
问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理
能力。
3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解
决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，
提高学习数学的信心。 教学重难点 教学重点：体会策略的价值，主动运用策略解决问题 教学难点：灵活解决问题的能力 教学重点：让学生学会画图整理的方法，并内化为解决问题的策略。 教学难点：充分地体验画图、列表对解决问题的作用，从而形成自觉地、灵活地、有效地选用这些方法的态度和能力。 教学重点：能对信息进行用“一一列举”的策略解决实际问题。 教学难点：能有条理的一一列举，并进行分析 教学重点：学会运用“倒推”的策略寻找解决问题的思路, 并能根据问题的具体情况确定合理的解题步骤。 教学难点：在正确运用策略的过程中感受“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。
1、使学生理解数学中“替换”的理念。初步学
会用“替换”的策略去分析数量关系，并能根据
问题的特点确定合理的解题步骤。
2、使学生在解决实际问题的过程中，感受“替
六上 用假设替换的方法
解决实际问题。 换”策略对于特定问题的价值，并能灵活运用不同策略解决不同的问题，进一步发展分析、综合
和简单推理能力。
3、通过感知使学生能更好的增强解决问题的策
略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数
学的信心。
1. 教材让学生在直观的情境中想到转化，并应用
图形的平移和旋转知识进行图形的等积，等周长
的变形.
六下 用转化的方法解决
实际问题。 2. 在解决实际问题过程中体会转化的含义和应教学重点：使学生理解并运用假设的策略解决问题。 教学难点： 当假设与实际结果发生矛盾时该如何进行调整是学生学习的难点。 教学重点: 感受“转化”策略的价值。 用的手段，感受转化在解决这个问题时的价值。 教学难点： 会用
3. 进一步积累解决问题的经验, 增强解决问题的
" 转化" 意识, 提高学好数学的信心。 “转化”的策略解决问题。
浅谈人教版“数学广角”内容的教学策略
浙江省绍兴市北海小学 俞建栋
内容提要：“数学广角”是人教版教材中的一个亮点，也是一种新的尝试。它系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。如何有效的教学“数学广角”？教师应提高自身的数学素养；走出误区准确定位教学目标和要求；给学生充分的体验的空间，感悟数学思想方法的奥妙；在不断地应用中强化数学思想方法的渗透。
关键词： 数学广角 渗透 数学思想方法 策略 体验 感悟
在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、
定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之所在。
《数学课程标准》中也明确提出了：“让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”为了有效落实这一总体目标，人教版教材编排中不但加大力度把数学思想渗透在数与代数、量与计量等每一个知识板块中，更以新增设的单元“数学广角”为呈现形式，进一步集中向学生渗透数学思想方法。
那么如何把握“数学广角”这一新生事物所呈现的全新教学内容、教学目标、教学方法？已成为对每一个数学教育工作者的挑战，事实上在实际教学中许多教师也确实产生了不少的困惑。下面笔者在进一步研读《数学课程标准》及人教版全册的实验教材，对“数学广角”的教学内容、教学目标等进行一些梳理、解读与分析，并结合一些课堂实践，谈谈对“数学广角”的实践与思考。
一、品读“数学广角”的丰富内涵
1、品读“数学广角”编排的意义。
人教版教材总体设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。而“数学广角”正是安排了逻辑推理、等量代换等一些探索纯数学问题的内容，逐步向学生渗透一些重要的数学思想方法，把数学思想方法以解决学生容易接受的生活问题的形式，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。
2、品读“数学广角”内容的安排结构。
为了便于研究“数学广角”，笔者把整套人教版教材中“数学广角”教学内容整理成如下表：
从表中可以看出“数学广角”的内容安排上充分体现了《数学课程标准》中提出的：“重要的数学概念与数学思想宜逐级递进、螺旋上升。”这一理念。
例如在渗透排列和组合的数学思想方法时，实验教材先在二年级上册教材中，安排学生初步接触一点排列与组合知识，让学生通过观察、猜测以及实验的方法可以找出最简单的事物的排列数和组合数。如用两个数字卡片组成两位数的排列数，三个小朋友两两握手的组合数等。而在三年级上册教材中又继续学习排列与组合的内容。但目标定位为在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。如两件上装和三件下装有多少种不同的搭配等数学问题。与二年级上册教材相比，三年级教材的内容则更加系统和全面分别介绍排列以及组合。同样的安排也出现在“找规律”这一内容上。其次综观整个十二册教材中的“数学广角”，从简单的分类思想到较为抽象的运筹思想、对策论以及最后一册更为复杂的抽屉原理，无不体现了思维层次是从低到高，从具体到抽象，逐级递进、螺旋上升，向学生逐步渗透这些数学思想方法，以符合数学认知规律。
3、品读“数学广角”学习的素材。
“数学广角”在学习素材的设计上也能体现《数学课程标准》的理念，力求通过解决学生容易接受的且熟悉的生活问题的形式，为学生提供感受数学思想方法的素材和空间。
如，通过大家天天要穿的上衣和下装的搭配问题来渗透排列与组合思想；通过学校常见的参加兴趣小组的统计来渗透集合思想；通过家里来客人了沏茶来渗透最优化思想；通过植树、邮政编码来渗透植树问题及编码思想等等。无论是这些例题的情境还是习题中的素材选择无一不是学生熟悉的生活素材，这样的生活问题解决不但能激起学生探索知识的兴趣，更感受到数学思想方法的奥妙以及数学思想方法与实际生活的密切联系。
二、教学“数学广角”的有效策略
怎样让每一位学生能体验 “数学思想方法”呢？这是每一位数学教师在教学“数学广角”时都应该思考的问题。这几年笔者也听了不少数学广角的公开课，也尝试去教学过每一册中的“数学广角”。从这些课中能体会到要真正发挥“数学广角”渗透数学思想方法的作用，我们每一位数学教师需要做到以下四条策略。
策略一：要提升数学教师自身的数学素养。
有人说，要给学生一杯水，教师必须有一桶水。有人说，要给学生一杯水，教师必须有长流不息的小溪水。做一名有较高数学素养的教师，是时代的要求，也是促进每一个学生发展的迫切需求。因此要
想能通过有效的教学“数学广角” ，把这些数学思想方法渗透好，首先数学教师就应掌握这些基本的数学思想方法。数学，绝不是解决几个数学问题。数学教学，也不是仅仅教学生学会解题。数学教学的价值体现在对人的思维能力的发展上，也即体现在分析和解决问题的思想方法上。教师只有掌握了一定的数学思想方法，在教学中才能游刃有余，否则就会导致教学活动停留在表面而缺乏数学思想方法的渗透和体现。
策略二：要准确定位教学目标和要求。
“数学广角”是人教版教材中的一个亮点，也是一种新的尝试。因此它的教学目标的定位上与我们的数学常规课和数学实践活动有所不同，它更重视通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，感受数学思想方法的奇妙与作用，学会运用数学思想方法解决问题的策略、方法。所以在教学“数学广角”时，我们老师应该准确定位教学目标和要求，切不可走入下面两种误区。
误区一：一味地提高要求，不小心把“数学广角”上成奥数培训课，特别是有些公开课时，上课老师一味追求教学深度，却让不少学生“淹死”其中。
例如有一位教师在教学二年级上册的“简单的排列和组合”时为体现创新和与众不同，在教学中出现的例题和习题大部分却是三年级上册的内容。但实际上如笔者前面教材分析中所说：二年级与三年级的“简单的排列和组合”虽然属同一块内容，但两者的教学要求是不同的，虽可以适当调整一点，但却不能拔苗助长。
而事实上实验教材每一册教师用书中对“数学广角”的教学建议中都提到适当把握教学要求。如：四年级下册的“数学广角”教学建议是：本单元就是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用，教学时，应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程，逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。但是，也要注意不要对例题进行过多的变式、提高问题的难度，造成教学要求过高。所以认真研读体会这些教学建议对我们正确定位“数学广角”的目标很有帮助。
误区二：一味地追求解决问题的结果，甚至一节课下来只停留在直观的实验操作，而忽视了从直观上升上抽象的过程，从而也就忽视了数学思想方法的感悟，出现了目标定位偏低。例如教学搭配问题，有的老师出示的内容（如两件上衣和两件下装有几种搭配）都是让学生画一画来解答，从课的开始到课的结束，解决问题的策略都是停留在直观状态。这样做，只有直观，没有抽象，就缺少数学思想方法的渗透。
其次在教学目标的定位上还要体现以学生为本的层次性。学生学习起点的不同要求我们在教学中就不能同等相待。例如在教学三年级上册稍复杂的排列组合的例1时，有的学生一看就明白两件上衣搭配三件下装有6种不同的搭配方法，可有的学生却一脸茫然，这时，教师就要分解知识技能目标，对学习能力较差的学生可以让他们摆一摆图片，在摆中数出方法，对学习能力一般的学生让他们连一连，能力较强的学生启发他们算一算，这样，我们教师就可较好的处理面向全体与关注差异的关系，确保每个学生都有所收获。
策略三：体验感悟，经历抽象。
数学思想方法其特点是呈隐蔽形式，它比数学知识更抽象。而“数学广角”的内容都是把这些抽象的数学思想方法以学生可以理解的直观形式，采用生动有趣的事例呈现出来。所以“数学广角”的教学难点在于如何让学生从直观的解决问题去感悟其中抽象的数学思想方法。解决这个难点的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验；没有了体验，那数学思想方法的渗透只能是一句空话。因此在课堂上必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用。在动脑、动手、动口的过程中领悟体验数学思想方法的形成，揭示其中隐含的数学思想方法，并逐步掌握运用。
如笔者听过的关于三年级搭配问题的不同教学：
教师A 先出示内容：两件上衣和两件下装有几种搭配方法？然后引导学生通过画一画，得出是4种方法。接着再引导学生通过画一画来讨论三件上衣和两件下装的搭配方法。学生通过画一画得出有6种方法后，教师马上问：从刚才的过程中你能发现什么，能说说有什么计算方法吗？这时大部分学生都不知所措，只有一两个学生举手，其中一个学生回答：就是把两种乘起来。教师A ：你回答的真棒！（教师总结后）那么现在我们就用这个方法来算一算4件上衣和3件下装有多少种搭配方法……
而教师B 先让学生体验积累，设计了三个环节。
环节一、两件上衣和两件下装有几种搭配方法？
第一步：摆一摆或画一画 第二步：画图示
第三步：列式：2×2=4 讨论：为什么2×2？引导得出：每件上衣和2件下装有2种搭配方法，2件上衣就有2个2种，所以是2×2。
环节二、三件上衣和两件下装有几种搭配方法？
第一步：摆一摆或画一画 第二步：画图示
第三步：列式：2×3=6 讨论：为什么2×3？引导得出：每件上衣和2件下装有2种搭配方法，3件上衣就有3个2种，所以是2×3。
环节三、三件上衣和三件下装有几种搭配方法？
第一步：摆一摆或画一画 第二步：画图示
第三步：列式：3×3=9 讨论：为什么3×3？引导得出：每件上衣和3件下装有3种搭配方法，3件上衣就有3个3种，所以是3×3。
再让学生猜想验证：通过三次举例探索，让学生发现规律，提出猜想。然后试一试4件上次和3件下装有多少种搭配方法？尝试时让学生先想怎么计算，再列式计算，然后画图验证。最后教师B 问：你能说说搭配问题应该如何计算吗？大部分学生此时都水到渠成地概括出了计算方法。
显然两位教师对于同一个教学环节有着不同的教学设计。在教师A 的设计中学生最后机械地照搬刚才得出的方法进行练习，在一次一次重复练习中慢慢地终于学会了本节课的内容。虽然这位老师也注重了从直观到抽象的提升，但显然学生没有感悟没有理解，只是在模仿中学习，缺乏学习主动性。从直观到抽象太急，缺少了理解抽象的过程，学生的体验和感悟不够。而教师B 则从摆具体的东西或画事物图到用符号表示示意图，再到列式计算并思考为什么这样计算，不断的引导学生主动参与，积极体验知识的形成，让学生经历抽象的过程。虽然没有出现乘法原理，组合都词语，但却让学生感悟到了这些数学思想方法的奥妙之处。
又如我在教学五年级的数字编码时，先出现生活中常见的电话号码，门牌号，大桥上的限速标志等图片，让学生体验数字不仅可以表示为数量，还可以组成编码来表达信息。接着让学生简单的来讨论一下刘翔的运动员编号“043”，先让学生猜这个编码告诉你的信息，在学生的猜想和讨论中感悟出数字组成编码时0可以在第一位，3位数的编码可能是运动员的总人数在100至999之间，所以只要用三位编码就行等一些简单的编码思想。最后引导学生来体验身份证号的编码特点。在教学过程中我先让学生通过搜集家庭成员的身份证号和有关身份证号的资料初步体验，在课堂上同组交流体验，然后选择一家三口的身份证号让学生分别找出爸爸、妈妈、学生的号码并说说理由，深入体验感悟到身份证号的一些编码方法及特点。然后再让学生介绍一下身份证号其它编码的一些信息。在学生不断地自我探索中体验到这小小的18个数字能表达一个人这么多的信息。学生在活动中思考、观察、推理，教师恰当地点拨、引导，让学生充分感悟出编码的方法及给我们带来的便利，初步形成数字编码的经验。
因此在教学“数学广角”时我们要避免只有直观，没有抽象或者在直观和抽象之间没有阶梯、没有过渡，缺少递进的过程。而应该引导学生主动参与，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动来体验感悟，达到从直观的问题解决渗透入抽象的数学思想方法。
策略四：培养学生的主动应用意识。
从数学思想方法的特点和形成过程来说，对学生数学思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。而这一过程，需要教师做一
个“过程”的加强者，不断用数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的反思、不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后能主动应用。因此在教学“数学广角”时，不管在课堂上还是课外都应该注意培养学生应用数学思想方法解决问题的策略，更应该在问题解决之后进行“反思”，在此过程中体会数学思想方法的应用价值。
如四年级下册中在让学生感受了植树问题的解决策略后，可设计由植树问题变式的问题，如装路灯问题、上楼梯问题、锯木头问题、排队问题等，让学生进一步运用“化归思想”迁移解决类似植树问题，在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法。
又如在让学生从身份证号中感悟了数字编码的思想后，又用课件展示一组生活中常见的邮编、房牌号、公交站牌、车牌号、银联卡、积分卡等编码，在具体的情境中用编码的思想去解读这些信息，引导反思这些编码的特点，体会在生活各个方面中编码思想的应用价值。还设计了“给自己编个性学号”，“给宾馆房间编号”，“巧用身份证号破案”等情境来动手设计编码，在反复实践应用中感受数字编码的思想方法和实践应用价值，以及以后遇到类似问题能主动应用编码思想的意识。
总之，在小学数学教学中渗透数学思想方法对我们来说还是一个有挑战性的课题，而“数学广角”给了我们新的途径、新的起点，有待于在实践中进一步探索。
加强思想方法渗透，促进数学素养提升——“数学广角”教学的若干思考
杨健辉莫泳湘
“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学
生可以理解地简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来”是人教版课标实验教材
总体设想之一，因此在人教版实验教材中，以单元“数学广角”为呈现形式，较
为集中地安排了训练数学思维的教学内容，从而加大渗透数学思想方法的力度。
如何把握数学广角所呈现的全新教学内容的教学目标、教学方法？这既是
对数学教育研究者的挑战，也是摆在数学教育工作者面前急需要解决的问题。本
文试从数学思想方法的渗透、数学素养的提升的角度，提出了对人教版小学数学
教材中“数学广角”的教学的一些思考。
一、数学思想方法与数学广角
素质教育的主要任务不仅是发展学生的智力，培养学生的能力，还要培养
非智力因素和辩证唯物主义等思想，从根本上讲就是要全面提高学生的“数学素
养”，培养学生创新意识。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成“数学
素养”，树立创新意识的关键，美国心理学家布鲁纳指出，掌握基本数学思想方
法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”，使学生终生受益。
《数学课程标准》（试验稿）提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法”，“学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法，应该是数学课程的一个重要目的”。在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。在数学课堂的教学中，教师应把数学思想和方法对学生的渗透和培养当作极其重要的任务来看待。
那什么是数学思想方法？所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。数学思想方法蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。数学思想方法大体上可分为三种类型：第一类是宏观型思想方法，包括抽象概括、化归方法、数学模型、数形结合方法、归纳猜想等；第二类是逻辑型思想方法，包括演绎法、分类方法、完全归纳法、不完全归纳法、观察法、类比法等；第三类是操作技巧型思想方法，包括比较法、公式法、特殊化方法、坐标法等方法。
数学的思想方法是数学的精髓，在初中数学新大纲中已把它列入基础知识的范畴，因此在小学数学教学中适当渗透一些数学思想方法，对于开发学生智力，培养良好的思维品质以及加强中小学数学教学的衔接都是十分有益的。因此我们要有加强数学思想方法教学的意识，并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透。
从数学教材的构成体系来看，所涉及的数学知识点汇成了小学数学结构系统的两条“主线”，一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明线”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗线”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，使教学见效快，收益大。
实验教材中不但加大渗透数学思想方法的力度，还以新增设的单元“数学广角”为呈现形式，以将接近总内容的1/5的篇幅，较为集中地安排了训练数学思维的教学内容，试图在渗透数学思想方法方面做一些努力和探索，把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜测等直观手段解决这些问题，重在向学生渗透数学思想方法，促进学生的数学素养的提升。
可见，“数学广角”作为人教版课标实验教材的一个亮点，也是一种新的尝试，“数学广角”安排的是一些探索纯数学问题的内容，主要是向学生渗透一些重要的数学思想方法，把数学思想方法以解决学生容易接受的生活问题的形式，通过实验、观察、操作、推理等数学活动进行渗透，让学生在活动中感悟，感受数学思想方法的魅力，感受数学与生活的联系，在进一步激发学生探索数学问题的兴趣和发现、欣赏数学美的意识的同时，进一步提高学生的思维能力，激发解决问题的意识，提高解决问题的策略，从而促进数学素养的提升。
二、“数学广角”的教学安排
《数学课程标准》中指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。”人教版教材在“数学广角”内容的安排上也注意体现这一要求（见下表），有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力。
册数单元数内 容
一(下) 第八单元找规律
二(上) 第八单元简单的排列组合逻辑推理
二(下) 第九单元找规律
三(上) 第九单元排列组合
三(下) 第九单元重叠问题等量代换
四(上) 第七单元运筹学
四(下) 第八单元植树问题
五(上) 第七单元编码问题
五(下) 第七单元找次品
六(上) 第七单元鸡兔同笼问题
六(下) 第五单元抽屉原理
围绕学段目标，“数学广角”在内容安排上，第一学段出现了简单的排列组合、简单的推理、集合思想、等量代换等内容，让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识，同时培养他们探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识，进而达到《数学课程标准》第一学段的要求：使学生“在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考”；而在第二学段渗透了优化思想、对策论、解决由植树引发出来的问题、数字编码思想、假设法等数学思想方法，一方面继续让学生初步感受数学思想方法，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识，另一方面加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐步提高数学思维能力和解决问题的能力。
内容的选择注意贯彻《数学课程标准》的精神，联系日常生活中的一些简单事例，激发学生学习的兴趣，为学生提供积极思考与合作交流的空间。例如，通过观察生活中，家庭和一些公共场所如商场、宾馆的室内装修有很多美丽的有规律的图案。让学生发现生活中确实存在着写有规律排列的现象，从而激发学生的学习兴趣；又如提供用两个数字卡片组成多少个不同的两位数、三个小朋友两两握手等数学操作、观察、猜测、合作等活动去发现问题、探究规律。
内容的设计有一定的弹性与开放性，如安排了星号题和思考题，供学有余
力的学生选做，也给与教师更大的空间，根据学生的实际情况进行资源的开发、教材的再利用。在数学教育中, 加强数学思想和数学方法的渗透不只是单纯的思维活动, 它本身就蕴涵了情感素养的熏染。因此，内容设计上应高度重视培养学生良好的情感与态度，包括能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。创设的数学活动一方面能让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；另一方面让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯；还让学生在学习知识的过程中，学会合作学习，培养探究与创造精神，形成正确的人格意识。
三、“数学广角”的教学研究
如何把握“数学广角”所呈现的全新教学内容的教学目标、教学方法？这是摆在数学教育工作者面前急需要解决的问题。纵观数学教师在“数学广角”教学上，主要存在以下几个误区：（1）数学教师的数学素养滞后，导致教学活动缺乏数学思想方法的浸透和体现；（2）忽视或压缩教学过程，一味关注知识的结论，对于学生的要求是能领会多少算多少，教学随意性大；（3）要求过高，把这部分内容作为奥数学习的要求，导致教与学的畏难情绪。
要真正发挥“数学广角”渗透数学思想方法的作用，我们广大小学数学教师首先要进一步更新观念，深入钻研教材，提高渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复性，有意点拨，要以适应小学生年龄特点的大众化、生活化方式呈现教学内容，让学生通过现实活动，学会用数学思维方法提出问题、分析问题、解决问题；其次也要加强学习，促进自身数学素养的不断提升，从而让学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。
1．准确把握要求
“数学广角”教学不等同于数学实践活动，也不等同于数学常规课，它更重视通过活动，让学生感受数学的思想方法、学会运用数学的思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。
因此，要有“度”地把握好教学目标。“数学广角”是作为教材面向全体学生渗透数学思想方法的举措，意图是让每一个学生受到数学思维训练的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。因此，要防止把“数学广角”当作奥数培训课进行“英才”教育，它需要更多地、有计划地创设实践活动，让全体学生去观察、研究、尝试，重在活动中的感性积累、方法的感悟。
如：教材在三年级下册的“数学广角”单元中，安排了简单的集合思想和等量代换思想的教学。集合思想是数学中最基本的思想，等量代换是代数思想方法的基础。集合和等量代换的理论都是比较系统、抽象的数学思想方法，在这里，只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这两种思想方法，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了，教学时老师不要使用集合、集合的元素、基数、交集、并集、等量代换等数学化的语言进行描述。
又如：数字编码是一种抽象的数学思想方法，在这里只是让学生通过日常生活中的一些实例，初步体会数字编码在解决实际问题中的应用，并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，学会运用数进行编码，初步培养学生的抽象、概括能力。学生只要能从邮政编码、身份证号码等具体实例中初步了解蕴含其中的一些简单信息和编码的含义，探索出数字编码的简单方法，并能在实践活动中加以应用就可以了，并不要求学生掌握编码中每个数字的信息和含义。另外学生在实践中可以有不同的编码方法，教师要允许学生采用不同的形式，并且要放手让学生亲身去体会、经历运用所学知识解决实际问题的过程，培养学生的探索精神和实践能力。教师只是在必要时给以一定的点拨、引导。
2．重在体验感悟
由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制，数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在领会应用。离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。可见在我们的教学活动过程中，学生的参与非常重要，没有参与就不可能对数学知识、数学思想产生体验；没有了体验，那数学思想只能是一种空话。所以在教学过程中，我们应该创设能够吸引学生参与到数学教学过程中的来的各种情境，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程来，在这样的气氛下，我们的老师即可以启发引导，让学生根据自己的体验，然后逐步领悟，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。
不少教师在“数学广角”的教学中很容易顾此失彼，或重视了情境的创设，忽视了数学思想方法的挖掘；或关注了规律、方法的总结，而忽略了让出更多的空间给学生进行感悟内化。笔者认为，数学思想是我们进行“数学广角”教学设计的指导思想，有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。设计时可从三个层次考虑：宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到数学活动过程中去并获得发展。它不能只是数学认识过程中的“还原”，还要有数学思想的飞跃和创造。
例如：根据“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略”的目标，如何让学生学会寻找解决问题的策略？教材在四年级上册“数学广角”中就安排了渗透优化思想的内容，关键是让学生理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。其中例1通过讨论烙饼时怎样操作最省时间，让学生初步感受从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的运用。
教师可通过创设小组的探究活动，引导学生对比，感悟优化的思想。先从易到难，引导学生研究烙的饼数是双数的情况，初步感受解决问题过程中的策略选择的方法，接着研究烙的饼数是单数的情况，这时引导学生进行首次对比：为什么烙两个饼要用2分钟，烙一个饼也要用2分钟？让学生明确一个饼要烙两面，一个饼的两面不可能同时放在一个平面（铁锅）上。然后3块饼可放多点时间给同学操作常识、交流、进行不同方法的对比、碰撞，感悟优化思想。而5、7块饼则可以让学生进行方法的迁移类推，让学生在活动中感悟到双数块饼时，因为双数都可以分成若干个2，所以可在两块饼的时间上翻倍计算，而当饼数是单数时，
由于3以上的单数都可以分成1个3和若干个2，所以在烙3块饼的时间上加上烙若干个两块饼的时间即可。通过小组合作、操作尝试，让学生在活动中思考、观察、推理、迁移，教师恰当地点拨、引导，让学生充分感悟，形成经验。
3．注意及时点拨
随着运用同一种数学思想方法解决不同数学问题的机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索，直至产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被应用的多次的思想方法就会凸现出来，在这时候“正面突破”就是水到渠成。所谓正面突破就是正面地、直截了当地介绍和点明某种思想方法，要求学生初步掌握该方法解决问题的要领。 如：四年级下册的植树问题，教师通过教学两到三个相关问题后，可点明主题“今天研究的就是由植树的问题引发出来的数学问题，在整理这类问题的本质特征后再进行相关问题的延伸、转化。”通过教师的及时点拨，学生在不知不觉中感受到归纳法、化归法等数学思想方法。
4．循序渐进训练
一种思想的形成要比一个知识点获得来得困难得多。一般情况下，我们学生数学思想的形成要经历三个阶段：第一阶段模仿形成阶段，这一过程主要在数学知识的学习、获得基础上开始的，但这时的学生一般只留意数学知识，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和策略，即使有所觉察，也是处于“朦朦胧胧”、“似有所悟”的境界；第二阶段初步应用阶段，随着渗透的不断重复与加强，学生对数学思想的认识开始走向明朗，开始意识在理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结了；第三阶段自觉应用阶段，这是学生数学思想的成熟阶段，到了这时学生能根据具体的数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决了。
从学生的数学思想形成过程，我们不难发现学生的数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程，逐步积累而形成的。这一个过程中是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。在过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。
为此，在教学中首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。因此，教师要注意围绕主题循序渐进地进行联系设计，例如学生在初步感受植树问题的解决策略后，可设计由植树问题变式的问题，如上楼梯问题、挂灯笼问题、排队问题等，让学生进一步运用化归数学思想迁移解决问题。
让我们携起手来，充分发挥“数学广角”的平台作用，为加强数学思想方法渗透、促进数学素养提升而努力吧。
（作者单位广州市教育局教研室 白云区广园小学） 选自《广州教学研究》总第402期