图形折叠问题的探究
已知矩形纸片ABCD ，AB ＝2，AD ＝1将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合. （1）如果折痕FG 分别与AD ，AB 交于点F ，G （如图（1），）AF ＝23. 求DE 的长. （2）如果折痕FG 分别与CD ，AB 交于点F ，G （如图（2），），△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长.
（2012•南宁）如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，
AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重
合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与
FG 交于点O ．
（1）如图1，求证：A ，G ，E ，F 四点围成的四边形
是菱形；
（2）如图2，当△AED 的外接圆与BC 相切于点N
时，求证：点N 是线段BC 的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG 的长．
本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．
变式：已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点（与点A 、B 不重合）
（1）如图①，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在AD 上取一点F ，将△PAF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得射线PE 、PG 重合，试问FG 与CE 的位置关系如何，请说明理由；
（2）在（1）中，如图②，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你探索线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由；
（3）如图③，分别在AD 、BC 上取点F 、C ’，使得∠APF=∠BPC ’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF 沿PF 翻折得到△PFG ，并将△CPB ′沿CP ′翻折得到△CPE ′，连接CF ′，取CF ′的中点H ，连接GH 、EH ，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
例4. （1）观察与发现： 小明将三角形纸片ABC （AB >AC）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE
上的点D ′处，折痕为EG （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
如图, 矩形纸片ABCD 中,AD=9,AB=3,将其折叠, 使点D 与点B 重合, 折痕为EF, 则EF 的长为
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿着直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与
AE
重合，则
CD 的长为 cm ．
（2008•荆门）如图，矩形纸片ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．
例6. 如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．2 B ．4 C ．8
D ．10
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理
分析：先根据矩形的特点求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．
点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
如图，矩形纸片ABCD 中，AB=18cm，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E
处，AE 交DC 于点F ，若AF=13，则AD 的长为（ ）
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质
分析：根据折叠前后角相等可证AF=FC，在直角三角形ADF 中，运用勾股定理求解
解答：解：根据折叠前后角相等可知△ADF ≌△CEF ，
设DA=x，又AF=13，DF=18-13=5，
在直角三角形ADF 中，x 2+52=132，
解之得，x=12cm．
故选D
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为10，?B 和?C 都为锐角，M 为AB 上的一动点(M与
A 、B 不重合) ，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，设MN=x. (1)用x 表示△AMN 的面积SΔAMN。 (2)ΔAMN沿MN 折叠，设点A 关于ΔAMN对称的点为A1，ΔA1MN与四边形BCMN 重叠部分的面积为y. ①试求出
y 与x 的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少？
（2010•荆门）将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF
，再次展平后连接DE 、DF ，如图2，证明：四边形AEDF 是菱形．
2
，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
…
四．折叠后得图形
例9. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ） A ．矩形 B ．三角形 C ．梯形 D ．菱形
例10. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）． 请解答以下问题： （1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论； （2）在图2中，若AB=a，BC=b，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？ （3）设矩形ABCD 的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM ′为y=kx，当∠M ′BC=60°时，求k 的值．此时，将△ABM ′沿BM ′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点），为什么？
例11. 如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ） 例12. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.
五．折叠后得结论
六．折叠和剪切的应用
例15. 在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形. 李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
七．以折叠为背景的存在性问题
例16. 已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O 、A 不重合），现将△POC 沿PC 翻折 得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得 直线PE 、PF 重合． （1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三
点的抛物线上是否存在点Q 使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标
八．以折叠为背景的探索题
例17. 已知：矩形纸片ABCD 中，AB ＝26cm ，BC ＝18.5cm ，点E 在AD 上，且AE ＝6cm ，点P 是AB 边上一动点，按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图（1）所示）； 步骤二，过点P 作PT ⊥AB 交MN 所在的直线于点Q ，连结QE （如图（2）所示）； （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“＞”、“=”、“＜”号 ） （2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点Q1， Q1点的坐标是（ ， ）； ②当PA ＝6cm 时，PT 与MN 交于点Q2，Q2点的坐标是（ ， ）； ③当PA ＝12cm 时，在图（3）中画出MN ，PT （不要求写画法）并求出MN 与PT 的交点Q3的坐标； （3）点P 在在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点Q1，Q2，Q3„观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式
图形折叠问题的探究
已知矩形纸片ABCD ，AB ＝2，AD ＝1将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合. （1）如果折痕FG 分别与AD ，AB 交于点F ，G （如图（1），）AF ＝23. 求DE 的长. （2）如果折痕FG 分别与CD ，AB 交于点F ，G （如图（2），），△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长.
（2012•南宁）如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，
AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重
合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与
FG 交于点O ．
（1）如图1，求证：A ，G ，E ，F 四点围成的四边形
是菱形；
（2）如图2，当△AED 的外接圆与BC 相切于点N
时，求证：点N 是线段BC 的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG 的长．
本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．
变式：已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点（与点A 、B 不重合）
（1）如图①，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在AD 上取一点F ，将△PAF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得射线PE 、PG 重合，试问FG 与CE 的位置关系如何，请说明理由；
（2）在（1）中，如图②，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你探索线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由；
（3）如图③，分别在AD 、BC 上取点F 、C ’，使得∠APF=∠BPC ’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF 沿PF 翻折得到△PFG ，并将△CPB ′沿CP ′翻折得到△CPE ′，连接CF ′，取CF ′的中点H ，连接GH 、EH ，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
例4. （1）观察与发现： 小明将三角形纸片ABC （AB >AC）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE
上的点D ′处，折痕为EG （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
如图, 矩形纸片ABCD 中,AD=9,AB=3,将其折叠, 使点D 与点B 重合, 折痕为EF, 则EF 的长为
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿着直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与
AE
重合，则
CD 的长为 cm ．
（2008•荆门）如图，矩形纸片ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．
例6. 如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．2 B ．4 C ．8
D ．10
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理
分析：先根据矩形的特点求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．
点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
如图，矩形纸片ABCD 中，AB=18cm，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E
处，AE 交DC 于点F ，若AF=13，则AD 的长为（ ）
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质
分析：根据折叠前后角相等可证AF=FC，在直角三角形ADF 中，运用勾股定理求解
解答：解：根据折叠前后角相等可知△ADF ≌△CEF ，
设DA=x，又AF=13，DF=18-13=5，
在直角三角形ADF 中，x 2+52=132，
解之得，x=12cm．
故选D
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为10，?B 和?C 都为锐角，M 为AB 上的一动点(M与
A 、B 不重合) ，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，设MN=x. (1)用x 表示△AMN 的面积SΔAMN。 (2)ΔAMN沿MN 折叠，设点A 关于ΔAMN对称的点为A1，ΔA1MN与四边形BCMN 重叠部分的面积为y. ①试求出
y 与x 的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少？
（2010•荆门）将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF
，再次展平后连接DE 、DF ，如图2，证明：四边形AEDF 是菱形．
2
，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
…
四．折叠后得图形
例9. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ） A ．矩形 B ．三角形 C ．梯形 D ．菱形
例10. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）． 请解答以下问题： （1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论； （2）在图2中，若AB=a，BC=b，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？ （3）设矩形ABCD 的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM ′为y=kx，当∠M ′BC=60°时，求k 的值．此时，将△ABM ′沿BM ′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点），为什么？
例11. 如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ） 例12. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.
五．折叠后得结论
六．折叠和剪切的应用
例15. 在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形. 李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
七．以折叠为背景的存在性问题
例16. 已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O 、A 不重合），现将△POC 沿PC 翻折 得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得 直线PE 、PF 重合． （1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三
点的抛物线上是否存在点Q 使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标
八．以折叠为背景的探索题
例17. 已知：矩形纸片ABCD 中，AB ＝26cm ，BC ＝18.5cm ，点E 在AD 上，且AE ＝6cm ，点P 是AB 边上一动点，按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图（1）所示）； 步骤二，过点P 作PT ⊥AB 交MN 所在的直线于点Q ，连结QE （如图（2）所示）； （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“＞”、“=”、“＜”号 ） （2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点Q1， Q1点的坐标是（ ， ）； ②当PA ＝6cm 时，PT 与MN 交于点Q2，Q2点的坐标是（ ， ）； ③当PA ＝12cm 时，在图（3）中画出MN ，PT （不要求写画法）并求出MN 与PT 的交点Q3的坐标； （3）点P 在在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点Q1，Q2，Q3„观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式