第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动 一 、 斯托克斯定律
§1-5 斯托克斯定律及其应用
由于液体具有粘滞性，因此物体在液体中运动会受到 粘滞阻力。实验表明物体在实际流体中运动，若速度 较小，所受粘滞阻力的大小与物体的形状大小、速度 和流体的粘滞系数等有关。对半径为r的小球体，在 粘滞系数为η的流体中以速度v运动时受到的粘滞阻 力为 f=6πηrv 1-19 应用：斯托克斯公式可用来测定液体的粘滞系数及微 小颗粒的半径。 条件：球体很小，运动缓慢（Re
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
二 、小球在粘滞流体中的沉降 如让一微小球体在粘滞流体中自由 下沉，小球受到三个力的作用：重 力G，浮力F和粘滞阻力f。其中重 力的方向是竖直向下，浮力和粘滞 阻力的方向均为竖直向上。开始 时，小球加速竖直下沉，随着速度 的增加，它受到的粘滞阻力也会增 大。
浮力F 粘滞阻力f
重力G
当小球的速度增大到某量值时，粘滞阻力增大到与浮 力之和等于重力，即G=F+f，此时小球将保持这一速 度匀速下沉，这个速度叫做终极速度,或沉积速度Vt。
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
如以ρ，ρ’分别表示小球和流体的密度，由斯托克斯公 式和阿基米德定律，平衡时小球受到的三个力之间的关系 G=F+f， 可以写成
4 3 4 3 πr ρg = πr ρ ' g + 6πηrvt 3 3 2( ρ − ρ / ) gr 2 η= 由此得到
9vt
（1-20）
通过对vt、r、ρ、ρ/各量的测量，就可以算出粘滞流体 的粘滞系数η。若已知粘滞系数η，根据（1-20）则可测 出小球体的半径。1911年，著名的密里根油滴实验就是用 这一公式测出了油滴的半径，从而求出电子的电荷。这种 方法还可用来做土壤的颗粒分析。
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§1-5 斯托克斯定律及其应用
密立根
Millikan,RobertAndrews（1868～1953 年）美国物理学家。1910～1917年，应用 带电油滴在电场和重力场中运动的方法， 精确测定单个电子的荷电量，从而确定了 电荷的不连续性这就是著名的密立根油滴 实验。1916年曾验证爱因斯坦的光电效应 公式，并测定普朗克常数。在宇宙射线方 面也做了一些工作。
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
粘滞流体的粘滞系数η 用途 小球体的半径 土壤的颗粒分析
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
三、沉降分离与离心分离 沉降分离：利用在重力作用下沉降使物分离的方法 用于土壤、细胞、生物溶液等。 根据（1-20）式可求得终极速度
2( ρ − ρ / ) gr 2 vt = 9η
（1-22）
由（1.22）式知，当ρ=ρ/时，颗
粒处于平衡状态，不 能分离；当ρρ/时，颗粒 沉降，且ρ与ρ/差值越大，沉积速度vt越大。同时， 颗粒越大，沉积速度也越大，沉降越快；而当颗粒很小 时，沉积速度很小，沉降很困难，这时则需采用高速离 心的方法使物质分离。
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
离心分离可以提纯线粒体、染色体、溶酶体以及一些病 毒等亚细胞物质，还可以用超速离心法分离脱氧核糖核酸 等生物大分子。离心分离法已成为生物科学研究的重要手 段。
离心分离：利用高速离心的方法使物质分离的方法
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§1-5 斯托克斯定律及其应用
图1—14是离心机的原理图，图中O为转轴，B、C为离心 池。当离心机高速旋转时离心池呈水平状态，离心加速度 大于重力加速度，因此重力加速度略去不计。设颗粒距转 轴的距离为x，离心机旋转角速度为ω，则颗粒的离心加速 度为ω2x，仿照（1-22）式， B O C 离心沉降速度为 ω 2( ρ − ρ / ) 2 2 2 vt = (ω x) r = Sω x （1-23） 9η A 加快离心机的转数，可以使离心 2 加速度 ω x 是重力加速度g的几 十万倍，这时重力的作用完全可 以忽略。
O x
粒子
C
ω
图1—14离心机原理图
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（1-23）式表明，沉积速度与离心加速度成正比。式中
2( ρ − ρ / ) 2 S= r 9η
称为沉降系数，它表示单位离心加速度引起的沉积速 度。沉降系数的单位为秒，由于一般蛋白质的沉降系数 的数量级为10-13秒，所以取10-13秒作为沉降系数的单 位，称作斯威德伯（Svedberg），用S表示。在溶剂一 定时，沉降系数只与溶质颗粒有关，而与离心机无关。
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§1-5 斯托克斯定律及其应用
例1.6 在进行土壤颗粒分析时，已知土壤颗粒在水中匀速 下沉的距离s=0.150m，所用的沉降时间t=67s，在200C时 土壤颗粒的密度ρ=2.65×103kg·m-3，水的密度 ρ=9.982×102kg·m-3，水的粘滞系数η=1.005×10-3pa·s。 求土壤颗粒的半径。
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例1.6 在进行土壤颗粒分析时，已知土壤颗粒在水中匀速 下沉的距离s=0.150m，所用的沉降时间t=67s，在200C时 土壤颗粒的密度ρ=2.65×103kg·m-3，水的密度ρ =9.982×102kg·m-3，水的粘滞系数η=1.005×10-3pa·s。 求土壤颗粒的半径。 解：土壤颗粒的半径由公式可得： r = s 式中颗粒的终极速率为 vt = t 代入上式，得
r= 9ηs = / 2( ρ − ρ ) gt
9ηvt 2( ρ − ρ / ) g
9 × 1.005 × 10 −3 × 0.150 2(2.65 − 0.9982) × 10 3 × 9.8 × 67
= 2.5 ×10 −5 (m) = 25( µm)
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由于液体具有粘滞性，因此物体在液体中运动会受到 粘滞阻力。实验表明物体在实际流体中运动，若速度 较小，所受粘滞阻力的大小与物体的形状大小、速度 和流体的粘滞系数等有关。对半径为r的小球体，在 粘滞系数为η的流体中以速度v运动时受到的粘滞阻 力为 f=6πηrv 1-19 应用：斯托克斯公式可用来测定液体的粘滞系数及微 小颗粒的半径。 条件：球体很小，运动缓慢（Re
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二 、小球在粘滞流体中的沉降 如让一微小球体在粘滞流体中自由 下沉，小球受到三个力的作用：重 力G，浮力F和粘滞阻力f。其中重 力的方向是竖直向下，浮力和粘滞 阻力的方向均为竖直向上。开始 时，小球加速竖直下沉，随着速度 的增加，它受到的粘滞阻力也会增 大。
浮力F 粘滞阻力f
重力G
当小球的速度增大到某量值时，粘滞阻力增大到与浮 力之和等于重力，即G=F+f，此时小球将保持这一速 度匀速下沉，这个速度叫做终极速度,或沉积速度Vt。
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如以ρ，ρ’分别表示小球和流体的密度，由斯托克斯公 式和阿基米德定律，平衡时小球受到的三个力之间的关系 G=F+f， 可以写成
4 3 4 3 πr ρg = πr ρ ' g + 6πηrvt 3 3 2( ρ − ρ / ) gr 2 η= 由此得到
9vt
（1-20）
通过对vt、r、ρ、ρ/各量的测量，就可以算出粘滞流体 的粘滞系数η。若已知粘滞系数η，根据（1-20）则可测 出小球体的半径。1911年，著名的密里根油滴实验就是用 这一公式测出了油滴的半径，从而求出电子的电荷。这种 方法还可用来做土壤的颗粒分析。
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密立根
Millikan,RobertAndrews（1868～1953 年）美国物理学家。1910～1917年，应用 带电油滴在电场和重力场中运动的方法， 精确测定单个电子的荷电量，从而确定了 电荷的不连续性这就是著名的密立根油滴 实验。1916年曾验证爱因斯坦的光电效应 公式，并测定普朗克常数。在宇宙射线方 面也做了一些工作。
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粘滞流体的粘滞系数η 用途 小球体的半径 土壤的颗粒分析
第一章 流体的运动
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三、沉降分离与离心分离 沉降分离：利用在重力作用下沉降使物分离的方法 用于土壤、细胞、生物溶液等。 根据（1-20）式可求得终极速度
2( ρ − ρ / ) gr 2 vt = 9η
（1-22）
由（1.22）式知，当ρ=ρ/时，颗
粒处于平衡状态，不 能分离；当ρρ/时，颗粒 沉降，且ρ与ρ/差值越大，沉积速度vt越大。同时， 颗粒越大，沉积速度也越大，沉降越快；而当颗粒很小 时，沉积速度很小，沉降很困难，这时则需采用高速离 心的方法使物质分离。
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
离心分离可以提纯线粒体、染色体、溶酶体以及一些病 毒等亚细胞物质，还可以用超速离心法分离脱氧核糖核酸 等生物大分子。离心分离法已成为生物科学研究的重要手 段。
离心分离：利用高速离心的方法使物质分离的方法
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
图1—14是离心机的原理图，图中O为转轴，B、C为离心 池。当离心机高速旋转时离心池呈水平状态，离心加速度 大于重力加速度，因此重力加速度略去不计。设颗粒距转 轴的距离为x，离心机旋转角速度为ω，则颗粒的离心加速 度为ω2x，仿照（1-22）式， B O C 离心沉降速度为 ω 2( ρ − ρ / ) 2 2 2 vt = (ω x) r = Sω x （1-23） 9η A 加快离心机的转数，可以使离心 2 加速度 ω x 是重力加速度g的几 十万倍，这时重力的作用完全可 以忽略。
O x
粒子
C
ω
图1—14离心机原理图
第一章 流体的运动
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（1-23）式表明，沉积速度与离心加速度成正比。式中
2( ρ − ρ / ) 2 S= r 9η
称为沉降系数，它表示单位离心加速度引起的沉积速 度。沉降系数的单位为秒，由于一般蛋白质的沉降系数 的数量级为10-13秒，所以取10-13秒作为沉降系数的单 位，称作斯威德伯（Svedberg），用S表示。在溶剂一 定时，沉降系数只与溶质颗粒有关，而与离心机无关。
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
例1.6 在进行土壤颗粒分析时，已知土壤颗粒在水中匀速 下沉的距离s=0.150m，所用的沉降时间t=67s，在200C时 土壤颗粒的密度ρ=2.65×103kg·m-3，水的密度 ρ=9.982×102kg·m-3，水的粘滞系数η=1.005×10-3pa·s。 求土壤颗粒的半径。
第一章 流体的运动
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例1.6 在进行土壤颗粒分析时，已知土壤颗粒在水中匀速 下沉的距离s=0.150m，所用的沉降时间t=67s，在200C时 土壤颗粒的密度ρ=2.65×103kg·m-3，水的密度ρ =9.982×102kg·m-3，水的粘滞系数η=1.005×10-3pa·s。 求土壤颗粒的半径。 解：土壤颗粒的半径由公式可得： r = s 式中颗粒的终极速率为 vt = t 代入上式，得
r= 9ηs = / 2( ρ − ρ ) gt
9ηvt 2( ρ − ρ / ) g
9 × 1.005 × 10 −3 × 0.150 2(2.65 − 0.9982) × 10 3 × 9.8 × 67
= 2.5 ×10 −5 (m) = 25( µm)