不等式的性质和证明
1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的依据. 样 由不等式性质定理4的推论2和定理5可得: 如果a 、b ∈ R+, 那么a > b ⇔ a n > b n (n∈N), 在比较分数指数幂或根式的值的大小时常用.
2. 比较法是证明不等式最基本的方法. 比较法的主要步骤是: 作差、变形、判断符号. 变形中常用到因式分解和配方, 其目的是便于判断正负. 比较某些分式、指数式或绝对值等的大小有时用作商比较方便一些.
3. 分析法与综合法是证明命题(包括不等式、恒等式、定理等) 时常用的两种方法, 主要由证明的思路和表述方式来区分.
(1) 分析法是从求证的结论J 出发, 逐步分析能使结论成立的充分条件, 直到所需条件可由题设T 判明正确时, 就可断定原结论正确, 即: J ⇐ …… ⇐ T，∵T 为真，∴J 成立. 用分析法证题时要特别注意不能省略反映逻辑推理过程的连结字或符号. 如果每一步都是使结论成立的充要条件, 就可用符号“⇔”表述(参看教材22页例3).
(2) 综合法是由已知条件T 出发, 利用定义、公理、定理(如基本不等式) 等，推出要证明的结论J ，即：T ⇒ ……… ⇒ J.
(3) 具体证题时常采用“分析法找(思) 路, 综合法表述”的论证方式.
4. 熟记三个重要不等式及其中字母的取值范围, 在证明其它不等式时若能直接引用则可简化论证过程. 特别要重视“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的灵活运用.
5. 同向不等式两边分别相加或相乘是用综合法证明不等式的常用手段, 经常与应用重要不等式结合使用. 注意相乘时需要两边都是正数.
6. 证明不等式的常用技巧有: 变量代换(例如三角代换), 同向放缩等. 7. 证明不等式还可用数学归纳法、反证法等其它方法. 8. 求函数f (x) 的最值的基本步骤是: (1) 论证f (x) ≥ m (或f (x) ≤ m );
(2) 说明当x 取定义域内的某些值时相等能够成立. 9. 第10页例1中的结论是求最值的常用工具:
(1) 如果两个正变量的和为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的积取最大值; (2) 如果两个正变量的积为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的和取最小值.
例1 已知a > b且ab ≠ 0, 比较
1和1的大小. a b
1 - 1 = b -a , 且a > b ⇔ b - a
ab a b
b -a
∴ 当ab > 0时
ab a b
b -a > 0, 1 > 1(也可由a > 0 > b得1 > 0 > 1 ).
当ab
ab a b a b
1111综上所述, 当a > b > 0或b 0且b . a b a b
例2. 已知a ≠ b, a 、b 、m 、n ∈ R+ 且m + n = 1, 试比较ma +nb 与m a + n 的大小.
∵a 、b 、m 、n ∈ R+, ∴ P > 0, Q > 0.
∵m + n = 1, ∴P 2 = ma + nb = (ma + nb)(m + n),
P 2 - Q2 = (ma + nb)(m + n) - (m a + n ) 2 = mn(a - ∵ a ≠ b, ∴P 2 - Q2 > 0, P > Q,
证明 设c = log a (a - 1) - log a+1 a = log a (a - 1) -
=
log a (a -1) log a (a +1) -1
,
log a (a +1)
∵a >2, log a (a + 1) > 0, log a (a - 1) > 0,
log a (a - 1) log a (a + 1) = (log a (a -1) log a (a +1) ) 2
1( log(a - 1) + log(a + 1)))2
a a
2
1log (a2 - 1))2
a a
22
∴ c
也可用作商比较法.
a +b +c ≤
.
例4. 设a 、 b 、c ∈ R+, 且a + b + c = 1, 证明
证明 ∵a 、 b 、c ∈ R+, 且a + b + c = 1,
要证
++c ≤ ,
只需证 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3, 即证 2ab + 2+ 2 ≤ 2(a + b + c),
∴只需证 (a -) 2 + (-) 2 + (c -a ) 2 ≥ 0 ①, ∵不等式①成立, ∴a ++c ≤ 例5. 1. 已知x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, 求 一种是错误的, 为什么?
3.
1 + 1 的最小值. 请指出下面两种解法中哪
y x
解法一 由1 = x + 2y ≥ 22xy 得∴
1 ≥ 2, ∴ 1 + 1 ≥
y x xy 2 ≥ 42,
xy
1 + 1的最小值是42.
y x
1 + 1= (x + 2y)(1 + 1) = 3 + 2y + x ≥
y y y x x x
211 时相等成立, ∴ + 的最
y 2x
解法二 ∵x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, ∴ 3 + 22, 当且仅当
2y x
= 即x =
y x
2 - 1, y = 1 -
小值是3 + 22.
例6. 设lg x + lg y = 1, 求2x + 5y的最小值.
例6. 由题设知x > 0, y > 0且xy = 10, ∴2x + 5y ≥ 2xy = 20, 当且仅当2x = 5y时相等成立, 此时x ∙
2x = 10, x = 5, y = 2. 5
高考题精选
1. （03京春）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A. a +c >b +d B. a －c >b －d C. ac >bd
D.
2. （01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ） A.18 B.6 C.23 D.2 6. （01上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 3. （00全国）若a ＞b ＞1，P ＝
Q ＝a ⋅lg b ，
a b
> d c
a +b 1
lg a ＋lg b ），R ＝lg （），则（ ） 22
A. R ＜P ＜Q B. P ＜Q ＜R
C. Q ＜P ＜R D. P ＜R ＜Q
4. （94上海）若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ） A. （1－a ）＞（1－a ） C. （1－a ）3＞（1＋a ）2
5.(04湖北) 若
④
13
12
B.log 1－a （1＋a ）＞0 D. （1－a ）
(1+a )
＞1
11
C ．3个
D ．4个
（ ）C （ ）B
b a
+>2中，正确的不等式有 a b
B ．2个
A ．1个
6．(05重庆) 若x ，y 是正数，则(x +
A ．3
B ．
7 2
121
) +(y +) 2的最小值是 2y 2x
9
C ．4 D ．
2
7. 设a = sin 15º + cos 15º, b = sin 16º + cos 16º, 下面各式中正确的一个是 ( )
2222
a +b a +b (A) a
1.A ∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d .
3a ⋅3b =23a +b =6，当且仅当a =b =1时取等号. 故3a +3b 的最小值是6.
1
3.B ∵lg a ＞lg b ＞0，∴（lg a ＋lg b ）＞lg a ⋅lg b ，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，
2
a +b a +b 1
>ab ，∴lg()
2.B 3a +3b ≥2
是减函数，则（1－a ）＞（1－a ），故选A.
1. 已知a 、 b 、c 是不全相等的正数, 求证：ab +bc +ca
13
12
4. A. 因为0＜a ＜1，所以0＜1－a ＜1，而指数函数y =m x （m ＞0，m ≠1）在0＜m ＜1时，
ab ≤ a +b ①,
2
≤ b +c ②,
2
≤ c +a ③ .
2
又∵a 、 b 、c 不全相等, ①、②、③中的等号不能同时成立, ∴
ab +bc +ca
不等式的性质和证明
1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的依据. 样 由不等式性质定理4的推论2和定理5可得: 如果a 、b ∈ R+, 那么a > b ⇔ a n > b n (n∈N), 在比较分数指数幂或根式的值的大小时常用.
2. 比较法是证明不等式最基本的方法. 比较法的主要步骤是: 作差、变形、判断符号. 变形中常用到因式分解和配方, 其目的是便于判断正负. 比较某些分式、指数式或绝对值等的大小有时用作商比较方便一些.
3. 分析法与综合法是证明命题(包括不等式、恒等式、定理等) 时常用的两种方法, 主要由证明的思路和表述方式来区分.
(1) 分析法是从求证的结论J 出发, 逐步分析能使结论成立的充分条件, 直到所需条件可由题设T 判明正确时, 就可断定原结论正确, 即: J ⇐ …… ⇐ T，∵T 为真，∴J 成立. 用分析法证题时要特别注意不能省略反映逻辑推理过程的连结字或符号. 如果每一步都是使结论成立的充要条件, 就可用符号“⇔”表述(参看教材22页例3).
(2) 综合法是由已知条件T 出发, 利用定义、公理、定理(如基本不等式) 等，推出要证明的结论J ，即：T ⇒ ……… ⇒ J.
(3) 具体证题时常采用“分析法找(思) 路, 综合法表述”的论证方式.
4. 熟记三个重要不等式及其中字母的取值范围, 在证明其它不等式时若能直接引用则可简化论证过程. 特别要重视“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的灵活运用.
5. 同向不等式两边分别相加或相乘是用综合法证明不等式的常用手段, 经常与应用重要不等式结合使用. 注意相乘时需要两边都是正数.
6. 证明不等式的常用技巧有: 变量代换(例如三角代换), 同向放缩等. 7. 证明不等式还可用数学归纳法、反证法等其它方法. 8. 求函数f (x) 的最值的基本步骤是: (1) 论证f (x) ≥ m (或f (x) ≤ m );
(2) 说明当x 取定义域内的某些值时相等能够成立. 9. 第10页例1中的结论是求最值的常用工具:
(1) 如果两个正变量的和为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的积取最大值; (2) 如果两个正变量的积为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的和取最小值.
例1 已知a > b且ab ≠ 0, 比较
1和1的大小. a b
1 - 1 = b -a , 且a > b ⇔ b - a
ab a b
b -a
∴ 当ab > 0时
ab a b
b -a > 0, 1 > 1(也可由a > 0 > b得1 > 0 > 1 ).
当ab
ab a b a b
1111综上所述, 当a > b > 0或b 0且b . a b a b
例2. 已知a ≠ b, a 、b 、m 、n ∈ R+ 且m + n = 1, 试比较ma +nb 与m a + n 的大小.
∵a 、b 、m 、n ∈ R+, ∴ P > 0, Q > 0.
∵m + n = 1, ∴P 2 = ma + nb = (ma + nb)(m + n),
P 2 - Q2 = (ma + nb)(m + n) - (m a + n ) 2 = mn(a - ∵ a ≠ b, ∴P 2 - Q2 > 0, P > Q,
证明 设c = log a (a - 1) - log a+1 a = log a (a - 1) -
=
log a (a -1) log a (a +1) -1
,
log a (a +1)
∵a >2, log a (a + 1) > 0, log a (a - 1) > 0,
log a (a - 1) log a (a + 1) = (log a (a -1) log a (a +1) ) 2
1( log(a - 1) + log(a + 1)))2
a a
2
1log (a2 - 1))2
a a
22
∴ c
也可用作商比较法.
a +b +c ≤
.
例4. 设a 、 b 、c ∈ R+, 且a + b + c = 1, 证明
证明 ∵a 、 b 、c ∈ R+, 且a + b + c = 1,
要证
++c ≤ ,
只需证 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3, 即证 2ab + 2+ 2 ≤ 2(a + b + c),
∴只需证 (a -) 2 + (-) 2 + (c -a ) 2 ≥ 0 ①, ∵不等式①成立, ∴a ++c ≤ 例5. 1. 已知x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, 求 一种是错误的, 为什么?
3.
1 + 1 的最小值. 请指出下面两种解法中哪
y x
解法一 由1 = x + 2y ≥ 22xy 得∴
1 ≥ 2, ∴ 1 + 1 ≥
y x xy 2 ≥ 42,
xy
1 + 1的最小值是42.
y x
1 + 1= (x + 2y)(1 + 1) = 3 + 2y + x ≥
y y y x x x
211 时相等成立, ∴ + 的最
y 2x
解法二 ∵x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, ∴ 3 + 22, 当且仅当
2y x
= 即x =
y x
2 - 1, y = 1 -
小值是3 + 22.
例6. 设lg x + lg y = 1, 求2x + 5y的最小值.
例6. 由题设知x > 0, y > 0且xy = 10, ∴2x + 5y ≥ 2xy = 20, 当且仅当2x = 5y时相等成立, 此时x ∙
2x = 10, x = 5, y = 2. 5
高考题精选
1. （03京春）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A. a +c >b +d B. a －c >b －d C. ac >bd
D.
2. （01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ） A.18 B.6 C.23 D.2 6. （01上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 3. （00全国）若a ＞b ＞1，P ＝
Q ＝a ⋅lg b ，
a b
> d c
a +b 1
lg a ＋lg b ），R ＝lg （），则（ ） 22
A. R ＜P ＜Q B. P ＜Q ＜R
C. Q ＜P ＜R D. P ＜R ＜Q
4. （94上海）若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ） A. （1－a ）＞（1－a ） C. （1－a ）3＞（1＋a ）2
5.(04湖北) 若
④
13
12
B.log 1－a （1＋a ）＞0 D. （1－a ）
(1+a )
＞1
11
C ．3个
D ．4个
（ ）C （ ）B
b a
+>2中，正确的不等式有 a b
B ．2个
A ．1个
6．(05重庆) 若x ，y 是正数，则(x +
A ．3
B ．
7 2
121
) +(y +) 2的最小值是 2y 2x
9
C ．4 D ．
2
7. 设a = sin 15º + cos 15º, b = sin 16º + cos 16º, 下面各式中正确的一个是 ( )
2222
a +b a +b (A) a
1.A ∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d .
3a ⋅3b =23a +b =6，当且仅当a =b =1时取等号. 故3a +3b 的最小值是6.
1
3.B ∵lg a ＞lg b ＞0，∴（lg a ＋lg b ）＞lg a ⋅lg b ，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，
2
a +b a +b 1
>ab ，∴lg()
2.B 3a +3b ≥2
是减函数，则（1－a ）＞（1－a ），故选A.
1. 已知a 、 b 、c 是不全相等的正数, 求证：ab +bc +ca
13
12
4. A. 因为0＜a ＜1，所以0＜1－a ＜1，而指数函数y =m x （m ＞0，m ≠1）在0＜m ＜1时，
ab ≤ a +b ①,
2
≤ b +c ②,
2
≤ c +a ③ .
2
又∵a 、 b 、c 不全相等, ①、②、③中的等号不能同时成立, ∴
ab +bc +ca