“第1章 解直角三角形”教材分析
锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用．锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础．因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一．
一、教学内容
本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用．
研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想．因此本章还包含了数形结合的思想．
框图说明：
（1）现实生活中的边角之间存在着确定的数量关系，例如当斜面的倾斜角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系．
（2）锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦（sin A ）、余弦（cos A ）和正切（tan A ）三种．
（3）三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30°、45°和60°这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算．
（4）锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形．
二、教学要求
三、各节内容分析
1．1 锐角三角函数
本节有2课时．
第1课时为锐角三角函数的概念，经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程．
1．本节课以两个物体在两个坡角不同的斜面上向上运动为背景引入课题，并配以倾斜角不同的电梯作节前图，教学中教师可以根据学生的实际情况，重新设计学生熟悉的问题情境，如山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境．使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系．
2．“合作学习”中的三个问题是采用由特殊到一般的实验方法探索直角三角形中边角之间的关系，教学中要重视学生在探索过程中的交流．问题1、2分别是将直角三角形的锐角固定，研究当边长变化时，其三边长两两之间的比值分别不变．当学生完成取点、测量和计算比值的操作后，应及时引导学生交流，从交流中发现，其三组比值与在角边上所取点的位置无关，由此体验直角三角形的锐角固定，边长变化时，其三边长两两之间的比值分别不变．同时引导学生比较问题1、2所得出的结论，发现锐角不同，相应的比值不同，即比值
随角度的变化而变化．问题3是将1、2中的问题一般化，教学时应先引导学生根据问题1、2所得出的结论进行猜测，然后用相似三角形加以证明．
3．三角函数的概念比较抽象，教学时应引导学生回顾函数的概念，并比较“合作学习”中所得的结论，感受把三个比值定义为锐角 的函数的合理性，由此突破教学难点．
4．正弦、余弦和正切符号sin A ，cos A 和tan A 的读法和书写教学中都要进行示范．
5．用sin A ，cos A 和tan A 表示直角三角形中两边的比时要引导学生结合图形进行，渗透数形结合，避免死记硬背．
6．通过例1的教学，进一步巩固直角三角形中一锐角的正弦、余弦和正切所对应的两边之比．教学中要注意解题过程的示范，并归纳在直角三角形中求三角函数值时，往往要结合勾股定理的应用．
第2课时为特殊角（30°、45°和60°）的三角函数值．
1．本节课是在上节课已建立三角函数概念的基础上进一步探求特殊角的三角函数值．教学时应引导学生在回顾直角三角形的两个锐角互余、直角三角形三边之间关系（勾股定理），以及直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识的基础上，根据锐角三角函数的定义，自主探求30°、45°和60°角的三角函数值．然后引导学生交流探求的结果，归纳出三个特殊角的9个三角函数值．
2．由于三个特殊角的三角函数值应用广泛，因此课本以表格的形式引导学生归纳．教学时可引导学生分别观察30°、45°和60°角的三个正弦值、三个余弦值及三个正切值之间的差别及存在的联系，以及其间蕴涵的规律：如30°、45°和60°角的三个正弦值由小到大，分母均为2，分子依次为1
30°、45°和60°角的三个正切函数值也由小到大，且三个数值存在着某种“对称”，以45°角是正切值1为对称中心，30°和
60
互为倒数，且形式上存在对称美．由此可突破特殊角三
角函数值多、容易混淆的难点．
3．例2中首次出现三角函数平方（sin 45 ）的书写方法，教学时要明确它的含义并进行书写示范．
4．例3是用特殊角的三角函数值解决与直角三角形有关的实际问题，以学生熟悉的做操动作为问题情境．教学的难点是当手臂与水平方向成60°角时，想象从手指尖向水平方向作垂线，所得的垂线、水平线和手臂之间构成直角三角形，从而将实际问题转化为直角三角形中的计算问题．在例3的教学中，可以请学生模拟问题情境，共同分析解决问题的思路，得出解决问题的关键是构造直角三角形，求出当手臂与水平方向成60°角时，手臂的垂直高度．另外，本例也是首次在直角三角形中利用三角函数值求边长，其中体现了方程思想，教学时应加以归纳点拨． 2
1．2 有关三角函数的计算
本节有2课时．
第1课时为用计算器求锐角的三角函数值
1．在引入课题后，介绍用计算器求锐角的三角函数值时，如果学生所用的计算器型号不一，可分小组合作学习，让每一组学生在相互帮助下学习，让每个学生都根据自己的计算器型号修改表中求三角函数值的按键顺序及显示结果，然后进行交流，归纳按键顺序及显示结果的异同．
2．用计算器求三角函数值的显示结果一般有10个数位，如果问题中没有特别说明，可精确到万分位，即保留四位小数；如果是运算的中间结果，则应保留尽可能多的小数位．
3．例1求三角形周长和面积的解题过程中，先将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式，最后再将边长和角度代入计算．这样处理一方面方便书写，另一方面可提高运算效率并减少计算误差．
第2课时为用计算器根据三角函数值求锐角．
1．本节课以求公路弯道的长为背景设计问题引入，目的在于说明由已知三角函数值求锐角也是解决现实生活中实际问题的需要．教学中要重视让围绕“合作学习”的三个问题进行思考、交流，由此感受学习由已知三角函数值求锐角的必要性和学习的价值，由此激发学习兴趣．
2．在引入课题后，介绍用计算器求锐角时，如果学生所用的计算器型号不一，同样可分小组合作学习，让每一组学生在相互帮助下学习，让每个学生都根据自己的计算器型号修改课本中介绍的按键顺序．
3．用计算器求锐角，如果问题中没有特别说明，应将计算结果精确到1″．
4．如果问题中给出或经计算求得的三角函数值恰好是30°、45°和60°角的三角函数值，则应要求学生不用计算器直接说出它所对应的角．
1．3 解直角三角形
本节有3课时．
第1课时为解直角三角形的概念及其简单应用．
1．本节课以平屋顶改建成坡屋顶为问题情境引入，说明现实生活中经常会遇到需要在直角三角形中由已知一些边、角求另一些边、角的问题，为叙述方便，本教科书给出了“解直角三角形”的名称，教学中只需要学生了解即可，不需要背、记概念．
2．例1是解直角三角形的解题过程示范，同时进一步巩固锐角三角函数知识．例1教学时，要注意引导学生分析已知条件，选择合适的求角和边的方法．可先让学生自主选择求∠B 和a ，b 的方法，然后进行交流比较．如：（1）求∠B 可以按教科书方法用直角三角形两个锐角互余求得，也可以在求出边长a ，b 后，通过计算∠B 的正切值再用计算器求角得到．但采用后者不仅求解过程复杂，并且得到的是近似值，因此当已知一角时采用两锐角互
余的方法求另一角比较合理简捷．（2）在求边长时选用不需要除法运算的三角函数比较便捷．（3）求边长b 可用正切函数，由b =a tan B 求得．但a 是刚求得的近似值，用近似值代入计算不仅增加计算量，还可能影响结果的准确性，因此要尽量避免选用．如上种种，应在例1的基础上引导学生加以归纳、小结，同时培养学生养成解题后的反思总结的习惯，提高解决问题的能力．
2．例2是用解直角三角形的方法解决简单的实际问题，一方面巩固解直角三角形的方法，另一方面是用解直角三角形的方法解决实际问题的示范．例2教学后要引导学生小结：在直角三角形中，当已知两条边求第三边时，一般选用勾股定理；当已知一条边和一个锐角（或锐角的三角函数）时，选用适当的三角函数求解．解决一个问题往往需要综合运用直角三角形的性质、勾股定理和锐角是三角函数等．
第2课时是解直角三角形在解决有关图形计算问题中的进一步应用．
1．对例3中的两个术语“坡比”和“坡角”，容易混淆，教学时可以让学生讨论、区别它们的联系和区别：它们都与坡面有关，坡比是坡面的高度与水平距离的比，坡角是坡面的倾斜角；坡比与坡角的正切值相等．另外还可以引导学生归纳本章学习中遇到过的有关名词，分析它们的异同：斜面、斜坡，倾角、倾斜角等．
2．过梯形上底的端点作梯形的高，是将梯形中的计算问题化归为解直角三角形问题的常用辅助线，在例3教学后要引导学生加以总结．锐角三角形或钝角三角形的高是将其转化为直角三角形的辅助线．总之，过一点向一条线作垂线是将一些图形问题化归为直角三角形问题的基本辅助线．
3．例4教学中应引导学生结合图形加以分析，如果有条件可带学生到跑道上实地查看，动手实践怎样用皮卷尺确定弯道处两点间的路程，引导学生用数学知识可以将较难测量的弧长转化方便测量的弦长，由此将实际问题转化为根据弧长求弦长的数学问题．而根据弧长求弦长在图形中归结为用两条半径和弦AB 构造等腰三角形，再作等腰三角形的高，将求弦长的计算问题化归为解直角三角形问题来解决．联系弧长和弦长的关键量是弧所对的圆心角，所以首先要根据弧长的计算公式求出圆心角的度数．
4．通过本节课的“作业题”第4题和第6题，可以引导学生探求当已知三角形的一个锐角A 及其两条夹边长b ，c 求三角形面积的方法，得出三角形的面积公式S =
不要求学生记忆该公式．
第3课时是解直角三角形在解决实际问题中的进一步应用．
1．在例5教学中，首先应引导学生分析题意，联系速度与时间和路程的关系，已知时间求速度，关键要知道路程，由此将求速度问题转化为求路程问题．然后根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为数学中的解直角三角形问题，这是解决本例的关键，也是本例教学中要让学生重点体验和累积1bc sin A ．但2
2．例6中A 楼的高度，根据所给的条件，由视线、地面水平线和A 楼边沿的铅垂线构成直角三角形可直接求得，而D 楼的高度不能直接求得，但由条件可以求出A 、D 两幢楼的落差，由此可求得D 楼的高度．因此解决本例的关键是以点A 观察点D 的视线为斜边和适当的水平线及铅垂线为直角边构造直角三角形，除课本给出的构造方法外，还可以采用过D 向水平线AF 作垂线的方法得到． 教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点和便捷性，鼓励学生学习的积极性，使学习成为主动的富有个性的过程．
3．例5、例6教学后应引导学生总结，将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键．航行问题中的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形由视线、水平线和铅垂线等构成．方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角、和各种视角（如仰角、俯角、观察角）有准确的理解和想象，并准确画出这些线．
4．“课内练习”第3题在画出图形后，需要根据勾股定理列方程解答，这是解直角三角形中常用方程思想，教学中要加以引导总结．
5．本节后的“设计题”，如果学校没有测倾仪，教师可组织部分学生用一个大量角器动手制作．然后让学生分组、分时段实施测量．
课题学习
本课题学习教学目标为：
让学生经历会徽中数学知识的挖掘与欣赏过程，进一步感受数学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣；进一步体会直角三角形中边角之间的关系，加深对锐角三角函数、勾股定理等知识的理解和整体性认识，从而进一步发展应用解直角三角形解决问题的意识和能力．
1．在探索求∠A 1OA 2，∠A 2OA 3，„之前，可让学生思考，怎样画出图1-27，有几种不同的画法，由此让学生体会求∠A n OA n +1的意义，激发探求∠A n OA n +1的积极性．在探索第几个直角三角形的内角∠A n OA n +1是第一个小于20°的角时，可以引导学生根据图形，列出边长OA n
1；或根据锐角三角函数的正切函数值随角度的增大而增大的关系
tan 20︒
1tan20°，然后可根据不等式的基本性质，
，再tan 20︒用计算器进行估计．
2．在探索北京国际数学家大会的会徽中蕴涵的数学时，在引导学生观察会徽特点的基础上，可以用怎样画出这个图案来激发探索的兴趣和探索的方向．如要使图案中的大小正方形边长分别为m ，n (m >n ) ，则可以求出直角三角形的边长来画，也可以求出直角三角形的内
3．在“课题学习”的教学中，既要放手让学生自主探索，又要引导学生间进行合作与交流．如在学生自主提出关于北京数学家大会会徽的两个数学问题后，应引导学生交流，可请学生邀请同伴解答并相互评价；在学生自主探索如何画出图1-27和图1-28的方法后，让学生交流所想到的不同方法，以及相应画法所需要的数据与求法，并尝试画一画；在学生自主选取大小正方形边长的不同值画出图1-28后，交流所画的图形，欣赏图案的变化等等．
四、本章教学中应注意的问题
1．边角之间的关系用函数来定义，学生理解有困难，教学时应引导学生适当回顾函数的概念，使学生体会三角函数的定义的合理性．
2．注意创设学生熟悉的问题情境．如引入锐角三角函数时，若农村学生没有见过电梯，可以用山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境．使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系．
3．注意引导学生进行合作交流．如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关；当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数．
4．注意引导学生灵活运用所学知识解决现实生活中的实际问题和数学本身的问题．例如在实验得出角的大小固定，比值与点的位置无关时，应及时引导学生用已学过的相似三角形的知识说明结论的正确性；在解决与直角三角形有关的问题中，要引导学生综合运用勾股定理、锐角三角函数，以及相似三角形、方程等知识，选择合理的解决问题方法．
5．注意学生书写三角函数符号的规范性，如sin 不能写成sin ，sin ∠ABC 不能写成sin ABC 或sin ∠ABC 等．
第2章 简单事件的概率
一、 教材体系
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的决策．《数学课程标准》(实验稿) 把“统计与概率”单独作为一块内容是因为它的实用价值和教育意义，比原浙江版教材有加强的意味．首先在以信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种重要的信息，所谓让数据说话就是这层意思．可以说收集、整理、分析数据的能力，已成为信息时代每个公民的基本素质．“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式．其次义务教育阶段应当使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，从而使他们逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度．不仅如此，让
学生了解随机现象也有助于形成科学的世界观和方法论．本套教科书中有关“统计与概率”这块内容的安排是分为五章：七年级上册“数据与图表”；七年级下册“事件的可能性”；八年级上册“样本与数据分析初步”；八年级下册“频数及其分布”；九年级下册“简单事件的概率”．
这样安排的目的是做到七、八、九年级每个学期学生基本上都有接触，螺旋上升，逐步递推．知识体系逐步体验，思想方法渐进落实．从试教下来的情况看，符合学生的认知水平，目标达成没多大问题．可能由于数据分析、整理比较繁，上课化时多，老师不愿在这些内容多化时间有些不太适应．要注意的是：《数学课程标准》(实验稿) 中明确指出：应避免单纯的统计量的计算，对有关术语不要求进行严格表述．关于这块内容，从教学实践看，有以下三个方面特点：一是因为在日常生活和生产实际中有广泛的应用，学生是感兴趣的，一般学习积极性较高；二是所有内容涉及古典概率，且不能用到排列组合，教材安排是最基本的内容，所以学生是能接受，符合学生这个年龄段的认知水平；三是教师在某些资料的不恰当引导下容易拨高，加重了学生负担．因此，把握好教学要求是备好课的关键．
二、本章教学内容的逻辑结构及说明
概率，用事件发生的频率来作为概率的估计值，在日常生活、自然、科技领域有着广泛的应用．中学生接触这个领域的知识，无论是从今后继续深造，还是参加社会实践就业都是十分必要的．因为这些内容比较抽象，所以本套教科书采用逐渐加深，分步到位的办法．如运用列举法分析事件发生的所有可能的结果数，在七年级下册“事件的可能性”一章中已有过初步的接触，但在本章提出更高要求：即要求用双向矩阵式的表格，严格做到不重复、不遗漏．对概率的定义也一样，本章的用词更加规范、严密．值得注意的是，本套教科书是先给出概率的定义，再学习用事件发生的频率来作为概率的估计值．这样编排的好处是避免由于试验的不确定性对概率概念理解的干扰，同时还可以验证我们所理解概率定义的合理性．
（1）用概率公式计算概率，必须符合一个前提条件，即事件发生的可能性相同．不能简单认为有几种情况，不加思考认为它们一定等可能．等可能事件的概率算法是概率计算的重要基础．
（2）用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数一般有列表和画树状图两种方法．课本中仅涉及到转盘转动两次，摸球摸两次（第一次摸后，放回搅匀），一枚硬币抛掷两次或两枚硬币抛掷一次等情况，不要再扩充加深．用双向矩阵式表格来分析各种等可能情况，比较直观且方便．
（3）尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定．这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值．
三、本章重点难点分析
（1）用等可能事件的概率公式解决一些现实问题，用频率来估计事件发生的概率在生活、生产中有着广泛的应用．它有助于我们在错综复杂的情况下，分析事件的本质属性，帮助我们作出合理的判断．因此这是本章学习的重点．
（2） 等可能事件的概率的计算往往需要学生有较强的分析和综合能力；对在保持实验条件不变的情况下，随着实验次数的增加，某事件出现的频率趋于稳定，学生较难理解，是本章教学的难点．
四、本章课时安排
2．1节 简单事件的概率 2课时
2．2节 估计概率 1课时
2．3节 概率的简单应用 1课时
复习、评价2课时，机动使用1课时，合计7课时
五、 教学建议
（1）关于各套教材对概率的定义．概率的定义：我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率．“可能性大小”如果可能性的大小作为概率的定义，那末概率的大小成为可能性大小的大小．不加事件，不加大小，就说“可能性叫概率”也是不够完整的．有教材用“摸到红球的可能出现的结果数”除以“摸出一球所有可能出现的结果数”来表示摸到红球的可能性，也称为摸到红球的概率．还有的教科书用P （摸到红球）=摸到红球可能出现的结果数．这里涉及是不是“等可能”这样一个重要概念也不是很摸出一球所有可能出现的结果数
妥当．本套教科书给出的定义是：一般地，如果事件在一次试验中各种结果出现的可能大小是相等的，那么我们就说它是等可能事件．一般地，如果一次试验中所有事件可能发生的结果总数是n ，其中事件A 可能发生的结果总数是m 种，那么事件A 的概率P （A ）=m ．本n
套教科书注意到该概率公式的前提是“事件发生的可能性相同的各种结果总数，并且知道其中事件A 发生的可能的结果总数 ”则„„
本套教科书在七年级下册“事件的可能性”一章中已初步涉及概率的定义，并作为学习事件的可能性后一个自然的延伸，点到为止．从本章开始学生对概率概念有一个初步了解的基础上相对完整地学习概率的意义，进一步分清事件的等可能性并给出等可能事件的概率公式．教学中应考虑到两处的衔接及分清逐渐加深的地方．
（2）概率内容比较抽象．试验的不确定性、概率结果的唯一性，常常使学生感到困惑．所以本章的编排是以问题带概念形式来展开的，教学中应多选取贴近学生生活的实际问题，引
发学生兴趣，加深对本章主要内容的理解．正因为这个原因，本套教科书采用循序渐进的方式，不断加深．到本章为止，义务教育阶段的概率内容全部到位学完．
（3）根据《数学课程标准》(实验稿) ，“概率与统计”这块内容到这里已全部学完．应适当注意统计与概率之间的内在联系，频率作为概率的估计值就是体现两者联系的一个方面．用频率的近似值估计概率，在教学中有两点要引起重视．一是实验条件不变；二是随着实验次数的增加，频率趋于稳定，这个稳定值可作为概率的估计值．实验条件不变实际上不容易做到，有条件的话用计算机模拟实验，教学效果将更好．
六、 注意问题
（1）课本P31列表：要注意首先是双向，这也是矩阵的初步，第一次在列，第二次在行．表格中列在前，行在后．其次若三个红球，要分红1、红2、红3．虽然都是红球，但摸到不同的红球不标号是不能表达清楚的．
（2）本章没有C 组题，也没有探究活动．这与本章的内容有关．其实从内容上来讲略加延伸的题目很多，我们在开始编写时，也编写了许多的延伸的题目．但根据《数学课程标准》(实验稿) 的要求，本章主要是培养学生运用数据进行推理的思考方法；熟悉统计与概率的基本思想方法，从而使他们逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度；让学生了解随机现象也有助于形成科学的世界观和方法论．而这里一不小心就可能超范围、超要求．但本章有一个设计题，设计题是让学生体验用频率来估计概率．这个设计题有一个好处，是没有预先确定的答案．不管怎么都不会出现偏离正确答案的尴尬，但在进行时，还是要求有相同的抛掷条件．建议做一个架子，下面比较光滑的桌面，或用水平的玻璃面．
（3）课本P42第3题：注意培养学生分情况讨论的思想，注意分析题目中的条件．本题要考虑若小王没参加晚会，则小王获奖的概率为0；若小王参加晚会，则小王获奖的概率为1 328
（4）计算器模拟实验．抛硬币，骰子，转盘，摸球一般受工具限制很难达到较高的精度，譬如转盘，很可能出现误差很大的尴尬．一般地函数型计算器都有随机数的功能，这时可采用计算器摸拟的办法．
可以随机产生一个从0—0.999的具有三位有效数字的随机数．
具体按键顺序为：2ndF → RANDOM → 0 → ENT
随机摸仿骰子：产生1—6的数字．
按键顺序为：2ndF → RANDOM → 1 → ENT
模仿掷硬币：产生0，1两个数．
按键顺序为：2ndF → RANDOM → 2 → ENT 随机整数：可随机产生0—99之间的整数． 按键顺序为：2ndF → RANDOM → 3 → ENT
因为函数计算器都产生0—0.999随机数的功能，有时可采用可以采用转化的办法．如规定0---0.499作为正面，0.500—0.999作为反面，则可以摸仿抛硬币．
用Excel 更方便求出随机数．= ROUND（35 * RAND( ) + 0.5 ，） 中间数字是35可产生从1—35之间一个随机数．
“第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系”教材分析
本章是继九年级上册圆的基本性质学习的基础上, 作了延续和发展, 从而让学生在初中阶段比较系统、完整地学习圆的知识．本章的主要内容是直线与圆、圆与圆的位置关系，以及各种位置关系的判定和性质．本章是今后学习解析几何等知识的重要基础．由于本章所研究的问题往往是直线形与曲线形交织在一起，解决问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识，所以将本章编写在这里．
本章的重点是圆的切线和圆与圆相切的判定及性质．利用直线与圆、圆与圆的位置关系的判断与性质解决实际问题需要学生较强的理解能力及转化能力，综合程度较高，是本章的主要难点．
本章教学时间约需10课时，具体安排如下： 3.1直线与圆的位置关系 3课时 3.2三角形的内切圆 1课时 3.3圆与圆的位置关系 1课时 复习、评价 3课时 机动使用 2课时 合计 10课时． 一、教科书内容和课程教学目标 （1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
（3）本章教学要求
① 探索并了解直线与圆以及圆与圆的位置关系．
② 了解三角形的内切圆和内心，会进行简单的作图与计算． ③ 了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系． ④ 能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． ⑤ 会进行涉及两圆位置关系的简单计算．
⑥ 会综合运用直线与圆、圆与圆的位置关系解决简单的实际问题． 二、本章教材分析和编写特点
1．课本首先从观察日出让学生抽象出直线与圆的三种位置关系，而后让学生以画图的方式呈现直线与圆的三种位置关系，从中思考总结得出直线与圆位置关系的性质．课本分两节给出了圆的切线的判定与性质．通过“合作学习”，让学生经历圆的切线的判定与性质的得出过程，而后通过两个典型例题教会学生有关圆的切线的判定与性质的运用，及时巩固所学的新知识．特别是用了生活中的实际问题，让学生更能体会到学习此内容的必要性和重要性．课本以一个生活中很常见的例子引入了三角形的内切圆．让学生容易接受，很快的进入新内容的学习．课本让学生在按要求画图中，观察总结出两圆相切时的特点和性质．而后通过拼图让学生感受两圆的其他位置关系，在很直观的操作中得出两圆相交、外离、内含的特点．
2．课本将数学的抽象内容与生产生活实际相联系．在章前图和节前图中提供了直线与圆、圆与圆的位置关系的实际背景，在章前语和节前语中用实际问题引入本章或本节的内容．例如，章前语中引导学生观察日出过程与手表内芯的齿轮装置，很直观的引出直线与圆、圆与圆的位置关系．再如，从一块三角形钢化玻璃上如何裁下一个半径尽可能大的圆，从这个实际问题中引入三角形内切圆的概念及画法．
3．重视运用直线与圆、圆与圆的位置关系的有关知识解决简单的实际问题．
第一节例1判断货船会不会进入暗礁区，把这个实际问题转化为判断货船航线所在的直线与暗礁圆区的位置关系．第一节例3判断四个城市会不会受到台风的影响，把这个实际问题转化为表示城市的点是否会落在台风圆区的两条切线所夹的区域内来解决．第一节例4
利用圆的切线的性质来解决木工师傅用角尺测量并计算圆的半径．第三节例1利用两圆相切的规律来解决从一个直径50毫米的圆形铁片冲压出四个全等小圆片，求小圆片的最大直径． 4．重视合作学习的设计，让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳出直线与圆、圆与圆的位置关系的判定与性质等．例如，第1节的“合作学习”是让学生画圆，从中探索出直线与圆的三种位置关系的性质，直观明了，容易理解．再如，第2节的“合作学习”是从一块三角形钢化玻璃上如何裁下一个半径尽可能大的圆，让学生在合作学习中理解三角形的内切圆的概念，也让学生很快学会如何作三角形的内切圆．
5．重视探究活动的设计，让学生的知识和数学学习方法得以引申和拓展
本章设计了两个探究活动．第1节的探究活动是数学的分类思想，一方面巩固利用切线的判定过圆上一点作圆的切线，另一方面引申和拓展了过圆外一点作圆的切线有两条切线，且切线长相等．第2节的探究活动揭示了在一个圆中弦心距相等的弦一定相等，让学生在探究中体验数学的神奇，激发求知欲和学习数学的兴趣． 三、教学建议
（一）探究直线与圆、圆与圆的位置关系具有一定的抽象性，需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力．在教学中应遵循辩证唯物主义认识论的基本观点，从直观到抽象，从感性到理性，通过观察、画图让学生经历感知直线与圆、圆与圆的各种位置关系，让学生在画图、拼图中思考并归纳总结出．直线与圆、圆与圆各种位置关系的判定与性质的证明过程复杂，要求较高的推理能力，课本中作了淡化处理．
（二）在教学中应该避免过繁过难的几何推理题．证明与合情推理并存．这样既降低了学生学习的难度，又加强了学生的思维能力和逻辑推理能力．如本章第3节例1中利用图形的对称性，直接得到四边形ABCD 是正方形．这种合情推理在教学中应该加强．
（三）重视直线与圆、圆与圆的位置关系的实际问题背景设计和直线与圆、圆与圆的位置关系在生活实际中的应用．数学来源于生产生活实际，反过来又应用于解决生产生活实际问题，教学中要充分利用课本中有关的实际问题背景的设计，注意从实际问题出发引入直线与圆、圆与圆的位置关系，并通过实际问题的直观，归纳出直线与圆、圆与圆的位置关系的判定与性质．让学生在实际问题的解决中感受直线与圆、圆与圆的位置关系学习的重要性． （四）注意把握教学要求．在本章要加强学生论证和推理能力．本章所研究的问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识，这对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力是相当有好处的，在教学中抓住此机会使学生解决问题的能力有较大的飞跃．但与老教材相比, 本章内容要求有所降低．应《数学课程标准》(实验稿) 的要求，一些定理, 如切线长定理,
相交弦定理等都不再出现．因此教师在教学时应把握难度，不要擅自拓展．
“第4章 投影与三视图”教材分析
本章内容无论是对于学生还是对于老师来说都是一章全新的内容，是老教材中从未涉及过的一个内容．
空间观念的形成是一个长期的过程．而使学生具有良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标，为此，本套教科书设计了一系列反映空间观念的内容．如七年级上册的“图形的初步知识”，七年级下册 的“图形和变换”八年级上册“直棱柱”“图形与坐标”等．在此基础上本章继续研究的“投影与三视图”，这也是反映空间观念的重要内容． 本章的主要内容有视角、盲区、平行投影、中心投影和简单物体的三视图．视角、盲区、投影的概念是第一次出现，它们与日常生活密切相关，这块知识的学习能丰富学生观察、操作、想象、交流等活动的经验和体验，有效发展学生的空间观念．在八年级上册“直棱柱”一章的学习中，已经直观地给出三视图概念，介绍直棱柱的三视图的规则和基本画法．本章将从投影的角度来认识三视图，学习圆柱、圆锥、球以及简单物体的三视图．
投影是生活中常见的现象，而三视图又是特殊投影的产物．投影与三视图的知识在日常生活和生产中有广泛的应用，是培养学生空间观念的有效平台．因此，本章的教学重点是投影与三视图．由于空间图形是三维的，位置的确定必须从三个方面来衡量，而平面图形是二维的，它只需从两个方面进行衡量，因此画三视图需要人的思维不断在二维和三维之间转换．这对学生的空间想象能力要求较高，是本章的教学难点． 本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 4.1 视角与盲区 1课时 4.2 投影 2课时 4.3 简单物体的三视图 2课时
复习、评估2课时，机动使用1课时，合计8课时． 一、 教科书内容和课程教学目标 1、
本章知识结构框架图如下：
2、
本章的教学目标如下：
3．本章教学要求
(1)通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用．
(2)通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单的应用，初步形成物体与其投影之间的相互转化．
(3)会画圆柱、圆锥、球的三种视图．
(4)通过实例能够判断简单物体的三种视图，能根据三种视图描述基本几何体或实物原型，实现简单物体与其三种视图之间的相互转化．
(5)通过学习和实践活动，激发学生对视图与投影学习的好奇心，体会数学与现实生活的联系．
二、本章编写特点
1．素材来源于学生的现实．三维空间是人类生存的现实空间，它为我们的学习提供了大量现实的素材．在本章内容的呈现方式上，正文充分利用现实生活中的素材，使学生在观察的基础上，抽象出空间图形，然后归纳出它们的结构特征，把握图形的特点．例题、习题中部分题目也注意与生产生活的联系．
2．给学生提供探索与交流的时间和空间．从概念的引出到性质的探究，课本都提供了探索与交流的时间和空间．如在探究平行投影与中心投影的特征时，课本不仅提供了探究的空间，而且给出了具体的合作探究的内容与方法．
3．在八年级上册“直棱柱”一章中，通过从三个不同方向观察，直观地得出三种视图的概念与画法．本章在学习投影后从正投影的角度重新认识三视图，这样使三视图的内容逐级递进、螺旋上升，符合学生的数学认知规律．
三、 教学建议
1．学生经验是发展空间观念的基础．学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源．培养空间观念要将视野拓展到生活的空间，重视现实世界中有关空间与图形的问题．
2．视角、盲区等名称在日常生活中使用频率非常高，在数学教科书中学习这些概念非常有必要，很好体现了新课程的理念——数学来源生活，学习数学又为生活服务．在教学中，要注意这里的知识与生活联系，从实际事例背景中引出概念．
3．对中心投影和平行投影，只要求学生通过实例了解这种现象，不要求学生从严格的教学意义上去理解，但要求学生了解其区别．教学中可以充分展示生活中的事例，也可让学生根据已有的知识去寻找，丰富他们的经验，拓展他们的空间观念．
4．本章进一步对特殊的几何体——圆柱、圆锥、球的三视图进行识别并能画出其三种视图．除此之外，本章还对平行投影与中心投影，视点、视线和盲区进行初步的探讨．这些内容看似相互独立，但本质上却有着密切的联系．事实上，在特殊位置下物体的平行投影便是物体的三种视图；人看物体时情形与中心投影本质上是一致的；影子与盲区也有很大的相似性．教学中要加强知识之间的有机整合，前后贯通．
5．有条件的话，教学中要尽可能地使用计算机动画展示投影等现象，增强学生的直观感受，提高学生的学习兴趣，更好地认识空间几何体，提高几何直观能力，促进对知识的理解．
四、本章教学中应注意的问题
1、在圆柱、圆锥、球的视图学习中，要引导学生寻找圆锥、圆柱、球的三种视图的异同，并注意在三视图中虚线的意义与运用．
2．严谨适度，把握教学要求．画投影与三视图是本章的一个重要教学目标．在画投影的练习中，一般会给出某些点或线段在投影面上的投影．画图时只需根据这些信息在投影面上较准确地画出其他点或线的投影．练习中不应任意拔高画图的要求．同样要严格控制画三视图的要求．三视图教学应以常见的几种简单几何体及其简单组合体的三视图为主，不要求画复杂几何体的三视图．
“第1章 解直角三角形”教材分析
锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用．锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础．因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一．
一、教学内容
本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用．
研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想．因此本章还包含了数形结合的思想．
框图说明：
（1）现实生活中的边角之间存在着确定的数量关系，例如当斜面的倾斜角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系．
（2）锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦（sin A ）、余弦（cos A ）和正切（tan A ）三种．
（3）三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30°、45°和60°这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算．
（4）锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形．
二、教学要求
三、各节内容分析
1．1 锐角三角函数
本节有2课时．
第1课时为锐角三角函数的概念，经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程．
1．本节课以两个物体在两个坡角不同的斜面上向上运动为背景引入课题，并配以倾斜角不同的电梯作节前图，教学中教师可以根据学生的实际情况，重新设计学生熟悉的问题情境，如山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境．使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系．
2．“合作学习”中的三个问题是采用由特殊到一般的实验方法探索直角三角形中边角之间的关系，教学中要重视学生在探索过程中的交流．问题1、2分别是将直角三角形的锐角固定，研究当边长变化时，其三边长两两之间的比值分别不变．当学生完成取点、测量和计算比值的操作后，应及时引导学生交流，从交流中发现，其三组比值与在角边上所取点的位置无关，由此体验直角三角形的锐角固定，边长变化时，其三边长两两之间的比值分别不变．同时引导学生比较问题1、2所得出的结论，发现锐角不同，相应的比值不同，即比值
随角度的变化而变化．问题3是将1、2中的问题一般化，教学时应先引导学生根据问题1、2所得出的结论进行猜测，然后用相似三角形加以证明．
3．三角函数的概念比较抽象，教学时应引导学生回顾函数的概念，并比较“合作学习”中所得的结论，感受把三个比值定义为锐角 的函数的合理性，由此突破教学难点．
4．正弦、余弦和正切符号sin A ，cos A 和tan A 的读法和书写教学中都要进行示范．
5．用sin A ，cos A 和tan A 表示直角三角形中两边的比时要引导学生结合图形进行，渗透数形结合，避免死记硬背．
6．通过例1的教学，进一步巩固直角三角形中一锐角的正弦、余弦和正切所对应的两边之比．教学中要注意解题过程的示范，并归纳在直角三角形中求三角函数值时，往往要结合勾股定理的应用．
第2课时为特殊角（30°、45°和60°）的三角函数值．
1．本节课是在上节课已建立三角函数概念的基础上进一步探求特殊角的三角函数值．教学时应引导学生在回顾直角三角形的两个锐角互余、直角三角形三边之间关系（勾股定理），以及直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识的基础上，根据锐角三角函数的定义，自主探求30°、45°和60°角的三角函数值．然后引导学生交流探求的结果，归纳出三个特殊角的9个三角函数值．
2．由于三个特殊角的三角函数值应用广泛，因此课本以表格的形式引导学生归纳．教学时可引导学生分别观察30°、45°和60°角的三个正弦值、三个余弦值及三个正切值之间的差别及存在的联系，以及其间蕴涵的规律：如30°、45°和60°角的三个正弦值由小到大，分母均为2，分子依次为1
30°、45°和60°角的三个正切函数值也由小到大，且三个数值存在着某种“对称”，以45°角是正切值1为对称中心，30°和
60
互为倒数，且形式上存在对称美．由此可突破特殊角三
角函数值多、容易混淆的难点．
3．例2中首次出现三角函数平方（sin 45 ）的书写方法，教学时要明确它的含义并进行书写示范．
4．例3是用特殊角的三角函数值解决与直角三角形有关的实际问题，以学生熟悉的做操动作为问题情境．教学的难点是当手臂与水平方向成60°角时，想象从手指尖向水平方向作垂线，所得的垂线、水平线和手臂之间构成直角三角形，从而将实际问题转化为直角三角形中的计算问题．在例3的教学中，可以请学生模拟问题情境，共同分析解决问题的思路，得出解决问题的关键是构造直角三角形，求出当手臂与水平方向成60°角时，手臂的垂直高度．另外，本例也是首次在直角三角形中利用三角函数值求边长，其中体现了方程思想，教学时应加以归纳点拨． 2
1．2 有关三角函数的计算
本节有2课时．
第1课时为用计算器求锐角的三角函数值
1．在引入课题后，介绍用计算器求锐角的三角函数值时，如果学生所用的计算器型号不一，可分小组合作学习，让每一组学生在相互帮助下学习，让每个学生都根据自己的计算器型号修改表中求三角函数值的按键顺序及显示结果，然后进行交流，归纳按键顺序及显示结果的异同．
2．用计算器求三角函数值的显示结果一般有10个数位，如果问题中没有特别说明，可精确到万分位，即保留四位小数；如果是运算的中间结果，则应保留尽可能多的小数位．
3．例1求三角形周长和面积的解题过程中，先将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式，最后再将边长和角度代入计算．这样处理一方面方便书写，另一方面可提高运算效率并减少计算误差．
第2课时为用计算器根据三角函数值求锐角．
1．本节课以求公路弯道的长为背景设计问题引入，目的在于说明由已知三角函数值求锐角也是解决现实生活中实际问题的需要．教学中要重视让围绕“合作学习”的三个问题进行思考、交流，由此感受学习由已知三角函数值求锐角的必要性和学习的价值，由此激发学习兴趣．
2．在引入课题后，介绍用计算器求锐角时，如果学生所用的计算器型号不一，同样可分小组合作学习，让每一组学生在相互帮助下学习，让每个学生都根据自己的计算器型号修改课本中介绍的按键顺序．
3．用计算器求锐角，如果问题中没有特别说明，应将计算结果精确到1″．
4．如果问题中给出或经计算求得的三角函数值恰好是30°、45°和60°角的三角函数值，则应要求学生不用计算器直接说出它所对应的角．
1．3 解直角三角形
本节有3课时．
第1课时为解直角三角形的概念及其简单应用．
1．本节课以平屋顶改建成坡屋顶为问题情境引入，说明现实生活中经常会遇到需要在直角三角形中由已知一些边、角求另一些边、角的问题，为叙述方便，本教科书给出了“解直角三角形”的名称，教学中只需要学生了解即可，不需要背、记概念．
2．例1是解直角三角形的解题过程示范，同时进一步巩固锐角三角函数知识．例1教学时，要注意引导学生分析已知条件，选择合适的求角和边的方法．可先让学生自主选择求∠B 和a ，b 的方法，然后进行交流比较．如：（1）求∠B 可以按教科书方法用直角三角形两个锐角互余求得，也可以在求出边长a ，b 后，通过计算∠B 的正切值再用计算器求角得到．但采用后者不仅求解过程复杂，并且得到的是近似值，因此当已知一角时采用两锐角互
余的方法求另一角比较合理简捷．（2）在求边长时选用不需要除法运算的三角函数比较便捷．（3）求边长b 可用正切函数，由b =a tan B 求得．但a 是刚求得的近似值，用近似值代入计算不仅增加计算量，还可能影响结果的准确性，因此要尽量避免选用．如上种种，应在例1的基础上引导学生加以归纳、小结，同时培养学生养成解题后的反思总结的习惯，提高解决问题的能力．
2．例2是用解直角三角形的方法解决简单的实际问题，一方面巩固解直角三角形的方法，另一方面是用解直角三角形的方法解决实际问题的示范．例2教学后要引导学生小结：在直角三角形中，当已知两条边求第三边时，一般选用勾股定理；当已知一条边和一个锐角（或锐角的三角函数）时，选用适当的三角函数求解．解决一个问题往往需要综合运用直角三角形的性质、勾股定理和锐角是三角函数等．
第2课时是解直角三角形在解决有关图形计算问题中的进一步应用．
1．对例3中的两个术语“坡比”和“坡角”，容易混淆，教学时可以让学生讨论、区别它们的联系和区别：它们都与坡面有关，坡比是坡面的高度与水平距离的比，坡角是坡面的倾斜角；坡比与坡角的正切值相等．另外还可以引导学生归纳本章学习中遇到过的有关名词，分析它们的异同：斜面、斜坡，倾角、倾斜角等．
2．过梯形上底的端点作梯形的高，是将梯形中的计算问题化归为解直角三角形问题的常用辅助线，在例3教学后要引导学生加以总结．锐角三角形或钝角三角形的高是将其转化为直角三角形的辅助线．总之，过一点向一条线作垂线是将一些图形问题化归为直角三角形问题的基本辅助线．
3．例4教学中应引导学生结合图形加以分析，如果有条件可带学生到跑道上实地查看，动手实践怎样用皮卷尺确定弯道处两点间的路程，引导学生用数学知识可以将较难测量的弧长转化方便测量的弦长，由此将实际问题转化为根据弧长求弦长的数学问题．而根据弧长求弦长在图形中归结为用两条半径和弦AB 构造等腰三角形，再作等腰三角形的高，将求弦长的计算问题化归为解直角三角形问题来解决．联系弧长和弦长的关键量是弧所对的圆心角，所以首先要根据弧长的计算公式求出圆心角的度数．
4．通过本节课的“作业题”第4题和第6题，可以引导学生探求当已知三角形的一个锐角A 及其两条夹边长b ，c 求三角形面积的方法，得出三角形的面积公式S =
不要求学生记忆该公式．
第3课时是解直角三角形在解决实际问题中的进一步应用．
1．在例5教学中，首先应引导学生分析题意，联系速度与时间和路程的关系，已知时间求速度，关键要知道路程，由此将求速度问题转化为求路程问题．然后根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为数学中的解直角三角形问题，这是解决本例的关键，也是本例教学中要让学生重点体验和累积1bc sin A ．但2
2．例6中A 楼的高度，根据所给的条件，由视线、地面水平线和A 楼边沿的铅垂线构成直角三角形可直接求得，而D 楼的高度不能直接求得，但由条件可以求出A 、D 两幢楼的落差，由此可求得D 楼的高度．因此解决本例的关键是以点A 观察点D 的视线为斜边和适当的水平线及铅垂线为直角边构造直角三角形，除课本给出的构造方法外，还可以采用过D 向水平线AF 作垂线的方法得到． 教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点和便捷性，鼓励学生学习的积极性，使学习成为主动的富有个性的过程．
3．例5、例6教学后应引导学生总结，将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键．航行问题中的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形由视线、水平线和铅垂线等构成．方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角、和各种视角（如仰角、俯角、观察角）有准确的理解和想象，并准确画出这些线．
4．“课内练习”第3题在画出图形后，需要根据勾股定理列方程解答，这是解直角三角形中常用方程思想，教学中要加以引导总结．
5．本节后的“设计题”，如果学校没有测倾仪，教师可组织部分学生用一个大量角器动手制作．然后让学生分组、分时段实施测量．
课题学习
本课题学习教学目标为：
让学生经历会徽中数学知识的挖掘与欣赏过程，进一步感受数学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣；进一步体会直角三角形中边角之间的关系，加深对锐角三角函数、勾股定理等知识的理解和整体性认识，从而进一步发展应用解直角三角形解决问题的意识和能力．
1．在探索求∠A 1OA 2，∠A 2OA 3，„之前，可让学生思考，怎样画出图1-27，有几种不同的画法，由此让学生体会求∠A n OA n +1的意义，激发探求∠A n OA n +1的积极性．在探索第几个直角三角形的内角∠A n OA n +1是第一个小于20°的角时，可以引导学生根据图形，列出边长OA n
1；或根据锐角三角函数的正切函数值随角度的增大而增大的关系
tan 20︒
1tan20°，然后可根据不等式的基本性质，
，再tan 20︒用计算器进行估计．
2．在探索北京国际数学家大会的会徽中蕴涵的数学时，在引导学生观察会徽特点的基础上，可以用怎样画出这个图案来激发探索的兴趣和探索的方向．如要使图案中的大小正方形边长分别为m ，n (m >n ) ，则可以求出直角三角形的边长来画，也可以求出直角三角形的内
3．在“课题学习”的教学中，既要放手让学生自主探索，又要引导学生间进行合作与交流．如在学生自主提出关于北京数学家大会会徽的两个数学问题后，应引导学生交流，可请学生邀请同伴解答并相互评价；在学生自主探索如何画出图1-27和图1-28的方法后，让学生交流所想到的不同方法，以及相应画法所需要的数据与求法，并尝试画一画；在学生自主选取大小正方形边长的不同值画出图1-28后，交流所画的图形，欣赏图案的变化等等．
四、本章教学中应注意的问题
1．边角之间的关系用函数来定义，学生理解有困难，教学时应引导学生适当回顾函数的概念，使学生体会三角函数的定义的合理性．
2．注意创设学生熟悉的问题情境．如引入锐角三角函数时，若农村学生没有见过电梯，可以用山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境．使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系．
3．注意引导学生进行合作交流．如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关；当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数．
4．注意引导学生灵活运用所学知识解决现实生活中的实际问题和数学本身的问题．例如在实验得出角的大小固定，比值与点的位置无关时，应及时引导学生用已学过的相似三角形的知识说明结论的正确性；在解决与直角三角形有关的问题中，要引导学生综合运用勾股定理、锐角三角函数，以及相似三角形、方程等知识，选择合理的解决问题方法．
5．注意学生书写三角函数符号的规范性，如sin 不能写成sin ，sin ∠ABC 不能写成sin ABC 或sin ∠ABC 等．
第2章 简单事件的概率
一、 教材体系
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的决策．《数学课程标准》(实验稿) 把“统计与概率”单独作为一块内容是因为它的实用价值和教育意义，比原浙江版教材有加强的意味．首先在以信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种重要的信息，所谓让数据说话就是这层意思．可以说收集、整理、分析数据的能力，已成为信息时代每个公民的基本素质．“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式．其次义务教育阶段应当使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，从而使他们逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度．不仅如此，让
学生了解随机现象也有助于形成科学的世界观和方法论．本套教科书中有关“统计与概率”这块内容的安排是分为五章：七年级上册“数据与图表”；七年级下册“事件的可能性”；八年级上册“样本与数据分析初步”；八年级下册“频数及其分布”；九年级下册“简单事件的概率”．
这样安排的目的是做到七、八、九年级每个学期学生基本上都有接触，螺旋上升，逐步递推．知识体系逐步体验，思想方法渐进落实．从试教下来的情况看，符合学生的认知水平，目标达成没多大问题．可能由于数据分析、整理比较繁，上课化时多，老师不愿在这些内容多化时间有些不太适应．要注意的是：《数学课程标准》(实验稿) 中明确指出：应避免单纯的统计量的计算，对有关术语不要求进行严格表述．关于这块内容，从教学实践看，有以下三个方面特点：一是因为在日常生活和生产实际中有广泛的应用，学生是感兴趣的，一般学习积极性较高；二是所有内容涉及古典概率，且不能用到排列组合，教材安排是最基本的内容，所以学生是能接受，符合学生这个年龄段的认知水平；三是教师在某些资料的不恰当引导下容易拨高，加重了学生负担．因此，把握好教学要求是备好课的关键．
二、本章教学内容的逻辑结构及说明
概率，用事件发生的频率来作为概率的估计值，在日常生活、自然、科技领域有着广泛的应用．中学生接触这个领域的知识，无论是从今后继续深造，还是参加社会实践就业都是十分必要的．因为这些内容比较抽象，所以本套教科书采用逐渐加深，分步到位的办法．如运用列举法分析事件发生的所有可能的结果数，在七年级下册“事件的可能性”一章中已有过初步的接触，但在本章提出更高要求：即要求用双向矩阵式的表格，严格做到不重复、不遗漏．对概率的定义也一样，本章的用词更加规范、严密．值得注意的是，本套教科书是先给出概率的定义，再学习用事件发生的频率来作为概率的估计值．这样编排的好处是避免由于试验的不确定性对概率概念理解的干扰，同时还可以验证我们所理解概率定义的合理性．
（1）用概率公式计算概率，必须符合一个前提条件，即事件发生的可能性相同．不能简单认为有几种情况，不加思考认为它们一定等可能．等可能事件的概率算法是概率计算的重要基础．
（2）用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数一般有列表和画树状图两种方法．课本中仅涉及到转盘转动两次，摸球摸两次（第一次摸后，放回搅匀），一枚硬币抛掷两次或两枚硬币抛掷一次等情况，不要再扩充加深．用双向矩阵式表格来分析各种等可能情况，比较直观且方便．
（3）尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定．这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值．
三、本章重点难点分析
（1）用等可能事件的概率公式解决一些现实问题，用频率来估计事件发生的概率在生活、生产中有着广泛的应用．它有助于我们在错综复杂的情况下，分析事件的本质属性，帮助我们作出合理的判断．因此这是本章学习的重点．
（2） 等可能事件的概率的计算往往需要学生有较强的分析和综合能力；对在保持实验条件不变的情况下，随着实验次数的增加，某事件出现的频率趋于稳定，学生较难理解，是本章教学的难点．
四、本章课时安排
2．1节 简单事件的概率 2课时
2．2节 估计概率 1课时
2．3节 概率的简单应用 1课时
复习、评价2课时，机动使用1课时，合计7课时
五、 教学建议
（1）关于各套教材对概率的定义．概率的定义：我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率．“可能性大小”如果可能性的大小作为概率的定义，那末概率的大小成为可能性大小的大小．不加事件，不加大小，就说“可能性叫概率”也是不够完整的．有教材用“摸到红球的可能出现的结果数”除以“摸出一球所有可能出现的结果数”来表示摸到红球的可能性，也称为摸到红球的概率．还有的教科书用P （摸到红球）=摸到红球可能出现的结果数．这里涉及是不是“等可能”这样一个重要概念也不是很摸出一球所有可能出现的结果数
妥当．本套教科书给出的定义是：一般地，如果事件在一次试验中各种结果出现的可能大小是相等的，那么我们就说它是等可能事件．一般地，如果一次试验中所有事件可能发生的结果总数是n ，其中事件A 可能发生的结果总数是m 种，那么事件A 的概率P （A ）=m ．本n
套教科书注意到该概率公式的前提是“事件发生的可能性相同的各种结果总数，并且知道其中事件A 发生的可能的结果总数 ”则„„
本套教科书在七年级下册“事件的可能性”一章中已初步涉及概率的定义，并作为学习事件的可能性后一个自然的延伸，点到为止．从本章开始学生对概率概念有一个初步了解的基础上相对完整地学习概率的意义，进一步分清事件的等可能性并给出等可能事件的概率公式．教学中应考虑到两处的衔接及分清逐渐加深的地方．
（2）概率内容比较抽象．试验的不确定性、概率结果的唯一性，常常使学生感到困惑．所以本章的编排是以问题带概念形式来展开的，教学中应多选取贴近学生生活的实际问题，引
发学生兴趣，加深对本章主要内容的理解．正因为这个原因，本套教科书采用循序渐进的方式，不断加深．到本章为止，义务教育阶段的概率内容全部到位学完．
（3）根据《数学课程标准》(实验稿) ，“概率与统计”这块内容到这里已全部学完．应适当注意统计与概率之间的内在联系，频率作为概率的估计值就是体现两者联系的一个方面．用频率的近似值估计概率，在教学中有两点要引起重视．一是实验条件不变；二是随着实验次数的增加，频率趋于稳定，这个稳定值可作为概率的估计值．实验条件不变实际上不容易做到，有条件的话用计算机模拟实验，教学效果将更好．
六、 注意问题
（1）课本P31列表：要注意首先是双向，这也是矩阵的初步，第一次在列，第二次在行．表格中列在前，行在后．其次若三个红球，要分红1、红2、红3．虽然都是红球，但摸到不同的红球不标号是不能表达清楚的．
（2）本章没有C 组题，也没有探究活动．这与本章的内容有关．其实从内容上来讲略加延伸的题目很多，我们在开始编写时，也编写了许多的延伸的题目．但根据《数学课程标准》(实验稿) 的要求，本章主要是培养学生运用数据进行推理的思考方法；熟悉统计与概率的基本思想方法，从而使他们逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度；让学生了解随机现象也有助于形成科学的世界观和方法论．而这里一不小心就可能超范围、超要求．但本章有一个设计题，设计题是让学生体验用频率来估计概率．这个设计题有一个好处，是没有预先确定的答案．不管怎么都不会出现偏离正确答案的尴尬，但在进行时，还是要求有相同的抛掷条件．建议做一个架子，下面比较光滑的桌面，或用水平的玻璃面．
（3）课本P42第3题：注意培养学生分情况讨论的思想，注意分析题目中的条件．本题要考虑若小王没参加晚会，则小王获奖的概率为0；若小王参加晚会，则小王获奖的概率为1 328
（4）计算器模拟实验．抛硬币，骰子，转盘，摸球一般受工具限制很难达到较高的精度，譬如转盘，很可能出现误差很大的尴尬．一般地函数型计算器都有随机数的功能，这时可采用计算器摸拟的办法．
可以随机产生一个从0—0.999的具有三位有效数字的随机数．
具体按键顺序为：2ndF → RANDOM → 0 → ENT
随机摸仿骰子：产生1—6的数字．
按键顺序为：2ndF → RANDOM → 1 → ENT
模仿掷硬币：产生0，1两个数．
按键顺序为：2ndF → RANDOM → 2 → ENT 随机整数：可随机产生0—99之间的整数． 按键顺序为：2ndF → RANDOM → 3 → ENT
因为函数计算器都产生0—0.999随机数的功能，有时可采用可以采用转化的办法．如规定0---0.499作为正面，0.500—0.999作为反面，则可以摸仿抛硬币．
用Excel 更方便求出随机数．= ROUND（35 * RAND( ) + 0.5 ，） 中间数字是35可产生从1—35之间一个随机数．
“第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系”教材分析
本章是继九年级上册圆的基本性质学习的基础上, 作了延续和发展, 从而让学生在初中阶段比较系统、完整地学习圆的知识．本章的主要内容是直线与圆、圆与圆的位置关系，以及各种位置关系的判定和性质．本章是今后学习解析几何等知识的重要基础．由于本章所研究的问题往往是直线形与曲线形交织在一起，解决问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识，所以将本章编写在这里．
本章的重点是圆的切线和圆与圆相切的判定及性质．利用直线与圆、圆与圆的位置关系的判断与性质解决实际问题需要学生较强的理解能力及转化能力，综合程度较高，是本章的主要难点．
本章教学时间约需10课时，具体安排如下： 3.1直线与圆的位置关系 3课时 3.2三角形的内切圆 1课时 3.3圆与圆的位置关系 1课时 复习、评价 3课时 机动使用 2课时 合计 10课时． 一、教科书内容和课程教学目标 （1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
（3）本章教学要求
① 探索并了解直线与圆以及圆与圆的位置关系．
② 了解三角形的内切圆和内心，会进行简单的作图与计算． ③ 了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系． ④ 能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． ⑤ 会进行涉及两圆位置关系的简单计算．
⑥ 会综合运用直线与圆、圆与圆的位置关系解决简单的实际问题． 二、本章教材分析和编写特点
1．课本首先从观察日出让学生抽象出直线与圆的三种位置关系，而后让学生以画图的方式呈现直线与圆的三种位置关系，从中思考总结得出直线与圆位置关系的性质．课本分两节给出了圆的切线的判定与性质．通过“合作学习”，让学生经历圆的切线的判定与性质的得出过程，而后通过两个典型例题教会学生有关圆的切线的判定与性质的运用，及时巩固所学的新知识．特别是用了生活中的实际问题，让学生更能体会到学习此内容的必要性和重要性．课本以一个生活中很常见的例子引入了三角形的内切圆．让学生容易接受，很快的进入新内容的学习．课本让学生在按要求画图中，观察总结出两圆相切时的特点和性质．而后通过拼图让学生感受两圆的其他位置关系，在很直观的操作中得出两圆相交、外离、内含的特点．
2．课本将数学的抽象内容与生产生活实际相联系．在章前图和节前图中提供了直线与圆、圆与圆的位置关系的实际背景，在章前语和节前语中用实际问题引入本章或本节的内容．例如，章前语中引导学生观察日出过程与手表内芯的齿轮装置，很直观的引出直线与圆、圆与圆的位置关系．再如，从一块三角形钢化玻璃上如何裁下一个半径尽可能大的圆，从这个实际问题中引入三角形内切圆的概念及画法．
3．重视运用直线与圆、圆与圆的位置关系的有关知识解决简单的实际问题．
第一节例1判断货船会不会进入暗礁区，把这个实际问题转化为判断货船航线所在的直线与暗礁圆区的位置关系．第一节例3判断四个城市会不会受到台风的影响，把这个实际问题转化为表示城市的点是否会落在台风圆区的两条切线所夹的区域内来解决．第一节例4
利用圆的切线的性质来解决木工师傅用角尺测量并计算圆的半径．第三节例1利用两圆相切的规律来解决从一个直径50毫米的圆形铁片冲压出四个全等小圆片，求小圆片的最大直径． 4．重视合作学习的设计，让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳出直线与圆、圆与圆的位置关系的判定与性质等．例如，第1节的“合作学习”是让学生画圆，从中探索出直线与圆的三种位置关系的性质，直观明了，容易理解．再如，第2节的“合作学习”是从一块三角形钢化玻璃上如何裁下一个半径尽可能大的圆，让学生在合作学习中理解三角形的内切圆的概念，也让学生很快学会如何作三角形的内切圆．
5．重视探究活动的设计，让学生的知识和数学学习方法得以引申和拓展
本章设计了两个探究活动．第1节的探究活动是数学的分类思想，一方面巩固利用切线的判定过圆上一点作圆的切线，另一方面引申和拓展了过圆外一点作圆的切线有两条切线，且切线长相等．第2节的探究活动揭示了在一个圆中弦心距相等的弦一定相等，让学生在探究中体验数学的神奇，激发求知欲和学习数学的兴趣． 三、教学建议
（一）探究直线与圆、圆与圆的位置关系具有一定的抽象性，需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力．在教学中应遵循辩证唯物主义认识论的基本观点，从直观到抽象，从感性到理性，通过观察、画图让学生经历感知直线与圆、圆与圆的各种位置关系，让学生在画图、拼图中思考并归纳总结出．直线与圆、圆与圆各种位置关系的判定与性质的证明过程复杂，要求较高的推理能力，课本中作了淡化处理．
（二）在教学中应该避免过繁过难的几何推理题．证明与合情推理并存．这样既降低了学生学习的难度，又加强了学生的思维能力和逻辑推理能力．如本章第3节例1中利用图形的对称性，直接得到四边形ABCD 是正方形．这种合情推理在教学中应该加强．
（三）重视直线与圆、圆与圆的位置关系的实际问题背景设计和直线与圆、圆与圆的位置关系在生活实际中的应用．数学来源于生产生活实际，反过来又应用于解决生产生活实际问题，教学中要充分利用课本中有关的实际问题背景的设计，注意从实际问题出发引入直线与圆、圆与圆的位置关系，并通过实际问题的直观，归纳出直线与圆、圆与圆的位置关系的判定与性质．让学生在实际问题的解决中感受直线与圆、圆与圆的位置关系学习的重要性． （四）注意把握教学要求．在本章要加强学生论证和推理能力．本章所研究的问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识，这对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力是相当有好处的，在教学中抓住此机会使学生解决问题的能力有较大的飞跃．但与老教材相比, 本章内容要求有所降低．应《数学课程标准》(实验稿) 的要求，一些定理, 如切线长定理,
相交弦定理等都不再出现．因此教师在教学时应把握难度，不要擅自拓展．
“第4章 投影与三视图”教材分析
本章内容无论是对于学生还是对于老师来说都是一章全新的内容，是老教材中从未涉及过的一个内容．
空间观念的形成是一个长期的过程．而使学生具有良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标，为此，本套教科书设计了一系列反映空间观念的内容．如七年级上册的“图形的初步知识”，七年级下册 的“图形和变换”八年级上册“直棱柱”“图形与坐标”等．在此基础上本章继续研究的“投影与三视图”，这也是反映空间观念的重要内容． 本章的主要内容有视角、盲区、平行投影、中心投影和简单物体的三视图．视角、盲区、投影的概念是第一次出现，它们与日常生活密切相关，这块知识的学习能丰富学生观察、操作、想象、交流等活动的经验和体验，有效发展学生的空间观念．在八年级上册“直棱柱”一章的学习中，已经直观地给出三视图概念，介绍直棱柱的三视图的规则和基本画法．本章将从投影的角度来认识三视图，学习圆柱、圆锥、球以及简单物体的三视图．
投影是生活中常见的现象，而三视图又是特殊投影的产物．投影与三视图的知识在日常生活和生产中有广泛的应用，是培养学生空间观念的有效平台．因此，本章的教学重点是投影与三视图．由于空间图形是三维的，位置的确定必须从三个方面来衡量，而平面图形是二维的，它只需从两个方面进行衡量，因此画三视图需要人的思维不断在二维和三维之间转换．这对学生的空间想象能力要求较高，是本章的教学难点． 本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 4.1 视角与盲区 1课时 4.2 投影 2课时 4.3 简单物体的三视图 2课时
复习、评估2课时，机动使用1课时，合计8课时． 一、 教科书内容和课程教学目标 1、
本章知识结构框架图如下：
2、
本章的教学目标如下：
3．本章教学要求
(1)通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用．
(2)通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单的应用，初步形成物体与其投影之间的相互转化．
(3)会画圆柱、圆锥、球的三种视图．
(4)通过实例能够判断简单物体的三种视图，能根据三种视图描述基本几何体或实物原型，实现简单物体与其三种视图之间的相互转化．
(5)通过学习和实践活动，激发学生对视图与投影学习的好奇心，体会数学与现实生活的联系．
二、本章编写特点
1．素材来源于学生的现实．三维空间是人类生存的现实空间，它为我们的学习提供了大量现实的素材．在本章内容的呈现方式上，正文充分利用现实生活中的素材，使学生在观察的基础上，抽象出空间图形，然后归纳出它们的结构特征，把握图形的特点．例题、习题中部分题目也注意与生产生活的联系．
2．给学生提供探索与交流的时间和空间．从概念的引出到性质的探究，课本都提供了探索与交流的时间和空间．如在探究平行投影与中心投影的特征时，课本不仅提供了探究的空间，而且给出了具体的合作探究的内容与方法．
3．在八年级上册“直棱柱”一章中，通过从三个不同方向观察，直观地得出三种视图的概念与画法．本章在学习投影后从正投影的角度重新认识三视图，这样使三视图的内容逐级递进、螺旋上升，符合学生的数学认知规律．
三、 教学建议
1．学生经验是发展空间观念的基础．学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源．培养空间观念要将视野拓展到生活的空间，重视现实世界中有关空间与图形的问题．
2．视角、盲区等名称在日常生活中使用频率非常高，在数学教科书中学习这些概念非常有必要，很好体现了新课程的理念——数学来源生活，学习数学又为生活服务．在教学中，要注意这里的知识与生活联系，从实际事例背景中引出概念．
3．对中心投影和平行投影，只要求学生通过实例了解这种现象，不要求学生从严格的教学意义上去理解，但要求学生了解其区别．教学中可以充分展示生活中的事例，也可让学生根据已有的知识去寻找，丰富他们的经验，拓展他们的空间观念．
4．本章进一步对特殊的几何体——圆柱、圆锥、球的三视图进行识别并能画出其三种视图．除此之外，本章还对平行投影与中心投影，视点、视线和盲区进行初步的探讨．这些内容看似相互独立，但本质上却有着密切的联系．事实上，在特殊位置下物体的平行投影便是物体的三种视图；人看物体时情形与中心投影本质上是一致的；影子与盲区也有很大的相似性．教学中要加强知识之间的有机整合，前后贯通．
5．有条件的话，教学中要尽可能地使用计算机动画展示投影等现象，增强学生的直观感受，提高学生的学习兴趣，更好地认识空间几何体，提高几何直观能力，促进对知识的理解．
四、本章教学中应注意的问题
1、在圆柱、圆锥、球的视图学习中，要引导学生寻找圆锥、圆柱、球的三种视图的异同，并注意在三视图中虚线的意义与运用．
2．严谨适度，把握教学要求．画投影与三视图是本章的一个重要教学目标．在画投影的练习中，一般会给出某些点或线段在投影面上的投影．画图时只需根据这些信息在投影面上较准确地画出其他点或线的投影．练习中不应任意拔高画图的要求．同样要严格控制画三视图的要求．三视图教学应以常见的几种简单几何体及其简单组合体的三视图为主，不要求画复杂几何体的三视图．