概率论与数理统计
概率论和数理统计六大类考点
1、随机事件和概率
2、一维随机变量及其分布
3、多维随机变量及其分布
4、随机变量的数字特征
5、大数定律和中心极限定理
6、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验
第一讲 随机事件和概率
随机事件和概率部分主要考点
1、随机事件的关系与运算
2、古典型概率与几何型概率
3、概率与条件概率的性质与基本公式
4、事件的独立性与独立重复试验
一、随机事件的关系与运算
例1
件:"第二次抽取到的是正品". 试用文字叙述下列事件: (1) A 1A 2∪A 2A 3∪A 1A 3;
再用表示下列事件:
从一批产品中每次一件抽取三次, 用A i (i =1, 2, 3) 表示事(2) A 1A 2A 3; (4) A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3(6) 至少有一件次品; (8) 取到次品不多于一件- 1 -(3) A 1∪A 2∪A 3; (5) 都取到正品; (7) 只有一件次品;
例2 A , B 为任意两事件, 则事件
(A ) A −C (A −B ) ∪(B −C ) 等于事件
(B ) A ∪(B −C )
(C ) (A −B ) −C
(D ) (A ∪B ) −BC
例3
设事件A 和B 满足条件AB =A B , 则 (A ) A ∪B =φ. (B ) A ∪B =Ω.
(C ) A ∪B =A . (D ) A ∪B =B .
二、古典型概率与几何形概率
例4
求这4只鞋中至少有两只
能配成一双的概率.
例5
随机地向半圆{(x , y ) |00, 是常数) 内掷一点，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于的概率为4π
例6
则这两个数之差的绝对值小于
1的概率为
在区间(0, 1) 中随机地取两个数, 2. - 2 -
三、概率与条件概率
1、基本性质
2、重要公式
例7
随机事件A , B , 满足P (A ) =P (B ) =
(A ) A ∪B =Ω
(C ) P (A ∪B ) =1(B ) AB =φ(D ) P (A −B ) =0 和P (A ∪B ) =1, 则有
例8
已知P (A ∪B ) =0. 6,
则P (A ) =. 12 P (B |A ) =0. 2,
例9
设事件A , B 同时发生时,
事件C 一定发生, 则 (A ) P (C ) ≤P (A ) +P (B ) −1.
(B ) P (C ) ≥P (A ) +P (B ) −1.
(C ) P (C ) =P (AB ).
(D ) P (C ) =P (A ∪B ).
例10
设X , Y 为随机变量, 且P (X ≥0, Y ≥0) =3, 7
P (X ≥0) =P (Y ≥0) =4, 试求下列事件的概率: A ={max(X , Y ) ≥0};
B ={max(X , Y )
. C ={max(X , Y ) ≥0, min(X , Y )
例11 从数1, 2, 3, 4中任取一个数, 记为X ,
例12
15名和25名考生的报名 设有来自三个地区的各10名、
表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份. 随机地(1) 求先抽取的一份是女生表的概率p ;
是女生表的概率q . 再从1, , X 中任取一个数, 记为Y , 则P {Y =2}=. 取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份. (2) 已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份
例13
已知100件产品中有10件正品, 90件次品. 每次使用 正品时肯定不会发生故障, 而在每次使用次品时, 有10%的可能性发生故障. 现从100件产品中随机地 多大时, 才能有70%以上的把握认为该产品为正品.
四、事件的独立性与独立重复试验
1、事件的独立性
2、独立重复试验 抽取一件, 若使用了n 次均未发生故障, 则n 至少为
例14
设0
且P (B |A ) +P (B |A ) =1, 则必有
(A ) P (A |B ) =P (A |B )
(B ) P (A |B ) ≠P (A |B )
(C ) P (AB ) =P (A ) P (B )
(D ) P (AB ) ≠P (A ) P (B ) - 4 -
例15
已知A , B , C 三事件中A 与B 相互独立，
(A ) 相互独立 P (C ) =0, 则A , B , C 三事件 (B ) 两两独立，但不一定相互独立
(C ) 不一定两两独立
例16
对于任意二事件A 和B ，
(A ) 若AB ≠φ，则A , B 一定独立. (D ) 一定不两两独立
(B ) 若AB ≠φ，则A , B 有可能独立.
(D ) 若AB =φ，则A , B 一定不独立.
例17
对于任意二事件A 和B , 已知0
(B ) 若B ⊂A ，则A , B 一定不独立.
(D ) 若A =B ，则A , B 一定不独立.
例18(C ) 若AB =φ，则A , B 一定不独立.
设A , B , C 是相互独立的随机事件,
且0
给定的四对事件中不相互独立的是
(B ) AC 与C .
(C ) A −B 与C . (D ) AB 与C .
- 5 - (A ) A +B 与C .
例19 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件: A 1={掷第一次出现正面}, A 2={掷第二次出现正面},
(B ) A 2, A 3, A 4相互独立. A 3={正反面各出现一次}, A 4={正面出现两次}, 则事件
(A ) A 1, A 2, A 3相互独立.
(C ) A 1, A 2, A 3两两独立. (D ) A 2, A 3, A 4两两独立. 例20
设事件A , B , C 两两独立, 且ABC =φ,
9, 求P (A ). 16 P (A ) =P (B ) =P (C ). A , B , C 至少有 一个发生的概率为 例21
已知P (A ) =a , P (B ) =b , A 与B 独立, 如果C 发生, 必然导致A 与B 同时发生,
. 则A , B , C 都不发生的概率为
例22
命中目标的概率为p (0
2次命中目标的概率为2(A ) 3p (1−p ) . (B ) 6p (1−p ) . 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击
(C ) 3p 2(1−p ) 2.
例23(D ) 6p 2(1−p ) 2.
做一系列独立试验, 每次试验成功的概率 A =" 4次失败在第3次成功之前" ;
B =" 成功10次之前至多失败2次" ;
C =" 现进行n 次重复试验, 已知试验没有都是p , 试求下列事件的概率: 全部失败, 成功不止一次".
- 6 -
第二讲 一维随机变量及其分布
随机变量及其概率分布主要考点
1、随机变量的分布函数
2、离散型随机变量的概率分布
3、连续型随机变量的概率密度
4、常见随机变量的概率分布及其应用
5、随机变量函数的分布
一、随机变量的分布函数
例1
设随机变量X 的分布函数为
⎧x
F (x ) =⎪0,
⎨5x +7, −1≤
⎪1616x
⎩1, x ≥1.
则P (X 2
=1) =.
例2
设随机变量X 的分布函数为
⎧⎪0, x
1
F (x ) =⎨, 0≤x
⎪2
⎩1−e −x , x ≥1.
则P (X =1) =.
(A ) 0(B ) 11
2(C ) 1−e −(D ) 1−e −1
2
- 7 -
二、离散型随机变量的概率分布 例3
. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布, 则P (X =EX 2) =
例4
设随机变量X 的概率分布为P (X =k ) =
2则k =0, 1, 2,..., EX = c k !
.
三、连续型随机变量的概率密度 例5
设X 1和X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量, 为F 1(x ) 和F 2(x ), 则
(B )
它们的概率密度分别为f 1(x ) 和f 2(x ), 分布函数分别(A ) f 1(x ) +f 2(x ) 必为某一随机变量的概率密度. f 1(x ) f 2(x ) 必为某一随机变量的概率密度. (C ) F 1(x ) +F 2(x ) 必为某一随机变量的分布函数. (D ) F 1(x ) F 2(x ) 必为某一随机变量的分布函数. 例6
设F 1(x ) 与F 2(x ) 为两个分布函数,
其相应的概率密度f 1(x ) 与f 2(x )
是连续函数, 则必为概率密度的是
(A ) f 1(x ) f 2(x )(B ) 2f 2(x ) F 1(x )
(D )
例7(C ) f 1(x ) F 2(x ) f 1(x ) F 2(x ) +f 2(x ) F 1(x )
已知随机变量Ｘ的概率密度函数
f (x ) =1−x e , −∞
例8 设随机变量Ｘ的概率密度为
⎧1−x , x
(1) X 的分布函数F (x );
1(2) 概率P (−2
例9
设随机变量X 的概率密度为
⎧Ae −x x >λ, f (x ) =⎨A 为常数, λ>0, ≤0. x λ⎩ 则：P (λ0)
(A ) 与a 无关, 随λ增大而增大;
(C ) 与λ无关, 随a 增大而增大;
(D ) 与λ无关, 随a 增大而减小.
例10
设随机变量X 的概率密度为
⎧3若x ∈[0, 1], ⎪f (x ) =⎨2若x ∈[3, 6], ⎪0其他. ⎩
3(B ) 与a 无关, 随λ增大而减小; 若使得P {X ≥k }=2, 则k 的取值
范围是______
例11
F (x ) 是X 的分布函数, 则对任意实数a , 有
a 设随机变量X 的密度函数为ϕ(x ), 且ϕ(−x ) =ϕ(x ). a (A ) F (−a ) =1−∫0ϕ(x ) dx . (B ) F (−a ) =1−∫0ϕ(x ) dx .
(C ) F (−a ) =F (a ).
2(D ) F (−a ) =2F (a ) −1. 四、常见随机变量的概率分布及其应用 - 9 -
例12
已知X ~U (a , b ), (a >0), 1P (0
(1) X 的概率密度; (2) P (1
例13
DX ) =. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则P (X >
例14
−x 设随机变量X 的密度为f (x ) =Ae 2+x ,
−∞
例15
方差为σ2的正态分布，且
例16若随机变量X 服从均值为2， P {2
设X ~N (μ, σ2), F (x ) 为其分布函数, μ
(A ) F (−a ) +F (a ) >1. (B ) F (−a ) +F (a ) =1.
(C ) F (−a ) +F (a )
例17
设随机变量X 服从正态分布N (0, 1), 对给定若P (X
u α
2的α(0u α) =α, (A ) (B ) u 1−α
2(C ) u 1−α2(D ) u 1−α- 10 -
例18
设f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度,
f 2(x ) 为[−1, 3]上的均匀分布的概率密度,
⎧af 1(x ) x ≤0若f (x ) =⎨(a >0, b >0) 为概率密度, bf x x () >0⎩2 则应a , b 满足
(A ) 2a +3b =4
(C ) a +b =1. (B ) 3a +2b =4(D ) a +b =2
五、随机变量函数的分布 例19
设随机变量X 的概率密度为
⎧1⎪, −1≤x
⎪⎪其他. ⎩0,
令Y =X 2, 试求Y 的概率密度f Y (y ).
例20
设X 服从参数为2的指数分布,
设X ~E (λ), 则Y =min {X , 2}的分布函数
(A ) 是连续函数.
(B ) 至少有两个间断点. 例21证明:随机变量Y =1−e −2X 服从U (0, 1).
(C ) 是阶梯函数.
(D ) 恰好有1个间断点. - 11 -
第三讲 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其概率分布部分主要考点
1、随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布
2、二维随机变量的独立性
3、二维随机变量函数的分布
一、二维随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布 例1
设二维随机变量(X , Y ) 的概率分布为
其中a , b , c 为常数, 且X 的数学期望EX =−0. 2,
P {Y ≤0|X ≤0}=0. 5, 记Z =X +Y . 求
(I ) a , b , c 的值; (II ) Z 的概率分布; (III ) P {X =Z }.
例2
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
f (x , y ) =Ae −2x 2+2xy −y 2,
−∞
求常数A 及条件概率密度f Y X (y x ).
设二维随机变量(X , Y ) 的概率
密度为:
⎧6x , 0≤x ≤y ≤1, f (x , y ) =⎨其他, ⎩0,
则P {X +Y ≤1}=_____. 例3- 12 -
例4 ⎧e −x , 0
(II ) 求条件概率P {X ≤1≤1}.
例5
设随机变量X 在区间(0, 1) 上服从均匀分布, 在服从均匀分布, 求:
随机变量X 和Y 的联合概率密度;
(II ) Y 的概率密度; X =x (0
两种常见的二维连续型随机变量 (III ) 概率P {X +Y >1}. 例6
1及直线y =0, x
x =1, x =e 2所围成, 二维随机变量(X , Y ) 设平面区域D 由曲线y = 在区域D 上服从均匀分布，则(X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在x =2处的值为____. 例7
假设二维随机变量(X , Y ) 在区域
记:G =(x , y ) |x 2+y 2≤1, y ≥0上服从均匀分布, {}
⎧0X
求(U , V ) 的概率分布及P (UV ≠0) - 13 -
11设(X , Y ) ~N (1, 2; 1, 4; −) 且P (aX +bY ≤1) = 22
则(a , b ) 可以为: 11111111(A ) (, −) (B )(, −(C )(−, (D )(, ) 24424224
例9
设随机变量X 和Y 都服从正态分布,
(A ) X 与Y 一定独立. 且它们不相关, 则 (B ) (X , Y ) 服从二维正态分布.
二、二维随机变量的独立性
例10(C ) X 与Y 未必独立. (D ) X +Y 服从一维正态分布.
设随机变量X 和Y 相互独立, 下表列出二维随机变量
(X , Y ) 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中 例11
设两个随机变量X 与Y 独立且同分布:
11P {X =−1}=P {Y =−1}=, P {X =1}=P {Y =1}=, 22
则下列各式中成立的是1(A ) P {X =Y }=. 2(B ) P {X =Y }=1. (C ) 11P {X +Y =0}=. (D ) P {XY =1}=. 44
例12 设二维随机变量(X , Y ) 的概率分布为
若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 则a =_____,b =_____.
例13
已知随机变量
X 1和X 2的概率分布⎡−111⎤
X ⎢10
⎢111⎤⎥, X ~⎡⎢0
1~2⎥
⎣424⎥⎦⎢1
⎣22⎦
而且P {X 1X 2=0}=1.
(1) 求X 1和X 2的联合分布;
(2) 问X 1和X 2是否独立? 为什么?
例14
设f (x , y ) =⎧⎨e −y , 0
⎩0, 其他. 试求:
(1) f X (x ) 和f Y (y );
(2) 判断X , Y 是否独立.
例15
设随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布, 且X 与Y 不相关, f X (x ), f Y (y ) 分别表示X , Y 的概率密度, 则在Y =y 的条件下, X 的条件概率密度f X |Y (x |y ) 为
(A ) f X (x ). (B ) f Y (y ).
(C ) f X (x ) f Y (y ). (D ) f X (x )
f .
Y (y ) - 15 -
三、二维随机变量函数的分布
例16
设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为
设 U =max {X , Y }, V =min {X , Y }.
求(U , V ) 的概率分布
例17
设随机变量X 与Y 独立, 其中X 的概率分布为 X ~⎛⎜
12⎞⎜0. 30. 7⎟⎟, ⎝⎠ 而Y 的概率密度为f (y ), 求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).
例18
设随机变量X 与Y 相互独立, X 的概率分布为P (X =i ) =1
1, (i =−1, 0, 1), Y 的概率密度为f Y (y ) =⎧⎨30≤y
⎧⎫1(I ) 求P ⎨Z ≤X =0⎬; (II ) 求Z 的概率密度f Z (z ). 2⎩⎭例19
设随机变量X 与Y 相互独立, 且X 服从
标准正态分布N (0, 1), Y 的概率分布为
1P {Y =0}=P {Y =1}=, 2
则函数F Z (z ) 的间断点个数为
(A ) 0. 记F Z (z ) 为随机变量Z =XY 的分布函数, (B ) 1. (C ) 2. (D ) 3. - 16 -
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧2e −(x +2y ) , x >0, y >0, f (x , y ) =⎨其他, ⎩0,
求随机变量Z =X +2Y 的分布函数. 例20 例21
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧1, 0
(I ) (X , Y ) 的边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (II ) Z =2X −Y 的概率密度f Z (z ) 例22
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧2−x −y , 0
(I ) 求P {X >2Y }; (II ) 求Z =X +Y 的概率密度f
例23z (z ).
设相互独立随机变量X 与Y 分别服从N (0, 1) 和 N (1, 1), 则
11(A ) P (X +Y ≤0) =; (B ) P (X +Y ≤1) =; 22
11(C ) P (X −Y ≤0) =; (D ) P (X −Y ≤1) =. 22
例24
设X , Y , Z 相互独立, X ~N (1, 2), Y ~N (2, 2) Z ~N (3, 7), 记a =P (X
- 17 -
第四讲 随机变量的数字特征
随机变量的数字特征部分主要考点
1、数学期望
2、方差
3、常见随机变量的数学期望与方差
4、协方差与相关系数
5、矩
一、数学期望
二、方差 例1
设X 是一个随机变量, 其概率密度为
⎧1+x , 若−1≤x ≤0,
f (x ) =⎪⎨1−x , 若0
⎪⎩0, 其他.
则方差DX =.
例2
随机变量X 的概率密度为
⎧4xe −2x , x >0,
f (x ) =⎨⎩0, x ≤0.
则D (2X −1) =.
例3
设随机变量X 的分布函数为
F (x ) =0. 3Φ(x ) +0. 7Φ(x −1
2),
其中Φ(x ) 为标准正态分布的
分布函数, 则EX =
(A ) 0. (B ) 0. 3. (C ) 0. 7. (D ) 1. - 18 -
例4
设二维随机变量(X , Y ) 服从正态分布 N (μ, μ; σ2, σ2; 0), 则E (XY 2) =
例5
设随机变量X 与Y 相互独立, 且
EX 与EY 存在, 记U =max {X , Y },
V =min {X , Y }, 则E (UV ) =
(A ) EU ⋅EV (C ) EU ⋅EY (B ) EX ⋅EY (D ) EX ⋅EV
例6
设随机变量X 和Y 的联合分布在以
点(0, 1), (1, 0), (1, 1) 为顶点的三角形 Z =X +Y 的方差.
例7
设两个随机变量X , Y 相互独立,
且都服从均值为0, 方差为1的2
正态分布, 求随机变量X −Y . 区域上服从均匀分布. 试求随机变量
例8
例9设X 与Y 相互独立且均服从N (0, 1), 求Z =X 2+Y 2的数学期望与方差.
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光; 电梯于 每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早8点的第X 分钟到底层候梯 处, 且X 在[0, 60]上服从均匀分布, 求该游客等候 时间的数学期望. - 19 -
一商店经销某种商品, 每周进货的数量X 与顾 客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间[10, 20]上的均匀分布. 商店每例10 售出一单位商品可得利润1000元, 若需求量超 每单位商品获利润为500元. 试计算此商店经销 该种商品每周所得利润的期望值. 过了进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时
三、常见随机变量的数学期望与方差 例11
设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]上服从均匀分布, X 2服从正态分布N (0, 22), X 3 Y =X
四、协方差与相关系数 服从参数为λ=3的泊松分布. 记1−2X 2+3X 3, 则DY =___.
例12
设随机变量X 和Y 的联合概率分布为 则X 2和Y 2的协方差cov(X 2, Y 2) =_____.
例13
设随机变量X 和Y 的相关系数为0. 9,
. - 20 - 若Z =X −0. 4, 则Y 与Z 的相关系数为
例14
将一枚硬币重复掷n 次, 以X 和Y
分别表示正面向上和反面向上
的次数, 则X 和Y 的相关系数等于
(B ) 0. (A ) −1.
(C ) 0. 5. (D ) 1.
例15
且相关系数ρ=1, 则XY
(A ) P {Y =−2X −1}=1.
(B ) P {Y =2X −1}=1.
(C ) P {Y =−2X +1}=1.
(D ) P {Y =2X +1}=1.
例16
设随机变量X 和Y 的相关系数为0. 5,
EX =EY =0, EX 2=EY 2=2,
. 设随机变量X ~N (0, 1), Y ~N (1, 4), 则E (X +Y ) 2=
例17
设随机变量X 1, X 2, X n (n >1) 独立同分布,
且其方差为σ2>0, 令Y =1
(A ) cov(X 1, Y ) =X , 则∑n i i =1n σ2
n n +22n +12(C ) D (X 1+Y ) =σ. (D ) D (X 1−Y ) =σ. n n . (B ) cov(X 1, Y ) =σ2.
- 21 -
例18
设X 1, X 2, X n (n >2) 为独立同分布的随机变
1n 量, 且均服从N (0, 1), 记X =n ∑X i , Y i =X i −X ,
i =1
i =1, 2, , n . 求: (I ) Y i 的方差DY i , i =1, 2, , n .
(II ) Y 1与Y n 的协方差cov(Y 1, Y n ).
(III ) P {Y 1+Y n ≤0}.
独立不相关
例19
设二维随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布,
则随机变量ξ=X +Y 与η=X −Y 不相关的
充分必要条件为 (A ) E (X ) =E (Y ).
(B ) E (X 2) −[E (X ) ]=E (Y 2) −[E (Y ) ]. 22 (C ) E (X 2) =E (Y 2).
(D ) E (X 2) +[E (X ) ]2=E (Y 2) +[E (Y ) ]2.
例20
设随机变量X 的概率分布密度为f (x ) =
−∞
(2) 求X 与X , 并问X 与X 是否不相关?
(3) 问X 与X 是否相互独立? 为什么?
五、矩
- 22 -
第五讲 大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理部分主要考点
1、切比雪夫不等式与依概率收敛
2、三个大数定律
3、两个中心极限定理
一、切比雪夫不等式与依概率收敛 例1
方差分别为1和4, 而相关系数为−0. 5, 则根据
切比雪夫不等式P {X +Y
二、三个大数定律 ≥6}≤. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为−2和2,
例2
设总体X 服从参数为2的指数分布,
X 1, X 2, X n 为来自总体X 的简单随机
收敛于
1n 2样本, 则当n →∞时, Y n =∑X i 依概率n i =1.
三、两个中心极限定理
- 23 -
设随机变量X 1, X 2, X n 相互独立,
S n =X 1+X 2+ X n , 则根据列维−林德伯格(Levy −lindberg ) 中心极限定理, 当n 充分大时, (A ) 有相同的数学期望. 例3 S n 近似服从正态分布, 只要X 1, X 2, X n
(B ) 有相同的方差.
例4
且均服从参数为λ(λ>1) 的指数分布, 记φ(x ) 为 标准正态分布函数, 则
⎧n ⎫X −n λ∑i ⎪⎪⎪i =1⎪(A ) lim P ≤x ⎨⎬=φ(x ). n →∞λn ⎪⎪⎪⎪⎩⎭设X 1, X 2, X n , 为独立同分布的随机变量列, (C ) 服从同一指数分布. (D ) 服从同一离散型分布. ⎫⎧n X i −n λ∑⎪⎪⎪⎪B ) lim P x (≤⎬=φ(x ). ⎨ n →∞⎪n ⎪⎪⎪⎭⎩ ⎧n ⎫λX −n ∑i ⎪⎪⎪⎪≤x ⎬=φ(x ). (C ) lim P ⎨ n →∞⎪n ⎪⎪⎪⎩⎭ ⎧n ⎫X −λ∑i ⎪⎪⎪i =1⎪≤x ⎬=φ(x ). (D ) lim P ⎨ n →∞⎪⎪⎪⎪⎩⎭
例5
假设X 1, X 2, X n 是来自总体X 的简单随机样本,
2已知EX k =a k (k =1, 2, 3, 4). 并且a 4−a 2>0. 证明 1n 2X i 近似服从正态 当n 充分大时, 随机变量Z n =n ∑i =1
分布, 并指出其分布参数. - 24 -
第六讲 数理统计
数理统计部分主要考点
1、基本概念
2、参数估计
3、假设检验
一、基本概念 例1
设总体X ~E (λ), 则来自总体X 的
概率密度f (x 1, x 2, x n ) =
例2
设随机变量X , Y 独立同分布, 且X 的分布函数为
(A ) F 2(x ) (B ) F (x ) F (y )
(D ) [1−F (x ) ][1−F (y ) ]简单随机样本X 1, X 2, X n 的联合. F (x ), 则Z =max {X , Y }的分布函数为 (C ) 1−[1−F (x ) ]2
例3
设总体X 的概率密度为
⎧2x , 0
X 1, X 2, X 3, X 4是取自总体X 的简单 随机样本. 则X
(4)=max (X 1, X 2, X 3, X 4). - 25 -的概率密度f X (4)(x ) =
例4
设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布
例5总体X 和Y 的简单随机样本, 则统计量U =服从分布, 参数为. N (0, 32), 而X 1, X 2, X 9和Y 1, Y 2, Y 9分别来自X + +X 12+ +Y 92
设总体X 服从正态分布N (0, 22), 而X 1, X 2, X 15
2X 12+ +X 10
11 是来自总体X 的简单随机样本, 则随机变量 Y =2X 2+ +X 215
服从
例6分布, 参数为.
设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布, 则
(A ) X +Y 服从正态分布.
(B ) X 2+Y 2服从χ2分布.
例71, 则X 2
(B ) Y ~χ2(n −1).
(D ) Y ~F (1, n ). 设随机变量X ~t (n ) (n >1), Y =(C ) X 2和Y 2都服从χ2分布. (D ) X 2/Y 2服从F 分布. (A ) Y ~χ2(n ). (C ) Y ~F (n , 1).
例8
设X 1, X 2, X n (n ≥2) 为来自总体N (0, 1) 的简单 (A ) n X ~N (0, 1). 随机样本, X 为样本均值, S 2为样本方差, 则(B ) nS 2~χ2(n ).
(n −1) X (n −1) X 12 (C ) ~t (n −1). (D ) n ~F (1, n −1). S - 26 -∑X i 2
i =2
例9 设总体X 的概率密度为f (x ) =1e −x
为S 2, 则ES 2=
例10(−∞
X , ∑n i
i =1n 是来自总体X 的一个样本, 且X =1
221n 22S =(X −X ) , 求E (X S ), D (S ). ∑i 1n −1i =1
例11
设X 1, X 2, , X n 是总体N (μ, σ2) 的简单随机样本. 2121n 1n 22记X =∑X i , S =−) , =−(X X T X S . ∑i n i =1n −1i =1n (I ) 证明T 是μ2的无偏估计量; (ET =μ2)
(II ) 当μ=0, σ=1时, 求DT .
二、参数估计
1、点估计
2、区间估计
例 12设总体X 的概率分布为
X 0 1 2 3
P
1其中 θ(0
3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值.
- 27 -
例13
2λxe 设总体X 的概率密度为f (x ) =⎧⎨⎩ 其中参数λ(λ>0) 未知, X 1, X 2, X n 为来自, x >00, 其他−λx
总体X 的简单随机样本,
(I ) 求参数λ的矩估计;
(II ) 求参数λ的最大似然估计.
例14
1−(x −μ) ⎧1 ⎪, x >μ, 设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨θe
⎪x ≤μ, 0, ⎩ 其中θ>0, μ和θ是未知参数, 从总体X 中抽取简单
随机样本X 1, X 2, X n , 求μ和θ的矩估计量和最大 似然估计量.
例15
23⎞⎛1
⎟, ⎜1−θθ−θ2θ2⎟ 设总体X 的概率分布为X ~⎜⎠⎝
其中参数θ∈(0, 1) 未知, 以N i 表示来自总体X 的 简单随机样本(样本容量为n ) 中等于i 的个数,
123 (i =1, 2, 3). 试求常数a , a , a , 使T =
无偏估计量, 并求T 的方差.
例16∑a N 为θ的i i i =13
⎧2e −2(x −θ) , x >θ, 设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨0, x ≤θ, ⎩
其中θ>0是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机 样本X 1, X 2, X n , 记θ=min(X 1, X 2, X n ).
(1) 求总体X 的分布函数F (x );
∧∧ (2) 求统计量θ的分布函数F (x ); θ∧
(3) 如果用θ作为θ的估计量, 讨论它是否具有无偏性. - 28 -∧
例17 ⎧10
设总体X 的概率密度为f (x ; θ) =⎪⎨1, θ≤x
其中参数θ(0
∧ (I ) 求参数θ的矩估计θ;
(II ) 判断4X 是否为θ2的无偏估计量, 并说明理由.
例182
设X 1, X 2,..., X n 为来自正态总体N (μ0, σ2)
的简单随机样本, 其中μ0已知, σ2未知,
X 和S 2分别表示样本均值和样本方差.
(I)求参数σ2的最大似然估计σ∧2;
(II)计算E σ
例19∧2和D σ. ∧2
⎧e −(x −θ) , x >θ, 设总体X 的概率密度为f (x , θ) =⎨x ≤θ, ⎩0, 其中θ∈(−∞, +∞), 是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机 样本X 1, X 2, X n .
∧1n 1证明θ1=∑X i −1, θ2=min(X 1, X 2, X n ) − n i =1n
是θ的两个无偏估计量, 并确定哪一个更有效. ∧
- 29 -
例20设有正态总体X ~N (μ, 8), μ为未知参数(1) 现有总体X 的10个观测值x 1, x 2, , x n , 110已知x =∑x i =1500, 求未知参数μ的10i =1置信度为0. 95的置信区间. 则n 最少应该是多少. (2) 要使得0. 95的置信区间长度不超过1,
(3) 若n =100, 那么区间x −1, x +1)作为μ
μ, σ均未知. 现从中随机抽取16个零件, 测得样本 度为0. 90的置信区间是
(A ) (20−1t 0. 05(16), 20+1t 0. 05(16)); 44
(B ) (20−1t (16), 20+1t (16)); 0. 10. 144 (C ) (20−1t (15), 20+1t (15)); 0. 050. 0544 (D ) (20−1t (15), 20+1t (15)). 0. 10. 144例21设一批零件的长度服从正态分布N (μ, σ2), 其中均值x =20(cm ), 样本标准差S =1(cm ), 则μ的置信的置信区间，则置信度是多少.
三、假设检验
- 30 -
概率论与数理统计
概率论和数理统计六大类考点
1、随机事件和概率
2、一维随机变量及其分布
3、多维随机变量及其分布
4、随机变量的数字特征
5、大数定律和中心极限定理
6、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验
第一讲 随机事件和概率
随机事件和概率部分主要考点
1、随机事件的关系与运算
2、古典型概率与几何型概率
3、概率与条件概率的性质与基本公式
4、事件的独立性与独立重复试验
一、随机事件的关系与运算
例1
件:"第二次抽取到的是正品". 试用文字叙述下列事件: (1) A 1A 2∪A 2A 3∪A 1A 3;
再用表示下列事件:
从一批产品中每次一件抽取三次, 用A i (i =1, 2, 3) 表示事(2) A 1A 2A 3; (4) A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3(6) 至少有一件次品; (8) 取到次品不多于一件- 1 -(3) A 1∪A 2∪A 3; (5) 都取到正品; (7) 只有一件次品;
例2 A , B 为任意两事件, 则事件
(A ) A −C (A −B ) ∪(B −C ) 等于事件
(B ) A ∪(B −C )
(C ) (A −B ) −C
(D ) (A ∪B ) −BC
例3
设事件A 和B 满足条件AB =A B , 则 (A ) A ∪B =φ. (B ) A ∪B =Ω.
(C ) A ∪B =A . (D ) A ∪B =B .
二、古典型概率与几何形概率
例4
求这4只鞋中至少有两只
能配成一双的概率.
例5
随机地向半圆{(x , y ) |00, 是常数) 内掷一点，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于的概率为4π
例6
则这两个数之差的绝对值小于
1的概率为
在区间(0, 1) 中随机地取两个数, 2. - 2 -
三、概率与条件概率
1、基本性质
2、重要公式
例7
随机事件A , B , 满足P (A ) =P (B ) =
(A ) A ∪B =Ω
(C ) P (A ∪B ) =1(B ) AB =φ(D ) P (A −B ) =0 和P (A ∪B ) =1, 则有
例8
已知P (A ∪B ) =0. 6,
则P (A ) =. 12 P (B |A ) =0. 2,
例9
设事件A , B 同时发生时,
事件C 一定发生, 则 (A ) P (C ) ≤P (A ) +P (B ) −1.
(B ) P (C ) ≥P (A ) +P (B ) −1.
(C ) P (C ) =P (AB ).
(D ) P (C ) =P (A ∪B ).
例10
设X , Y 为随机变量, 且P (X ≥0, Y ≥0) =3, 7
P (X ≥0) =P (Y ≥0) =4, 试求下列事件的概率: A ={max(X , Y ) ≥0};
B ={max(X , Y )
. C ={max(X , Y ) ≥0, min(X , Y )
例11 从数1, 2, 3, 4中任取一个数, 记为X ,
例12
15名和25名考生的报名 设有来自三个地区的各10名、
表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份. 随机地(1) 求先抽取的一份是女生表的概率p ;
是女生表的概率q . 再从1, , X 中任取一个数, 记为Y , 则P {Y =2}=. 取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份. (2) 已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份
例13
已知100件产品中有10件正品, 90件次品. 每次使用 正品时肯定不会发生故障, 而在每次使用次品时, 有10%的可能性发生故障. 现从100件产品中随机地 多大时, 才能有70%以上的把握认为该产品为正品.
四、事件的独立性与独立重复试验
1、事件的独立性
2、独立重复试验 抽取一件, 若使用了n 次均未发生故障, 则n 至少为
例14
设0
且P (B |A ) +P (B |A ) =1, 则必有
(A ) P (A |B ) =P (A |B )
(B ) P (A |B ) ≠P (A |B )
(C ) P (AB ) =P (A ) P (B )
(D ) P (AB ) ≠P (A ) P (B ) - 4 -
例15
已知A , B , C 三事件中A 与B 相互独立，
(A ) 相互独立 P (C ) =0, 则A , B , C 三事件 (B ) 两两独立，但不一定相互独立
(C ) 不一定两两独立
例16
对于任意二事件A 和B ，
(A ) 若AB ≠φ，则A , B 一定独立. (D ) 一定不两两独立
(B ) 若AB ≠φ，则A , B 有可能独立.
(D ) 若AB =φ，则A , B 一定不独立.
例17
对于任意二事件A 和B , 已知0
(B ) 若B ⊂A ，则A , B 一定不独立.
(D ) 若A =B ，则A , B 一定不独立.
例18(C ) 若AB =φ，则A , B 一定不独立.
设A , B , C 是相互独立的随机事件,
且0
给定的四对事件中不相互独立的是
(B ) AC 与C .
(C ) A −B 与C . (D ) AB 与C .
- 5 - (A ) A +B 与C .
例19 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件: A 1={掷第一次出现正面}, A 2={掷第二次出现正面},
(B ) A 2, A 3, A 4相互独立. A 3={正反面各出现一次}, A 4={正面出现两次}, 则事件
(A ) A 1, A 2, A 3相互独立.
(C ) A 1, A 2, A 3两两独立. (D ) A 2, A 3, A 4两两独立. 例20
设事件A , B , C 两两独立, 且ABC =φ,
9, 求P (A ). 16 P (A ) =P (B ) =P (C ). A , B , C 至少有 一个发生的概率为 例21
已知P (A ) =a , P (B ) =b , A 与B 独立, 如果C 发生, 必然导致A 与B 同时发生,
. 则A , B , C 都不发生的概率为
例22
命中目标的概率为p (0
2次命中目标的概率为2(A ) 3p (1−p ) . (B ) 6p (1−p ) . 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击
(C ) 3p 2(1−p ) 2.
例23(D ) 6p 2(1−p ) 2.
做一系列独立试验, 每次试验成功的概率 A =" 4次失败在第3次成功之前" ;
B =" 成功10次之前至多失败2次" ;
C =" 现进行n 次重复试验, 已知试验没有都是p , 试求下列事件的概率: 全部失败, 成功不止一次".
- 6 -
第二讲 一维随机变量及其分布
随机变量及其概率分布主要考点
1、随机变量的分布函数
2、离散型随机变量的概率分布
3、连续型随机变量的概率密度
4、常见随机变量的概率分布及其应用
5、随机变量函数的分布
一、随机变量的分布函数
例1
设随机变量X 的分布函数为
⎧x
F (x ) =⎪0,
⎨5x +7, −1≤
⎪1616x
⎩1, x ≥1.
则P (X 2
=1) =.
例2
设随机变量X 的分布函数为
⎧⎪0, x
1
F (x ) =⎨, 0≤x
⎪2
⎩1−e −x , x ≥1.
则P (X =1) =.
(A ) 0(B ) 11
2(C ) 1−e −(D ) 1−e −1
2
- 7 -
二、离散型随机变量的概率分布 例3
. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布, 则P (X =EX 2) =
例4
设随机变量X 的概率分布为P (X =k ) =
2则k =0, 1, 2,..., EX = c k !
.
三、连续型随机变量的概率密度 例5
设X 1和X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量, 为F 1(x ) 和F 2(x ), 则
(B )
它们的概率密度分别为f 1(x ) 和f 2(x ), 分布函数分别(A ) f 1(x ) +f 2(x ) 必为某一随机变量的概率密度. f 1(x ) f 2(x ) 必为某一随机变量的概率密度. (C ) F 1(x ) +F 2(x ) 必为某一随机变量的分布函数. (D ) F 1(x ) F 2(x ) 必为某一随机变量的分布函数. 例6
设F 1(x ) 与F 2(x ) 为两个分布函数,
其相应的概率密度f 1(x ) 与f 2(x )
是连续函数, 则必为概率密度的是
(A ) f 1(x ) f 2(x )(B ) 2f 2(x ) F 1(x )
(D )
例7(C ) f 1(x ) F 2(x ) f 1(x ) F 2(x ) +f 2(x ) F 1(x )
已知随机变量Ｘ的概率密度函数
f (x ) =1−x e , −∞
例8 设随机变量Ｘ的概率密度为
⎧1−x , x
(1) X 的分布函数F (x );
1(2) 概率P (−2
例9
设随机变量X 的概率密度为
⎧Ae −x x >λ, f (x ) =⎨A 为常数, λ>0, ≤0. x λ⎩ 则：P (λ0)
(A ) 与a 无关, 随λ增大而增大;
(C ) 与λ无关, 随a 增大而增大;
(D ) 与λ无关, 随a 增大而减小.
例10
设随机变量X 的概率密度为
⎧3若x ∈[0, 1], ⎪f (x ) =⎨2若x ∈[3, 6], ⎪0其他. ⎩
3(B ) 与a 无关, 随λ增大而减小; 若使得P {X ≥k }=2, 则k 的取值
范围是______
例11
F (x ) 是X 的分布函数, 则对任意实数a , 有
a 设随机变量X 的密度函数为ϕ(x ), 且ϕ(−x ) =ϕ(x ). a (A ) F (−a ) =1−∫0ϕ(x ) dx . (B ) F (−a ) =1−∫0ϕ(x ) dx .
(C ) F (−a ) =F (a ).
2(D ) F (−a ) =2F (a ) −1. 四、常见随机变量的概率分布及其应用 - 9 -
例12
已知X ~U (a , b ), (a >0), 1P (0
(1) X 的概率密度; (2) P (1
例13
DX ) =. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则P (X >
例14
−x 设随机变量X 的密度为f (x ) =Ae 2+x ,
−∞
例15
方差为σ2的正态分布，且
例16若随机变量X 服从均值为2， P {2
设X ~N (μ, σ2), F (x ) 为其分布函数, μ
(A ) F (−a ) +F (a ) >1. (B ) F (−a ) +F (a ) =1.
(C ) F (−a ) +F (a )
例17
设随机变量X 服从正态分布N (0, 1), 对给定若P (X
u α
2的α(0u α) =α, (A ) (B ) u 1−α
2(C ) u 1−α2(D ) u 1−α- 10 -
例18
设f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度,
f 2(x ) 为[−1, 3]上的均匀分布的概率密度,
⎧af 1(x ) x ≤0若f (x ) =⎨(a >0, b >0) 为概率密度, bf x x () >0⎩2 则应a , b 满足
(A ) 2a +3b =4
(C ) a +b =1. (B ) 3a +2b =4(D ) a +b =2
五、随机变量函数的分布 例19
设随机变量X 的概率密度为
⎧1⎪, −1≤x
⎪⎪其他. ⎩0,
令Y =X 2, 试求Y 的概率密度f Y (y ).
例20
设X 服从参数为2的指数分布,
设X ~E (λ), 则Y =min {X , 2}的分布函数
(A ) 是连续函数.
(B ) 至少有两个间断点. 例21证明:随机变量Y =1−e −2X 服从U (0, 1).
(C ) 是阶梯函数.
(D ) 恰好有1个间断点. - 11 -
第三讲 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其概率分布部分主要考点
1、随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布
2、二维随机变量的独立性
3、二维随机变量函数的分布
一、二维随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布 例1
设二维随机变量(X , Y ) 的概率分布为
其中a , b , c 为常数, 且X 的数学期望EX =−0. 2,
P {Y ≤0|X ≤0}=0. 5, 记Z =X +Y . 求
(I ) a , b , c 的值; (II ) Z 的概率分布; (III ) P {X =Z }.
例2
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
f (x , y ) =Ae −2x 2+2xy −y 2,
−∞
求常数A 及条件概率密度f Y X (y x ).
设二维随机变量(X , Y ) 的概率
密度为:
⎧6x , 0≤x ≤y ≤1, f (x , y ) =⎨其他, ⎩0,
则P {X +Y ≤1}=_____. 例3- 12 -
例4 ⎧e −x , 0
(II ) 求条件概率P {X ≤1≤1}.
例5
设随机变量X 在区间(0, 1) 上服从均匀分布, 在服从均匀分布, 求:
随机变量X 和Y 的联合概率密度;
(II ) Y 的概率密度; X =x (0
两种常见的二维连续型随机变量 (III ) 概率P {X +Y >1}. 例6
1及直线y =0, x
x =1, x =e 2所围成, 二维随机变量(X , Y ) 设平面区域D 由曲线y = 在区域D 上服从均匀分布，则(X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在x =2处的值为____. 例7
假设二维随机变量(X , Y ) 在区域
记:G =(x , y ) |x 2+y 2≤1, y ≥0上服从均匀分布, {}
⎧0X
求(U , V ) 的概率分布及P (UV ≠0) - 13 -
11设(X , Y ) ~N (1, 2; 1, 4; −) 且P (aX +bY ≤1) = 22
则(a , b ) 可以为: 11111111(A ) (, −) (B )(, −(C )(−, (D )(, ) 24424224
例9
设随机变量X 和Y 都服从正态分布,
(A ) X 与Y 一定独立. 且它们不相关, 则 (B ) (X , Y ) 服从二维正态分布.
二、二维随机变量的独立性
例10(C ) X 与Y 未必独立. (D ) X +Y 服从一维正态分布.
设随机变量X 和Y 相互独立, 下表列出二维随机变量
(X , Y ) 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中 例11
设两个随机变量X 与Y 独立且同分布:
11P {X =−1}=P {Y =−1}=, P {X =1}=P {Y =1}=, 22
则下列各式中成立的是1(A ) P {X =Y }=. 2(B ) P {X =Y }=1. (C ) 11P {X +Y =0}=. (D ) P {XY =1}=. 44
例12 设二维随机变量(X , Y ) 的概率分布为
若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 则a =_____,b =_____.
例13
已知随机变量
X 1和X 2的概率分布⎡−111⎤
X ⎢10
⎢111⎤⎥, X ~⎡⎢0
1~2⎥
⎣424⎥⎦⎢1
⎣22⎦
而且P {X 1X 2=0}=1.
(1) 求X 1和X 2的联合分布;
(2) 问X 1和X 2是否独立? 为什么?
例14
设f (x , y ) =⎧⎨e −y , 0
⎩0, 其他. 试求:
(1) f X (x ) 和f Y (y );
(2) 判断X , Y 是否独立.
例15
设随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布, 且X 与Y 不相关, f X (x ), f Y (y ) 分别表示X , Y 的概率密度, 则在Y =y 的条件下, X 的条件概率密度f X |Y (x |y ) 为
(A ) f X (x ). (B ) f Y (y ).
(C ) f X (x ) f Y (y ). (D ) f X (x )
f .
Y (y ) - 15 -
三、二维随机变量函数的分布
例16
设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为
设 U =max {X , Y }, V =min {X , Y }.
求(U , V ) 的概率分布
例17
设随机变量X 与Y 独立, 其中X 的概率分布为 X ~⎛⎜
12⎞⎜0. 30. 7⎟⎟, ⎝⎠ 而Y 的概率密度为f (y ), 求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).
例18
设随机变量X 与Y 相互独立, X 的概率分布为P (X =i ) =1
1, (i =−1, 0, 1), Y 的概率密度为f Y (y ) =⎧⎨30≤y
⎧⎫1(I ) 求P ⎨Z ≤X =0⎬; (II ) 求Z 的概率密度f Z (z ). 2⎩⎭例19
设随机变量X 与Y 相互独立, 且X 服从
标准正态分布N (0, 1), Y 的概率分布为
1P {Y =0}=P {Y =1}=, 2
则函数F Z (z ) 的间断点个数为
(A ) 0. 记F Z (z ) 为随机变量Z =XY 的分布函数, (B ) 1. (C ) 2. (D ) 3. - 16 -
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧2e −(x +2y ) , x >0, y >0, f (x , y ) =⎨其他, ⎩0,
求随机变量Z =X +2Y 的分布函数. 例20 例21
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧1, 0
(I ) (X , Y ) 的边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (II ) Z =2X −Y 的概率密度f Z (z ) 例22
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧2−x −y , 0
(I ) 求P {X >2Y }; (II ) 求Z =X +Y 的概率密度f
例23z (z ).
设相互独立随机变量X 与Y 分别服从N (0, 1) 和 N (1, 1), 则
11(A ) P (X +Y ≤0) =; (B ) P (X +Y ≤1) =; 22
11(C ) P (X −Y ≤0) =; (D ) P (X −Y ≤1) =. 22
例24
设X , Y , Z 相互独立, X ~N (1, 2), Y ~N (2, 2) Z ~N (3, 7), 记a =P (X
- 17 -
第四讲 随机变量的数字特征
随机变量的数字特征部分主要考点
1、数学期望
2、方差
3、常见随机变量的数学期望与方差
4、协方差与相关系数
5、矩
一、数学期望
二、方差 例1
设X 是一个随机变量, 其概率密度为
⎧1+x , 若−1≤x ≤0,
f (x ) =⎪⎨1−x , 若0
⎪⎩0, 其他.
则方差DX =.
例2
随机变量X 的概率密度为
⎧4xe −2x , x >0,
f (x ) =⎨⎩0, x ≤0.
则D (2X −1) =.
例3
设随机变量X 的分布函数为
F (x ) =0. 3Φ(x ) +0. 7Φ(x −1
2),
其中Φ(x ) 为标准正态分布的
分布函数, 则EX =
(A ) 0. (B ) 0. 3. (C ) 0. 7. (D ) 1. - 18 -
例4
设二维随机变量(X , Y ) 服从正态分布 N (μ, μ; σ2, σ2; 0), 则E (XY 2) =
例5
设随机变量X 与Y 相互独立, 且
EX 与EY 存在, 记U =max {X , Y },
V =min {X , Y }, 则E (UV ) =
(A ) EU ⋅EV (C ) EU ⋅EY (B ) EX ⋅EY (D ) EX ⋅EV
例6
设随机变量X 和Y 的联合分布在以
点(0, 1), (1, 0), (1, 1) 为顶点的三角形 Z =X +Y 的方差.
例7
设两个随机变量X , Y 相互独立,
且都服从均值为0, 方差为1的2
正态分布, 求随机变量X −Y . 区域上服从均匀分布. 试求随机变量
例8
例9设X 与Y 相互独立且均服从N (0, 1), 求Z =X 2+Y 2的数学期望与方差.
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光; 电梯于 每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早8点的第X 分钟到底层候梯 处, 且X 在[0, 60]上服从均匀分布, 求该游客等候 时间的数学期望. - 19 -
一商店经销某种商品, 每周进货的数量X 与顾 客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间[10, 20]上的均匀分布. 商店每例10 售出一单位商品可得利润1000元, 若需求量超 每单位商品获利润为500元. 试计算此商店经销 该种商品每周所得利润的期望值. 过了进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时
三、常见随机变量的数学期望与方差 例11
设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]上服从均匀分布, X 2服从正态分布N (0, 22), X 3 Y =X
四、协方差与相关系数 服从参数为λ=3的泊松分布. 记1−2X 2+3X 3, 则DY =___.
例12
设随机变量X 和Y 的联合概率分布为 则X 2和Y 2的协方差cov(X 2, Y 2) =_____.
例13
设随机变量X 和Y 的相关系数为0. 9,
. - 20 - 若Z =X −0. 4, 则Y 与Z 的相关系数为
例14
将一枚硬币重复掷n 次, 以X 和Y
分别表示正面向上和反面向上
的次数, 则X 和Y 的相关系数等于
(B ) 0. (A ) −1.
(C ) 0. 5. (D ) 1.
例15
且相关系数ρ=1, 则XY
(A ) P {Y =−2X −1}=1.
(B ) P {Y =2X −1}=1.
(C ) P {Y =−2X +1}=1.
(D ) P {Y =2X +1}=1.
例16
设随机变量X 和Y 的相关系数为0. 5,
EX =EY =0, EX 2=EY 2=2,
. 设随机变量X ~N (0, 1), Y ~N (1, 4), 则E (X +Y ) 2=
例17
设随机变量X 1, X 2, X n (n >1) 独立同分布,
且其方差为σ2>0, 令Y =1
(A ) cov(X 1, Y ) =X , 则∑n i i =1n σ2
n n +22n +12(C ) D (X 1+Y ) =σ. (D ) D (X 1−Y ) =σ. n n . (B ) cov(X 1, Y ) =σ2.
- 21 -
例18
设X 1, X 2, X n (n >2) 为独立同分布的随机变
1n 量, 且均服从N (0, 1), 记X =n ∑X i , Y i =X i −X ,
i =1
i =1, 2, , n . 求: (I ) Y i 的方差DY i , i =1, 2, , n .
(II ) Y 1与Y n 的协方差cov(Y 1, Y n ).
(III ) P {Y 1+Y n ≤0}.
独立不相关
例19
设二维随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布,
则随机变量ξ=X +Y 与η=X −Y 不相关的
充分必要条件为 (A ) E (X ) =E (Y ).
(B ) E (X 2) −[E (X ) ]=E (Y 2) −[E (Y ) ]. 22 (C ) E (X 2) =E (Y 2).
(D ) E (X 2) +[E (X ) ]2=E (Y 2) +[E (Y ) ]2.
例20
设随机变量X 的概率分布密度为f (x ) =
−∞
(2) 求X 与X , 并问X 与X 是否不相关?
(3) 问X 与X 是否相互独立? 为什么?
五、矩
- 22 -
第五讲 大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理部分主要考点
1、切比雪夫不等式与依概率收敛
2、三个大数定律
3、两个中心极限定理
一、切比雪夫不等式与依概率收敛 例1
方差分别为1和4, 而相关系数为−0. 5, 则根据
切比雪夫不等式P {X +Y
二、三个大数定律 ≥6}≤. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为−2和2,
例2
设总体X 服从参数为2的指数分布,
X 1, X 2, X n 为来自总体X 的简单随机
收敛于
1n 2样本, 则当n →∞时, Y n =∑X i 依概率n i =1.
三、两个中心极限定理
- 23 -
设随机变量X 1, X 2, X n 相互独立,
S n =X 1+X 2+ X n , 则根据列维−林德伯格(Levy −lindberg ) 中心极限定理, 当n 充分大时, (A ) 有相同的数学期望. 例3 S n 近似服从正态分布, 只要X 1, X 2, X n
(B ) 有相同的方差.
例4
且均服从参数为λ(λ>1) 的指数分布, 记φ(x ) 为 标准正态分布函数, 则
⎧n ⎫X −n λ∑i ⎪⎪⎪i =1⎪(A ) lim P ≤x ⎨⎬=φ(x ). n →∞λn ⎪⎪⎪⎪⎩⎭设X 1, X 2, X n , 为独立同分布的随机变量列, (C ) 服从同一指数分布. (D ) 服从同一离散型分布. ⎫⎧n X i −n λ∑⎪⎪⎪⎪B ) lim P x (≤⎬=φ(x ). ⎨ n →∞⎪n ⎪⎪⎪⎭⎩ ⎧n ⎫λX −n ∑i ⎪⎪⎪⎪≤x ⎬=φ(x ). (C ) lim P ⎨ n →∞⎪n ⎪⎪⎪⎩⎭ ⎧n ⎫X −λ∑i ⎪⎪⎪i =1⎪≤x ⎬=φ(x ). (D ) lim P ⎨ n →∞⎪⎪⎪⎪⎩⎭
例5
假设X 1, X 2, X n 是来自总体X 的简单随机样本,
2已知EX k =a k (k =1, 2, 3, 4). 并且a 4−a 2>0. 证明 1n 2X i 近似服从正态 当n 充分大时, 随机变量Z n =n ∑i =1
分布, 并指出其分布参数. - 24 -
第六讲 数理统计
数理统计部分主要考点
1、基本概念
2、参数估计
3、假设检验
一、基本概念 例1
设总体X ~E (λ), 则来自总体X 的
概率密度f (x 1, x 2, x n ) =
例2
设随机变量X , Y 独立同分布, 且X 的分布函数为
(A ) F 2(x ) (B ) F (x ) F (y )
(D ) [1−F (x ) ][1−F (y ) ]简单随机样本X 1, X 2, X n 的联合. F (x ), 则Z =max {X , Y }的分布函数为 (C ) 1−[1−F (x ) ]2
例3
设总体X 的概率密度为
⎧2x , 0
X 1, X 2, X 3, X 4是取自总体X 的简单 随机样本. 则X
(4)=max (X 1, X 2, X 3, X 4). - 25 -的概率密度f X (4)(x ) =
例4
设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布
例5总体X 和Y 的简单随机样本, 则统计量U =服从分布, 参数为. N (0, 32), 而X 1, X 2, X 9和Y 1, Y 2, Y 9分别来自X + +X 12+ +Y 92
设总体X 服从正态分布N (0, 22), 而X 1, X 2, X 15
2X 12+ +X 10
11 是来自总体X 的简单随机样本, 则随机变量 Y =2X 2+ +X 215
服从
例6分布, 参数为.
设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布, 则
(A ) X +Y 服从正态分布.
(B ) X 2+Y 2服从χ2分布.
例71, 则X 2
(B ) Y ~χ2(n −1).
(D ) Y ~F (1, n ). 设随机变量X ~t (n ) (n >1), Y =(C ) X 2和Y 2都服从χ2分布. (D ) X 2/Y 2服从F 分布. (A ) Y ~χ2(n ). (C ) Y ~F (n , 1).
例8
设X 1, X 2, X n (n ≥2) 为来自总体N (0, 1) 的简单 (A ) n X ~N (0, 1). 随机样本, X 为样本均值, S 2为样本方差, 则(B ) nS 2~χ2(n ).
(n −1) X (n −1) X 12 (C ) ~t (n −1). (D ) n ~F (1, n −1). S - 26 -∑X i 2
i =2
例9 设总体X 的概率密度为f (x ) =1e −x
为S 2, 则ES 2=
例10(−∞
X , ∑n i
i =1n 是来自总体X 的一个样本, 且X =1
221n 22S =(X −X ) , 求E (X S ), D (S ). ∑i 1n −1i =1
例11
设X 1, X 2, , X n 是总体N (μ, σ2) 的简单随机样本. 2121n 1n 22记X =∑X i , S =−) , =−(X X T X S . ∑i n i =1n −1i =1n (I ) 证明T 是μ2的无偏估计量; (ET =μ2)
(II ) 当μ=0, σ=1时, 求DT .
二、参数估计
1、点估计
2、区间估计
例 12设总体X 的概率分布为
X 0 1 2 3
P
1其中 θ(0
3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值.
- 27 -
例13
2λxe 设总体X 的概率密度为f (x ) =⎧⎨⎩ 其中参数λ(λ>0) 未知, X 1, X 2, X n 为来自, x >00, 其他−λx
总体X 的简单随机样本,
(I ) 求参数λ的矩估计;
(II ) 求参数λ的最大似然估计.
例14
1−(x −μ) ⎧1 ⎪, x >μ, 设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨θe
⎪x ≤μ, 0, ⎩ 其中θ>0, μ和θ是未知参数, 从总体X 中抽取简单
随机样本X 1, X 2, X n , 求μ和θ的矩估计量和最大 似然估计量.
例15
23⎞⎛1
⎟, ⎜1−θθ−θ2θ2⎟ 设总体X 的概率分布为X ~⎜⎠⎝
其中参数θ∈(0, 1) 未知, 以N i 表示来自总体X 的 简单随机样本(样本容量为n ) 中等于i 的个数,
123 (i =1, 2, 3). 试求常数a , a , a , 使T =
无偏估计量, 并求T 的方差.
例16∑a N 为θ的i i i =13
⎧2e −2(x −θ) , x >θ, 设总体X 的概率密度为f (x ) =⎨0, x ≤θ, ⎩
其中θ>0是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机 样本X 1, X 2, X n , 记θ=min(X 1, X 2, X n ).
(1) 求总体X 的分布函数F (x );
∧∧ (2) 求统计量θ的分布函数F (x ); θ∧
(3) 如果用θ作为θ的估计量, 讨论它是否具有无偏性. - 28 -∧
例17 ⎧10
设总体X 的概率密度为f (x ; θ) =⎪⎨1, θ≤x
其中参数θ(0
∧ (I ) 求参数θ的矩估计θ;
(II ) 判断4X 是否为θ2的无偏估计量, 并说明理由.
例182
设X 1, X 2,..., X n 为来自正态总体N (μ0, σ2)
的简单随机样本, 其中μ0已知, σ2未知,
X 和S 2分别表示样本均值和样本方差.
(I)求参数σ2的最大似然估计σ∧2;
(II)计算E σ
例19∧2和D σ. ∧2
⎧e −(x −θ) , x >θ, 设总体X 的概率密度为f (x , θ) =⎨x ≤θ, ⎩0, 其中θ∈(−∞, +∞), 是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机 样本X 1, X 2, X n .
∧1n 1证明θ1=∑X i −1, θ2=min(X 1, X 2, X n ) − n i =1n
是θ的两个无偏估计量, 并确定哪一个更有效. ∧
- 29 -
例20设有正态总体X ~N (μ, 8), μ为未知参数(1) 现有总体X 的10个观测值x 1, x 2, , x n , 110已知x =∑x i =1500, 求未知参数μ的10i =1置信度为0. 95的置信区间. 则n 最少应该是多少. (2) 要使得0. 95的置信区间长度不超过1,
(3) 若n =100, 那么区间x −1, x +1)作为μ
μ, σ均未知. 现从中随机抽取16个零件, 测得样本 度为0. 90的置信区间是
(A ) (20−1t 0. 05(16), 20+1t 0. 05(16)); 44
(B ) (20−1t (16), 20+1t (16)); 0. 10. 144 (C ) (20−1t (15), 20+1t (15)); 0. 050. 0544 (D ) (20−1t (15), 20+1t (15)). 0. 10. 144例21设一批零件的长度服从正态分布N (μ, σ2), 其中均值x =20(cm ), 样本标准差S =1(cm ), 则μ的置信的置信区间，则置信度是多少.
三、假设检验
- 30 -