高一下数学知识清单
一：平面向量
1. 两个加法法则：已知非零向量a 和b ，做出a +b
（1）三角形法则： （2）平行四边形法则
a b
b a
三角形法则口诀： 平行四边形口诀：
2.规定：对于零向量与任一向量a ，都有a +0=______=___
3.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律：
4．相反向量
(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a ) ＝______.
②若a ，b 互为相反向量，则a ＝________，a ＋b ＝______. ③零向量的相反向量仍是__________． 5. 向量的减法
(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) ，即减去一个向量相当于加上这个向量的
___________________________________________________________________．
→→
(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则向量a －b ＝__________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的
→→
终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA －OB ＝________.
（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =
6、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作λa ，它的长度与方
向规定如下：
（1）|λa |=___________________________________;
（2）当_________时，λa 的方向与a 的方向相同；当_______时，λa 的方向与a 方向相反，当_________ 时，λa =O 。
（3）、两个向量共线（平行）的等价条件：如果a (a ≠0) 与b 共线，那么_____________。
7．平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a ，____________实数λ1，λ2，使a ＝________________.
(2)基底：把__________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 8. 两向量的夹角与垂直
→→
(1)夹角：已知两个______________a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则__________＝θ (0°≤θ≤180°) ，叫做向
量a 与b 的夹角．
①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.
(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作________
9. 平面向量数量积
（1）已知两个非零向量a 与b ，把数量________叫做a 与b 的数量积（或________），记作a ·b ，即a ·b =________．
其中θ是a 与b 的________，|a |cosθ（|b |cosθ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的________．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
（2）a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________的乘积． （3）设a 与b 都是非零向量，则
①a ⊥b ⇔________；②当a 与b 同向时，a ·b =________；当a 与b 反向时，a ·b =________；特别地，a ·a =________或|a |=________；③|a ·b |≤________； 10．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ．
(1)当a ∥b 时，有______________________．
(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例． 11．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 12．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ， 则a ⊥b ⇔________________. 13．平面向量的模
(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1) ，则|a |＝________________.
→
(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则|AB |＝________________________. 14．向量的夹角公式
设两非零向量a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.
二：三角恒等变换
2、 诱导公式
⎧sin(π+α) =⎧sin(-α) =⎧sin(π-α) =⎪⎪⎪
1）⎨cos(π+α) = 2）⎨cos(-α) = 3）⎨cos(π-α) =
⎪tan(π+α) =⎪tan(-α) =⎪tan(π-α) =⎩⎩⎩
π⎧sin(-α) =⎪⎪2⎨4） 5） ⎪cos(π-α) =⎪⎩2π⎧
sin(+α) =⎪⎪2⎨ ⎪cos(π+α) =⎪⎩2
3、同角三角函数基本关系
平方关系（1）_______________ 商数关系（2）______________ 4．和差公式sin(α±β) =
cos(α±β) =
tan(α±β) =。
5．二倍角公式 cos 2α=；；
sin 2α=； tan 2α=。
6. 在二倍角公式中, 可得降次公式：
= 。sin ∂cos ∂=
22
（2）1+cos 2α= ；1-cos 2α=
7．辅助角公式
使a sin x ＋b cos x ＝a ＋b sin(x ＋φ) 成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．
sin 2
α
=cos 2
α
三：解三角形
1．三角形中的边角关系
设△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C . (1)三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π. (2)三角形中的诱导公式
sin(A ＋B ) ＝sin C ，cos(A ＋B ) ＝－cos C ，tan(A ＋B ) ＝－tan C ，
A ＋B A ＋B A ＋B C C C sin ＝cos ，cos sin ，tan ＝cot 222222(3)三角形中的边角关系
a ＝b ⇔A ＝B ；a >b ⇔A >B ；a ＋b >c ，b ＋c >a ，c ＋a >b .
(4)三角形中的常用结论：在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B ； 2．正弦定理 (1)正弦定理
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，
a b c 则2R . 其中R 是△ABC 外接圆半径． sin A sin B sin C (2)正弦定理的变形公式
正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用．
a b c
①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝，sin B ＝sin C ＝
2R 2R 2R sin A a sin B b sin C c
③sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ④，.
sin B b sin C c sin A a
3．余弦定理 (1)余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)余弦定理的推论
b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2
cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝.
2bc 2ac 2ab
4．三角形的面积
111
三角形面积公式S △＝ah a b ＝ch c ；
222
1111
S △sin C sin B ＝bc sin A ；S △(a ＋b ＋c ) r (r 为△ABC 内切圆半径) ；
2222
1abc
其中p ＝a ＋b ＋c )⎫ S △＝R 为△ABC 外接圆半径) ；S △p (p －a )(p －b )(p －c )⎛2⎝⎭4R
四：数列
⎧⎪S 1，n ＝1，
1. an 与S n 的关系：a n ＝⎨
⎪S n －S n －1，n ≥2. ⎩
2. 求数列通项的类型：
（1）．累加法：a n ＋1＝a n ＋f (n ) (f (n ) 可求和)
a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋„＋(a n －a n －1) ＝a 1＋f (1)＋f (2)＋„＋f (n －1) （2）．累乘法：a n ＋1＝a n ·f (n ) (f (n ) 为含n 的代数式)
a 2a 3a n
a n ＝a 1„a 1·f (1)·f (2)·„·f (n －1)
a 1a 2a n －1
（3）．转化法：a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，p ≠1)
方法一 设a n ＋1－x ＝p (a n －x ) ，则a n ＋1＝pa n ＋(1－p ) x
q q q q q －－
∴(1－p ) x ＝q ，∴x ＝. ∴a n －＝⎛a 11－p ⎫·p n 1∴a n ＝⎛a 1－1－p p n 1＋⎭⎝⎭1－p 1－p ⎝1－p
方法二 ∵a n ＋1＝pa n ＋q ，∴a n ＝pa n －1＋q
－
∴a n ＋1－a n ＝p (a n －a n －1) ＝„＝p n 1(a 2－a 1) 转化为迭加法求解． （4）．S n 与a n 的混合关系式有两个思路：
(1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；
(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .
3. 常见求和方法 （1）．错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． （2）．分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列． （3）．拆项相消
有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． （4）．奇偶并项
＋
当数列通项中出现(－1) n 或(－1) n 1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论． （5）．倒序相加
例如，等差数列前n 项和公式的推导方法.
五：不等式
1. 一元二次方程根的分布
设x 1，x 2的实系数二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a＞0) 的两实根，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则x 1，x 2的分布范围与
2．⎧a>0，⎪
(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c>0(a≠0) 恒成立 ⎨ax 2＋bx ＋c
⎪Δ
恒成立 ⎨
⎪Δ
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k ≥f(x)(k>f(x))恒成立 k ≥f(x)max (k>f(x)max ) ；k ≤f(x)(k
s 2
(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值) ，则当时，积xy .
4
(2)若xy ＝p (积p 为定值) ，则当x ＋
y p . 4．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
六：空间几何体
1. 三视图：
①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”． ②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”． ——“宽相等
平面图形.
3.
1．2．
3
5. 面面平行的其他性质：
①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于______________，即
α∥β⎫a α⎭
⎬
Þ __________，可用来证明线面平行；
②夹在两个平行平面间的平行线段________； ③平行于同一平面的两个平面________．
高一下数学知识清单
一：平面向量
1. 两个加法法则：已知非零向量a 和b ，做出a +b
（1）三角形法则： （2）平行四边形法则
a b
b a
三角形法则口诀： 平行四边形口诀：
2.规定：对于零向量与任一向量a ，都有a +0=______=___
3.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律：
4．相反向量
(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a ) ＝______.
②若a ，b 互为相反向量，则a ＝________，a ＋b ＝______. ③零向量的相反向量仍是__________． 5. 向量的减法
(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) ，即减去一个向量相当于加上这个向量的
___________________________________________________________________．
→→
(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则向量a －b ＝__________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的
→→
终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA －OB ＝________.
（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =
6、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作λa ，它的长度与方
向规定如下：
（1）|λa |=___________________________________;
（2）当_________时，λa 的方向与a 的方向相同；当_______时，λa 的方向与a 方向相反，当_________ 时，λa =O 。
（3）、两个向量共线（平行）的等价条件：如果a (a ≠0) 与b 共线，那么_____________。
7．平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a ，____________实数λ1，λ2，使a ＝________________.
(2)基底：把__________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 8. 两向量的夹角与垂直
→→
(1)夹角：已知两个______________a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则__________＝θ (0°≤θ≤180°) ，叫做向
量a 与b 的夹角．
①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.
(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作________
9. 平面向量数量积
（1）已知两个非零向量a 与b ，把数量________叫做a 与b 的数量积（或________），记作a ·b ，即a ·b =________．
其中θ是a 与b 的________，|a |cosθ（|b |cosθ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的________．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
（2）a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________的乘积． （3）设a 与b 都是非零向量，则
①a ⊥b ⇔________；②当a 与b 同向时，a ·b =________；当a 与b 反向时，a ·b =________；特别地，a ·a =________或|a |=________；③|a ·b |≤________； 10．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ．
(1)当a ∥b 时，有______________________．
(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例． 11．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 12．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ， 则a ⊥b ⇔________________. 13．平面向量的模
(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1) ，则|a |＝________________.
→
(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则|AB |＝________________________. 14．向量的夹角公式
设两非零向量a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.
二：三角恒等变换
2、 诱导公式
⎧sin(π+α) =⎧sin(-α) =⎧sin(π-α) =⎪⎪⎪
1）⎨cos(π+α) = 2）⎨cos(-α) = 3）⎨cos(π-α) =
⎪tan(π+α) =⎪tan(-α) =⎪tan(π-α) =⎩⎩⎩
π⎧sin(-α) =⎪⎪2⎨4） 5） ⎪cos(π-α) =⎪⎩2π⎧
sin(+α) =⎪⎪2⎨ ⎪cos(π+α) =⎪⎩2
3、同角三角函数基本关系
平方关系（1）_______________ 商数关系（2）______________ 4．和差公式sin(α±β) =
cos(α±β) =
tan(α±β) =。
5．二倍角公式 cos 2α=；；
sin 2α=； tan 2α=。
6. 在二倍角公式中, 可得降次公式：
= 。sin ∂cos ∂=
22
（2）1+cos 2α= ；1-cos 2α=
7．辅助角公式
使a sin x ＋b cos x ＝a ＋b sin(x ＋φ) 成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．
sin 2
α
=cos 2
α
三：解三角形
1．三角形中的边角关系
设△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C . (1)三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π. (2)三角形中的诱导公式
sin(A ＋B ) ＝sin C ，cos(A ＋B ) ＝－cos C ，tan(A ＋B ) ＝－tan C ，
A ＋B A ＋B A ＋B C C C sin ＝cos ，cos sin ，tan ＝cot 222222(3)三角形中的边角关系
a ＝b ⇔A ＝B ；a >b ⇔A >B ；a ＋b >c ，b ＋c >a ，c ＋a >b .
(4)三角形中的常用结论：在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B ； 2．正弦定理 (1)正弦定理
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，
a b c 则2R . 其中R 是△ABC 外接圆半径． sin A sin B sin C (2)正弦定理的变形公式
正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用．
a b c
①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝，sin B ＝sin C ＝
2R 2R 2R sin A a sin B b sin C c
③sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ④，.
sin B b sin C c sin A a
3．余弦定理 (1)余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)余弦定理的推论
b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2
cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝.
2bc 2ac 2ab
4．三角形的面积
111
三角形面积公式S △＝ah a b ＝ch c ；
222
1111
S △sin C sin B ＝bc sin A ；S △(a ＋b ＋c ) r (r 为△ABC 内切圆半径) ；
2222
1abc
其中p ＝a ＋b ＋c )⎫ S △＝R 为△ABC 外接圆半径) ；S △p (p －a )(p －b )(p －c )⎛2⎝⎭4R
四：数列
⎧⎪S 1，n ＝1，
1. an 与S n 的关系：a n ＝⎨
⎪S n －S n －1，n ≥2. ⎩
2. 求数列通项的类型：
（1）．累加法：a n ＋1＝a n ＋f (n ) (f (n ) 可求和)
a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋„＋(a n －a n －1) ＝a 1＋f (1)＋f (2)＋„＋f (n －1) （2）．累乘法：a n ＋1＝a n ·f (n ) (f (n ) 为含n 的代数式)
a 2a 3a n
a n ＝a 1„a 1·f (1)·f (2)·„·f (n －1)
a 1a 2a n －1
（3）．转化法：a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，p ≠1)
方法一 设a n ＋1－x ＝p (a n －x ) ，则a n ＋1＝pa n ＋(1－p ) x
q q q q q －－
∴(1－p ) x ＝q ，∴x ＝. ∴a n －＝⎛a 11－p ⎫·p n 1∴a n ＝⎛a 1－1－p p n 1＋⎭⎝⎭1－p 1－p ⎝1－p
方法二 ∵a n ＋1＝pa n ＋q ，∴a n ＝pa n －1＋q
－
∴a n ＋1－a n ＝p (a n －a n －1) ＝„＝p n 1(a 2－a 1) 转化为迭加法求解． （4）．S n 与a n 的混合关系式有两个思路：
(1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；
(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .
3. 常见求和方法 （1）．错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． （2）．分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列． （3）．拆项相消
有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． （4）．奇偶并项
＋
当数列通项中出现(－1) n 或(－1) n 1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论． （5）．倒序相加
例如，等差数列前n 项和公式的推导方法.
五：不等式
1. 一元二次方程根的分布
设x 1，x 2的实系数二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a＞0) 的两实根，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则x 1，x 2的分布范围与
2．⎧a>0，⎪
(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c>0(a≠0) 恒成立 ⎨ax 2＋bx ＋c
⎪Δ
恒成立 ⎨
⎪Δ
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k ≥f(x)(k>f(x))恒成立 k ≥f(x)max (k>f(x)max ) ；k ≤f(x)(k
s 2
(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值) ，则当时，积xy .
4
(2)若xy ＝p (积p 为定值) ，则当x ＋
y p . 4．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
六：空间几何体
1. 三视图：
①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”． ②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”． ——“宽相等
平面图形.
3.
1．2．
3
5. 面面平行的其他性质：
①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于______________，即
α∥β⎫a α⎭
⎬
Þ __________，可用来证明线面平行；
②夹在两个平行平面间的平行线段________； ③平行于同一平面的两个平面________．