自动控制原理第四章课后答案

陕西科技大学期末考试复习题 ——自动控制原理第4章答案

陕西科技大学 编 机电过控系 审

1

第四章 根轨迹法习题及答案

4-1 系统的开环传递函数为

K*

G(s)H(s)

(s1)(s2)(s4)

试证明点s11j在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K和开环增益K。

解 若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件G(s)H(s)(2k1)，如图解4-1所示。

对于s1j，由相角条件

*

G(s1)H(s1)

0(1j31)(1j2)(1j34)



0

236

满足相角条件，因此s11j在根轨迹上。将s1代入幅值条件：

G(s1)H（s1

K*

1j1j321j34

1

K

*3



解出 ： K12 ， K82

*

4-2 已知开环零、极点如图

4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

2

解 根轨如图解4-2所示：

4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ G(s)

K

s(0.2s1)(0.5s1)

K*(s5)

⑵ G(s)

s(s2)(s3)

⑶ G(s)

K(s1)

s(2s1)

3

解 ⑴ G(s)

K10K



s(0.2s1)(0.5s1)s(s5)(s2)

系统有三个开环极点：p10,p22,p35 ① 实轴上的根轨迹：

,5, 2,0

0257a33

② 渐近线： 

(2k1),a33

③ 分离点：

1110 dd5d2

解之得：d10.88，d23.7863(舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)s37s210s10k0

Re[D(j)]7210k0

令  3

Im[D(j)]100

 解得

k7

与虚轴的交点（0，j）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。

⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：

5,3, 2,0

023(5)

0a2

② 渐近线： 

(2k1)a22

③ 分离点： 用试探法可得

1111 dd2d3d5

d0

.886。根轨迹如图解4-3(b)

所示。

4

⑶ G(s)

K(s1)K(s1)



1s(2s1)

2s(s)

2

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：,1, 0.5,0 ② 分离点：

111 dd0.5d1

解之得：d0.293,d1.707。根轨迹如图解4-3(c)所示。 4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

K*(s2)

⑴ G(s)

(s1j2)(s1j2)K*(s20)

⑵ G(s)

s(s10j10)(s10j10)

K*(s2)

解 ⑴ G(s)

(s1j2)(s1j2)

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,2

111② 分离点：

d1j2d1j2d2解之得：d

4.23

③ 起始角：

p18063.43590153.43

1

由对称性得另一起始角为 153.43。 根轨迹如图解4-4(a)所示。



K*(s20)

⑵ G(s)

s(s10j10)(s10j10)

系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：



20

,0

5

② 起始角：18045901350 根轨迹如图解4-4(b)所示。

4-５ 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。



K

⑴ G(s)H(s)

s(s28s20)K

⑵ G(s)H(s)

s(s1)(s2)(s5)

K(s2)

⑶ G(s)H(s) 2

s(s3)(s2s2)K(s1)

⑷ G(s)H(s) 2

s(s1)(s4s16)K

解 ⑴ G(s)H(s) 2

s(s8s20)① 实轴上的根轨迹： ,0

② 渐近线：

0(4j2)(4j2)8a33



(2k1),a33

③分离点：

111

0 dd4j2d4j2

解之得：d2,d3.33。

④与虚轴交点：D(s)s8s20sK

3

2



把sj代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：

Re(D(j))K8

20

3

Im(D(j))200

6

解得： 

0



K0



25

K160

3

⑤起始角：由相角条件 根轨迹如图解4-5(a)所示。

p63，p63。

2

K

⑵ G(s)H(s)

s(s1)(s2)(s5)

① 实轴上的根轨迹：5,2, 1,0

0(5)(2)(1)2a4

② 渐近线： 

(2k1),3a444

③ 分离点：

11110 dd1d2d5

解之得：d14.06,d20.399 ,d31.54(舍去)

；

④ 与虚轴交点：

D(s)s48s317s210sK

令sj，带入特征方程，令实部，虚部分别为零

Re(D(j))4822K0

3

Im(D(j))(6K)50

0

解得： 

K0

1.12



K19.7

根轨迹如图解4-5(b)所示。

K(s2)

⑶ G(s)H(s)

s(s3)(s22s2)

系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ,3, 2,0

7

3(1j1)(1j1)(2)1a3② 渐近线：  (2k1),a33

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s3)(s22s2)K(s2)

把sj代入上方程，令

42

Re(D(j))82K03Im(D(j))(6K)50

0

解得： 

K0

④ 起始角

1.61



K7.03

p180459013525.5725.57

3

根轨迹如图解4-5(c)所示。

K(s1)

⑷ G(s)H(s) 2

s(s1)(s4s16)

系统根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：,1, 0,1

1(2j)(2j3)(1)2a

33 ② 渐近线： 

(2k1),a33

③ 分离点：

11111



dd1d2j2d2j2d1

解得：d12.26,d20.49,d3、40.76j2.16 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s1)(s4s16)K(s1)0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2



8

42

Re(D(j))12K0

3

Im(D(j))(K16)30

0

解得： 

K0

⑤ 起始角：

1.38



K21.72.66



K37.3

p3180106..190120130..8954..79

由对称性得，另一起始角为 54.79，根轨迹如图解4-5(d)所示。

4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：



K(sz)

（1）确定G(s)2产生纯虚根为j1的z值和K值；

s(s10)(s20)K

（2）概略绘出G(s)的闭环根轨迹图（要求

s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3j2)

确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程

D(s)s2(s10)(s20)K(sz)s430s3200s2KsKz0

有 D(j)(42002Kz)j(K303)0

4

2Kz0200

令实虚部分别等于零即：  3

K300

把1代入得： K30， z30。

（2）系统有五个开环极点：

p10,p21,p33.5,p43j2,p53j2

① 实轴上的根轨迹：,3.5, 1,0

13.5(3j2)(3j2)2.1a5

② 渐近线： 

(2k

1)3,,a

555

9

③ 分离点：

111110 dd1d3.5d3j2d3j2

解得： d10.45 , d22.4 (舍去) , d3、43.25j1.90 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3j2)K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

42

Re(j)K10.579.50

53

Im(j) 43.545.50

解得： 

0



K0

，

1.02



.3K71.90K15546

，

6.52

（舍去）

⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为

p418075..9690135146..392..74

由对称性得，另一起始角为92.74，根轨迹如图解4-6所示。

4-７ 已知控制系统的开环传递函数为



K（s2）

G(s)H(s)2 2

(s4s9)





试概略绘制系统根轨迹。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,2 ② 渐近线：

2j52j(2)2a33 

(2k1),a33

③ 分离点：

2d

2

j

2d2j

1

d

2

10

解之得：d3.29 d0.71 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为



D(s)(s24s9)2K（s2）0

把sj代入上方程，令

42

Re(D(j))34812K0

3

Im(D(j))(72K)80

解得：

21



K96

⑤ 起始角： 90（2p1290）（2k1） 解出 p145,p2135 根轨迹如图解4-7所示。

4-８ 已知系统的开环传递函数为









K

G(s)

s(s23s9)

试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,0 ②起始角： 30



1.5j2.61.5j2.61a3

③渐近线： 

(2k1),a33

④ 与虚轴交点：闭环特征方程

D(s)s(s2s9)K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

11

2

Re(D(j))K30

3

Im(D(j))90

0

解得： 

K03



K27



根轨迹如图解4-8所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的K范围为0K27，又



KK*，故相应的的K范围为0K3。

4-９ 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)

K(2s1)

4

(s1)2(s1)

7

试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 0.5,7/4 ② 渐近线：

117/4(0.5)1a24



(2k1)a22

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)

431210

ss(2K)sK10 777

把sj代入上方程，令

12Re(D(j))K107104

Im(D(j))(2K)30

77

0

解得：  ，

K1

29 K

7

根轨迹如图解4-9所示。由图解4-9可知使系统稳定的K值范围为

1K

7。

12

4-10单位反馈系统的开环传递函数为

K(s22s5)

G(s)

(s2)(s0.5)

试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 2,0.5 ② 分离点：由

1111



d0.5d2d1j2d1j2

解得： d10.41。

③与虚轴交点：

D(s)(s2)(s0.5)K(s22s5)0

把s=j代入上方程，令

2

Re(D(j))(1K)5K10



Im(D(j))(1.52K)0

0

解得： 

K0.21.25



K0.75



根轨迹如图解4-10所示。由图解4-10可知系统稳定的K值范围为0.2K0.75；又



K5K， 所以系统稳定的K值范围为1K3.75。

4-11 试绘出下列多项式方程的根轨迹。

⑴s2s3sKs2K0； ⑵ s3s(K2)s10K0

解 ⑴ s2s3sKs2K0 作等效开环传递函数 G(s)根轨迹绘制如下：

*

3

2

32

32

K(s

2)

。 32

s2s

3s

13

① 实轴上的根轨迹： 2,0 ② 渐近线：

1j2(1j2)(2)0a2  (2k1)a22

③ 起始角：

p18054.7490125.2619.48

1

根轨迹如图解4-11(a)所示。

(2) s33s2(K2)s10K0 作等效开环传递函数 G(s)根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：10,2,1,0；

*

K(s10)

。 32

s3s2s

12(10)3.5a2

② 渐近线： 

(2k1)a22

③ 分离点： 解得

1111 dd1d2d10

d10.4344,d214.4752(舍),d31.5904(④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s33s2(K2)s10K0

把s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2

Re(D(j))10K30

3

Im(D(j))(K2)0

试根可得：

14

0 

K0

1.69

6

K7

根轨迹如图解4-11(b)所示。

4-12 控制系统的结构如图4-23所示，试概略绘制其根轨迹。 解 系统开环传递函数为

K(s1) G(s)3

(s2)

此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

① 实轴上的根轨迹：,2,1, ② 分离点： 解得 d0.5

③ 起始角：根据相角条件，

31

 d2d1



ii1

j1

mn

j

2k





得 p160，p260，p3180。 根轨迹如图解4-12所示。

4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为



K(1s)

G(s)

s(s2)

试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K值。

解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： 2,0, [1,)； ② 分离点：





111 dd2d1

解得：d10.732 , d22.732

将sd10.732, sd22.

732代入幅值条件得

15



Kd10.54, Kd27.46

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s2)K(1s)0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2

Re(D(j))K0



Im(D(j))(2K)0

0

解得： 

K01.41



K2



根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K为0.54，7.46，产生纯虚根的K为2。

4-14 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出b2时系统的闭环传递函数。

（1）G(s)



20

(s4)(sb)30(sb)

s(s10)

b(s4)

s24s20

（2）G(s)

解 （1）做等效开环传递函数

G(s)



① 实轴上的根轨迹：(,4] ② 分离点：

111



d2j4d2j4d4

解得：d10.472(舍去)，d28.472

如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当b2时，两个闭环特征根为1,2

3

j

4.24。 此时闭环传递函数为

16

(s)

20

(s3j4.24)(s3j4.24)



（2）做等效开环传递函数G(s)=

30b

s(s40)

① 实轴上的根轨迹：40,0 ② 分离点： 解得：d20

根轨迹如图解4-14(b)所示，

110 dd40

当b2时，两个闭环特征根为138.44，21.56 此时闭环传递函数为

(s)

30(s2)

(s1.56)(s38.44)

4-15 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。

解：G(s)

100

32

Tss20s

作等效开环传递函数

G(s)

*

(s220s100)

s

3

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：(,10],10,0 ② 分离点：

32 dd10

解得 d30。 根据幅值条件，对应的T0.015。

③ 虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)Ts3s220s1000

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

17

2

Re(D(j))1000

3

Im(D(j))20T0

解得： 

10

T0.2

④ 起始角：p160

参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。

从根轨迹图可以看出，当0T0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程；

0.015T0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；T0.2时，有两支根轨迹在s右半平面，

此时系统不稳定。

4-16 实系数特征方程

A(s)s35s2(6a)sa0 要使其根全为实数，试确定参数a的范围。

解 作等效开环传递函数 G(s)

a(s1)a(s1)

 32

s(s2)(s3)s5s6s



当a0时，需绘制180根轨迹。

① 实轴上的根轨迹： 3,2，1,0

2312a31

② 渐近线： 

(2k1)a312

③ 分离点：

1111

 dd2d3d1

解得 d2.47

分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： K

d



dd2d3

d

1

0.4147

18

根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由根轨迹图解4-16(a)可以看出，当

0a0.4147时，多项式的根全为实数。



当a0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：,3，2,1， 0,。

由根轨迹图图解4-16(b)可以看出，当a0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为0a0.4147或a0。

4-17 某单位反馈系统结构图如图4-25所示，试分别绘出控制器传递函数Gc(s)为 ⑴ Gc1(s)K* ⑵ Gc2(s)K*(s3) ⑶ Gc3(s)K*(s1)

时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器

Gc(s)K*(szc)中，零点zc的影响。

解 ⑴ Gc1(s)K*时

K*系统开环传递函数为G(s)2

s(s2)

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： (,2]

22a33

② 渐近线：  (2k1),a33

根轨迹如图解4-17(a)所示。

⑵ Gc2(s)K(s3)；

K(s3)

系统开环传递函数为G(s)2，根轨迹绘制如

s(s2)

下：

① 实轴上的根轨迹： 3,2

19

2(3)1a22

② 渐近线：

(2k1)a22

根轨迹如图解4-17(b)所示。

⑶ Gc3(s)K(s1)

K(s1)

系统开环传递函数为G(s)2。

s(s2)

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 2,1

2(1)1a22

② 渐近线： 

(2k1)a22

根轨迹如图解4-17(c)所示。

从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器Gc(s)K(szc)的加入使根轨迹向左移动，且当zcp时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。

4-18 某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)

K

4

(0.5s1)

试根据系统根轨迹分析系统稳定性，并估算%16.3%时的K值。

解 ⑴G(s)

16K

4

(s2)

根轨迹绘制如下：

①

实轴的根轨迹：实轴上的除点2外没有根轨

迹区段。

20

22222a4② 渐近线： 

(2k1),3

a444

③ 与虚轴交点：令D(j)0，解得根轨迹与虚轴交点为j2。根轨迹与虚轴交点

对应的根轨迹增益为 Kj22464

相应开环增益为 KK*4

根轨迹如图解4-18所示。

*从根轨迹图中可以看出，当根轨迹增益0K64，开环增益0K4，根轨迹全

*在左半s平面，系统稳定；当轨迹增益K64，开环增益K4，有两条根轨迹落在右半

s平面，此时系统不稳定。

⑵ 对二阶系统来说，当%16.3%时，0.5。系统阻尼角为

arccos0.560

在s平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为60。OA与根轨迹交点为1，其余3

个交点为2，3和4。而本系统为四阶系统，其闭环极点分布满足主导极点的分布要求，可以认为，1、2是主导极点，忽略3、4作用，将该系统近似为二阶系统。不难计算10.732j1.268，带入幅值条件可得对应根轨迹增益为： |0.732j1.2682|4

K0.646 16

4-19 单位反馈系统开环传递函数为

K

G(s) 2(s3)(s2s2)

要求闭环系统的最大超调量%25%，调节时间ts10s，试选择K值。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,3 

31j1j5a33② 渐近线： (2k1),a33

21

③ 与虚轴的交点：系统闭环特征方程为

D(s)s35s28s6K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2Re(D(j))56K0 3Im(D(j))80

解得： 2.83

K34

根轨迹如图解4-19所示。

由%25%0.4（arccos0.466.4），在s平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为66.4。OA与根轨迹交点为1，其余2个交点为2，3。

2令 1njn0.4nj0.92n

2则 2njn0.4nj0.92n 

特征方程为

22 D(s)(s1)(s2)(s3)s3(0.8n3)s2(n0.8n3)sn3

s35s28s6K

0.8n352比较系数得 n0.8n38

2n36K

n1.73解得 33.616

K4.8

由调节时间ts10s, 又ts3.nn3.5，当n0.35时，由根之和可得34.3，由幅值条件确定出对应的K15.5。要求闭环系统的最大超调%25%，调节时间ts10s，则K取值范围对应为 0K4.8。

22

陕西科技大学期末考试复习题 ——自动控制原理第4章答案

陕西科技大学 编 机电过控系 审

1

第四章 根轨迹法习题及答案

4-1 系统的开环传递函数为

K*

G(s)H(s)

(s1)(s2)(s4)

试证明点s11j在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K和开环增益K。

解 若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件G(s)H(s)(2k1)，如图解4-1所示。

对于s1j，由相角条件

*

G(s1)H(s1)

0(1j31)(1j2)(1j34)



0

236

满足相角条件，因此s11j在根轨迹上。将s1代入幅值条件：

G(s1)H（s1

K*

1j1j321j34

1

K

*3



解出 ： K12 ， K82

*

4-2 已知开环零、极点如图

4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

2

解 根轨如图解4-2所示：

4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ G(s)

K

s(0.2s1)(0.5s1)

K*(s5)

⑵ G(s)

s(s2)(s3)

⑶ G(s)

K(s1)

s(2s1)

3

解 ⑴ G(s)

K10K



s(0.2s1)(0.5s1)s(s5)(s2)

系统有三个开环极点：p10,p22,p35 ① 实轴上的根轨迹：

,5, 2,0

0257a33

② 渐近线： 

(2k1),a33

③ 分离点：

1110 dd5d2

解之得：d10.88，d23.7863(舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)s37s210s10k0

Re[D(j)]7210k0

令  3

Im[D(j)]100

 解得

k7

与虚轴的交点（0，j）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。

⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：

5,3, 2,0

023(5)

0a2

② 渐近线： 

(2k1)a22

③ 分离点： 用试探法可得

1111 dd2d3d5

d0

.886。根轨迹如图解4-3(b)

所示。

4

⑶ G(s)

K(s1)K(s1)



1s(2s1)

2s(s)

2

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：,1, 0.5,0 ② 分离点：

111 dd0.5d1

解之得：d0.293,d1.707。根轨迹如图解4-3(c)所示。 4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

K*(s2)

⑴ G(s)

(s1j2)(s1j2)K*(s20)

⑵ G(s)

s(s10j10)(s10j10)

K*(s2)

解 ⑴ G(s)

(s1j2)(s1j2)

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,2

111② 分离点：

d1j2d1j2d2解之得：d

4.23

③ 起始角：

p18063.43590153.43

1

由对称性得另一起始角为 153.43。 根轨迹如图解4-4(a)所示。



K*(s20)

⑵ G(s)

s(s10j10)(s10j10)

系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：



20

,0

5

② 起始角：18045901350 根轨迹如图解4-4(b)所示。

4-５ 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。



K

⑴ G(s)H(s)

s(s28s20)K

⑵ G(s)H(s)

s(s1)(s2)(s5)

K(s2)

⑶ G(s)H(s) 2

s(s3)(s2s2)K(s1)

⑷ G(s)H(s) 2

s(s1)(s4s16)K

解 ⑴ G(s)H(s) 2

s(s8s20)① 实轴上的根轨迹： ,0

② 渐近线：

0(4j2)(4j2)8a33



(2k1),a33

③分离点：

111

0 dd4j2d4j2

解之得：d2,d3.33。

④与虚轴交点：D(s)s8s20sK

3

2



把sj代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：

Re(D(j))K8

20

3

Im(D(j))200

6

解得： 

0



K0



25

K160

3

⑤起始角：由相角条件 根轨迹如图解4-5(a)所示。

p63，p63。

2

K

⑵ G(s)H(s)

s(s1)(s2)(s5)

① 实轴上的根轨迹：5,2, 1,0

0(5)(2)(1)2a4

② 渐近线： 

(2k1),3a444

③ 分离点：

11110 dd1d2d5

解之得：d14.06,d20.399 ,d31.54(舍去)

；

④ 与虚轴交点：

D(s)s48s317s210sK

令sj，带入特征方程，令实部，虚部分别为零

Re(D(j))4822K0

3

Im(D(j))(6K)50

0

解得： 

K0

1.12



K19.7

根轨迹如图解4-5(b)所示。

K(s2)

⑶ G(s)H(s)

s(s3)(s22s2)

系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ,3, 2,0

7

3(1j1)(1j1)(2)1a3② 渐近线：  (2k1),a33

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s3)(s22s2)K(s2)

把sj代入上方程，令

42

Re(D(j))82K03Im(D(j))(6K)50

0

解得： 

K0

④ 起始角

1.61



K7.03

p180459013525.5725.57

3

根轨迹如图解4-5(c)所示。

K(s1)

⑷ G(s)H(s) 2

s(s1)(s4s16)

系统根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：,1, 0,1

1(2j)(2j3)(1)2a

33 ② 渐近线： 

(2k1),a33

③ 分离点：

11111



dd1d2j2d2j2d1

解得：d12.26,d20.49,d3、40.76j2.16 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s1)(s4s16)K(s1)0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2



8

42

Re(D(j))12K0

3

Im(D(j))(K16)30

0

解得： 

K0

⑤ 起始角：

1.38



K21.72.66



K37.3

p3180106..190120130..8954..79

由对称性得，另一起始角为 54.79，根轨迹如图解4-5(d)所示。

4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：



K(sz)

（1）确定G(s)2产生纯虚根为j1的z值和K值；

s(s10)(s20)K

（2）概略绘出G(s)的闭环根轨迹图（要求

s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3j2)

确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程

D(s)s2(s10)(s20)K(sz)s430s3200s2KsKz0

有 D(j)(42002Kz)j(K303)0

4

2Kz0200

令实虚部分别等于零即：  3

K300

把1代入得： K30， z30。

（2）系统有五个开环极点：

p10,p21,p33.5,p43j2,p53j2

① 实轴上的根轨迹：,3.5, 1,0

13.5(3j2)(3j2)2.1a5

② 渐近线： 

(2k

1)3,,a

555

9

③ 分离点：

111110 dd1d3.5d3j2d3j2

解得： d10.45 , d22.4 (舍去) , d3、43.25j1.90 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3j2)K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

42

Re(j)K10.579.50

53

Im(j) 43.545.50

解得： 

0



K0

，

1.02



.3K71.90K15546

，

6.52

（舍去）

⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为

p418075..9690135146..392..74

由对称性得，另一起始角为92.74，根轨迹如图解4-6所示。

4-７ 已知控制系统的开环传递函数为



K（s2）

G(s)H(s)2 2

(s4s9)





试概略绘制系统根轨迹。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,2 ② 渐近线：

2j52j(2)2a33 

(2k1),a33

③ 分离点：

2d

2

j

2d2j

1

d

2

10

解之得：d3.29 d0.71 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为



D(s)(s24s9)2K（s2）0

把sj代入上方程，令

42

Re(D(j))34812K0

3

Im(D(j))(72K)80

解得：

21



K96

⑤ 起始角： 90（2p1290）（2k1） 解出 p145,p2135 根轨迹如图解4-7所示。

4-８ 已知系统的开环传递函数为









K

G(s)

s(s23s9)

试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,0 ②起始角： 30



1.5j2.61.5j2.61a3

③渐近线： 

(2k1),a33

④ 与虚轴交点：闭环特征方程

D(s)s(s2s9)K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

11

2

Re(D(j))K30

3

Im(D(j))90

0

解得： 

K03



K27



根轨迹如图解4-8所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的K范围为0K27，又



KK*，故相应的的K范围为0K3。

4-９ 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)

K(2s1)

4

(s1)2(s1)

7

试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 0.5,7/4 ② 渐近线：

117/4(0.5)1a24



(2k1)a22

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)

431210

ss(2K)sK10 777

把sj代入上方程，令

12Re(D(j))K107104

Im(D(j))(2K)30

77

0

解得：  ，

K1

29 K

7

根轨迹如图解4-9所示。由图解4-9可知使系统稳定的K值范围为

1K

7。

12

4-10单位反馈系统的开环传递函数为

K(s22s5)

G(s)

(s2)(s0.5)

试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 2,0.5 ② 分离点：由

1111



d0.5d2d1j2d1j2

解得： d10.41。

③与虚轴交点：

D(s)(s2)(s0.5)K(s22s5)0

把s=j代入上方程，令

2

Re(D(j))(1K)5K10



Im(D(j))(1.52K)0

0

解得： 

K0.21.25



K0.75



根轨迹如图解4-10所示。由图解4-10可知系统稳定的K值范围为0.2K0.75；又



K5K， 所以系统稳定的K值范围为1K3.75。

4-11 试绘出下列多项式方程的根轨迹。

⑴s2s3sKs2K0； ⑵ s3s(K2)s10K0

解 ⑴ s2s3sKs2K0 作等效开环传递函数 G(s)根轨迹绘制如下：

*

3

2

32

32

K(s

2)

。 32

s2s

3s

13

① 实轴上的根轨迹： 2,0 ② 渐近线：

1j2(1j2)(2)0a2  (2k1)a22

③ 起始角：

p18054.7490125.2619.48

1

根轨迹如图解4-11(a)所示。

(2) s33s2(K2)s10K0 作等效开环传递函数 G(s)根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：10,2,1,0；

*

K(s10)

。 32

s3s2s

12(10)3.5a2

② 渐近线： 

(2k1)a22

③ 分离点： 解得

1111 dd1d2d10

d10.4344,d214.4752(舍),d31.5904(④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s33s2(K2)s10K0

把s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2

Re(D(j))10K30

3

Im(D(j))(K2)0

试根可得：

14

0 

K0

1.69

6

K7

根轨迹如图解4-11(b)所示。

4-12 控制系统的结构如图4-23所示，试概略绘制其根轨迹。 解 系统开环传递函数为

K(s1) G(s)3

(s2)

此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

① 实轴上的根轨迹：,2,1, ② 分离点： 解得 d0.5

③ 起始角：根据相角条件，

31

 d2d1



ii1

j1

mn

j

2k





得 p160，p260，p3180。 根轨迹如图解4-12所示。

4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为



K(1s)

G(s)

s(s2)

试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K值。

解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： 2,0, [1,)； ② 分离点：





111 dd2d1

解得：d10.732 , d22.732

将sd10.732, sd22.

732代入幅值条件得

15



Kd10.54, Kd27.46

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s2)K(1s)0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2

Re(D(j))K0



Im(D(j))(2K)0

0

解得： 

K01.41



K2



根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K为0.54，7.46，产生纯虚根的K为2。

4-14 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出b2时系统的闭环传递函数。

（1）G(s)



20

(s4)(sb)30(sb)

s(s10)

b(s4)

s24s20

（2）G(s)

解 （1）做等效开环传递函数

G(s)



① 实轴上的根轨迹：(,4] ② 分离点：

111



d2j4d2j4d4

解得：d10.472(舍去)，d28.472

如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当b2时，两个闭环特征根为1,2

3

j

4.24。 此时闭环传递函数为

16

(s)

20

(s3j4.24)(s3j4.24)



（2）做等效开环传递函数G(s)=

30b

s(s40)

① 实轴上的根轨迹：40,0 ② 分离点： 解得：d20

根轨迹如图解4-14(b)所示，

110 dd40

当b2时，两个闭环特征根为138.44，21.56 此时闭环传递函数为

(s)

30(s2)

(s1.56)(s38.44)

4-15 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。

解：G(s)

100

32

Tss20s

作等效开环传递函数

G(s)

*

(s220s100)

s

3

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：(,10],10,0 ② 分离点：

32 dd10

解得 d30。 根据幅值条件，对应的T0.015。

③ 虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)Ts3s220s1000

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

17

2

Re(D(j))1000

3

Im(D(j))20T0

解得： 

10

T0.2

④ 起始角：p160

参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。

从根轨迹图可以看出，当0T0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程；

0.015T0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；T0.2时，有两支根轨迹在s右半平面，

此时系统不稳定。

4-16 实系数特征方程

A(s)s35s2(6a)sa0 要使其根全为实数，试确定参数a的范围。

解 作等效开环传递函数 G(s)

a(s1)a(s1)

 32

s(s2)(s3)s5s6s



当a0时，需绘制180根轨迹。

① 实轴上的根轨迹： 3,2，1,0

2312a31

② 渐近线： 

(2k1)a312

③ 分离点：

1111

 dd2d3d1

解得 d2.47

分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： K

d



dd2d3

d

1

0.4147

18

根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由根轨迹图解4-16(a)可以看出，当

0a0.4147时，多项式的根全为实数。



当a0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：,3，2,1， 0,。

由根轨迹图图解4-16(b)可以看出，当a0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为0a0.4147或a0。

4-17 某单位反馈系统结构图如图4-25所示，试分别绘出控制器传递函数Gc(s)为 ⑴ Gc1(s)K* ⑵ Gc2(s)K*(s3) ⑶ Gc3(s)K*(s1)

时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器

Gc(s)K*(szc)中，零点zc的影响。

解 ⑴ Gc1(s)K*时

K*系统开环传递函数为G(s)2

s(s2)

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： (,2]

22a33

② 渐近线：  (2k1),a33

根轨迹如图解4-17(a)所示。

⑵ Gc2(s)K(s3)；

K(s3)

系统开环传递函数为G(s)2，根轨迹绘制如

s(s2)

下：

① 实轴上的根轨迹： 3,2

19

2(3)1a22

② 渐近线：

(2k1)a22

根轨迹如图解4-17(b)所示。

⑶ Gc3(s)K(s1)

K(s1)

系统开环传递函数为G(s)2。

s(s2)

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 2,1

2(1)1a22

② 渐近线： 

(2k1)a22

根轨迹如图解4-17(c)所示。

从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器Gc(s)K(szc)的加入使根轨迹向左移动，且当zcp时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。

4-18 某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)

K

4

(0.5s1)

试根据系统根轨迹分析系统稳定性，并估算%16.3%时的K值。

解 ⑴G(s)

16K

4

(s2)

根轨迹绘制如下：

①

实轴的根轨迹：实轴上的除点2外没有根轨

迹区段。

20

22222a4② 渐近线： 

(2k1),3

a444

③ 与虚轴交点：令D(j)0，解得根轨迹与虚轴交点为j2。根轨迹与虚轴交点

对应的根轨迹增益为 Kj22464

相应开环增益为 KK*4

根轨迹如图解4-18所示。

*从根轨迹图中可以看出，当根轨迹增益0K64，开环增益0K4，根轨迹全

*在左半s平面，系统稳定；当轨迹增益K64，开环增益K4，有两条根轨迹落在右半

s平面，此时系统不稳定。

⑵ 对二阶系统来说，当%16.3%时，0.5。系统阻尼角为

arccos0.560

在s平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为60。OA与根轨迹交点为1，其余3

个交点为2，3和4。而本系统为四阶系统，其闭环极点分布满足主导极点的分布要求，可以认为，1、2是主导极点，忽略3、4作用，将该系统近似为二阶系统。不难计算10.732j1.268，带入幅值条件可得对应根轨迹增益为： |0.732j1.2682|4

K0.646 16

4-19 单位反馈系统开环传递函数为

K

G(s) 2(s3)(s2s2)

要求闭环系统的最大超调量%25%，调节时间ts10s，试选择K值。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,3 

31j1j5a33② 渐近线： (2k1),a33

21

③ 与虚轴的交点：系统闭环特征方程为

D(s)s35s28s6K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2Re(D(j))56K0 3Im(D(j))80

解得： 2.83

K34

根轨迹如图解4-19所示。

由%25%0.4（arccos0.466.4），在s平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为66.4。OA与根轨迹交点为1，其余2个交点为2，3。

2令 1njn0.4nj0.92n

2则 2njn0.4nj0.92n 

特征方程为

22 D(s)(s1)(s2)(s3)s3(0.8n3)s2(n0.8n3)sn3

s35s28s6K

0.8n352比较系数得 n0.8n38

2n36K

n1.73解得 33.616

K4.8

由调节时间ts10s, 又ts3.nn3.5，当n0.35时，由根之和可得34.3，由幅值条件确定出对应的K15.5。要求闭环系统的最大超调%25%，调节时间ts10s，则K取值范围对应为 0K4.8。

22