转化与化归的思想
转化就是数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归就是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化与化归的思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓所在，因为数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想都是转化思想的具体体现，各种变换的方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。 转化与化归的思想渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中，随着高考试题由知识立意向能力立意的转变，近几年的高考加强了对转化和化归思想的考查，主要体现在以下几个方面：1．等价转化，如 1999年高考试题第 19题，不等式求解的等价变形；2．立几问题平面化，每年高考立体几何题都展示了这种化归的思想方法；3．局部与整体的转化，如1999年高考第10题，用切割的方法化整为零计算多面体的体积，历年高考的分类讨论题也属整体与局部的转化；4．特殊与一般的转化，如选择题与填空题的特例法，数列中的猜想与证明；5．非等价转化，如反证法，分析法；6．换元、代换等变换方法。转化和化归的思想培养，会不断提高考生的思维水平和创新能力。
例题1．解不等式a 2-2x 2＞x ＋a . （a ＞0）.
分析：（1）利用解无理不等式的通法：
⎧f (x ) ≥0⎧f (x ) ≥0⎪. f (x ) >g (x ) ⇔ ⎨g (x ) ≥0或⎨⎩g (x ) g 2(x ) ⎩
（2）利用数形结合法：令y 1=a 2-2x 2, y 2＝x 十a . 解法一：a 2-2x 2＞x ＋a . 22⎧a -2x ≥0⎪⇔⎨x +a ≥0
⎪a 2-2x 2>(x +a ) 2
⎩⎧a 2-2x 2≥0或⎨ x +a
⎧22-a ≤x ≤a ⎪⎧22222⎪⎪-a ≤x ≤a x ≥-a a
2∴ 不等式的解集为{x | －a
解法二：设 y 1=a 2-2x 2，即 2x 2＋y 12＝a 2（y 1≥ 0）
函数y 1=a 2-2x 2的图像是上半个椭圆．
再令y 2=x ＋a 。，它的图像是在y 轴上截距为2的一
条直线，在同一坐标系中画出它们的图像：
由a 2-2x 2＝x +a .
得两图像交点的横坐标x 1＝－a ，x 2
=0. 32
由图像可知，当且仅当－a
为{x | －a
点拨解疑：（1）解无理不等式的根本方法是将无理不等式等价转化为有理不等式组．
（2）代数运算的严密性与几何图形的直观性有机结合。相得益彰、优美的解题方法往往应运而生，因此，解题时要注意发现和利用问题的几何意义，实现数和形的转化．
例题2．某工厂生产某种产品共m 件，分若干批生产，每生产一批产品需用原料费15000万元，每生产一批需直接消耗的管理费与该批生产产品的件数的立方成正比，当生产的一批产品的件数为5件时，需消耗的管理费为1000万元．
（1）求每批生产消耗的管理费与该批生产产品的件数的函数解析式．
（2）每批生产多少件时，一年生产的总费用最低，（精确到1件，其中37. 5＝1. 957，375=4. 217）
分析：建立函数模型，根据函数表达式利用均值不等式求最值．
解：（1）设每批产品为x 件，生产直接消耗的管理费为y 万元．依题意有：
y ＝kx 3, 由 1000＝k ×53, 得k ＝8，故函数解析式为y ＝8x 3.
（2）设每批生产x 件，一年生产的总费用为f (x ),
f (x )=15000×
≥3m 3
当且仅当m x +m x ×8x 3=m (215000x +8x 2) 27500x x ⋅7500x ⋅8x =6m 750075008, 7500=8x 2时，即x ==537. 5≈10(件) 时，等号成立， ∴ 每批生产10件时，一年生产总费用最低。
点拨解疑：（1）解数学应用题就是将一个实际问题转化为数学问题的数学化过程．
（2）求函数最值的一个行之有效的方法就是利用基本不等式，将等式转化为不等式．
例题3．设f (x ) ＝x
a (x +2) ，x ＝f (x ) 有唯一解，f (x0)=1
991, f (x n -1) =x n , n =1, 2,
3, „„, 求x 2001.
分析：由方程有唯一解可求得a ，得到函数解析式，再由f (x n -1) =x n 得到一个数列的递推公式，转化为等差数列，求得x n ．
解：由已知，方程x =x
a (x +2)
1
2有唯一解．即方程ax 2+(2a －1) x =0有唯一解， 2x x +2△=(2a －1) 2－4a ×0=0, a =
可得2x n -1
x n -1+2
1
x n , ∴ f (x )=, 又f (x n -1) =x n , n =1, 2, 3,„„, -1x n -1=x n , x n －1x n +2x n =2x n －1, ∴ 11x n =12, 又1x 1=991, 这表明{}是以991位首项，为公差的等差数列， 2
∴ 1
x 2001=991+2000⨯12=1991， ∴ x 2001=11991.
点拨解疑：函数、方程、数列是相互联系、相互渗透的，这也就注定了它们之间是可相互转化的，因而高考常出现贯穿这三个重要知识领域的“三位一体”的综合题型．
例题4．已知直线l 过定点P (3，0) ，倾斜角为θ，试求θ的范围，使得曲线C ：y ＝x 2的所有弦都不能被直线l 垂直平分．
分析：直线l 只要符合下列条件之一，则曲线C 的所有弦都不能被l 垂直平分， ① l 与C 不相交或只有一个交点；② l 与C 有两个交点，但C 中任一条弦都与l 不垂直； ③ C 中与l 垂直的弦的中点不在l 上．要直接寻找适合上述条件的θ相当困难，因此，我们转向寻找曲线C 中至少有一条弦能被l 垂直平分时θ的变动范围，这样就能间接地得到所需的结果．
解：因为当θ＝0°或90°时，l 过点(3，0) ．与曲线C 都只有一个交点，所以这时曲线C 中不存在能被l 垂直平分的弦．
当θ≠0°，θ≠90°时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3), 曲线C 中的弦AB 被l 垂直平分，则直线AB 的方程为：y =－
x 1+x 2
2
1
21k x +m , y 1-y 212k 又设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 的中点为M (x 0, y 0), 则有y 1＝x 12，y 2=x 22, 两式相减 y 1－y 2＝(x 1+x 2)(x 1－x 2), x 0==2(x 1-x 2) =-, 1k 代入y ＝k (x －3) 中, 得 y 0＝－
得 m ＝-1
2k 2－3k , 将x 0，y 0代入 y =－x +m 中， -3k -12 1⎧⎪y =-x +m 由⎨k
2⎪y =x ⎩, 得kx 2+x －km =0, △=1+4mk 2>0,
1-3k -1
2即 1＋4k 2(-2k 2)>0,
1整理得： 12k 3+2k 2+10, ∴ 2k +1
于是满足题设的k 的范围为k ≥－，或k 不存在 21
即tan θ≥－1
2或θ=π2,
π
2 所求直线l 的倾斜角的范围是0≤θ≤或π－arctan ≤θ＜π.
点拨解疑：（1）有些数学问题的条件比较简单，而结论却比较复杂或不很明确，这些题目难以直接求解，这时可转向间接解法，从题目结论的“补集”入手，可能会增加推导的条件，或者供所考虑的情形较为简单，使推导较易进行．
（2）逆向思维在解数学题中有不可忽视的作用，它可以帮助人们突破习惯性思维的局限，克服常规思维中所遇到的困难，开辟新的解题途径．
基础知识练习
一．选择题：
1．已知复数z 满足|2z －i |=2，则|z +2i |的最小值是
（A ）1
232 （B ）1 （C ） （D ）2
2．已知f (x ) ＝ax 3+bx 2+cx +d 的图像如图，则
（A ）b ∈(－∞, 0) （B ）b ∈(0, 1)
（C ）b ∈(1, 2) （D ）b ∈(2, +∞)
3．已知3a －4b ＝4则直线 ax +by =1过定点
（A ）(3, －4) （B ）(－3, 4) （C ）(－3
4, 1) （D ）(34, －1)
4．已知f (x ) ＝log 2(2x －1), 则f (2x )=f -1(x ) 的根是
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
二．填空题：
5．已知数列1
1⋅2, 12⋅3, 13⋅4, „„, 1n (n +1) ，则S 1S 2；
S 3；S n .
6．若a , b ∈R , 使不等式a >b ，1
a >1
b 同时成立的条件是.
y
x 7．如果实数x ，y 满足等式(x －2) 2＋y 2＝3，那么
1
8的最大值是 . 8．已知点M (－2, 4) 及焦点为F 的抛物线y ＝x 2，P 为抛物线上一点，若|MP |
＋|FP |最小，则P 点坐标为 .
三．解答题：
9．设函数f (x ) ＝x 2+1-ax ，其中a ＞0，解不等式f (x )
≤1.
10．如图，正三棱锥A －BCD ，底面边长为a ，侧棱长为
2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截
面三角形中，求（1）周长的最小值；
（2）求这周长最短的截面截取的小三棱锥A －BEF 和
原三棱锥A －BCD 的体积之比。
高考常考题强化训练
一．选择题：
1．在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正
方形，EF //AB ，EF ＝
面体的体积为
（A ）9
232，EF 与面AC 的距离为2，则该多152 （B ）5 （C ）6 （D ）
1
2 2．已知z ∈C ，且|z |≤
（A ）
（C ）5π64π
3，那么复数1＋z 的辐角主值θ的取值范围是 π3≤θ≤7π65π3 （B ） （D ）≤θ≤2π3 π6≤θ≤11π6≤θ
3．若(2x 十3) 4= a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3+a 4x 4, 则(a 0＋a 2＋a 4) 2－(a 1＋a 3) 2的值为
（A ）1 （B ）－1 （C ）0 （D ）2
4．定义在R 上的奇函数f (x ) 为增函数，偶函数g (x ) 在(0, +∞) 上的图象与f (x ) 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：① f (b ) －f (－a )>g (a ) －g (－b ) ；② f (b ) －f (－a )g (b ) －g (－a ) ；④ f (a ) －f (－b )
（A ）①④ （B ）③③ （C ）①③ （D ）②④
二．填空题：
5．已知a , b ∈R +，且a ＋2b ＋ab =30，则ab 的最大值是 。
6．已知抛物线 y =ax 2－2x －1上总存在关于直线 x ＋y =0对称的两点，则实数a 的取值范围是 。
7．极坐标方程5ρcos2θ+ρ2－24＝0所表示曲线的焦点的极坐标是 .
8．函数f (x )= 的最大值为.
三．解答题：
9．已知数列{a n }中，a n =1
(n +1) 2（n ∈N ）, 记f (n )=(1－a 1)(1－a 2) „„(1－a n ), 试
求f (n ) 的值，并说明理由.
10．直线 l 过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点，并且与这抛物线相交于A (x 1, y 1) 和B (x 2, y 2) 两点，求证：对于这抛物线的任意给定的弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．
11．设复数 Z =3cosθ＋i ·2sin θ，求函数 y ＝θ－arg z （0＜θ＜π
2）的最大值
以及对应的θ值.
12．已知关于复数z 的一元二次方程4z 2+(2a +i ) z －8b (9a +4)－2(a +2b ) i =0（a , b ∈R ）至少有一实根，
(1) 求a ．b 的范围；
(2) 求实根的最大值.
基础知识练习参考答案
高考常考题强化训练参考答案
转化与化归的思想
转化就是数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归就是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化与化归的思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓所在，因为数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想都是转化思想的具体体现，各种变换的方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。 转化与化归的思想渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中，随着高考试题由知识立意向能力立意的转变，近几年的高考加强了对转化和化归思想的考查，主要体现在以下几个方面：1．等价转化，如 1999年高考试题第 19题，不等式求解的等价变形；2．立几问题平面化，每年高考立体几何题都展示了这种化归的思想方法；3．局部与整体的转化，如1999年高考第10题，用切割的方法化整为零计算多面体的体积，历年高考的分类讨论题也属整体与局部的转化；4．特殊与一般的转化，如选择题与填空题的特例法，数列中的猜想与证明；5．非等价转化，如反证法，分析法；6．换元、代换等变换方法。转化和化归的思想培养，会不断提高考生的思维水平和创新能力。
例题1．解不等式a 2-2x 2＞x ＋a . （a ＞0）.
分析：（1）利用解无理不等式的通法：
⎧f (x ) ≥0⎧f (x ) ≥0⎪. f (x ) >g (x ) ⇔ ⎨g (x ) ≥0或⎨⎩g (x ) g 2(x ) ⎩
（2）利用数形结合法：令y 1=a 2-2x 2, y 2＝x 十a . 解法一：a 2-2x 2＞x ＋a . 22⎧a -2x ≥0⎪⇔⎨x +a ≥0
⎪a 2-2x 2>(x +a ) 2
⎩⎧a 2-2x 2≥0或⎨ x +a
⎧22-a ≤x ≤a ⎪⎧22222⎪⎪-a ≤x ≤a x ≥-a a
2∴ 不等式的解集为{x | －a
解法二：设 y 1=a 2-2x 2，即 2x 2＋y 12＝a 2（y 1≥ 0）
函数y 1=a 2-2x 2的图像是上半个椭圆．
再令y 2=x ＋a 。，它的图像是在y 轴上截距为2的一
条直线，在同一坐标系中画出它们的图像：
由a 2-2x 2＝x +a .
得两图像交点的横坐标x 1＝－a ，x 2
=0. 32
由图像可知，当且仅当－a
为{x | －a
点拨解疑：（1）解无理不等式的根本方法是将无理不等式等价转化为有理不等式组．
（2）代数运算的严密性与几何图形的直观性有机结合。相得益彰、优美的解题方法往往应运而生，因此，解题时要注意发现和利用问题的几何意义，实现数和形的转化．
例题2．某工厂生产某种产品共m 件，分若干批生产，每生产一批产品需用原料费15000万元，每生产一批需直接消耗的管理费与该批生产产品的件数的立方成正比，当生产的一批产品的件数为5件时，需消耗的管理费为1000万元．
（1）求每批生产消耗的管理费与该批生产产品的件数的函数解析式．
（2）每批生产多少件时，一年生产的总费用最低，（精确到1件，其中37. 5＝1. 957，375=4. 217）
分析：建立函数模型，根据函数表达式利用均值不等式求最值．
解：（1）设每批产品为x 件，生产直接消耗的管理费为y 万元．依题意有：
y ＝kx 3, 由 1000＝k ×53, 得k ＝8，故函数解析式为y ＝8x 3.
（2）设每批生产x 件，一年生产的总费用为f (x ),
f (x )=15000×
≥3m 3
当且仅当m x +m x ×8x 3=m (215000x +8x 2) 27500x x ⋅7500x ⋅8x =6m 750075008, 7500=8x 2时，即x ==537. 5≈10(件) 时，等号成立， ∴ 每批生产10件时，一年生产总费用最低。
点拨解疑：（1）解数学应用题就是将一个实际问题转化为数学问题的数学化过程．
（2）求函数最值的一个行之有效的方法就是利用基本不等式，将等式转化为不等式．
例题3．设f (x ) ＝x
a (x +2) ，x ＝f (x ) 有唯一解，f (x0)=1
991, f (x n -1) =x n , n =1, 2,
3, „„, 求x 2001.
分析：由方程有唯一解可求得a ，得到函数解析式，再由f (x n -1) =x n 得到一个数列的递推公式，转化为等差数列，求得x n ．
解：由已知，方程x =x
a (x +2)
1
2有唯一解．即方程ax 2+(2a －1) x =0有唯一解， 2x x +2△=(2a －1) 2－4a ×0=0, a =
可得2x n -1
x n -1+2
1
x n , ∴ f (x )=, 又f (x n -1) =x n , n =1, 2, 3,„„, -1x n -1=x n , x n －1x n +2x n =2x n －1, ∴ 11x n =12, 又1x 1=991, 这表明{}是以991位首项，为公差的等差数列， 2
∴ 1
x 2001=991+2000⨯12=1991， ∴ x 2001=11991.
点拨解疑：函数、方程、数列是相互联系、相互渗透的，这也就注定了它们之间是可相互转化的，因而高考常出现贯穿这三个重要知识领域的“三位一体”的综合题型．
例题4．已知直线l 过定点P (3，0) ，倾斜角为θ，试求θ的范围，使得曲线C ：y ＝x 2的所有弦都不能被直线l 垂直平分．
分析：直线l 只要符合下列条件之一，则曲线C 的所有弦都不能被l 垂直平分， ① l 与C 不相交或只有一个交点；② l 与C 有两个交点，但C 中任一条弦都与l 不垂直； ③ C 中与l 垂直的弦的中点不在l 上．要直接寻找适合上述条件的θ相当困难，因此，我们转向寻找曲线C 中至少有一条弦能被l 垂直平分时θ的变动范围，这样就能间接地得到所需的结果．
解：因为当θ＝0°或90°时，l 过点(3，0) ．与曲线C 都只有一个交点，所以这时曲线C 中不存在能被l 垂直平分的弦．
当θ≠0°，θ≠90°时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3), 曲线C 中的弦AB 被l 垂直平分，则直线AB 的方程为：y =－
x 1+x 2
2
1
21k x +m , y 1-y 212k 又设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 的中点为M (x 0, y 0), 则有y 1＝x 12，y 2=x 22, 两式相减 y 1－y 2＝(x 1+x 2)(x 1－x 2), x 0==2(x 1-x 2) =-, 1k 代入y ＝k (x －3) 中, 得 y 0＝－
得 m ＝-1
2k 2－3k , 将x 0，y 0代入 y =－x +m 中， -3k -12 1⎧⎪y =-x +m 由⎨k
2⎪y =x ⎩, 得kx 2+x －km =0, △=1+4mk 2>0,
1-3k -1
2即 1＋4k 2(-2k 2)>0,
1整理得： 12k 3+2k 2+10, ∴ 2k +1
于是满足题设的k 的范围为k ≥－，或k 不存在 21
即tan θ≥－1
2或θ=π2,
π
2 所求直线l 的倾斜角的范围是0≤θ≤或π－arctan ≤θ＜π.
点拨解疑：（1）有些数学问题的条件比较简单，而结论却比较复杂或不很明确，这些题目难以直接求解，这时可转向间接解法，从题目结论的“补集”入手，可能会增加推导的条件，或者供所考虑的情形较为简单，使推导较易进行．
（2）逆向思维在解数学题中有不可忽视的作用，它可以帮助人们突破习惯性思维的局限，克服常规思维中所遇到的困难，开辟新的解题途径．
基础知识练习
一．选择题：
1．已知复数z 满足|2z －i |=2，则|z +2i |的最小值是
（A ）1
232 （B ）1 （C ） （D ）2
2．已知f (x ) ＝ax 3+bx 2+cx +d 的图像如图，则
（A ）b ∈(－∞, 0) （B ）b ∈(0, 1)
（C ）b ∈(1, 2) （D ）b ∈(2, +∞)
3．已知3a －4b ＝4则直线 ax +by =1过定点
（A ）(3, －4) （B ）(－3, 4) （C ）(－3
4, 1) （D ）(34, －1)
4．已知f (x ) ＝log 2(2x －1), 则f (2x )=f -1(x ) 的根是
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
二．填空题：
5．已知数列1
1⋅2, 12⋅3, 13⋅4, „„, 1n (n +1) ，则S 1S 2；
S 3；S n .
6．若a , b ∈R , 使不等式a >b ，1
a >1
b 同时成立的条件是.
y
x 7．如果实数x ，y 满足等式(x －2) 2＋y 2＝3，那么
1
8的最大值是 . 8．已知点M (－2, 4) 及焦点为F 的抛物线y ＝x 2，P 为抛物线上一点，若|MP |
＋|FP |最小，则P 点坐标为 .
三．解答题：
9．设函数f (x ) ＝x 2+1-ax ，其中a ＞0，解不等式f (x )
≤1.
10．如图，正三棱锥A －BCD ，底面边长为a ，侧棱长为
2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截
面三角形中，求（1）周长的最小值；
（2）求这周长最短的截面截取的小三棱锥A －BEF 和
原三棱锥A －BCD 的体积之比。
高考常考题强化训练
一．选择题：
1．在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正
方形，EF //AB ，EF ＝
面体的体积为
（A ）9
232，EF 与面AC 的距离为2，则该多152 （B ）5 （C ）6 （D ）
1
2 2．已知z ∈C ，且|z |≤
（A ）
（C ）5π64π
3，那么复数1＋z 的辐角主值θ的取值范围是 π3≤θ≤7π65π3 （B ） （D ）≤θ≤2π3 π6≤θ≤11π6≤θ
3．若(2x 十3) 4= a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3+a 4x 4, 则(a 0＋a 2＋a 4) 2－(a 1＋a 3) 2的值为
（A ）1 （B ）－1 （C ）0 （D ）2
4．定义在R 上的奇函数f (x ) 为增函数，偶函数g (x ) 在(0, +∞) 上的图象与f (x ) 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：① f (b ) －f (－a )>g (a ) －g (－b ) ；② f (b ) －f (－a )g (b ) －g (－a ) ；④ f (a ) －f (－b )
（A ）①④ （B ）③③ （C ）①③ （D ）②④
二．填空题：
5．已知a , b ∈R +，且a ＋2b ＋ab =30，则ab 的最大值是 。
6．已知抛物线 y =ax 2－2x －1上总存在关于直线 x ＋y =0对称的两点，则实数a 的取值范围是 。
7．极坐标方程5ρcos2θ+ρ2－24＝0所表示曲线的焦点的极坐标是 .
8．函数f (x )= 的最大值为.
三．解答题：
9．已知数列{a n }中，a n =1
(n +1) 2（n ∈N ）, 记f (n )=(1－a 1)(1－a 2) „„(1－a n ), 试
求f (n ) 的值，并说明理由.
10．直线 l 过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点，并且与这抛物线相交于A (x 1, y 1) 和B (x 2, y 2) 两点，求证：对于这抛物线的任意给定的弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．
11．设复数 Z =3cosθ＋i ·2sin θ，求函数 y ＝θ－arg z （0＜θ＜π
2）的最大值
以及对应的θ值.
12．已知关于复数z 的一元二次方程4z 2+(2a +i ) z －8b (9a +4)－2(a +2b ) i =0（a , b ∈R ）至少有一实根，
(1) 求a ．b 的范围；
(2) 求实根的最大值.
基础知识练习参考答案
高考常考题强化训练参考答案