对足球比赛中吊门问题的分析
一．摘要
在足球比赛中，球员的吊门技巧很关键，这关系到一场比赛的胜负。而在吊门过程中，有很多的影响因素会导致球员吊门不成功，比如球与球门的距离为a，门员与球门的距离为b，球门高h，守门员最大摸高h, 球出脚的初速度为
v0
，与水平方
向的夹角为（称为初射角），是否考虑空气阻力，以及在吊门过程中，守门员能否移动等等很多的因素。针对以上提到的种种问题，在这个数学建模论文中，我将从以下几点展开我的分析和讨论：（一）先考虑最简单情形，即不考虑空气阻力等，此时，球的运动轨迹是抛物线，我们可以根据所学知识求出抛物线方程。显然，如果守门员不动，总有合适的角度使吊门成功，我们要找到这个合适的角。（二）当需要求出一个吊门成功的角度范围时，问题就相当复杂了。这时我们要想尽办法，求出一个吊门成功角的范围，这一点上，与（一）有很大区别。针对这一问题，通常的思路是把问题整理成两个方程求根问题：一个方程是求吊门成功的最小角度，一个方程是求吊门成功的最大角度。（三）可是，也有以下的情况，当球反弹进球门怎么办呢，这可能是最复杂的情况了，解决办法是，当球有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门的情况。 以上三点是我的基本思路。从以上三点出发，我将展开我的讨论，建立合适 的模型，求解出吊门合适的位置。
关键字：足球吊门 抛物线 阻力 移动 二．问题重述
足球比赛是我们大家很喜欢的一项体育运动，可是大家都知道，在这场比赛中，球员能投进一个球是很关键的，即吊球技术关系到一场比赛的胜负与否。在吊球过程中，有很多的因素要考虑在内。在这次的数学建模比赛中，题目给出了一下考虑因素。即球与球门的距离为a，守门员与球门的距离为b（假设在吊门过程中，守门员不能移动），球门高h，守门员最大摸高H，球出脚的初速度为
v0
，与水平方
向的夹角为（称为初射角），并且要考虑空气阻力。毫无疑问，这几个影响因素很大程度上决定了吊门成功与否。一个合格的足球运动员，在平时的训练中，他会很好的把握住自己的初速度和初射角，他会很清楚的知道，什么位置是很好的踢球位置，在球门的哪个角度把球踢出去，成功的概率才会更大。显然只有把以上的各个影响因素都考虑到了，一个足球运动员才能够在绿茵场上游刃有余，比赛才会取得成功。
三．问题分析
当考虑以上我提出的第一种情形时，即考虑最简单情形，不考虑空气阻力等，此时，球的运动轨迹是抛物线，我们可以根据所学知识求出抛物线方程。当考虑以上我提出的第二种情形时，即需要求出一个吊门成功的角度范围，这时我们要想尽办法，求出一个吊门成功角的范围，我们需要把问题整理成两个方程求根问题：一个方程是求吊门成功的最小角度，一个方程是求吊门成功的最大角度。当考虑以上我提出的第三个问题时，即空气阻力时，在建立方程的时候，我们要考虑空气阻力的影响。
四．建模过程
1） 问题一
（一） 模型假设
1． 不考虑空气阻力；
2． 不考虑守门员在球运行过程中的移动；
3． 只考虑越过守门员头顶的吊门，即出球点与守门员连成一线延伸到球
门这样一个直线方向，不考虑从守门员侧面吊门的情况； 4． 将球看作是数学上的一个点；
5． 不考虑球的旋转，实际比赛时，旋转是很重要的！ 6． 球的质量为一个单位。
（二）定义符号说明
——初射角，即初速度与水平方向的夹角
v0
——初速度，即球出脚的速度
（三）模型建立
不考虑空气阻力的情况下，球的运动轨迹大概是一个抛物线,此抛物线的方程如下:
y(x)xtan
g2vcos
2
2
x
2
此抛物线的图形是一个抛物线。
（四）模型求解
在以下方程求解的过程中，我们不妨假设： v=30 g=10 h=2.44 H=3.2 a=6 b=1
l=a-b L=a*1.1
x=0:0.01:L
现求解如下：
二） （一） 模型假设
1． 假设只考虑x方向受空气阻力的影响；
2． 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为k=0.4。 3． 此时，x(t)满足如下的微分方程初值问题 (0)vcosx
其中
x(0)0
kx0x
该微分方程的解是：
x(t)
1k
vcos(1e
kt
)
4． 假设x，y两个方向均受空气阻力的影响 ；
5． 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为k=0.4.； 6． 此时，x(t)仍满足同上的常微分方程初值问题
kx0x
其中，此微分方程满足:
x(0)0
(0)vcosx
y(t)满足如下的常微分方程初值问题
kymg0y
其中，此微分方程满足以下初值条件：
y(t)问题的解是：
y(t)
1k
(vsin
mgk
)(1e
kt
)
mgk
t
（二）定义符号说明
——初射角，即初速度与水平方向的夹角
v0
——初速度，即球出脚的速度
k——0.4,空气阻力与速度的比例系数 m——球的质量 g——重力加速度
(三)模型建立
如果只考虑x方向受空气阻力情况：
y(t)
1k
x(t)vcos(1e
kt
)
如果只考虑y方向受阻力的情况：
1k
(vsin
mgk)(1e
kt
)
mgk
t
（四）模型求解
我们不妨令
v=30 k=0.4 g=10 h=2.44 H=3.2 a=20 b=5 l=a-b L=a*1.1
求得的数据如下：
此模型最大优点在于对原始数据拟合时, 采用多种方法进行, 使之愈来愈完善, 具有很高的拟合精度和适度性。在此基础上, 对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息。并且, 所得结论与客观事实很好地吻合, 从而进一步说明模型是合理的。在足球比赛中。此数学模型可以一定程度上帮助球员找到合适的吊球位置和合适的出射速度以及合适的初射角。
其实，在现实社会中，人们也越来越重视数学模型在现实生活中的应用。尽管上述数学模型在很大程度上可以反映吊球的过程，可是，我不得不承认，上述模型在很大程度上也一定的缺陷，比如，在吊球的过程中，我没有考虑到球员的运动对吊球的影响，由于我的能力有限，只能考虑到上述过程为止，在今后的学习中，我会更加努力，解决这个过程中的更多问题。
(六)参考文献
【1】赵静 但琦 数学建模与数学实验（第2版） 高等教育出版社 2008.1 【2】冉启康 张振宇 张立柱 常用数学软件教程 人民邮电出版社 2008.10 【3】张德丰 数值分析与应用 国防工业出版社 2007.1
【4】郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M]，山东：山东教育出版社，1997.12 【5】马正飞 数学计算方法与软件的工程应用 化学工业出版社 2002.12 【6】黄有谦 计算方法 北京：高等教育出版社 1981
(七)附录程序
LINGO 例题
订购问题
假如你负责一个中等面粉加工厂的原料采购。该工厂每星期面粉的消耗量为80包，每包面粉的价格是250元。在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为这1小时支付80元。订购的面粉可以即时送达。工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包面粉的库存成本为每星期1.10元。 （1）目前的方案是每次采购够用两个星期的面粉，计算这种方案下的平均成本。 （2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。
（3）若面粉供应商为推出促销价格：当面粉的一次购买量大于500包时，为220元/包。建
立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。
解：（1）由题意得每天消耗面粉80/7，每天的库存成本为1.1/7 则平均成本为160x250+500+80+1.1/7(160--80/7)+.....+1.1/7x80/7
---------------------------------------------------------------------=2910.2 14
(2)设平均成本为Y,每次购得面粉X包则
Y=250X+580+1.1X(X—1)/7 ---------------------------------= X/560
（3）设同上当X≦500时 Y=250X+580+1.1X(X—1)/7 --------------------------------- X/560 当X＞500时
Y=500x250+(X—500)x220+580+1.1X(X—1)/7 -------------------------------------------------------- X/560
对足球比赛中吊门问题的分析
一．摘要
在足球比赛中，球员的吊门技巧很关键，这关系到一场比赛的胜负。而在吊门过程中，有很多的影响因素会导致球员吊门不成功，比如球与球门的距离为a，门员与球门的距离为b，球门高h，守门员最大摸高h, 球出脚的初速度为
v0
，与水平方
向的夹角为（称为初射角），是否考虑空气阻力，以及在吊门过程中，守门员能否移动等等很多的因素。针对以上提到的种种问题，在这个数学建模论文中，我将从以下几点展开我的分析和讨论：（一）先考虑最简单情形，即不考虑空气阻力等，此时，球的运动轨迹是抛物线，我们可以根据所学知识求出抛物线方程。显然，如果守门员不动，总有合适的角度使吊门成功，我们要找到这个合适的角。（二）当需要求出一个吊门成功的角度范围时，问题就相当复杂了。这时我们要想尽办法，求出一个吊门成功角的范围，这一点上，与（一）有很大区别。针对这一问题，通常的思路是把问题整理成两个方程求根问题：一个方程是求吊门成功的最小角度，一个方程是求吊门成功的最大角度。（三）可是，也有以下的情况，当球反弹进球门怎么办呢，这可能是最复杂的情况了，解决办法是，当球有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门的情况。 以上三点是我的基本思路。从以上三点出发，我将展开我的讨论，建立合适 的模型，求解出吊门合适的位置。
关键字：足球吊门 抛物线 阻力 移动 二．问题重述
足球比赛是我们大家很喜欢的一项体育运动，可是大家都知道，在这场比赛中，球员能投进一个球是很关键的，即吊球技术关系到一场比赛的胜负与否。在吊球过程中，有很多的因素要考虑在内。在这次的数学建模比赛中，题目给出了一下考虑因素。即球与球门的距离为a，守门员与球门的距离为b（假设在吊门过程中，守门员不能移动），球门高h，守门员最大摸高H，球出脚的初速度为
v0
，与水平方
向的夹角为（称为初射角），并且要考虑空气阻力。毫无疑问，这几个影响因素很大程度上决定了吊门成功与否。一个合格的足球运动员，在平时的训练中，他会很好的把握住自己的初速度和初射角，他会很清楚的知道，什么位置是很好的踢球位置，在球门的哪个角度把球踢出去，成功的概率才会更大。显然只有把以上的各个影响因素都考虑到了，一个足球运动员才能够在绿茵场上游刃有余，比赛才会取得成功。
三．问题分析
当考虑以上我提出的第一种情形时，即考虑最简单情形，不考虑空气阻力等，此时，球的运动轨迹是抛物线，我们可以根据所学知识求出抛物线方程。当考虑以上我提出的第二种情形时，即需要求出一个吊门成功的角度范围，这时我们要想尽办法，求出一个吊门成功角的范围，我们需要把问题整理成两个方程求根问题：一个方程是求吊门成功的最小角度，一个方程是求吊门成功的最大角度。当考虑以上我提出的第三个问题时，即空气阻力时，在建立方程的时候，我们要考虑空气阻力的影响。
四．建模过程
1） 问题一
（一） 模型假设
1． 不考虑空气阻力；
2． 不考虑守门员在球运行过程中的移动；
3． 只考虑越过守门员头顶的吊门，即出球点与守门员连成一线延伸到球
门这样一个直线方向，不考虑从守门员侧面吊门的情况； 4． 将球看作是数学上的一个点；
5． 不考虑球的旋转，实际比赛时，旋转是很重要的！ 6． 球的质量为一个单位。
（二）定义符号说明
——初射角，即初速度与水平方向的夹角
v0
——初速度，即球出脚的速度
（三）模型建立
不考虑空气阻力的情况下，球的运动轨迹大概是一个抛物线,此抛物线的方程如下:
y(x)xtan
g2vcos
2
2
x
2
此抛物线的图形是一个抛物线。
（四）模型求解
在以下方程求解的过程中，我们不妨假设： v=30 g=10 h=2.44 H=3.2 a=6 b=1
l=a-b L=a*1.1
x=0:0.01:L
现求解如下：
二） （一） 模型假设
1． 假设只考虑x方向受空气阻力的影响；
2． 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为k=0.4。 3． 此时，x(t)满足如下的微分方程初值问题 (0)vcosx
其中
x(0)0
kx0x
该微分方程的解是：
x(t)
1k
vcos(1e
kt
)
4． 假设x，y两个方向均受空气阻力的影响 ；
5． 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为k=0.4.； 6． 此时，x(t)仍满足同上的常微分方程初值问题
kx0x
其中，此微分方程满足:
x(0)0
(0)vcosx
y(t)满足如下的常微分方程初值问题
kymg0y
其中，此微分方程满足以下初值条件：
y(t)问题的解是：
y(t)
1k
(vsin
mgk
)(1e
kt
)
mgk
t
（二）定义符号说明
——初射角，即初速度与水平方向的夹角
v0
——初速度，即球出脚的速度
k——0.4,空气阻力与速度的比例系数 m——球的质量 g——重力加速度
(三)模型建立
如果只考虑x方向受空气阻力情况：
y(t)
1k
x(t)vcos(1e
kt
)
如果只考虑y方向受阻力的情况：
1k
(vsin
mgk)(1e
kt
)
mgk
t
（四）模型求解
我们不妨令
v=30 k=0.4 g=10 h=2.44 H=3.2 a=20 b=5 l=a-b L=a*1.1
求得的数据如下：
此模型最大优点在于对原始数据拟合时, 采用多种方法进行, 使之愈来愈完善, 具有很高的拟合精度和适度性。在此基础上, 对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息。并且, 所得结论与客观事实很好地吻合, 从而进一步说明模型是合理的。在足球比赛中。此数学模型可以一定程度上帮助球员找到合适的吊球位置和合适的出射速度以及合适的初射角。
其实，在现实社会中，人们也越来越重视数学模型在现实生活中的应用。尽管上述数学模型在很大程度上可以反映吊球的过程，可是，我不得不承认，上述模型在很大程度上也一定的缺陷，比如，在吊球的过程中，我没有考虑到球员的运动对吊球的影响，由于我的能力有限，只能考虑到上述过程为止，在今后的学习中，我会更加努力，解决这个过程中的更多问题。
(六)参考文献
【1】赵静 但琦 数学建模与数学实验（第2版） 高等教育出版社 2008.1 【2】冉启康 张振宇 张立柱 常用数学软件教程 人民邮电出版社 2008.10 【3】张德丰 数值分析与应用 国防工业出版社 2007.1
【4】郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M]，山东：山东教育出版社，1997.12 【5】马正飞 数学计算方法与软件的工程应用 化学工业出版社 2002.12 【6】黄有谦 计算方法 北京：高等教育出版社 1981
(七)附录程序
LINGO 例题
订购问题
假如你负责一个中等面粉加工厂的原料采购。该工厂每星期面粉的消耗量为80包，每包面粉的价格是250元。在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为这1小时支付80元。订购的面粉可以即时送达。工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包面粉的库存成本为每星期1.10元。 （1）目前的方案是每次采购够用两个星期的面粉，计算这种方案下的平均成本。 （2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。
（3）若面粉供应商为推出促销价格：当面粉的一次购买量大于500包时，为220元/包。建
立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。
解：（1）由题意得每天消耗面粉80/7，每天的库存成本为1.1/7 则平均成本为160x250+500+80+1.1/7(160--80/7)+.....+1.1/7x80/7
---------------------------------------------------------------------=2910.2 14
(2)设平均成本为Y,每次购得面粉X包则
Y=250X+580+1.1X(X—1)/7 ---------------------------------= X/560
（3）设同上当X≦500时 Y=250X+580+1.1X(X—1)/7 --------------------------------- X/560 当X＞500时
Y=500x250+(X—500)x220+580+1.1X(X—1)/7 -------------------------------------------------------- X/560