2016年高三押题卷（九）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z 满足z ⋅i =2-i , i 为虚数单位，则z 的共轭复数z 为 A. -1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. -1+2i
2．已知递增等差数列{a n }，满足a 22+16=a 62,3a 3+a 5=0，S n 是前n 项和，则S 9=（ ） A ．16 B ．20 C ．27 D ．40 3. 点P 为∆ABC
A.
边AB 上任一点，则使S ∆PBC ≤
1
S ∆ABC 的概率是（ ） 3
4125
B. C. D.
9339
1
的定义域为 log 3x
4. 3.函数f (
x )=A. {x x
B. {x 01}
5. “a =2”是“函数f (x )=x 2+2ax -2在区间(-∞, -2]内单调递减”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 函数f (x ) =2x -6+ln x 的零点一定位于下列哪个区间 A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x 、y ∈R ，那么输出的S 的最大值为 A.0
B.1 C.2
D.3
x 2y 2
8. 已知抛物线y =8x 的准线与双曲线2-=1相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，
a 16
2
∆ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为
A.3 B.2
C.
D. 9. 定义在R 上的函数f （x ）是最小正周期为2π的偶函数，f '(x ) 是f （x ）的导函数，
当x ∈[0，π]时，0＜f （x ）＜1，当x ∈（0，π）且x ≠时，(x－) f '(x ) ＞0，则函数y ＝f （x ）－sinx 在[－3π，π]上的零点个数为
A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
222
10. 若实数a , b , c , d 满足(b +a -3ln a )+(c -d +2)=0，则(a -c )+(b -d )的最小值为
π2π2
2
2
A. B.8
C. D.2
11. 点M 、N 分别是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1中点，用过A 、M 、N 和D 、N 、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（ ）
A ．①、②、③
B ．②、③、④
C ．①、③、④
D ．②、④、③
12．圆C 的方程为x 2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）
A ．0 B ． C ． D ．﹣1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. (2x -1)(3-2x )的展开式中，含x 次数最高的项的系数是_________（用数字作答）
.
5
14．函数y =(x +a ) e x 在x =0处的切线与直线x +y +1=0垂直，则a 的值为_______.
⎧x -y ≥0
15．若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎪⎨x +y ≥0表示的平面区域
⎪y ≥2x -6⎩
为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 16．抛物线y 2=8x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 作斜率为k (k >0)的直线交抛物线
于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA |=2|FB |，则k = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. （本小题满分12分）
在∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a , b , c ，且满足(2a -b )cos C -c cos B =0. （I ）求角C 的值；
（II ）若三边a , b , c 满足a +b =13, c =7，求∆ABC 的面积.
18．（本题满分12分） 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答. 选题情况如下表：（单位：人）
（I ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题, 求乙比甲先解答完的概率． （III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E (X )． 附表及公式
19. （本小题满分12分）
在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A
1为矩形，AB =2, AA 1=D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥平面ABB 1A 1. （I ）证明：BC ⊥AB 1；
（II ）若OC =OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.
x 2y 2
20. 已知椭圆C ：2+2=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个
a b
端点的连线构成等边三角形，直线
1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． (I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线
CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k3k 4． (i)求k 1k 2的值： (ii)求OB 2+ OC2的值． 24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲
11
|x -|≤
412的解集为{x |n ≤x ≤m } 不等式
(Ⅰ) 求实数m , n ;
(Ⅱ) 若实数a , b 满足:|a +b |
|b |
5
18
24. 解：(Ⅰ) 不等式
|x -
111111|
(Ⅱ) 证明:∵3|b |=|3b |=|2(a +b ) +(2a -b ) |≤2|a +b |+|2a -b |，
11|a +b |
36 又|a +b |
55
|b |
18. -------10分 6，∴
2016年高三押题卷（九）
1.D 2、C 3.A 4.C 5.A 6. B 7. C 8.A 9.B 10. B 11.B 12.B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
13. -64; 14． 0 15．24 16．
3
π
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 17. 解：（Ⅰ）已知(2a -b ) cos C -c cos B =0可化为
(2sin A -sin B ) cos C -sin C cos B =0， „„„„„„„„„„3分
整理得2sin A cos C =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) =sin A ，
0
1
， 2
又 0
所以由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b ) 2-3ab =169-3ab ，
∴49=169-3ab ，即ab =40，
π3
12
„„„„„„„„„„9分
π3
所以S ∆ABC =ab sin C =⨯40⨯sin =10．„„„„„„„„„„12分 18．解：(Ⅰ) 由表中数据得
所以根据统计有
分
的观测值 的把握认为视觉和空间能力与性别有关. ）………3
分钟，则基本事件满足的区域为
1212
(Ⅱ)
设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
(如图所示) 设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
………5分
由几何概型 即乙比甲先解答完的概率. ……7分
种，种；
(Ⅲ) 由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有其中甲、乙两人没有一个人被抽到有两人都被抽到有可能取值为
分
的分布列为：
，
种
种；恰有一人被抽到有
， ………8分
， ………9分 ………10
19. 解：(1)由题意tan ∠ABD =又0
π
2
.
………12分
AD AB ，tan ∠AB 1B =， ==
AB 2BB 12
，∴∠ABD =∠AB 1B ，
π
， 2
∴∠AB 1B +∠BAB 1=∠ABD +∠BAB 1= ∠AOB =
π
2
，∴AB 1⊥BD . ………………………………………………3分
又CO ⊥平面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO ，
BD 与CO 交于点O ，∴AB 1⊥平面CBD ，
又BC ⊂平面CBD ，∴AB 1⊥BC .
…………………………………………6分 (Ⅱ)
如图，分别以OD , OB 1, OC 所在直线为x , y , z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O -
xyz ，则A (0,-B
(-
，C 3
3
D
,
AB =(AC =CD =，………………8
分
设平面ABC 的法向量为n =
(x , y , z ) ，
⎧ x y =0⎪⎧
⎪n ⋅AB =0⎪则⎨ ，即⎨， ⎪⎪y +z =0⎩n ⋅AC =
⎪
3
⎩3
令y =1，则z =-1，x =
， 2
所以平面ABC 的一个法向量n =
-1) . …………………………………10分 2
设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则
0+(⨯(-1)| |CD
⋅n |. ………12=
=sin α
=|cosCD , n |=|CD |⋅|n |
分
20. 解：（Ⅰ）设椭圆C 的右焦点F 2(c ,0) ，则c 2=a 2-b 2(c >0)
由题意，以椭圆
C 为半径的圆的方程为(x -c ) 2+y 2=a 2， ∴圆心到直线
x +y +1=0的距离
d =
=a （）………………………2分
∵椭圆C
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形， ∴b =, a =2c ， 代入（）式得c =1, b a =2， 故所求椭圆方程为
（Ⅱ）（i ）设B (x 1, y 1), C (x 2, y 2) ，则D (-x 1, -y 1) ，
332
(4-x 2) -(4-x 12)
y -y y +y y -y 3==- 于是k 1k 2=21⋅21=--（8分） 2x 2-x 1x 2+x 1x -x x 2-x 124
33
（ii ）方法一由（i ）知，k 3k 4=k 1k 2=-，故y 1y 2=-x 1x 2．
44
933222
=y 12y 2=(4-x 2) ⋅(4-x 12) 所以，x 12x 2
16442222
即x 12x 2，所以，x 12+x 2=16-4(x 12+x 2) +x 12x 2=4．
2
222
2121
x 2y 2
+=143
………………………………………4分
2222
x 12y 12x 2y 2x 12+x 2y 12+y 2
+又2=(+) +(+) =
434343
，故y 12+y 22=3．12分）
3x 2y 2
方法二由（i ）知，k 3k 4=k 1k 2=-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆+=1中，
434
得x 12=
2
1
22
123+4k 32
．同理，x 22=
12
2
3+4k 4
．
16k [1**********]2
所以，x +x =+=+=+=4． 2
3+4k 323+4k 43+4k 323+4(-3) 23+4k 323+4k 32
4k 3
2016年高三押题卷（九）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z 满足z ⋅i =2-i , i 为虚数单位，则z 的共轭复数z 为 A. -1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. -1+2i
2．已知递增等差数列{a n }，满足a 22+16=a 62,3a 3+a 5=0，S n 是前n 项和，则S 9=（ ） A ．16 B ．20 C ．27 D ．40 3. 点P 为∆ABC
A.
边AB 上任一点，则使S ∆PBC ≤
1
S ∆ABC 的概率是（ ） 3
4125
B. C. D.
9339
1
的定义域为 log 3x
4. 3.函数f (
x )=A. {x x
B. {x 01}
5. “a =2”是“函数f (x )=x 2+2ax -2在区间(-∞, -2]内单调递减”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 函数f (x ) =2x -6+ln x 的零点一定位于下列哪个区间 A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x 、y ∈R ，那么输出的S 的最大值为 A.0
B.1 C.2
D.3
x 2y 2
8. 已知抛物线y =8x 的准线与双曲线2-=1相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，
a 16
2
∆ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为
A.3 B.2
C.
D. 9. 定义在R 上的函数f （x ）是最小正周期为2π的偶函数，f '(x ) 是f （x ）的导函数，
当x ∈[0，π]时，0＜f （x ）＜1，当x ∈（0，π）且x ≠时，(x－) f '(x ) ＞0，则函数y ＝f （x ）－sinx 在[－3π，π]上的零点个数为
A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
222
10. 若实数a , b , c , d 满足(b +a -3ln a )+(c -d +2)=0，则(a -c )+(b -d )的最小值为
π2π2
2
2
A. B.8
C. D.2
11. 点M 、N 分别是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1中点，用过A 、M 、N 和D 、N 、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（ ）
A ．①、②、③
B ．②、③、④
C ．①、③、④
D ．②、④、③
12．圆C 的方程为x 2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）
A ．0 B ． C ． D ．﹣1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. (2x -1)(3-2x )的展开式中，含x 次数最高的项的系数是_________（用数字作答）
.
5
14．函数y =(x +a ) e x 在x =0处的切线与直线x +y +1=0垂直，则a 的值为_______.
⎧x -y ≥0
15．若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎪⎨x +y ≥0表示的平面区域
⎪y ≥2x -6⎩
为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 16．抛物线y 2=8x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 作斜率为k (k >0)的直线交抛物线
于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA |=2|FB |，则k = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. （本小题满分12分）
在∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a , b , c ，且满足(2a -b )cos C -c cos B =0. （I ）求角C 的值；
（II ）若三边a , b , c 满足a +b =13, c =7，求∆ABC 的面积.
18．（本题满分12分） 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答. 选题情况如下表：（单位：人）
（I ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题, 求乙比甲先解答完的概率． （III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E (X )． 附表及公式
19. （本小题满分12分）
在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A
1为矩形，AB =2, AA 1=D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥平面ABB 1A 1. （I ）证明：BC ⊥AB 1；
（II ）若OC =OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.
x 2y 2
20. 已知椭圆C ：2+2=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个
a b
端点的连线构成等边三角形，直线
1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． (I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线
CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k3k 4． (i)求k 1k 2的值： (ii)求OB 2+ OC2的值． 24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲
11
|x -|≤
412的解集为{x |n ≤x ≤m } 不等式
(Ⅰ) 求实数m , n ;
(Ⅱ) 若实数a , b 满足:|a +b |
|b |
5
18
24. 解：(Ⅰ) 不等式
|x -
111111|
(Ⅱ) 证明:∵3|b |=|3b |=|2(a +b ) +(2a -b ) |≤2|a +b |+|2a -b |，
11|a +b |
36 又|a +b |
55
|b |
18. -------10分 6，∴
2016年高三押题卷（九）
1.D 2、C 3.A 4.C 5.A 6. B 7. C 8.A 9.B 10. B 11.B 12.B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
13. -64; 14． 0 15．24 16．
3
π
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 17. 解：（Ⅰ）已知(2a -b ) cos C -c cos B =0可化为
(2sin A -sin B ) cos C -sin C cos B =0， „„„„„„„„„„3分
整理得2sin A cos C =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) =sin A ，
0
1
， 2
又 0
所以由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b ) 2-3ab =169-3ab ，
∴49=169-3ab ，即ab =40，
π3
12
„„„„„„„„„„9分
π3
所以S ∆ABC =ab sin C =⨯40⨯sin =10．„„„„„„„„„„12分 18．解：(Ⅰ) 由表中数据得
所以根据统计有
分
的观测值 的把握认为视觉和空间能力与性别有关. ）………3
分钟，则基本事件满足的区域为
1212
(Ⅱ)
设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
(如图所示) 设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
………5分
由几何概型 即乙比甲先解答完的概率. ……7分
种，种；
(Ⅲ) 由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有其中甲、乙两人没有一个人被抽到有两人都被抽到有可能取值为
分
的分布列为：
，
种
种；恰有一人被抽到有
， ………8分
， ………9分 ………10
19. 解：(1)由题意tan ∠ABD =又0
π
2
.
………12分
AD AB ，tan ∠AB 1B =， ==
AB 2BB 12
，∴∠ABD =∠AB 1B ，
π
， 2
∴∠AB 1B +∠BAB 1=∠ABD +∠BAB 1= ∠AOB =
π
2
，∴AB 1⊥BD . ………………………………………………3分
又CO ⊥平面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO ，
BD 与CO 交于点O ，∴AB 1⊥平面CBD ，
又BC ⊂平面CBD ，∴AB 1⊥BC .
…………………………………………6分 (Ⅱ)
如图，分别以OD , OB 1, OC 所在直线为x , y , z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O -
xyz ，则A (0,-B
(-
，C 3
3
D
,
AB =(AC =CD =，………………8
分
设平面ABC 的法向量为n =
(x , y , z ) ，
⎧ x y =0⎪⎧
⎪n ⋅AB =0⎪则⎨ ，即⎨， ⎪⎪y +z =0⎩n ⋅AC =
⎪
3
⎩3
令y =1，则z =-1，x =
， 2
所以平面ABC 的一个法向量n =
-1) . …………………………………10分 2
设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则
0+(⨯(-1)| |CD
⋅n |. ………12=
=sin α
=|cosCD , n |=|CD |⋅|n |
分
20. 解：（Ⅰ）设椭圆C 的右焦点F 2(c ,0) ，则c 2=a 2-b 2(c >0)
由题意，以椭圆
C 为半径的圆的方程为(x -c ) 2+y 2=a 2， ∴圆心到直线
x +y +1=0的距离
d =
=a （）………………………2分
∵椭圆C
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形， ∴b =, a =2c ， 代入（）式得c =1, b a =2， 故所求椭圆方程为
（Ⅱ）（i ）设B (x 1, y 1), C (x 2, y 2) ，则D (-x 1, -y 1) ，
332
(4-x 2) -(4-x 12)
y -y y +y y -y 3==- 于是k 1k 2=21⋅21=--（8分） 2x 2-x 1x 2+x 1x -x x 2-x 124
33
（ii ）方法一由（i ）知，k 3k 4=k 1k 2=-，故y 1y 2=-x 1x 2．
44
933222
=y 12y 2=(4-x 2) ⋅(4-x 12) 所以，x 12x 2
16442222
即x 12x 2，所以，x 12+x 2=16-4(x 12+x 2) +x 12x 2=4．
2
222
2121
x 2y 2
+=143
………………………………………4分
2222
x 12y 12x 2y 2x 12+x 2y 12+y 2
+又2=(+) +(+) =
434343
，故y 12+y 22=3．12分）
3x 2y 2
方法二由（i ）知，k 3k 4=k 1k 2=-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆+=1中，
434
得x 12=
2
1
22
123+4k 32
．同理，x 22=
12
2
3+4k 4
．
16k [1**********]2
所以，x +x =+=+=+=4． 2
3+4k 323+4k 43+4k 323+4(-3) 23+4k 323+4k 32
4k 3