二维形式的柯西不等式

不等式选讲第11课时

二维形式的柯西不等式

学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：

一、引入：

除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，

其中等号当且仅当adbc时成立。

证明：略。

推论：

1． a2b2c2d2|acbd|(当且仅当ad=bc时，等号成立.)

2．(ac)(bd)(ac)2.(a,b,c,dR)(当且仅当ad=bc时，等号成立.)

3．a2b2c2d2|ac||bd|（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）

例1：已知a,b为实数，求证(ab)(ab)(ab) 4422332

说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数y5x12x的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（|acbd|a2b2c2d2）

解：函数的定义域为【1，5】，且y>0

y5x12x

52(2)2(x1)2(x)2

27463

当且仅当2x155x时，等号成立，即x

课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2

2.求函数y3x56x的最大值.

例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证127时，函数取最大值63 27114 ab

111111分析：注意到(ab)()，有了(ab)()就可以用柯西不等ababab

式了。

课堂练习： 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值.

几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为acbd， 而||a2b2，||c2d2，

所以柯西不等式的几何意义就是：||||||，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则

||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 分析：（课件）

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。

作业：P37页，4，5， 7，8，9

不等式选讲第12课时

一般形式的柯西不等式

学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：

一．复习：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，则||||||，为平面上的两个向量，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2

二．新课

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当 ， 共线时，

即 β0 ，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.

这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，222222n）为任意实数，则：ai

i1n2bi(aibi)2，其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时a1a2an

成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)(a2xb2)(anxbn) 222

即构造了一个二次函数：f(x)(ai)x2(aibi)xbi 222

i1i1i1nnn

由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

即：4(ab)ii

i1

2n24(ai)(bi)0， 22i1i1nnn

即：(aibi)(ai)(bi)， 22

i1i1i1nn

等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0， 即等号当且仅当

。 n）bb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，a1a2an

如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

二、典型例题：

例1、 已知a1,a2,…,an都是实数，求证：1222(a1a2an)2a1a2an n

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2、 已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例3、已知 x2y3z1,求 x2y2z2 的最小值.

分析：由 x2y3z1以及 x2y2z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求149的最小值。 xyz

2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。

3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求3a2b的最大值。

选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）

5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求111的最小值。（08东莞二模） abc

6．已知x+y+z=25，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)

三、小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。

五、作业：P41习题3.2 2，3，4，5

不等式选讲第11课时

二维形式的柯西不等式

学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：

一、引入：

除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，

其中等号当且仅当adbc时成立。

证明：略。

推论：

1． a2b2c2d2|acbd|(当且仅当ad=bc时，等号成立.)

2．(ac)(bd)(ac)2.(a,b,c,dR)(当且仅当ad=bc时，等号成立.)

3．a2b2c2d2|ac||bd|（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）

例1：已知a,b为实数，求证(ab)(ab)(ab) 4422332

说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数y5x12x的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（|acbd|a2b2c2d2）

解：函数的定义域为【1，5】，且y>0

y5x12x

52(2)2(x1)2(x)2

27463

当且仅当2x155x时，等号成立，即x

课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2

2.求函数y3x56x的最大值.

例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证127时，函数取最大值63 27114 ab

111111分析：注意到(ab)()，有了(ab)()就可以用柯西不等ababab

式了。

课堂练习： 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值.

几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为acbd， 而||a2b2，||c2d2，

所以柯西不等式的几何意义就是：||||||，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则

||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 分析：（课件）

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。

作业：P37页，4，5， 7，8，9

不等式选讲第12课时

一般形式的柯西不等式

学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：

一．复习：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，则||||||，为平面上的两个向量，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2

二．新课

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当 ， 共线时，

即 β0 ，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.

这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，222222n）为任意实数，则：ai

i1n2bi(aibi)2，其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时a1a2an

成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)(a2xb2)(anxbn) 222

即构造了一个二次函数：f(x)(ai)x2(aibi)xbi 222

i1i1i1nnn

由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

即：4(ab)ii

i1

2n24(ai)(bi)0， 22i1i1nnn

即：(aibi)(ai)(bi)， 22

i1i1i1nn

等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0， 即等号当且仅当

。 n）bb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，a1a2an

如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

二、典型例题：

例1、 已知a1,a2,…,an都是实数，求证：1222(a1a2an)2a1a2an n

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2、 已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例3、已知 x2y3z1,求 x2y2z2 的最小值.

分析：由 x2y3z1以及 x2y2z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求149的最小值。 xyz

2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。

3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求3a2b的最大值。

选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）

5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求111的最小值。（08东莞二模） abc

6．已知x+y+z=25，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)

三、小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。

五、作业：P41习题3.2 2，3，4，5