第一讲 有理数的意义及加减运算
一、知识梳理及典型例题
知识点一：有理数的分类——整数和分数统称为有理数
⎧⎪
⎪整数⎪
（1）有理数⎨
⎪
⎪分数⎪⎩
⎧正整数⎪⎨0⎪
⎩负整数 ⎧正分数⎨
⎩负分数
⎧正整数⎨
⎩正分数
⎧
⎪正有理数⎪⎪
（2）有理数⎨0
⎪
⎪负有理数⎪⎩
⎧负整数⎨
⎩负分数
例1 （正数与负数的意义）填空： （1）如果收入50元记作+50元，那么支出20元记作 ，-80元表示 . （2）仪表的指针顺时针方向旋转45°记作-45°，那么逆时针旋转50 （3）如果气温是零上5℃，那么，气温比0℃低3℃记作.
（4）如果把比海平面高规定为正，则25 m0 m 表示
例2 （数的分类）把下列各数填入它们所在的数集.
- -7，2，0，
12
-7，-8，4，3.25，-9，
34
6，π，，20，-3.14，0.[**************]„„，5
1
+10
整数集合：{ „}； 分数集合：{ „}； 正数集合：{ „}； 负数集合：{ „}； 负分数集合：{ „}； 负整数集合：{ „}； 正分数集合：{ „}； 正整数集合：{ „}.
【活学活用】把下列个数填在相应的集合中.
8，-1，-0.4，，0，-
5
313
，6.9，114，-1
37
，-
183
，-19
正数集合：{ „}； 负数集合：{ „}；
正分数集合：{ „}； 负分数集合：{ „}； 整数集合：{ „}；
有理数集合：{ „}. 知识点二：数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线 例3 下面是数轴的是 （ ）
-1010-2 1-1
A. B.
2
-1
1
2
C. D.
92
【活学活用1】画出数轴并表示出下列有理数：1. 5，-2. 2-2. 5，-，0.
23
【活学活用2】（数轴上两点之间的距离）数轴上表示-5的点与表示2的点之间的距离 是（ ）
A.3 B.10 C.7 D.4
例5 A 点为数轴上表示-1的点，将点A 沿数轴向右平移3个单位长度到点B ，则点B 表示的数为（ ）
A . 3 B . 2 C . -4 D . +3
练一练
1、在数轴上，到表示-2的点的距离为2的点所表示的数是（ ） A 、0 B 、-2或2 C 、-4或0 D 、-2
2、在数轴上与原点相距8个，它们表示的数
是 .
3、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到 达到的终点表示的数是 .
4、若果a 和b 是符号相反的两个数, 在数轴上a 所对应的点和b 所对应的点相距6个单 位长度, 如果a=－2, 则b 的值为 .
知识点三：相反数——如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数
是正数，特别地，0的相反数是0.
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
例6 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A.2与练一练
1、下列几组数中是互为相反数的是 ( ) A 、―
1
374
2、点A 在数轴上，若将A 向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A 点所表示的数是原来A 点所表示数的相反数，试确定原来A 点表示的是什么数？
1
12
22
B.（-1）与1 C.-1与（-1） D.2与-2
和0.7 B 、和―0.333 C 、―(―6) 和6 D 、―
1
和0.25
3、一个数在数轴上所对应的点向左移6个单位后, 得到它的相反数的点, 则这个数是( )
A 、3 B 、－3 C 、6 D 、－6
4、一个数的相反数大于它本身，那么这个数是 ；一个数的相反数等于它 本身，这个数是 ；一个数的相反数小于它本身，这个数是 . 5、如果a 的相反数是－2，且2x +3a =8，求x 的值.
专题四：绝对值——在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值. 对于任意一个数a ，a 的绝对值用a 表示，读作a 的绝对值
1、在括号里填写适当的数： -3.5=( )； +
12
=( )； --5=( )； -+3=( )；
()=1， ()=0； -()=-2.
2、填空：
(1)+3的符号是 ，绝对值是 ； (2)-3的符号是 ，绝对值是 ；
3
(3)-的符号是 ，绝对值是 ； (4)10.5的符号是 ，绝对值是 .
2
3、填空：
(1)符号是+号，绝对值是7的数是 ； (2)符号是-号，绝对值是7的数是 ；
1
(3)符号是-号，绝对值是0.35的数是 ；(4)符号是+号，绝对值是1的数是 .
2例7 已知x -2+y +2=0，求x ，y 的值.
【活学活用】已知a -2+b -4+c -9=0，求2a +3b -c 的值.
练一练
1、下列说法正确的有（ ）
①一个正数的绝对值是它本身；②一个非正数的绝对值是它的相反数：③两个负数比较，绝对值大的反而小；④一个非负数的绝对值是它本身
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、下列结论正确的是（ ）
A 、-a 一定是负数 B 、-a 一定是非正数 C 、a 可能是负数 D 、以上答案都不对 3、当a =-a 时，能使等式成立的条件是（ ）
A 、a 是正数 B 、a 是非正数 C 、a 是0或正数 D 、a 不等于0 4、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数个 5、下列说法正确的是（ ）
A 、一个数的绝对值等于它的相反数 B 、一个数的绝对值一定是非负数 C 、一个数的绝对值一定是正数 D 、一个数的绝对值的正负不能确定 6、如果a =b ，那么a ，b 的关系是（ ）
A 、互为相反数 B 、相等或互为相反数 C 、相等 D 、以上答案都不对 7、如果-a =-a ，那么下列成立的是（ ）
A 、a 0 D 、a ≥0 8、下列各题正确的有（ ）
①若m =n ，则m =n ；②若m =n ，则m =n ；③若m =-n ，则m =n ； ④若m =n ，则m =-n
A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、②④ 9、如果m =-5，那么.
10、绝对值不大于π的整数共有 个，其中最小的是 . 有理数中，绝对值最小的数是 .
知识点五：多重符号化简——双重符号化简，法则是“同号得正，异号得负”；多重符号的化简，最后结果的符号取决于“负号”的个数，法则为“奇负偶正”
例题8 化简下列各数.
（1）+（+2） （2）+（-2） （3）-（-1）
31
（4）- （5）-[-(-6. 3)] （6）-[+(-6. 3)] （+1）
31
知识点六：比较有理数的大小——负数
1、比较大小：3
35
－4.5，－0.0001 0，－6 －7，-
57
-
56
.
2、大于－3且小于7的整数有 ，其中偶数有 个. 3、绝对值大于2而且小于6的所有整数分别是 . 4、若a b ，则a 与b 的大小关系为 .
5、若a >0，b
2
3
与
25
； |2|与
53
；
-
16
与
211
； -
37
与-
25
7、比较下列每对数的大小.
353
(1)-与-； (2)-与-0.273；
8811
3479(3)-与-； (4)-与-79911
8、－
14
，－
15
，
16
的大小关系为 .(用“
9、如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么（ ）
A、甲数比乙数大 B、乙数比甲数大 C、甲乙两数相等 D、甲乙两数不相等
三、家庭作业
1、数轴上有A 、B 两点，如果A 对应的数是-2，且A 、B 两点之间的距离为3，那么点B 对应的数是 .
2、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则a 2011+b 2010=3、计算题
（1）-3+-10--1 （2）-24÷-3⨯-2
4、计算题
（1）（-3）+(+7) +4+3+(-5) +(-4)
（2）（+45. 3）+(-9. 5) +(+4. 7)
（3）-2-(-2)+(-0. 28)÷
2
3
725
第一讲 有理数的意义及加减运算
一、知识梳理及典型例题
知识点一：有理数的分类——整数和分数统称为有理数
⎧⎪
⎪整数⎪
（1）有理数⎨
⎪
⎪分数⎪⎩
⎧正整数⎪⎨0⎪
⎩负整数 ⎧正分数⎨
⎩负分数
⎧正整数⎨
⎩正分数
⎧
⎪正有理数⎪⎪
（2）有理数⎨0
⎪
⎪负有理数⎪⎩
⎧负整数⎨
⎩负分数
例1 （正数与负数的意义）填空： （1）如果收入50元记作+50元，那么支出20元记作 ，-80元表示 . （2）仪表的指针顺时针方向旋转45°记作-45°，那么逆时针旋转50 （3）如果气温是零上5℃，那么，气温比0℃低3℃记作.
（4）如果把比海平面高规定为正，则25 m0 m 表示
例2 （数的分类）把下列各数填入它们所在的数集.
- -7，2，0，
12
-7，-8，4，3.25，-9，
34
6，π，，20，-3.14，0.[**************]„„，5
1
+10
整数集合：{ „}； 分数集合：{ „}； 正数集合：{ „}； 负数集合：{ „}； 负分数集合：{ „}； 负整数集合：{ „}； 正分数集合：{ „}； 正整数集合：{ „}.
【活学活用】把下列个数填在相应的集合中.
8，-1，-0.4，，0，-
5
313
，6.9，114，-1
37
，-
183
，-19
正数集合：{ „}； 负数集合：{ „}；
正分数集合：{ „}； 负分数集合：{ „}； 整数集合：{ „}；
有理数集合：{ „}. 知识点二：数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线 例3 下面是数轴的是 （ ）
-1010-2 1-1
A. B.
2
-1
1
2
C. D.
92
【活学活用1】画出数轴并表示出下列有理数：1. 5，-2. 2-2. 5，-，0.
23
【活学活用2】（数轴上两点之间的距离）数轴上表示-5的点与表示2的点之间的距离 是（ ）
A.3 B.10 C.7 D.4
例5 A 点为数轴上表示-1的点，将点A 沿数轴向右平移3个单位长度到点B ，则点B 表示的数为（ ）
A . 3 B . 2 C . -4 D . +3
练一练
1、在数轴上，到表示-2的点的距离为2的点所表示的数是（ ） A 、0 B 、-2或2 C 、-4或0 D 、-2
2、在数轴上与原点相距8个，它们表示的数
是 .
3、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到 达到的终点表示的数是 .
4、若果a 和b 是符号相反的两个数, 在数轴上a 所对应的点和b 所对应的点相距6个单 位长度, 如果a=－2, 则b 的值为 .
知识点三：相反数——如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数
是正数，特别地，0的相反数是0.
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
例6 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A.2与练一练
1、下列几组数中是互为相反数的是 ( ) A 、―
1
374
2、点A 在数轴上，若将A 向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A 点所表示的数是原来A 点所表示数的相反数，试确定原来A 点表示的是什么数？
1
12
22
B.（-1）与1 C.-1与（-1） D.2与-2
和0.7 B 、和―0.333 C 、―(―6) 和6 D 、―
1
和0.25
3、一个数在数轴上所对应的点向左移6个单位后, 得到它的相反数的点, 则这个数是( )
A 、3 B 、－3 C 、6 D 、－6
4、一个数的相反数大于它本身，那么这个数是 ；一个数的相反数等于它 本身，这个数是 ；一个数的相反数小于它本身，这个数是 . 5、如果a 的相反数是－2，且2x +3a =8，求x 的值.
专题四：绝对值——在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值. 对于任意一个数a ，a 的绝对值用a 表示，读作a 的绝对值
1、在括号里填写适当的数： -3.5=( )； +
12
=( )； --5=( )； -+3=( )；
()=1， ()=0； -()=-2.
2、填空：
(1)+3的符号是 ，绝对值是 ； (2)-3的符号是 ，绝对值是 ；
3
(3)-的符号是 ，绝对值是 ； (4)10.5的符号是 ，绝对值是 .
2
3、填空：
(1)符号是+号，绝对值是7的数是 ； (2)符号是-号，绝对值是7的数是 ；
1
(3)符号是-号，绝对值是0.35的数是 ；(4)符号是+号，绝对值是1的数是 .
2例7 已知x -2+y +2=0，求x ，y 的值.
【活学活用】已知a -2+b -4+c -9=0，求2a +3b -c 的值.
练一练
1、下列说法正确的有（ ）
①一个正数的绝对值是它本身；②一个非正数的绝对值是它的相反数：③两个负数比较，绝对值大的反而小；④一个非负数的绝对值是它本身
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、下列结论正确的是（ ）
A 、-a 一定是负数 B 、-a 一定是非正数 C 、a 可能是负数 D 、以上答案都不对 3、当a =-a 时，能使等式成立的条件是（ ）
A 、a 是正数 B 、a 是非正数 C 、a 是0或正数 D 、a 不等于0 4、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数个 5、下列说法正确的是（ ）
A 、一个数的绝对值等于它的相反数 B 、一个数的绝对值一定是非负数 C 、一个数的绝对值一定是正数 D 、一个数的绝对值的正负不能确定 6、如果a =b ，那么a ，b 的关系是（ ）
A 、互为相反数 B 、相等或互为相反数 C 、相等 D 、以上答案都不对 7、如果-a =-a ，那么下列成立的是（ ）
A 、a 0 D 、a ≥0 8、下列各题正确的有（ ）
①若m =n ，则m =n ；②若m =n ，则m =n ；③若m =-n ，则m =n ； ④若m =n ，则m =-n
A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、②④ 9、如果m =-5，那么.
10、绝对值不大于π的整数共有 个，其中最小的是 . 有理数中，绝对值最小的数是 .
知识点五：多重符号化简——双重符号化简，法则是“同号得正，异号得负”；多重符号的化简，最后结果的符号取决于“负号”的个数，法则为“奇负偶正”
例题8 化简下列各数.
（1）+（+2） （2）+（-2） （3）-（-1）
31
（4）- （5）-[-(-6. 3)] （6）-[+(-6. 3)] （+1）
31
知识点六：比较有理数的大小——负数
1、比较大小：3
35
－4.5，－0.0001 0，－6 －7，-
57
-
56
.
2、大于－3且小于7的整数有 ，其中偶数有 个. 3、绝对值大于2而且小于6的所有整数分别是 . 4、若a b ，则a 与b 的大小关系为 .
5、若a >0，b
2
3
与
25
； |2|与
53
；
-
16
与
211
； -
37
与-
25
7、比较下列每对数的大小.
353
(1)-与-； (2)-与-0.273；
8811
3479(3)-与-； (4)-与-79911
8、－
14
，－
15
，
16
的大小关系为 .(用“
9、如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么（ ）
A、甲数比乙数大 B、乙数比甲数大 C、甲乙两数相等 D、甲乙两数不相等
三、家庭作业
1、数轴上有A 、B 两点，如果A 对应的数是-2，且A 、B 两点之间的距离为3，那么点B 对应的数是 .
2、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则a 2011+b 2010=3、计算题
（1）-3+-10--1 （2）-24÷-3⨯-2
4、计算题
（1）（-3）+(+7) +4+3+(-5) +(-4)
（2）（+45. 3）+(-9. 5) +(+4. 7)
（3）-2-(-2)+(-0. 28)÷
2
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