高中数学人教版新课标必修五《数列与不等式》
一．选择题（共30小题） 1．（2015•河南二模）已知等差数列{an }满足a 2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前10项的和S 10=（ ） A ． 138 B ． 135 C ． 95 D ． 23
2．（2014•河南二模）已知函数f （x ）=增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
[，3）
B ．
（，3）
C ． （2，3）
D ． （1，3）
，若数列{an }满足a n =f（n ）（n ∈N ），且{an }是递
﹡
3．（2014•福州模拟）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f （x ）g ′（x ）＞f ′（x ）g （x ），且f （x ）=ag （x ）（a ＞0且a ≠1，（1≤k ≤10），则前k 项和大于 A ．
4．（2014•潍坊模拟）已知各项均不为零的数列{an }，定义向量列命题中真命题是（ ） A ． 若∀n ∈N 总有 B ． C ．
若∀n ∈N 总有若∀n ∈N 总有
****
x
，对于有穷数列
的概率是（ ）
C ．
D ．
，任取正整数k
B．
，，n ∈N ．下
*
∥成立，则数列{an }是等差数列 ∥成立，则数列{an }是等比数列 ⊥成立，则数列{an }是等差数列 ⊥成立，则数列{an }是等比数列
D ． 若∀n ∈N 总有
5．（2014•东阳市二模）已知数列{an }为等差数列，若的n 的最大值为（ ） A ． 11 B ．
，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＞0
19 C ． 20 D ． 21
6．（2014•河南一模）已知F 1、F 2分别是双曲线
（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，
若∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
7．（2014•江西一模）已知数列{an }满足log 3a n +1=log3a n+1（n ∈N ），且a 2+a4+a6=9，则
*
（a 5+a7+a9）的值是（ ）
A ．
8．（2014•通州区二模）已知：数列{an }满足a 1=16，a n+1﹣a n =2n，则 A ．
8 B ．
n
﹣5 B ．
C ． 5 D ．
的最小值为（ ）
7 C ． 6 D ． 5
9．（2013•上海）在数列（a n ）中，a n =2﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +a（2，…，j i=1，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） A ． 18 B ． 28 C ． 48 D ． 63
10．（2013•福建）已知等比数列{an }的公比为q ，记b n =am （n ﹣1）+1+am （n ﹣1）+2+…+am （n ﹣1）+m，c n =am （n ﹣1）+1•a m （n ﹣1）
*
（m ，n ∈N ），则以下结论一定正确的是（ ） +2•…•a m （n ﹣1）+m，
m 2m
A ． 数列{bn }为等差数列，公差为q B． 数列{bn }为等比数列，公比为q C ．
11．（2013•河池模拟）已知函数
一个数列，则该数列的通项公式为（ ） A ．
D ．
n
*
数列{cn }为等比数列，公比为
D ． 数列{cn }为等比数列，公比为
，把方程f （x ）=x的根按从小到大的顺序排列成
（n ∈N ）
a n =2﹣2（n ∈N ）
*
B ．
a n =n（n ﹣1）（n ∈N ） C ． an =n﹣1（n ∈N ）
**
12．（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{an }，{f（a n ）}
2
仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x；
x
②f （x ）=2；③f （x ）=；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ②④
13．（2012•上海）设a n =sin A ．
25 B ．
，S n =a1+a2+…+an ，在S 1，S 2，…S 100中，正数的个数是（ ）
50 C ．
75 D ． 100
14．（2012•福建）数列{an }的通项公式a n =ncos A ．
1006
B ．
，其前n 项和为S n ，则S 2012等于（ ）
2012
C ． 503 D ． 0
15．（2012•焦作模拟）已知数列{an }的通项公式为a n =|n﹣13|，则满足a k +ak+1+…+ak+19=102的整数k （ ） A ． 有3个 B ． 有2个 C ． 有1个 D ． 不存在
16．（2012•闸北区二模）设{an }是公比为q 的等比数列，首项时，数列{bn }的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为（ ） A ．
B ．
（3，4）
C ．
D ．
，对于n ∈N ，
*
，当且仅当n=4
17．（2012•宝鸡模拟）对于一个有限数列P={P1，P 2，…，P n }P的“蔡查罗和”定义为
，其
中S k =P1+P2+…+Pk （1≤k ≤n ）．若一个99项的数列{P1，P 2，…，P 99}的“蔡查罗和”为1000，则100项的数列{1，P 1，P 2，…，P 99}“蔡查罗和”为（ ） A ． 990 B ． 991 C ． 992 D ． 993
18．（2012•茂名一模）已知函数f （x ）=
﹣log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，且满足f （a ）
f （b ）f （c ）＜0．若实数d 是方程f （x ）=0的一个解，那么下列四个判断：①d ＜a ；②d ＜b ；③d ＜c ；④d ＞c 中有可能成立的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
19．（2012•浙江模拟）设等差数列{an }的前n 项和为S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则
中最大的是（ ）
A ．
B．
C．
D．
20．（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ） A ．
21．（2011•上海）设{an }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An }为等比数列的充要条件是（ ） A ． B ． C ． D ．
{an }是等比数列
a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列 a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列
a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同
1升
B ．
升
C ．
升
D ．
升
22．（2011•河北区一模）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项，若a 2：a 4=7：6，则S 7：S 3等于（ ） A ． 2：1 B ． 6：7 C ． 49：18 D ． 9：13
23．（2011•蓝山县模拟）已知正项等比数列{an }满足：a 7=a6+2a5，若存在两项a m ，a n 使得最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D． 不存在
=4a1，则
的
24．（2011•江西模拟）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如10行第4个数（从左往右数）为（ ）
，
，
，…，则第
A ．
B ．
C ．
D．
25．（2011•江西模拟）给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1，2，3，…，2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是（ ）
A ． 2012×2 B ． 2011×2 C ． 2010×2 D ． 2010×2 26．（2011•湖北模拟）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ）
2009
2010
2011
2007
A ．
55 B ．
89 C ．
144 D ． 233
27．（2011•黄冈模拟）若f （x ）= A ．
2009
，则f （1）+f（2）+f（3）…+f（2011）+f（）+f（）+…+f（
B ．
2010 C ． 2012
D ． 1
）=（ ）
28．（2011•许昌三模）{an }为等差数列，若n=（ ） A ．
，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，
11 B ． 17 C ． 19 D ． 21
29．（2011•重庆二模）已知数列{an }中，a 0=0且a n =a 72的值为（ ）
+n﹣3×[]（n ∈N ）（其中[x]表示实数x 的整数部分），则
A ．
2 B ．
3 C ．
4 D ． 5
30．（2010•陕西）对于数列{an }，“a n+1＞|an |（n=1，2，…）”是“{an }为递增数列”的（ ） A ． 必要不充分条件 B ． 充分不必要条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
2015年02月01日www.1950457992的高中数学组
卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题） 1．（2015•河南二模）已知等差数列{an }满足a 2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前10项的和S 10=（ ） A ． 138 B ． 135 C ． 95 D ． 23
考点： 等差数列的性质；等差数列的前n 项和． 专题： 计算题． 分析： 本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据a 2+a4=4，a 3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n 项和公式，即可求解． 解答： 解：∵（a 3+a5）﹣（a 2+a4）=2d=6， ∴d=3，a 1=﹣4，
∴S 10=10a1+
=95．
故选C 点评： 在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．
2．（2014•河南二模）已知函数f （x ）=增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
考点： 专题： 分析：
[，3）
B ．
（，3）
C ． （2，3）
D ． （1，3）
，若数列{an }满足a n =f（n ）（n ∈N ），且{an }是递
﹡
数列的函数特性．
计算题；压轴题．
根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断
方法，可得；解可得答案．
解答：
解：根据题意，a n =f（n ）=
；
要使{an }是递增数列，必有
；
解可得，2＜a ＜3； 故选：C ．
点评： 本题考查数列与函数的关系，{an }是递增数列，必须结合f （x ）的单调性进行解题，但要注意{an }是递增数列与f （x ）是增函数的区别与联系． 3．（2014•福州模拟）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f （x ）g ′（x ）＞f ′（x ）g （x ），且f （x ）=ag （x ）（a ＞0且a ≠1，（1≤k ≤10），则前k 项和大于 A ．
考点： 专题： 分析： 定{解答： ∴
x x
，对于有穷数列
的概率是（ ）
C ．
D ．
，任取正整数k
B．
等比数列；函数的单调性与导数的关系；概率的应用． 计算题；压轴题．
根据导数可知函数的单调性，从而确定a 的取值范围，然后根据条件求出a 的值，从而可判
}是等比数列，求出前n 项和，然后求出满足条件的n ，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．
解：∵f （x ）g ′（x ）＞f ′（x ）g （x ）
即
单调递减，
又所以由
=a，故0＜a ＜1
，得a=
{}是首项为
=，公比为的等比数列，其前n 项和S n =1﹣
＞
∴n ≥5所以P=
=
故选D ．
点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及等比数列的前n 项和，同时考查了运算求解能力，考查计算能力和转化得思想，属于基础题．
4．（2014•潍坊模拟）已知各项均不为零的数列{an }，定义向量列命题中真命题是（ ） A ． 若∀n ∈N 总有 B ． C ．
若∀n ∈N 总有若∀n ∈N 总有
****
，，n ∈N ．下
*
∥成立，则数列{an }是等差数列 ∥成立，则数列{an }是等比数列 ⊥成立，则数列{an }是等差数列 ⊥成立，则数列{an }是等比数列
D ． 若∀n ∈N 总有
考点： 专题： 分析：
等差关系的确定；平行向量与共线向量． 计算题；压轴题．
由题意根据向量平行、垂直的坐标表示可得a n ，从而可进行判断．
解答：
解：由
可得，na n+1=（n+1）a n ，即
，于是
，
则a n =
•
••…
•a 1=
•
•…•a 1=na1，数列{an }为等差数列，
故A 正确，B 错误； 若
⊥，则有na n +（n+1）a n+1=0，分析可得
，
则a n =
•
••…
•a 1，
分析易得此时数列{an }既不是等差数列，也不是等比数列，C 、D 均错误； 故选A ． 点评： 本题主要考查了向量平行的坐标表示，等差及等比数列的判断，属于基础试题．
5．（2014•东阳市二模）已知数列{an }为等差数列，若的n 的最大值为（ ） A ． 11 B ．
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题；压轴题．
，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＞0
19 C ． 20 D ． 21
分析： 由可得
，由它们的前n 项和S n 有最大可得a 10＞0，a 11+a10＜0，a 11＜0从
而有a 1+a19=2a10＞0a 1+a20=a11+a10＜0，从而可求满足条件的n 的值． 解答：
解：由
可得
由它们的前n 项和S n 有最大值，可得数列的d ＜0 ∴a 10＞0，a 11+a10＜0，a 11＜0 ∴a 1+a19=2a10＞0，a 1+a20=a11+a10＜0 使得S n ＞0的n 的最大值n=19 故选B 点评：
本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知
及它们的
前n 项和S n 有最大
a 10＞0，a 11+a10＜0，a 11＜0，灵活利用和公式及等差数列的性质得到a 1+a19=2a10＞0，a 1+a20=a11+a10＜0是解决本题的另外关键点．
6．（2014•河南一模）已知F 1、F 2分别是双曲线
（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，
若∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
考点： 等差数列的性质；双曲线的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率e ，或是关于实半轴长2a 与焦距2C 的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率． 解答： 解：设|PF1|=m，|PF2|=n， 不妨设P 在第一象限，
则由已知得
2
2
∴5a ﹣6ac+c=0，
2
方程两边同除a 得：
2
即e ﹣6e+5=0，
解得e=5或e=1（舍去）， 故选D ． 点评： 解题过程中，为了解答过程的简便，我们把未知|PF1|设为m ，|PF2|设为n ，这时要求离心率e ，我们要找出a ，c 之间的关系，则至少需要三个方程，由已知中，若∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，我们不难得到两个方程，此时一定要注意双曲线的定义，即P 点到两个焦点的距离之差为定值．
7．（2014•江西一模）已知数列{an }满足log 3a n +1=log3a n+1（n ∈N ），且a 2+a4+a6=9，则 A ．
﹣5 B ．
C ．
5
D ．
*
（a 5+a7+a9）的值是（ ）
考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题；压轴题；方程思想．
24
分析： 先由“log 3a n +1=log3a n+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由a 2+a4+a6=a2（1+q+q），
243
a 5+a7+a9=a5（1+q+q）得到a 5+a7+a9=q（a 2+a4+a6）求解． 解答： 解：∵log 3a n +1=log3a n+1 ∴a n+1=3an ∴数列{an }是以3为公比的等比数列，
24
∴a 2+a4+a6=a2（1+q+q）=9
2432435
∴a 5+a7+a9=a5（1+q+q）=a2q （1+q+q）=9×3=3
故选A 点评： 本题主要考查等比数列的定义，通项及其性质，在等比数列中用“首项与公比”法是常用方法，往往考查到方程思想．
8．（2014•通州区二模）已知：数列{an }满足a 1=16，a n+1﹣a n =2n，则 A ．
考点： 专题：
8 B ． 数列递推式． 计算题；压轴题．
的最小值为（ ）
7 C ． 6 D ． 5
分析： 由此能求出解答： a 3﹣a 2=4， …
a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…，a n+1﹣a n =2n，这n 个式子相加，就有a n+1=16+n（n+1），故的最小值． 解：a 2﹣a 1=2，
，
a n+1﹣a n =2n，
这n 个式子相加，就有 a n+1=16+n（n+1），
2
即a n =n（n ﹣1）+16=n﹣n+16， ∴
，
用均值不等式，知道它在n=4的时候取最小值7． 故选B ． 点评： 本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．
9．（2013•上海）在数列（a n ）中，a n =2﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +a（2，…，j i=1，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） A ． 18 B ． 28 C ． 48 D ． 63
考点： 数列的函数特性． 专题： 压轴题．
i j i j i+j
分析： 由于该矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +aj =（2﹣1）（2﹣1）+2﹣1+2﹣1=2﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a ij =amn （i ，m=1，2，…，7；j ，n=1，2，…，12）．
i+jm+n
则满足2﹣1=2﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij ≠a mn ，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．
i j i j i+j
解答： 解：该矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +aj =（2﹣1）（2﹣1）+2﹣1+2﹣1=2﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a ij =amn （i ，m=1，2，…，7；j ，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值． 故选A ． 点评： 由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij =amn （i ，m=1，2，…，7；j ，n=1，2，…，12）是解题的关键．
n
10．（2013•福建）已知等比数列{an }的公比为q ，记b n =am （n ﹣1）+1+am （n ﹣1）+2+…+am （n ﹣1）+m，c n =am （n ﹣1）+1•a m （n ﹣1）
*
（m ，n ∈N ），则以下结论一定正确的是（ ） +2•…•a m （n ﹣1）+m，
m 2m
A ． 数列{bn }为等差数列，公差为q B． 数列{bn }为等比数列，公比为q C ．
考点： 专题： 分析：
数列{cn }为等比数列，公比为
D ． 数列{cn }为等比数列，公比为
等比关系的确定；等差关系的确定． 压轴题；等差数列与等比数列．
①
，当q=1时，b n =mam （n ﹣1），b n+1=mam （n ﹣1）+m=mam （n ﹣1）=bn ，
此时是常数列，可判断A ，B 两个选项
②由于等比数列{an }的公比为q ，利用等比数列的通项公式可得
，
=
解答：
解：①
，得出即可判断出C ，D 两个选项．
，当q=1时，b n =mam （n ﹣1），b n+1=mam （n ﹣1）+m=mam （n ﹣1）
=bn ，此时是常数列，选项A 不正确，选项B 正确； 当q ≠1时，
，
=
，
此时，选项B 不正确，
又b n+1﹣b n =
②∵等比数列{an }的公比为q ，∴
，不是常数，故选项A 不正确，
，
∴
=，
∴
===，故C 正确D 不正确．
综上可知：只有C 正确． 故选C ． 点评： 熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n 项和公式是解题的关键．
11．（2013•河池模拟）已知函数
一个数列，则该数列的通项公式为（ ） A ．
n
*
，把方程f （x ）=x的根按从小到大的顺序排列成
（n ∈N ）
*
B ．
a n =n（n ﹣1）（n ∈N ） C ． an =n﹣1（n ∈N ）
**
D ． a n =2﹣2（n ∈N ）
考点： 数列递推式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 函数y=f（x ）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f （x ）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f （x ）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n =n﹣1．
解答： 解：若0＜x ≤1，则﹣1＜x ﹣1＜0，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2
x ﹣2
若1＜x ≤2，则0＜x ﹣1≤1，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2+1
x ﹣3
若2＜x ≤3，则1＜x ﹣1≤2，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2+2
x ﹣4
若3＜x ≤4，则2＜x ﹣1＜3，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2+3
x ﹣1
，
以此类推，若n ＜x ≤n+1（其中n ∈N ），则f （x ）=f（x ﹣1）+1=2
x
下面分析函数f （x ）=2的图象与直线y=x+1的交点 很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），
x
x ﹣n ﹣1
+n，
由于指数函数f （x ）=2为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
x x
然后①将函数f （x ）=2和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f （x ）=2﹣1和y=x的图象， 取x ≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）． 即当x ≤0时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=0．
x
②取①中函数f （x ）=2﹣1和y=x图象﹣1＜x ≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
x ﹣1
即得f （x ）=2和y=x在0＜x ≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）． 即当0＜x ≤1时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f （x ）=2和y=x在0＜x ≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
x ﹣2
即得到f （x ）=2+1和y=x在1＜x ≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）． 即当1＜x ≤2时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=2． ④以此类推，函数y=f（x ）与y=x在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）． 即方程f （x ）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的根依次为3，4，…n+1． 综上所述方程f （x ）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0，1，2，3，4，…
其通项公式为a n =n﹣1； 故选C ． 点评： 本题考查数列的递推公式的合理运用，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．
12．（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{an }，{f（a n ）}
2
仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x；
x
②f （x ）=2；③f （x ）=；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ②④
考点： 等比关系的确定． 专题： 综合题；压轴题．
x ﹣1
分析： 解答： ①②③
根据新定义，结合等比数列性质解：由等比数列性质知
2
，一一加以判断，即可得到结论．
，
=f（a n+1），故正确；
≠
=
2
=f（a n+1），故不正确； =f（a n+1），故正确；
2
2
④f （a n ）f （a n+2）=ln|an |ln|an+2|≠故选C 点评：
=f（a n+1），故不正确；
本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．
13．（2012•上海）设a n =sin A ．
考点： 专题：
，S n =a1+a2+…+an ，在S 1，S 2，…S 100中，正数的个数是（ ）
50 C ．
75 D ． 100
25 B ．
数列的求和；三角函数的周期性及其求法． 计算题；压轴题．
分析：
由于f （n ）=sin
的周期T=50，由正弦函数性质可知，a 1，a 2，…，a 24＞0，a 26，a 27，…，a49＜0，
f （n ）=单调递减，a 25=0，a 26…a 50都为负数，但是|a26|＜a 1，|a27|＜a 2，…，|a49|＜a 24，从而可判断 解答：
解：由于f （n ）=sin
的周期T=50
由正弦函数性质可知，a 1，a 2，…，a 24＞0，a 25=0，a 26，a 27，…，a 49＜0，a 50=0 且
sin
，sin
…但是f （n ）=单调递减
a 26…a 49都为负数，但是|a26|＜a 1，|a27|＜a 2，…，|a49|＜a 24 ∴S 1，S 2，…，S 25中都为正，而S 26，S 27，…，S 50都为正
同理S 1，S 2，…，s 75都为正，S 1，S 2，…，s 75，…，s 100都为正， 故选D 点评： 本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
14．（2012•福建）数列{an }的通项公式a n =ncos A ．
考点： 专题： 分析： 解答： 又∵f （n ）=cos
1006 数列的求和．
计算题；压轴题．
，其前n 项和为S n ，则S 2012等于（ ）
2012
C ． 503 D ． 0
B ．
由于a n =ncos解：∵a n =ncos是以T=
，a 1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=…=2，则四项结合的和为定值，可求 ，
为周期的周期函数
∴a 1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a 5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，
…
a 2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2， S 2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012
=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012） =2×503=1006 故选A 点评： 本题主要考查了由数列的通项求解数列的和，解题的关键是由通项发现四项结合为定值的规律
15．（2012•焦作模拟）已知数列{an }的通项公式为a n =|n﹣13|，则满足a k +ak+1+…+ak+19=102的整数k （ ） A ． 有3个 B ． 有2个 C ． 有1个 D ． 不存在
考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据数列的通项公式，去绝对值符号，因此对k 进行讨论，进而求得a k +ak+1+…+ak+19的表达式，解方程即可求得结果． 解答：
解：∵a n =|n﹣
13|=
，
∴若k ≥13，则a k =k﹣13，
∴a k +ak+1+…+ak+19=∴1≤k ＜13，
∴a k +ak+1+…+ak+19=（13﹣k ）+（12﹣k ）+…+0+1+…+（k+6） =
=102
=102，与k ∈N 矛盾，
*
解得：k=2或k=5 ∴满足a k +ak+1+…+ak+19=102的整数k=2，5， 故选B ． 点评： 本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．
16．（2012•闸北区二模）设{an }是公比为q 的等比数列，首项时，数列{bn }的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为（ ） A ．
考点： 专题： 分析： log
等比数列的前n 项和． 计算题；压轴题．
，对于n ∈N ，
*
，当且仅当n=4
B ． （3，4） C ．
D ．
由b n+1﹣b n =a n+1﹣a n
=
=log
q ，得出数列{bn }是以log
q 为公差，以
a 1=6为首项的等差数列，由已知仅当n=4时T n 最大，通过解不等式组 求出公比q 的取值范围即可．
解：∵等比数列{an }的公比为q ，首项a n+1﹣log
a n
=log
=log
q
解答：
∴b n+1﹣b n =log
∴数列{bn }是以log ∴b n =6+（n ﹣1）log
q 为公差，以log q ．
a 1=6为首项的等差数列，
由于当且仅当n=4时T n 最大， ∴log
q ＜0，且
∴
∴﹣2
即2＜q ＜4
故选：C
点评： log
17．（2012•宝鸡模拟）对于一个有限数列P={P1，P 2，…，P n }P的“蔡查罗和”定义为
，其
本题考查了等差数列的判定，前n 项和最值情况．本题得出数列{bn }是以log
q 为公差，以
a 1=6为首项的等差数列为关键．
中S k =P1+P2+…+Pk （1≤k ≤n ）．若一个99项的数列{P1，P 2，…，P 99}的“蔡查罗和”为1000，则100项的数列{1，P 1，P 2，…，P 99}“蔡查罗和”为（ ） A ． 990 B ． 991 C ． 992 D ． 993
考点： 数列的求和． 专题： 计算题；压轴题；新定义．
分析：
由“蔡查罗和”定义，{P1，P 2，，P 99}的“蔡查罗和”为
，由此可推导出100项的
数列{1，P 1，P 2，…，P 99}“蔡查罗和”． 解答： 解：由“蔡查罗和”定义， {P1，P 2，，P 99}的“蔡查罗和”为∴S 1+S2++S99=99000，
则100项的数列{1，P 1，P 2，，P 99}“蔡查罗和”为故选B ． 点评：
=991．
，
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
18．（2012•茂名一模）已知函数f （x ）=
﹣log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，且满足f （a ）
f （b ）f （c ）＜0．若实数d 是方程f （x ）=0的一个解，那么下列四个判断：①d ＜a ；②d ＜b ；③d ＜c ；④d ＞c 中有可能成立的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
考点： 等差数列的性质；函数的单调性及单调区间． 专题： 综合题；压轴题；分类讨论． 分析： 分情况讨论，若f （a ），f （b ）＞0和f （a ），f （b ），f （c ）＜0两种情况，根据函数f （x ）的单调性可推断a ，b ，c ，d 的大小． 解答： 解：f （x ）在（0，+∞）上单调减，值域为R 又a ＜b ＜c ，f （a ）f （b ）f （c ）＜0，所以（1）若f （a ），f （b ）＞0，f （c ）＜0．由f （d ）=0知，a ＜b ＜d ＜c ，③成立；（2）若f （a ），f （b ），f （c ）＜0．此时d ＜a ＜b ＜c ，①②③成立．综上，可能成立的个数为3． 点评： 函数的单调性和等差数列的综合运用．属基础题．
19．（2012•浙江模拟）设等差数列{an }的前n 项和为S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则
中最大的是（ ）
A ．
考点：
B．
C．
D．
等差数列的性质．
专题： 分析：
计算题；压轴题． 由
，
可得，a 5＞0，a 6＜0
，则可得
结合等差数列的通项可得，a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞0＞a 6＞…即可得，
解答： 解：∵，
∴a 5＞0，a 5+a6＜0，a 6＜0 ∴等差数列{an }中，a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞0＞a 6＞… ∴
则故选B 点评：
本题主要考查了利用等差数列前n 项和公式来判断数列项的取值范围，灵活利
用等差数列的性质（若m+n=p+q，则a m +an =ap +aq ）是解决本题的关键． 20．（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ） A ．
1升
B ．
升
C ．
升
D ．
升
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．
解答： 解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列， 根据题意得：a 1+a2+a3+a4=3，a 7+a8+a9=4，
即4a 1+6d=3①，3a 1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=把d=则a 5=故选B 点评：
代入①得：a 1=+
（5﹣1）=
， ．
，
此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．
21．（2011•上海）设{an }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An }为等
比数列的充要条件是（ ） A ． {an }是等比数列
B ． a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列 C ． a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列
D ． a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同
考点： 等比数列的性质． 专题： 压轴题．
分析：
根据题意可表示A i ，先看必要性，{An }为等比数列推断出为常数，可推断出a 1，a 3，…，a 2n ﹣
…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要1，
a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等，答案可得． 解答： 解：依题意可知A i =ai •a i+1， ∴A i+1=ai+1•a i+2， 若{An }为等比数列则公比均为q ；
反之要想{An }为等比数列则且公比相等；
==
为常数，即a 1，a 3，…，
=q（q 为常数），则a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且
需为常数，即需要a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，
故{An }为等比数列的充要条件是a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同． 故选D 点评： 本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．
22．（2011•河北区一模）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项，若a 2：a 4=7：6，则S 7：S 3等于（ ） A ． 2：1 B ． 6：7 C ． 49：18 D ． 9：13
考点： 等差数列的前n 项和． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据所给的两项之比和要求的数列的前n 项和，把前n 项和写成S 7：S 3=7a4：3a 2，代入比值求出结果．
解答： 解：∵Sn 为等差数列{an }的前n 项， 若a 2：a 4=7：6， ∴S 7：S 3=7a4：3a 2=7×6：3×7=2：1 故选A ． 点评： 本题考查等差数列的前n 项之和，本题解题的关键是看出所求的两项之比等于已知条件之比的多少倍．
23．（2011•蓝山县模拟）已知正项等比数列{an }满足：a 7=a6+2a5，若存在两项a m ，a n 使得最小值为（ ） A ．
考点：
=4a1，则
的
B ．
C ．
D． 不存在
等比数列的通项公式；基本不等式．
专题： 计算题；压轴题． 分析： 把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m ，n 之间的关系，用基本不等式得到最小值． 解答： 解：∵a 7=a6+2a5，
2∴a 5q =a5q+2a5， 2∴q ﹣q ﹣2=0， ∴q=2，
∵存在两项a m ，a n 使得∴a m a n =16a1， m+n﹣2∴q =16， ∴m+n=6 ∴
=（m+n）（
）
=
2
=4a1，
故选A 点评： 本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和． 24．（2011•江西模拟）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如10行第4个数（从左往右数）为（ ）
，
，
，…，则第
A ．
B ．
C ．
D．
考点： 数列的应用；归纳推理． 专题： 计算题；压轴题；新定义；规律型． 分析： 根据每个数是它下一个行左右相邻两数的和，先求出第8、9、10三行的第2个数，再求出9、10两行的第3个数，求出第10行第4个数．
解答：
解：设第n 行第m 个数为a （n ，m ），据题意知，
，
a （7，1）=，a （8，1）=，a （9，1）=，a （10，1）=∴a （10，2）=a（9，1）﹣a （10，1）=a （8，2）=a（7，1）﹣a （8，1）=a （9，2）=a（8，1）﹣a （9，1）=a （10，3）=a（9，2）﹣a （10，2）=
，
， ， ，
a （9，3）=a（8，2）﹣a （9，2）=a （10，4）=a（9，3）﹣a （10，3）=
， ．
故选B ． 点评： 本题考查通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题． 25．（2011•江西模拟）给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1，2，3，…，2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是（ ）
A ．
考点： 专题： 分析：
2012×2
2009
B ． 2011×2
2010
C ． 2010×2
2011
D ． 2010×2
2007
数列的应用． 计算题；压轴题．
【方法一】观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，
第三行公差为4，…，第2010行公差为2，第2011行只有M ，得出M ；
【方法二】从第一行为1，2，3 和1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，结合选项归纳得出结果，猜测出M ． 解答： 解：【方法一】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，
20092009
第2010行公差为2，第2011行只有M ，则M=（1+2011）•2．
1
【方法二】从第一行为1，2，3 及1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，可归纳出结果为（3+1）×2及（5+1）3n ﹣2×2，从而猜测这个数M 为（n+1）•2． 点评： 本题考查了由数表探究数列规律的问题，解答这类问题时，可以由简单的例子观察分析，总结规律，得出结论． 26．（2011•湖北模拟）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ）
2009
A ． 55 B ． 89 C ． 144 D ． 233
考点： 数列的应用． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 本题是一个探究型的题，可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可 解答： 解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{an }表示实心圆点的个数变化规律，令a 1=1，a 2=1，n ≥3时，a n =an ﹣1+an ﹣2，本数列中的n 对应着图形中的第n+1行中实心圆点的个数．由此知a 11即所求． 故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，．．
a 11=89，即第12行中实心圆点的个数是89 故选B 点评： 本题考查数列的应用，是一个新定义的题，此类题关键是从定义中找出其规律来，构造出相应的数学模型，本题中所蕴含的规律是从第三项开始每一行中点数是前两项的点数的和，利用此规律求解．新定义的题以其形式的新颖，考查答题者阅读能力能优势，在高考中渐受青睐．
27．（2011•黄冈模拟）若f （x ）= A ．
考点： 专题： 分析：
2009
，则f （1）+f（2）+f（3）…+f（2011）+f（）+f（）+…+f（
B ．
2010 C ． 2012
D ． 1
）=（ ）
数列的应用．
计算题；压轴题．
根据函数的解析式，可以求得f （1），f （2），f （3）…，f （2011），f （），f （），…，f （）
各项的值，进行求和；事实上，观察题目的特点，考虑f （x ）+f（ ）是否有规律：f （x ）+f（ ）
=
+=+=1，所以此规律使运算量大大降低．
解答： 解：：f （x ）+f （
）=+=+=1，
f （1）+f（2）+f（3）…+f（2011）+f（）+f（）+…+f（（2011）+f（
）]=+1+1+…+1=2010．
）=f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f
故选B ．
点评： 解析法是中学阶段函数常见的表示法．根据解析式可求出任一函数值．本题还考查分析解决问题的能力，解法上与倒序相加法如出一辙．
28．（2011•许昌三模）{an }为等差数列，若n=（ ） A ．
考点： 专题： 分析：
，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，
11 B ． 17 C ． 19 D ． 21
等差数列的性质． 计算题；压轴题．
本题考查的是等差数列的性质，要求S n 取得最小正值时n 的值，关键是要找出什么时候a n 小于0，
而a n+1大于0，由，我们不难得到a 11＜0＜a 10，根据等差数列的性质，我们易求出当S n 取得最小正值时，
n 的值．
解答： 解：∵S n 有最小值， ∴d ＜0
则a 10＞a 11，
又，
∴a 11＜0＜a 10
∴a 10+a11＜0，
S 20=10（a 1+a20）=10（a 10+a11）＜0，
S 19=19a10＞0
又a 1＞a 2＞…＞a 10＞0＞a 11＞a 12
∴S 10＞S 9＞…＞S 2＞S 1＞0，S 10＞S 11＞…＞S 19＞0＞S 20＞S 21
又∵S 19﹣S 1=a2+a3+…+a19=9（a 10+a11）＜0
∴S 19为最小正值
故选C
点评： {an }为等差数列，若它的前n 项和S n 有最大值，则数列的公差d 小于0；{an }为等差数列，若它的前n 项和S n 有最小值，则数列的公差d 大于0．
29．（2011•重庆二模）已知数列{an }中，a 0=0且a n =
a 72的值为（ ）
A ． 2 B ．
考点： 数列递推式．
专题： 计算题；压轴题． +n﹣3×[]（n ∈N ）（其中[x]表示实数x 的整数部分），则3 C ． 4 D ． 5
分析：
解答： 通过a n =+n﹣3×[]依次求得a 0、a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6，找到规律后即可求得结果． 解：由题意知
a 0=0=a0+0
a 1=a0+1﹣0=a0+1
a 2=a0+2﹣0=a0+2
a 3=a1+3﹣3a 1=a1+0
a 4=a1+4﹣3a 1=a1+1
a 5=a1+5﹣3a 1=a1+2
a 6=a2+6﹣3a 2=a2+0
依此类推得a 72=a14+0=a4+2=a1+1+2=4
点评： 本题考查了数列的递推式，通过递推式寻找规律是解题的关键，属于中档题．
30．（2010•陕西）对于数列{an }，“a n+1＞|an |（n=1，2，…）”是“{an }为递增数列”的（ ）
A ． 必要不充分条件 B ． 充分不必要条件
C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
考点： 数列的概念及简单表示法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 压轴题．
分析： 要考虑条件问题，需要从两个方面来考虑，由a n+1＞|an |（n=1，2，）知{an }所有项均为正项，且a 1＜a 2＜…＜a n ＜a n+1，这样前者可以推出后者，反过来，{an }为递增数列，不一定有a n+1＞|an |（n=1，2，）． 解答： 解：由a n+1＞|an |（n=1，2，）知{an }所有项均为正项，
且a 1＜a 2＜…＜a n ＜a n+1，
即{an }为递增数列
反之，{an }为递增数列，
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不一定有a n+1＞|an |（n=1，2，），
如﹣2，﹣1，0，1，2，
故选B
点评： 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．本题是把数列同条件的判断结合在一起．
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高中数学人教版新课标必修五《数列与不等式》
一．选择题（共30小题） 1．（2015•河南二模）已知等差数列{an }满足a 2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前10项的和S 10=（ ） A ． 138 B ． 135 C ． 95 D ． 23
2．（2014•河南二模）已知函数f （x ）=增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
[，3）
B ．
（，3）
C ． （2，3）
D ． （1，3）
，若数列{an }满足a n =f（n ）（n ∈N ），且{an }是递
﹡
3．（2014•福州模拟）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f （x ）g ′（x ）＞f ′（x ）g （x ），且f （x ）=ag （x ）（a ＞0且a ≠1，（1≤k ≤10），则前k 项和大于 A ．
4．（2014•潍坊模拟）已知各项均不为零的数列{an }，定义向量列命题中真命题是（ ） A ． 若∀n ∈N 总有 B ． C ．
若∀n ∈N 总有若∀n ∈N 总有
****
x
，对于有穷数列
的概率是（ ）
C ．
D ．
，任取正整数k
B．
，，n ∈N ．下
*
∥成立，则数列{an }是等差数列 ∥成立，则数列{an }是等比数列 ⊥成立，则数列{an }是等差数列 ⊥成立，则数列{an }是等比数列
D ． 若∀n ∈N 总有
5．（2014•东阳市二模）已知数列{an }为等差数列，若的n 的最大值为（ ） A ． 11 B ．
，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＞0
19 C ． 20 D ． 21
6．（2014•河南一模）已知F 1、F 2分别是双曲线
（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，
若∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
7．（2014•江西一模）已知数列{an }满足log 3a n +1=log3a n+1（n ∈N ），且a 2+a4+a6=9，则
*
（a 5+a7+a9）的值是（ ）
A ．
8．（2014•通州区二模）已知：数列{an }满足a 1=16，a n+1﹣a n =2n，则 A ．
8 B ．
n
﹣5 B ．
C ． 5 D ．
的最小值为（ ）
7 C ． 6 D ． 5
9．（2013•上海）在数列（a n ）中，a n =2﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +a（2，…，j i=1，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） A ． 18 B ． 28 C ． 48 D ． 63
10．（2013•福建）已知等比数列{an }的公比为q ，记b n =am （n ﹣1）+1+am （n ﹣1）+2+…+am （n ﹣1）+m，c n =am （n ﹣1）+1•a m （n ﹣1）
*
（m ，n ∈N ），则以下结论一定正确的是（ ） +2•…•a m （n ﹣1）+m，
m 2m
A ． 数列{bn }为等差数列，公差为q B． 数列{bn }为等比数列，公比为q C ．
11．（2013•河池模拟）已知函数
一个数列，则该数列的通项公式为（ ） A ．
D ．
n
*
数列{cn }为等比数列，公比为
D ． 数列{cn }为等比数列，公比为
，把方程f （x ）=x的根按从小到大的顺序排列成
（n ∈N ）
a n =2﹣2（n ∈N ）
*
B ．
a n =n（n ﹣1）（n ∈N ） C ． an =n﹣1（n ∈N ）
**
12．（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{an }，{f（a n ）}
2
仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x；
x
②f （x ）=2；③f （x ）=；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ②④
13．（2012•上海）设a n =sin A ．
25 B ．
，S n =a1+a2+…+an ，在S 1，S 2，…S 100中，正数的个数是（ ）
50 C ．
75 D ． 100
14．（2012•福建）数列{an }的通项公式a n =ncos A ．
1006
B ．
，其前n 项和为S n ，则S 2012等于（ ）
2012
C ． 503 D ． 0
15．（2012•焦作模拟）已知数列{an }的通项公式为a n =|n﹣13|，则满足a k +ak+1+…+ak+19=102的整数k （ ） A ． 有3个 B ． 有2个 C ． 有1个 D ． 不存在
16．（2012•闸北区二模）设{an }是公比为q 的等比数列，首项时，数列{bn }的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为（ ） A ．
B ．
（3，4）
C ．
D ．
，对于n ∈N ，
*
，当且仅当n=4
17．（2012•宝鸡模拟）对于一个有限数列P={P1，P 2，…，P n }P的“蔡查罗和”定义为
，其
中S k =P1+P2+…+Pk （1≤k ≤n ）．若一个99项的数列{P1，P 2，…，P 99}的“蔡查罗和”为1000，则100项的数列{1，P 1，P 2，…，P 99}“蔡查罗和”为（ ） A ． 990 B ． 991 C ． 992 D ． 993
18．（2012•茂名一模）已知函数f （x ）=
﹣log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，且满足f （a ）
f （b ）f （c ）＜0．若实数d 是方程f （x ）=0的一个解，那么下列四个判断：①d ＜a ；②d ＜b ；③d ＜c ；④d ＞c 中有可能成立的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
19．（2012•浙江模拟）设等差数列{an }的前n 项和为S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则
中最大的是（ ）
A ．
B．
C．
D．
20．（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ） A ．
21．（2011•上海）设{an }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An }为等比数列的充要条件是（ ） A ． B ． C ． D ．
{an }是等比数列
a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列 a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列
a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同
1升
B ．
升
C ．
升
D ．
升
22．（2011•河北区一模）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项，若a 2：a 4=7：6，则S 7：S 3等于（ ） A ． 2：1 B ． 6：7 C ． 49：18 D ． 9：13
23．（2011•蓝山县模拟）已知正项等比数列{an }满足：a 7=a6+2a5，若存在两项a m ，a n 使得最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D． 不存在
=4a1，则
的
24．（2011•江西模拟）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如10行第4个数（从左往右数）为（ ）
，
，
，…，则第
A ．
B ．
C ．
D．
25．（2011•江西模拟）给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1，2，3，…，2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是（ ）
A ． 2012×2 B ． 2011×2 C ． 2010×2 D ． 2010×2 26．（2011•湖北模拟）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ）
2009
2010
2011
2007
A ．
55 B ．
89 C ．
144 D ． 233
27．（2011•黄冈模拟）若f （x ）= A ．
2009
，则f （1）+f（2）+f（3）…+f（2011）+f（）+f（）+…+f（
B ．
2010 C ． 2012
D ． 1
）=（ ）
28．（2011•许昌三模）{an }为等差数列，若n=（ ） A ．
，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，
11 B ． 17 C ． 19 D ． 21
29．（2011•重庆二模）已知数列{an }中，a 0=0且a n =a 72的值为（ ）
+n﹣3×[]（n ∈N ）（其中[x]表示实数x 的整数部分），则
A ．
2 B ．
3 C ．
4 D ． 5
30．（2010•陕西）对于数列{an }，“a n+1＞|an |（n=1，2，…）”是“{an }为递增数列”的（ ） A ． 必要不充分条件 B ． 充分不必要条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
2015年02月01日www.1950457992的高中数学组
卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题） 1．（2015•河南二模）已知等差数列{an }满足a 2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前10项的和S 10=（ ） A ． 138 B ． 135 C ． 95 D ． 23
考点： 等差数列的性质；等差数列的前n 项和． 专题： 计算题． 分析： 本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据a 2+a4=4，a 3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n 项和公式，即可求解． 解答： 解：∵（a 3+a5）﹣（a 2+a4）=2d=6， ∴d=3，a 1=﹣4，
∴S 10=10a1+
=95．
故选C 点评： 在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．
2．（2014•河南二模）已知函数f （x ）=增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
考点： 专题： 分析：
[，3）
B ．
（，3）
C ． （2，3）
D ． （1，3）
，若数列{an }满足a n =f（n ）（n ∈N ），且{an }是递
﹡
数列的函数特性．
计算题；压轴题．
根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断
方法，可得；解可得答案．
解答：
解：根据题意，a n =f（n ）=
；
要使{an }是递增数列，必有
；
解可得，2＜a ＜3； 故选：C ．
点评： 本题考查数列与函数的关系，{an }是递增数列，必须结合f （x ）的单调性进行解题，但要注意{an }是递增数列与f （x ）是增函数的区别与联系． 3．（2014•福州模拟）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f （x ）g ′（x ）＞f ′（x ）g （x ），且f （x ）=ag （x ）（a ＞0且a ≠1，（1≤k ≤10），则前k 项和大于 A ．
考点： 专题： 分析： 定{解答： ∴
x x
，对于有穷数列
的概率是（ ）
C ．
D ．
，任取正整数k
B．
等比数列；函数的单调性与导数的关系；概率的应用． 计算题；压轴题．
根据导数可知函数的单调性，从而确定a 的取值范围，然后根据条件求出a 的值，从而可判
}是等比数列，求出前n 项和，然后求出满足条件的n ，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．
解：∵f （x ）g ′（x ）＞f ′（x ）g （x ）
即
单调递减，
又所以由
=a，故0＜a ＜1
，得a=
{}是首项为
=，公比为的等比数列，其前n 项和S n =1﹣
＞
∴n ≥5所以P=
=
故选D ．
点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及等比数列的前n 项和，同时考查了运算求解能力，考查计算能力和转化得思想，属于基础题．
4．（2014•潍坊模拟）已知各项均不为零的数列{an }，定义向量列命题中真命题是（ ） A ． 若∀n ∈N 总有 B ． C ．
若∀n ∈N 总有若∀n ∈N 总有
****
，，n ∈N ．下
*
∥成立，则数列{an }是等差数列 ∥成立，则数列{an }是等比数列 ⊥成立，则数列{an }是等差数列 ⊥成立，则数列{an }是等比数列
D ． 若∀n ∈N 总有
考点： 专题： 分析：
等差关系的确定；平行向量与共线向量． 计算题；压轴题．
由题意根据向量平行、垂直的坐标表示可得a n ，从而可进行判断．
解答：
解：由
可得，na n+1=（n+1）a n ，即
，于是
，
则a n =
•
••…
•a 1=
•
•…•a 1=na1，数列{an }为等差数列，
故A 正确，B 错误； 若
⊥，则有na n +（n+1）a n+1=0，分析可得
，
则a n =
•
••…
•a 1，
分析易得此时数列{an }既不是等差数列，也不是等比数列，C 、D 均错误； 故选A ． 点评： 本题主要考查了向量平行的坐标表示，等差及等比数列的判断，属于基础试题．
5．（2014•东阳市二模）已知数列{an }为等差数列，若的n 的最大值为（ ） A ． 11 B ．
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题；压轴题．
，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＞0
19 C ． 20 D ． 21
分析： 由可得
，由它们的前n 项和S n 有最大可得a 10＞0，a 11+a10＜0，a 11＜0从
而有a 1+a19=2a10＞0a 1+a20=a11+a10＜0，从而可求满足条件的n 的值． 解答：
解：由
可得
由它们的前n 项和S n 有最大值，可得数列的d ＜0 ∴a 10＞0，a 11+a10＜0，a 11＜0 ∴a 1+a19=2a10＞0，a 1+a20=a11+a10＜0 使得S n ＞0的n 的最大值n=19 故选B 点评：
本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知
及它们的
前n 项和S n 有最大
a 10＞0，a 11+a10＜0，a 11＜0，灵活利用和公式及等差数列的性质得到a 1+a19=2a10＞0，a 1+a20=a11+a10＜0是解决本题的另外关键点．
6．（2014•河南一模）已知F 1、F 2分别是双曲线
（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，
若∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
考点： 等差数列的性质；双曲线的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率e ，或是关于实半轴长2a 与焦距2C 的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率． 解答： 解：设|PF1|=m，|PF2|=n， 不妨设P 在第一象限，
则由已知得
2
2
∴5a ﹣6ac+c=0，
2
方程两边同除a 得：
2
即e ﹣6e+5=0，
解得e=5或e=1（舍去）， 故选D ． 点评： 解题过程中，为了解答过程的简便，我们把未知|PF1|设为m ，|PF2|设为n ，这时要求离心率e ，我们要找出a ，c 之间的关系，则至少需要三个方程，由已知中，若∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，我们不难得到两个方程，此时一定要注意双曲线的定义，即P 点到两个焦点的距离之差为定值．
7．（2014•江西一模）已知数列{an }满足log 3a n +1=log3a n+1（n ∈N ），且a 2+a4+a6=9，则 A ．
﹣5 B ．
C ．
5
D ．
*
（a 5+a7+a9）的值是（ ）
考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题；压轴题；方程思想．
24
分析： 先由“log 3a n +1=log3a n+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由a 2+a4+a6=a2（1+q+q），
243
a 5+a7+a9=a5（1+q+q）得到a 5+a7+a9=q（a 2+a4+a6）求解． 解答： 解：∵log 3a n +1=log3a n+1 ∴a n+1=3an ∴数列{an }是以3为公比的等比数列，
24
∴a 2+a4+a6=a2（1+q+q）=9
2432435
∴a 5+a7+a9=a5（1+q+q）=a2q （1+q+q）=9×3=3
故选A 点评： 本题主要考查等比数列的定义，通项及其性质，在等比数列中用“首项与公比”法是常用方法，往往考查到方程思想．
8．（2014•通州区二模）已知：数列{an }满足a 1=16，a n+1﹣a n =2n，则 A ．
考点： 专题：
8 B ． 数列递推式． 计算题；压轴题．
的最小值为（ ）
7 C ． 6 D ． 5
分析： 由此能求出解答： a 3﹣a 2=4， …
a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…，a n+1﹣a n =2n，这n 个式子相加，就有a n+1=16+n（n+1），故的最小值． 解：a 2﹣a 1=2，
，
a n+1﹣a n =2n，
这n 个式子相加，就有 a n+1=16+n（n+1），
2
即a n =n（n ﹣1）+16=n﹣n+16， ∴
，
用均值不等式，知道它在n=4的时候取最小值7． 故选B ． 点评： 本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．
9．（2013•上海）在数列（a n ）中，a n =2﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +a（2，…，j i=1，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） A ． 18 B ． 28 C ． 48 D ． 63
考点： 数列的函数特性． 专题： 压轴题．
i j i j i+j
分析： 由于该矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +aj =（2﹣1）（2﹣1）+2﹣1+2﹣1=2﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a ij =amn （i ，m=1，2，…，7；j ，n=1，2，…，12）．
i+jm+n
则满足2﹣1=2﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij ≠a mn ，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．
i j i j i+j
解答： 解：该矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =ai •a j +ai +aj =（2﹣1）（2﹣1）+2﹣1+2﹣1=2﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a ij =amn （i ，m=1，2，…，7；j ，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值． 故选A ． 点评： 由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij =amn （i ，m=1，2，…，7；j ，n=1，2，…，12）是解题的关键．
n
10．（2013•福建）已知等比数列{an }的公比为q ，记b n =am （n ﹣1）+1+am （n ﹣1）+2+…+am （n ﹣1）+m，c n =am （n ﹣1）+1•a m （n ﹣1）
*
（m ，n ∈N ），则以下结论一定正确的是（ ） +2•…•a m （n ﹣1）+m，
m 2m
A ． 数列{bn }为等差数列，公差为q B． 数列{bn }为等比数列，公比为q C ．
考点： 专题： 分析：
数列{cn }为等比数列，公比为
D ． 数列{cn }为等比数列，公比为
等比关系的确定；等差关系的确定． 压轴题；等差数列与等比数列．
①
，当q=1时，b n =mam （n ﹣1），b n+1=mam （n ﹣1）+m=mam （n ﹣1）=bn ，
此时是常数列，可判断A ，B 两个选项
②由于等比数列{an }的公比为q ，利用等比数列的通项公式可得
，
=
解答：
解：①
，得出即可判断出C ，D 两个选项．
，当q=1时，b n =mam （n ﹣1），b n+1=mam （n ﹣1）+m=mam （n ﹣1）
=bn ，此时是常数列，选项A 不正确，选项B 正确； 当q ≠1时，
，
=
，
此时，选项B 不正确，
又b n+1﹣b n =
②∵等比数列{an }的公比为q ，∴
，不是常数，故选项A 不正确，
，
∴
=，
∴
===，故C 正确D 不正确．
综上可知：只有C 正确． 故选C ． 点评： 熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n 项和公式是解题的关键．
11．（2013•河池模拟）已知函数
一个数列，则该数列的通项公式为（ ） A ．
n
*
，把方程f （x ）=x的根按从小到大的顺序排列成
（n ∈N ）
*
B ．
a n =n（n ﹣1）（n ∈N ） C ． an =n﹣1（n ∈N ）
**
D ． a n =2﹣2（n ∈N ）
考点： 数列递推式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 函数y=f（x ）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f （x ）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f （x ）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n =n﹣1．
解答： 解：若0＜x ≤1，则﹣1＜x ﹣1＜0，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2
x ﹣2
若1＜x ≤2，则0＜x ﹣1≤1，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2+1
x ﹣3
若2＜x ≤3，则1＜x ﹣1≤2，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2+2
x ﹣4
若3＜x ≤4，则2＜x ﹣1＜3，得f （x ）=f（x ﹣1）+1=2+3
x ﹣1
，
以此类推，若n ＜x ≤n+1（其中n ∈N ），则f （x ）=f（x ﹣1）+1=2
x
下面分析函数f （x ）=2的图象与直线y=x+1的交点 很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），
x
x ﹣n ﹣1
+n，
由于指数函数f （x ）=2为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
x x
然后①将函数f （x ）=2和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f （x ）=2﹣1和y=x的图象， 取x ≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）． 即当x ≤0时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=0．
x
②取①中函数f （x ）=2﹣1和y=x图象﹣1＜x ≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
x ﹣1
即得f （x ）=2和y=x在0＜x ≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）． 即当0＜x ≤1时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f （x ）=2和y=x在0＜x ≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
x ﹣2
即得到f （x ）=2+1和y=x在1＜x ≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）． 即当1＜x ≤2时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=2． ④以此类推，函数y=f（x ）与y=x在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）． 即方程f （x ）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的根依次为3，4，…n+1． 综上所述方程f （x ）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0，1，2，3，4，…
其通项公式为a n =n﹣1； 故选C ． 点评： 本题考查数列的递推公式的合理运用，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．
12．（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{an }，{f（a n ）}
2
仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x；
x
②f （x ）=2；③f （x ）=；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ②④
考点： 等比关系的确定． 专题： 综合题；压轴题．
x ﹣1
分析： 解答： ①②③
根据新定义，结合等比数列性质解：由等比数列性质知
2
，一一加以判断，即可得到结论．
，
=f（a n+1），故正确；
≠
=
2
=f（a n+1），故不正确； =f（a n+1），故正确；
2
2
④f （a n ）f （a n+2）=ln|an |ln|an+2|≠故选C 点评：
=f（a n+1），故不正确；
本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．
13．（2012•上海）设a n =sin A ．
考点： 专题：
，S n =a1+a2+…+an ，在S 1，S 2，…S 100中，正数的个数是（ ）
50 C ．
75 D ． 100
25 B ．
数列的求和；三角函数的周期性及其求法． 计算题；压轴题．
分析：
由于f （n ）=sin
的周期T=50，由正弦函数性质可知，a 1，a 2，…，a 24＞0，a 26，a 27，…，a49＜0，
f （n ）=单调递减，a 25=0，a 26…a 50都为负数，但是|a26|＜a 1，|a27|＜a 2，…，|a49|＜a 24，从而可判断 解答：
解：由于f （n ）=sin
的周期T=50
由正弦函数性质可知，a 1，a 2，…，a 24＞0，a 25=0，a 26，a 27，…，a 49＜0，a 50=0 且
sin
，sin
…但是f （n ）=单调递减
a 26…a 49都为负数，但是|a26|＜a 1，|a27|＜a 2，…，|a49|＜a 24 ∴S 1，S 2，…，S 25中都为正，而S 26，S 27，…，S 50都为正
同理S 1，S 2，…，s 75都为正，S 1，S 2，…，s 75，…，s 100都为正， 故选D 点评： 本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
14．（2012•福建）数列{an }的通项公式a n =ncos A ．
考点： 专题： 分析： 解答： 又∵f （n ）=cos
1006 数列的求和．
计算题；压轴题．
，其前n 项和为S n ，则S 2012等于（ ）
2012
C ． 503 D ． 0
B ．
由于a n =ncos解：∵a n =ncos是以T=
，a 1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=…=2，则四项结合的和为定值，可求 ，
为周期的周期函数
∴a 1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a 5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，
…
a 2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2， S 2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012
=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012） =2×503=1006 故选A 点评： 本题主要考查了由数列的通项求解数列的和，解题的关键是由通项发现四项结合为定值的规律
15．（2012•焦作模拟）已知数列{an }的通项公式为a n =|n﹣13|，则满足a k +ak+1+…+ak+19=102的整数k （ ） A ． 有3个 B ． 有2个 C ． 有1个 D ． 不存在
考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据数列的通项公式，去绝对值符号，因此对k 进行讨论，进而求得a k +ak+1+…+ak+19的表达式，解方程即可求得结果． 解答：
解：∵a n =|n﹣
13|=
，
∴若k ≥13，则a k =k﹣13，
∴a k +ak+1+…+ak+19=∴1≤k ＜13，
∴a k +ak+1+…+ak+19=（13﹣k ）+（12﹣k ）+…+0+1+…+（k+6） =
=102
=102，与k ∈N 矛盾，
*
解得：k=2或k=5 ∴满足a k +ak+1+…+ak+19=102的整数k=2，5， 故选B ． 点评： 本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．
16．（2012•闸北区二模）设{an }是公比为q 的等比数列，首项时，数列{bn }的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为（ ） A ．
考点： 专题： 分析： log
等比数列的前n 项和． 计算题；压轴题．
，对于n ∈N ，
*
，当且仅当n=4
B ． （3，4） C ．
D ．
由b n+1﹣b n =a n+1﹣a n
=
=log
q ，得出数列{bn }是以log
q 为公差，以
a 1=6为首项的等差数列，由已知仅当n=4时T n 最大，通过解不等式组 求出公比q 的取值范围即可．
解：∵等比数列{an }的公比为q ，首项a n+1﹣log
a n
=log
=log
q
解答：
∴b n+1﹣b n =log
∴数列{bn }是以log ∴b n =6+（n ﹣1）log
q 为公差，以log q ．
a 1=6为首项的等差数列，
由于当且仅当n=4时T n 最大， ∴log
q ＜0，且
∴
∴﹣2
即2＜q ＜4
故选：C
点评： log
17．（2012•宝鸡模拟）对于一个有限数列P={P1，P 2，…，P n }P的“蔡查罗和”定义为
，其
本题考查了等差数列的判定，前n 项和最值情况．本题得出数列{bn }是以log
q 为公差，以
a 1=6为首项的等差数列为关键．
中S k =P1+P2+…+Pk （1≤k ≤n ）．若一个99项的数列{P1，P 2，…，P 99}的“蔡查罗和”为1000，则100项的数列{1，P 1，P 2，…，P 99}“蔡查罗和”为（ ） A ． 990 B ． 991 C ． 992 D ． 993
考点： 数列的求和． 专题： 计算题；压轴题；新定义．
分析：
由“蔡查罗和”定义，{P1，P 2，，P 99}的“蔡查罗和”为
，由此可推导出100项的
数列{1，P 1，P 2，…，P 99}“蔡查罗和”． 解答： 解：由“蔡查罗和”定义， {P1，P 2，，P 99}的“蔡查罗和”为∴S 1+S2++S99=99000，
则100项的数列{1，P 1，P 2，，P 99}“蔡查罗和”为故选B ． 点评：
=991．
，
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
18．（2012•茂名一模）已知函数f （x ）=
﹣log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，且满足f （a ）
f （b ）f （c ）＜0．若实数d 是方程f （x ）=0的一个解，那么下列四个判断：①d ＜a ；②d ＜b ；③d ＜c ；④d ＞c 中有可能成立的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
考点： 等差数列的性质；函数的单调性及单调区间． 专题： 综合题；压轴题；分类讨论． 分析： 分情况讨论，若f （a ），f （b ）＞0和f （a ），f （b ），f （c ）＜0两种情况，根据函数f （x ）的单调性可推断a ，b ，c ，d 的大小． 解答： 解：f （x ）在（0，+∞）上单调减，值域为R 又a ＜b ＜c ，f （a ）f （b ）f （c ）＜0，所以（1）若f （a ），f （b ）＞0，f （c ）＜0．由f （d ）=0知，a ＜b ＜d ＜c ，③成立；（2）若f （a ），f （b ），f （c ）＜0．此时d ＜a ＜b ＜c ，①②③成立．综上，可能成立的个数为3． 点评： 函数的单调性和等差数列的综合运用．属基础题．
19．（2012•浙江模拟）设等差数列{an }的前n 项和为S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则
中最大的是（ ）
A ．
考点：
B．
C．
D．
等差数列的性质．
专题： 分析：
计算题；压轴题． 由
，
可得，a 5＞0，a 6＜0
，则可得
结合等差数列的通项可得，a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞0＞a 6＞…即可得，
解答： 解：∵，
∴a 5＞0，a 5+a6＜0，a 6＜0 ∴等差数列{an }中，a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞0＞a 6＞… ∴
则故选B 点评：
本题主要考查了利用等差数列前n 项和公式来判断数列项的取值范围，灵活利
用等差数列的性质（若m+n=p+q，则a m +an =ap +aq ）是解决本题的关键． 20．（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ） A ．
1升
B ．
升
C ．
升
D ．
升
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．
解答： 解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列， 根据题意得：a 1+a2+a3+a4=3，a 7+a8+a9=4，
即4a 1+6d=3①，3a 1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=把d=则a 5=故选B 点评：
代入①得：a 1=+
（5﹣1）=
， ．
，
此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．
21．（2011•上海）设{an }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An }为等
比数列的充要条件是（ ） A ． {an }是等比数列
B ． a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列 C ． a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列
D ． a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同
考点： 等比数列的性质． 专题： 压轴题．
分析：
根据题意可表示A i ，先看必要性，{An }为等比数列推断出为常数，可推断出a 1，a 3，…，a 2n ﹣
…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要1，
a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等，答案可得． 解答： 解：依题意可知A i =ai •a i+1， ∴A i+1=ai+1•a i+2， 若{An }为等比数列则公比均为q ；
反之要想{An }为等比数列则且公比相等；
==
为常数，即a 1，a 3，…，
=q（q 为常数），则a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且
需为常数，即需要a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，
故{An }为等比数列的充要条件是a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同． 故选D 点评： 本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．
22．（2011•河北区一模）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项，若a 2：a 4=7：6，则S 7：S 3等于（ ） A ． 2：1 B ． 6：7 C ． 49：18 D ． 9：13
考点： 等差数列的前n 项和． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据所给的两项之比和要求的数列的前n 项和，把前n 项和写成S 7：S 3=7a4：3a 2，代入比值求出结果．
解答： 解：∵Sn 为等差数列{an }的前n 项， 若a 2：a 4=7：6， ∴S 7：S 3=7a4：3a 2=7×6：3×7=2：1 故选A ． 点评： 本题考查等差数列的前n 项之和，本题解题的关键是看出所求的两项之比等于已知条件之比的多少倍．
23．（2011•蓝山县模拟）已知正项等比数列{an }满足：a 7=a6+2a5，若存在两项a m ，a n 使得最小值为（ ） A ．
考点：
=4a1，则
的
B ．
C ．
D． 不存在
等比数列的通项公式；基本不等式．
专题： 计算题；压轴题． 分析： 把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m ，n 之间的关系，用基本不等式得到最小值． 解答： 解：∵a 7=a6+2a5，
2∴a 5q =a5q+2a5， 2∴q ﹣q ﹣2=0， ∴q=2，
∵存在两项a m ，a n 使得∴a m a n =16a1， m+n﹣2∴q =16， ∴m+n=6 ∴
=（m+n）（
）
=
2
=4a1，
故选A 点评： 本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和． 24．（2011•江西模拟）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如10行第4个数（从左往右数）为（ ）
，
，
，…，则第
A ．
B ．
C ．
D．
考点： 数列的应用；归纳推理． 专题： 计算题；压轴题；新定义；规律型． 分析： 根据每个数是它下一个行左右相邻两数的和，先求出第8、9、10三行的第2个数，再求出9、10两行的第3个数，求出第10行第4个数．
解答：
解：设第n 行第m 个数为a （n ，m ），据题意知，
，
a （7，1）=，a （8，1）=，a （9，1）=，a （10，1）=∴a （10，2）=a（9，1）﹣a （10，1）=a （8，2）=a（7，1）﹣a （8，1）=a （9，2）=a（8，1）﹣a （9，1）=a （10，3）=a（9，2）﹣a （10，2）=
，
， ， ，
a （9，3）=a（8，2）﹣a （9，2）=a （10，4）=a（9，3）﹣a （10，3）=
， ．
故选B ． 点评： 本题考查通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题． 25．（2011•江西模拟）给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1，2，3，…，2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是（ ）
A ．
考点： 专题： 分析：
2012×2
2009
B ． 2011×2
2010
C ． 2010×2
2011
D ． 2010×2
2007
数列的应用． 计算题；压轴题．
【方法一】观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，
第三行公差为4，…，第2010行公差为2，第2011行只有M ，得出M ；
【方法二】从第一行为1，2，3 和1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，结合选项归纳得出结果，猜测出M ． 解答： 解：【方法一】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，
20092009
第2010行公差为2，第2011行只有M ，则M=（1+2011）•2．
1
【方法二】从第一行为1，2，3 及1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，可归纳出结果为（3+1）×2及（5+1）3n ﹣2×2，从而猜测这个数M 为（n+1）•2． 点评： 本题考查了由数表探究数列规律的问题，解答这类问题时，可以由简单的例子观察分析，总结规律，得出结论． 26．（2011•湖北模拟）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ）
2009
A ． 55 B ． 89 C ． 144 D ． 233
考点： 数列的应用． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 本题是一个探究型的题，可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可 解答： 解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{an }表示实心圆点的个数变化规律，令a 1=1，a 2=1，n ≥3时，a n =an ﹣1+an ﹣2，本数列中的n 对应着图形中的第n+1行中实心圆点的个数．由此知a 11即所求． 故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，．．
a 11=89，即第12行中实心圆点的个数是89 故选B 点评： 本题考查数列的应用，是一个新定义的题，此类题关键是从定义中找出其规律来，构造出相应的数学模型，本题中所蕴含的规律是从第三项开始每一行中点数是前两项的点数的和，利用此规律求解．新定义的题以其形式的新颖，考查答题者阅读能力能优势，在高考中渐受青睐．
27．（2011•黄冈模拟）若f （x ）= A ．
考点： 专题： 分析：
2009
，则f （1）+f（2）+f（3）…+f（2011）+f（）+f（）+…+f（
B ．
2010 C ． 2012
D ． 1
）=（ ）
数列的应用．
计算题；压轴题．
根据函数的解析式，可以求得f （1），f （2），f （3）…，f （2011），f （），f （），…，f （）
各项的值，进行求和；事实上，观察题目的特点，考虑f （x ）+f（ ）是否有规律：f （x ）+f（ ）
=
+=+=1，所以此规律使运算量大大降低．
解答： 解：：f （x ）+f （
）=+=+=1，
f （1）+f（2）+f（3）…+f（2011）+f（）+f（）+…+f（（2011）+f（
）]=+1+1+…+1=2010．
）=f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f
故选B ．
点评： 解析法是中学阶段函数常见的表示法．根据解析式可求出任一函数值．本题还考查分析解决问题的能力，解法上与倒序相加法如出一辙．
28．（2011•许昌三模）{an }为等差数列，若n=（ ） A ．
考点： 专题： 分析：
，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，
11 B ． 17 C ． 19 D ． 21
等差数列的性质． 计算题；压轴题．
本题考查的是等差数列的性质，要求S n 取得最小正值时n 的值，关键是要找出什么时候a n 小于0，
而a n+1大于0，由，我们不难得到a 11＜0＜a 10，根据等差数列的性质，我们易求出当S n 取得最小正值时，
n 的值．
解答： 解：∵S n 有最小值， ∴d ＜0
则a 10＞a 11，
又，
∴a 11＜0＜a 10
∴a 10+a11＜0，
S 20=10（a 1+a20）=10（a 10+a11）＜0，
S 19=19a10＞0
又a 1＞a 2＞…＞a 10＞0＞a 11＞a 12
∴S 10＞S 9＞…＞S 2＞S 1＞0，S 10＞S 11＞…＞S 19＞0＞S 20＞S 21
又∵S 19﹣S 1=a2+a3+…+a19=9（a 10+a11）＜0
∴S 19为最小正值
故选C
点评： {an }为等差数列，若它的前n 项和S n 有最大值，则数列的公差d 小于0；{an }为等差数列，若它的前n 项和S n 有最小值，则数列的公差d 大于0．
29．（2011•重庆二模）已知数列{an }中，a 0=0且a n =
a 72的值为（ ）
A ． 2 B ．
考点： 数列递推式．
专题： 计算题；压轴题． +n﹣3×[]（n ∈N ）（其中[x]表示实数x 的整数部分），则3 C ． 4 D ． 5
分析：
解答： 通过a n =+n﹣3×[]依次求得a 0、a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6，找到规律后即可求得结果． 解：由题意知
a 0=0=a0+0
a 1=a0+1﹣0=a0+1
a 2=a0+2﹣0=a0+2
a 3=a1+3﹣3a 1=a1+0
a 4=a1+4﹣3a 1=a1+1
a 5=a1+5﹣3a 1=a1+2
a 6=a2+6﹣3a 2=a2+0
依此类推得a 72=a14+0=a4+2=a1+1+2=4
点评： 本题考查了数列的递推式，通过递推式寻找规律是解题的关键，属于中档题．
30．（2010•陕西）对于数列{an }，“a n+1＞|an |（n=1，2，…）”是“{an }为递增数列”的（ ）
A ． 必要不充分条件 B ． 充分不必要条件
C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
考点： 数列的概念及简单表示法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 压轴题．
分析： 要考虑条件问题，需要从两个方面来考虑，由a n+1＞|an |（n=1，2，）知{an }所有项均为正项，且a 1＜a 2＜…＜a n ＜a n+1，这样前者可以推出后者，反过来，{an }为递增数列，不一定有a n+1＞|an |（n=1，2，）． 解答： 解：由a n+1＞|an |（n=1，2，）知{an }所有项均为正项，
且a 1＜a 2＜…＜a n ＜a n+1，
即{an }为递增数列
反之，{an }为递增数列，
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不一定有a n+1＞|an |（n=1，2，），
如﹣2，﹣1，0，1，2，
故选B
点评： 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．本题是把数列同条件的判断结合在一起．
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