命题逻辑在数学解题中的应用
学生姓名： 指导老师：
一、引言
在一些数学竞赛和考试中我们经常会遇到一些很难推断推理的题，它们一般是
用自然语言表述的，容易引起歧义，这时如果用一般的推断推理方法时，需要进行
多个假设，即使通过很复杂的假设能够推断推理出结论，也不一定正确，而用我们
所学的命题逻辑的知识进行系统的分析演算后，这些题就会很容易地得到解决，著
名的数学家莱布尼茨说过“在人们有争议的时候，只要把他们想说的话写下，我们
就可以简单的说，让我们进行演算，而无须进一步忙乱，就能看出谁是正确的。”
那么怎样应用命题逻辑来解决这些问题呢？我们中学所学过的证明题又是应用
了什么样的逻辑依据呢？
在解决以上问题之前，先让我们来了解一下关于命题逻辑的一些相关知识。
二、相关知识【1】【2】
1．命 题：在特定范围、时间和空间内，具有唯一确定的真假性的陈述句。
也可以说是能够判断真假的陈述句。
2 复合命题：由简单命题用连结词联接而成的命题。
3．联 结 词：将简单命题联结成复合命题的一种基本的词语。主要有“否定” 、
“合取” 、“析取” 、“蕴涵” 、“等价”这五种联结词。
否定联结词有“非” 、“不是”等，如设p 是任一命题，复合命题“非p ”称为
p 的否定式，可以表示为“⌝p ”，“ ⌝”称为否定联结词。
合取联结词有“且” 、“并且” 、“而且”等，如设p ，q 是两个命题，那么复
合命题“p 并且q ”称为p 与q 的和取式，可以表示为“p ∧q ”，“∧”称为和取联
结词。
析取联结词有“或”等，如设p ，q 是两个命题，那么复合命题“p 或q ”称为
p 和q 的析取式，可以表示为“p ∨q ，“∨”称为析取联结词。
蕴涵联结词有“如果，那么” 、“如果，则”等，如设p ，q 是两个命题，那么复合命题“如果p ，那么q ”，可以表示为“p →q ”，“→”称为蕴涵联结词。
等价联结词有“当且仅当”， 如设p ，q 是两个命题，那么复合命题“p 当且仅当q ”，可以表示为“p q ”，“”称为等价联结词。
4．命题公式：将命题常项和命题变项用联结词和圆括号按一定逻辑关系联系起来的符号串（也就是说命题公式不是单个命题而是几个命题通过联结词联接起来的一串的命题）。若A 、B 为命题公式，那么A ∧B ，A →B 等，也为命题公式。
5．重 言 式：若A 为一命题公式，如果A 在它的各种赋值下取值都为真。
三、命题逻辑在数学推断、推理题中的应用
在解决推断、推理题过程中，一般情况下我们会按照正常思维的方式来假设推断推理，但是常常会觉得思维混乱，推断推理复杂，有时候需要假设很多，所以很容易出错，但是如果用数学中的命题演绎推理就会事半工倍，推理思路清晰，方法简单明了，可以更容易且准确的解决这些问题。
数理逻辑中的命题逻辑是最简单也是最基础的，也是运用非常广泛，数理逻辑是研究命题间的推理，“命题”是研究的最小的单位，而命题逻辑在推断、推理题中的应用主要特征就是“形式化”，也就是将研究对象“数学推理”形式化。
形式化分为两步：1. 将推理系统符号化；2. 符号化的命题和语言表述的公理和推理规则形成一个形式系统。最后这种形式系统可按照命题演绎推理的方法进行推断或推理【3】。
（一）在推断题中的应用
例1．某公司为了提高工作人员的专业工作能力，故决定派出几名优秀的工作人员出国考察学习，甲、乙、丙、丁、戊是公司从众多申请者中选出的几名比较合格的人员，但为了不影响正常工作需要，他们五个不能全去，所以这次选派必须满足以下条件：
⑪如果甲被派出国学习，则乙也要被派出国学习；
⑫丁、戊两人中必有人被选派出国学习；
⑬乙、丙两人中有且仅有一人被选派出国学习；
⑭丙、丁两人要么都派去，要么都不去；
⑮若戊被派出学习，那么甲、乙也将被派出。
为了合理安排工作，那么根据这些条件这个公司应该从这五人中怎样挑选，挑选谁进行出国学习呢？
方法一：一般的推断方法
分析：此题是为了推断出几个人派出，谁应该派出，而且肯定有人被派出，但派出人数和人物不固定，那么我们就必须一个一个假设，看怎样的假设才是合理的。
①假设如果甲一定被派出，那么根据条件⑪我们可以推断出乙一定也被派出，又由⑬⑭可以推断出丙、丁都不去，那么根据条件⑫又可推断出戊一定去，经过以上推断我们可得出一种选派方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。
②假设如果乙一定被派出，那么由条件⑬⑭可以推断出丙、丁一定不被派出，而又由⑫可以推断出戊一定被派出，那么由条件⑮又可以推断出甲、乙也将会派出，经过以上推断我们也可得一种选派方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。
③假设如果丙一定被派出，那么由条件⑭可以推断出丁一定也被派出，由条件⑬可以推出乙一定不被派出，而又条件⑫可以推出戊可能派出，也可能不派出，假设如果戊被派出的话，由条件⑮可以推出甲、乙一定也被派出，这就与前面的推理相矛盾，所以戊一定不被派出，因此由以上推断可以得到一种选派方案：丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。
④假设如果丁一定被派出，那么由条件⑬⑭可以推断出丙一定派出，乙一定不被派出，又⑪⑮条件可以推出甲、戊一定也不被派出，所以由以上推断可得出一种派出方案：丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。
⑤假设如果戊一定被派出，那么由条件⑮可以推断出甲、乙一定也被派出学习，而又由⑬⑭可以推断出丙、丁一定不被派出，所以由以上的推断可以得出一种派出方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。
由以上的分析我们可以得出此公司只有两中派出方案：一种是甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去；另一种是丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。
方法二：用命题逻辑推断的方法
分析：如果要推断他们五人谁去，又有怎样的派出方案，我们只需将必要的命题
符号化，再根据所给条件写出各个命题公式F 1、F 2、F 3、F 4、F 5, 那么我们只需将
T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5变换成析取范式的形式，那么此题就可以解决。
将命题符号化：
令p :甲一定被派出学习；q :乙一定被派出学习；r :丙一定被派出学习；s ：丁一定被派出学习； t ：戊一定被派出学习
那么各条件可符号化为：
①F 1=p →q ；②F 2=s ∨t ；③F 3=(q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r ) ；④F 4=(r ∧s ) ∨(⌝r ∧⌝s ) ；⑤F 5=t →(p ∧q )
由于各条件都是已知的，所以它们的合取式一定为真。设：
T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5
=（p →q ）∧（s ∨t ）∧（(q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r ) ）∧（(r ∧s ) ∨(⌝r ∧⌝s ) ）∧（t →(p ∧q ) ）
要想得到派出方案，只需求出T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5的析取范式，那么求T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5的析取范式的主要步骤是：
T ⇔((⌝p ∨q ) ∧(s ∨t ) ∧(((q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r )) ∧((r ∧s ) ∨(⌝r ∧⌝s )) ∧(⌝t ∨(p ∧q )) ⇔((⌝p ∧s ) ∨(⌝p ∧t ) ∨(q ∧s ) ∨(q ∧t )) ∧((q ∧⌝r ∧⌝s ) ∨(⌝q ∧r ∧s ) ∧(⌝t ∨(p ∧q )) ⇔((⌝p ∧⌝q ∧r ∧s ) ∨(⌝p ∧q ∧⌝r ∧⌝s ∧t ) ∨(q ∧⌝r ∧⌝s ∧t ) ∧(⌝t ∨(p ∧q ))
⇔(⌝p ∧⌝q ∧r ∧s ∧⌝t ) ∨(p ∧q ∧⌝r ∧⌝s ∧t )
由上面的推断可以很容易得出只有两种方案：一种是甲、乙、戊被派出学习，而丙、丁不会被派出；另一种是丙、丁被派出，而甲、乙、戊不被派出。
（二）在推理题中的应用
在推理题中用到命题演绎推理，而其中应用的各种推理规则大多是依靠推理定理完成的。
常用的推理定理有：
1. A ⇒(A ∨B ) 附加
2. (A ∧B ) ⇒A 化简
3. (A →B ) ∧A ⇒B 假言推理
4. (A →B ) ∧⌝B ⇒⌝A 拒取式
5. (A ∨B ) ∧⌝B ⇒A 析取三段论
6. (A →B ) ∧(B →C ) ⇒A →C 假言三段论
例2．某大学为庆祝建校60周年，特别举行了“唱响未来”歌唱比赛，同学们踊跃参加，比赛圆满结束，比赛情况如下：
⑪若赵获得了冠军，那么钱或孙获得了亚军；
⑫若孙获得了亚军，那么赵一定不能获得冠军；
⑬若李获得了亚军，那么钱一定不能获得亚军；
⑭最后赵获得了冠军
那么有人说“李一定未获得亚军”
问：这个人说的对吗？并加以证明。
方法一：一般的推理方法
分析：一般做这样的推理题，想要推出所得的结论是否正确，我们首先得应用所给条件中最明了的，这道题中所给的条件我们可以看出“⑭最后赵获得了冠军”，很明显的告诉了我们可以从这里着手。
因为“⑭最后赵获得了冠军”，那么我们可以根据这条来推，由条件“⑪若赵获得了冠军，那么钱或孙获得了亚军”，我们可以知道钱或孙获得了亚军。
①假设钱获得了亚军，那么我们可以由“⑬若李获得了亚军，那么钱一定不能获得亚军”推出李没有获得亚军。所以这个假设可以推出这道推理题的推理结果是正确的。
②假设孙获得了亚军，那么我们可以由“⑫若孙获得了亚军，那么赵一定不能获得冠军”推出赵一定不能是冠军，这就与所给条件“⑭最后赵获得了冠军”相矛盾了，所以这样的假设不成立。
所以只能是钱得亚军，而李一定未获得亚军。
方法二：用命题逻辑推理的方法
分析：当遇到这样的推理题时，如果用命题演绎推理，只需将一些命题符号化，然后应用一些推理定律，就可推出结果。
将命题符号化：
令p :赵获得了冠军；q :钱获得了亚军；r :孙获得了亚军；s ：李获得亚军 前提条件：⑪p →((q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r )) ，⑫r →⌝p ，⑬s →⌝q ，⑭p .
结论：⌝s
证明：
①p →((q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r )) 前提条件引入
②p 前提条件引入
③(q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r ) 假言推理
④(⌝q →r ) ∧(q →⌝r ) ③的化简
⑤⌝q →r ④的化简
⑥r →⌝p 前提条件引入
⑦⌝r ②⑥拒取式
⑧q ⑤⑦拒取式
⑨s →⌝q 前提条件引入
⑩⌝s ⑧⑨拒取式
由此可以很明确的看出，上面的条件推出这个结论是正确的，李一定未获亚军。 上面的例1和例2分别用两种不同的方法解答，一种是我们常用的一般方法，一种就是应用了命题逻辑的相关知识，从中我们可以看出：在一些推断推理题中，如果我们应用一般的方法，那么得进行多次假设，而且每次假设都得重新思考每句话之间的关系，得重新进行推断，这样进行的次数越多，那么思维也会越发混乱，因此这样的推断推理也将会浪费更多的时间，即使推出了结果也不一定正确，而如果应用命题逻辑来做的话，只需将必要的命题符号化，然后根据已知条件写出各个命题公式，联立公式进行一些等值变换或应用已知条件进行演绎推理，且不需要再反复推断推理就可以推出我们所想要的结论，所以思路及推断推理过程清晰，只需熟练掌握一些公式就可以又快又准确的解决这些推断推理题。
四、命题逻辑数学证明题中的应用
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已知的前提，或者是由前提条件通过一些推理规则而得到的结论。
在我们解题过程中经常会遇到各种各样的数学证明题，而用来证明它们的方法也非常多，可归根就底来看这些方法实际上大多数都是命题逻辑的一些推理理论。
下面就通过一些实例来分析常见的数学证明方法的逻辑依据。
（一） 直接证明法
直接证明法就是根据已知条件来直接推出结论的方法。
例1．如图1，四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC =
2，CD =AB =AC 【4】．
A
B E
D
图1 图2 C （I ）证明：AD ⊥CE ；
证明:（I ）如上图2，取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，
AB =AC ，∴AF ⊥BC ，
又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，
∴AF ⊥CE ．
tan ∠CED =tan ∠FDC =， ∴∠OED +∠ODE =90 ，∴∠DOE =90 ，即CE ⊥DF ，
∴CE ⊥面ADF ，∴CE ⊥AD ．
逻辑分析：在这道高考证明题中，主要用到了命题逻辑证明方法中的直接证明法，这也是证明中最常用的一种方法。
将命题符号化：
令A 0:底面B C D E 为矩形，A 1:侧面ABC ⊥底面B C D E ，A 2:BC =2，A 3:
CD =A 4:AB =AC ，B :AD ⊥CE
所以整个证明过程可以看作A 0∧A 1∧A 2∧A 3∧A 4⇒B
A 0, A 1, A 2, A 3, A 4为已知前提，B 为要证结论，若A 0∧A 1∧A 2∧A 3∧A 4⇒B 为正确的，则从前提A 0, A 1, A 2, A 3, A 4推出结论B 的证明过程是正确的。
这种方法的逻辑依据为：
像这种证明方法，也就用到了命题逻辑判断推理是否正确的方法，就是判断重言蕴涵式的方法，即蕴涵式(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 为推理的形式结构，A 1, A 2,..., A n 为推理的前，B 为推理的结论，若(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 为重言式，则从前提A 1, A 2,..., A n 推出结论B 的推理正确。
（二） 附加前提证明法
附加前提证明法就是将要证明结论中的条件作为已知前提条件来用的直接证明法。
例2．已知在数列{a n }中，a 1, a 2, a 3成等差数列，a 2, a 3, a 4成等比数列，证明：若a 3, a 4, a 5的倒数成等差数列，则a 1, a 3, a 5成等比数列【5】。
证明：由已知，有
2a 2=a 1＋a 3 （1）
a 32=a 2⋅a 4 （2）
211=+ （3）a 4a 3a 5
（3）由，得a 4=2a 3⋅a 5 a 3+a 5
a 1+a 3a +a 32a 3⋅a 5a (a +a 2) 2（2）代入，得a 3=1整理得a 3=51 ⋅22a 3+a 5a 3+a 5由（1）得a 2=
即 a 3(a 3+a 5) =a 5(a 1+a 3)
∴a 2
3=a 1+a 5
所以a 1, a 3, a 5成等比数列．
逻辑分析：从这道题中我们可以看出这不是我们所看到的一般证明的形式，也就是说不是从一些已知的前提直接来证明的，而它所需证明的是一个“若„„, 则„„”的形式，即可符号化为蕴涵式“p →q ”，这时下面的证明却把这个要证明的蕴涵式的条件作为了已知的前提条件去用，像这样的证明方法也就是命题逻辑中的附加前提证明法。
这种证明方法的逻辑依据为：
设A 1, A 2,..., A n 是n 个前提条件，A →B 是结论, 那么推理形式结构为：
（*） (A 1∧A 2∧... ∧A n ) →(A →B )
就是这道证明题的推理形式。
（*）对进行下列等值演算：
（*）⇔⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ) ∨(⌝A ∨B )
⇔⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧A ) ∨B
（**） ⇔(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧A ) →B .
（**）在中我们可以清楚的看到原来结论中的前提条件A 已经变成了整个证明中的大前提条件，而它的地位和A 1, A 2,..., A n 已经相同，这样就演变成了我们所一般用
（*）（**）到的直接证明法，同时可以得到要证明式是重言式的话，只要证明式是重
言式就可以。因此，按(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧A ) →B 进行推理时，A 称为附加条件，那么像这样的应用附加条件证明的方法方法就是附加条件证明法。
(三) 归谬法（反证法）
归谬法就是将结论的否定作为前提条件引入推出矛盾，从而证明原推理过程正确的方法。
例3．证明:若x , y , z ∈R 且a =x 2-2y +1, b =y 2-2z +1, c =z 2-2x +1，那么a , b , c 中至少有一个不小于0.
证明：假设a , b , c 都小于0，也就是说：
a =x 2-2y +1
b =y 2-2z +1
c =z 2-2x +1
那么a +b +c =(x 2-2y +1) +(y 2-2z +1) +(z 2-2x +1)
=(x -1) 2+(y -1) 2+(z -1) 2
这与(x -1) 2+(y -1) 2+(z -1) 2≥0相矛盾，
所以假设不成立，
所以a , b , c 中至少有一个不小于0.
逻辑分析：一般的当一道证明题用直接证明的方法不方便证明时，我们就会选择应用反证法，而这种方法也就是间接证明法，在命题逻辑中也就是归谬法。
归谬法是将命题通过变换成它的等价命题，一般从结论的否定出发，通过推理来证明结论的否不成立，从而说明结论成立。而当我们在所要证明的命题中出现像“至少„”、“至多„”、“仅有„”、“都是„”、“都不是„”等表示的太绝对的字眼时, 我们常用归谬法来证明【6】。
这道证明题的证明过程用命题逻辑的方法可写成下面的形式：
将命题符号化：
令A 1:a =x 2-2y +1; A 2:b =y 2-2z +1; A 3:c =z 2-2x +1; C ：a +b +c ≥0；B :a , b , c 中至少有一个不小于0（那么⌝B ：a , b , c 都小于0）
前提: A 1∧A 2∧A 3→C , A 1, A 2, A 3, ⌝B →⌝C
结论：B
证明：
①⌝B →⌝C 前提引入
②⌝B 否定结论引入
③⌝C ①②假言推理
④A 1, A 2, A 3 前提引入
⑤A 1∧A 2∧A 3 ④附加
⑥A 1∧A 2∧A 3→C 前提引入
⑦C ④⑤析取三段论
⑧C ∧⌝C ③⑦合取
显然⑧为矛盾式, 所以前面的证明结论是正确的。
这种证明方法的逻辑依据为：
设A 1, A 2,..., A n 是n 个命题公式，
相容的: 若合取式A 1∧A 2∧... ∧A n 是可满足式, 则A 1, A 2,..., A n 是相容的;
不相容的: 若合取式A 1∧A 2∧... ∧A n 是矛盾式, 则A 1, A 2,..., A n 是不相容的;
在例3中我们用直接证明法的推理形式结构应该是(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B , 但是解题时设的是⌝B , 并将其做为前提条件, 这就用到了
⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧⌝B ) ⇔⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ) ∨B ⇔(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B
可见如果A 1, A 2,..., A n , ⌝B 是不相容的, 那么说明⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧⌝B ) 就是重言式, 所以与它等价的(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 也为重言式, 因此推理是正确的。即B 是A 1, A 2,..., A n 的逻辑结论。
而在这样的推理过程中，可以发现我们要证明A 1, A 2,..., A n , ⌝B 是不相容的，⌝B 是另外加上去的条件，而这种将结论的否定作为附加条件引入来推导出矛盾的证明方法就是归谬法。
五、总结
数理逻辑在数学中有着非常重要的地位，因为它是我们做任何数学题的基础，贯穿在整个数学的学习过程中，而命题逻辑作为其中的一部分，可以算是最简单，但是却是应用最广泛的，谓词逻辑是它的推广，由于比较难，所以在中学数学中应用比较少。
研究命题逻辑，主要是研究其严密推理方法，而命题逻辑主要应用在数学中的推断推理题和证明题中。
在推断推理题中，可以应用命题逻辑首先先将命题符号化，这样可以将命题简单化；然后就可以应用等值演算和推理定理推出其结果或证明推理过程是否正确。这样就比一般的推理方法思路更清晰，推理更严密，也更便于人理解。
在证明题中，我们常用的直接证明法和间接证明法其实就是用到命题逻辑中的一般证明法的蕴涵式(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 为推理的形式结构，附加前提证明法的(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →(A →B ) 形式结构和归谬法的(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B ⇔⌝(A 1∧ A 2∧... ∧A n ∧⌝B ) 形式结构。
由此可见命题逻辑贯穿在整个数学解题过程中，只要学好命题逻辑，那么解一些推断推理题的思路也会变得更加清晰，而且了解证明题中一些常见证明方法的逻辑依据，以便于我们在以后的解数学证明题中灵活的应用各种不同的方法。
致谢：经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，难免经验匮乏，有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的指导以及同学们的支持，想要完成这个设计是很困难的。
在论文写作过程中，得到了我的导师xx 老师的悉心指导。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，渊博的专业知识深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的最终完成，冯老师都始终给予我细心的指导。在这里请接受我诚挚的谢意!
然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，有了你们的支持和鼓励，此次毕业论文才会顺利完成。
最后还要感谢数学系和我的母校—对我的栽培。
参考文献：
【1】 耿素云 屈婉玲. 离散数学基础[M].北京：北京大学出版社，1994.
【2】 耿素云 屈婉玲 王捍贫. 离散数学教程[M].北京：北京大学出版社，2003.
【3】 苏岐芳. 数学命题与证明中的数理逻辑[J].齐齐哈尔师范学院学报.1996，16
（2）.
【4】 2008年高考理科全国卷Ⅰ.
【5】 http://www.1kejian.com/shiti/shuxue/gaoyi/70411.html.
【6】 魏跃春. 数学证明方法的逻辑分析[J]，襄樊学院学报.2002，23（5）.
命题逻辑在数学解题中的应用
学生姓名： 指导老师：
一、引言
在一些数学竞赛和考试中我们经常会遇到一些很难推断推理的题，它们一般是
用自然语言表述的，容易引起歧义，这时如果用一般的推断推理方法时，需要进行
多个假设，即使通过很复杂的假设能够推断推理出结论，也不一定正确，而用我们
所学的命题逻辑的知识进行系统的分析演算后，这些题就会很容易地得到解决，著
名的数学家莱布尼茨说过“在人们有争议的时候，只要把他们想说的话写下，我们
就可以简单的说，让我们进行演算，而无须进一步忙乱，就能看出谁是正确的。”
那么怎样应用命题逻辑来解决这些问题呢？我们中学所学过的证明题又是应用
了什么样的逻辑依据呢？
在解决以上问题之前，先让我们来了解一下关于命题逻辑的一些相关知识。
二、相关知识【1】【2】
1．命 题：在特定范围、时间和空间内，具有唯一确定的真假性的陈述句。
也可以说是能够判断真假的陈述句。
2 复合命题：由简单命题用连结词联接而成的命题。
3．联 结 词：将简单命题联结成复合命题的一种基本的词语。主要有“否定” 、
“合取” 、“析取” 、“蕴涵” 、“等价”这五种联结词。
否定联结词有“非” 、“不是”等，如设p 是任一命题，复合命题“非p ”称为
p 的否定式，可以表示为“⌝p ”，“ ⌝”称为否定联结词。
合取联结词有“且” 、“并且” 、“而且”等，如设p ，q 是两个命题，那么复
合命题“p 并且q ”称为p 与q 的和取式，可以表示为“p ∧q ”，“∧”称为和取联
结词。
析取联结词有“或”等，如设p ，q 是两个命题，那么复合命题“p 或q ”称为
p 和q 的析取式，可以表示为“p ∨q ，“∨”称为析取联结词。
蕴涵联结词有“如果，那么” 、“如果，则”等，如设p ，q 是两个命题，那么复合命题“如果p ，那么q ”，可以表示为“p →q ”，“→”称为蕴涵联结词。
等价联结词有“当且仅当”， 如设p ，q 是两个命题，那么复合命题“p 当且仅当q ”，可以表示为“p q ”，“”称为等价联结词。
4．命题公式：将命题常项和命题变项用联结词和圆括号按一定逻辑关系联系起来的符号串（也就是说命题公式不是单个命题而是几个命题通过联结词联接起来的一串的命题）。若A 、B 为命题公式，那么A ∧B ，A →B 等，也为命题公式。
5．重 言 式：若A 为一命题公式，如果A 在它的各种赋值下取值都为真。
三、命题逻辑在数学推断、推理题中的应用
在解决推断、推理题过程中，一般情况下我们会按照正常思维的方式来假设推断推理，但是常常会觉得思维混乱，推断推理复杂，有时候需要假设很多，所以很容易出错，但是如果用数学中的命题演绎推理就会事半工倍，推理思路清晰，方法简单明了，可以更容易且准确的解决这些问题。
数理逻辑中的命题逻辑是最简单也是最基础的，也是运用非常广泛，数理逻辑是研究命题间的推理，“命题”是研究的最小的单位，而命题逻辑在推断、推理题中的应用主要特征就是“形式化”，也就是将研究对象“数学推理”形式化。
形式化分为两步：1. 将推理系统符号化；2. 符号化的命题和语言表述的公理和推理规则形成一个形式系统。最后这种形式系统可按照命题演绎推理的方法进行推断或推理【3】。
（一）在推断题中的应用
例1．某公司为了提高工作人员的专业工作能力，故决定派出几名优秀的工作人员出国考察学习，甲、乙、丙、丁、戊是公司从众多申请者中选出的几名比较合格的人员，但为了不影响正常工作需要，他们五个不能全去，所以这次选派必须满足以下条件：
⑪如果甲被派出国学习，则乙也要被派出国学习；
⑫丁、戊两人中必有人被选派出国学习；
⑬乙、丙两人中有且仅有一人被选派出国学习；
⑭丙、丁两人要么都派去，要么都不去；
⑮若戊被派出学习，那么甲、乙也将被派出。
为了合理安排工作，那么根据这些条件这个公司应该从这五人中怎样挑选，挑选谁进行出国学习呢？
方法一：一般的推断方法
分析：此题是为了推断出几个人派出，谁应该派出，而且肯定有人被派出，但派出人数和人物不固定，那么我们就必须一个一个假设，看怎样的假设才是合理的。
①假设如果甲一定被派出，那么根据条件⑪我们可以推断出乙一定也被派出，又由⑬⑭可以推断出丙、丁都不去，那么根据条件⑫又可推断出戊一定去，经过以上推断我们可得出一种选派方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。
②假设如果乙一定被派出，那么由条件⑬⑭可以推断出丙、丁一定不被派出，而又由⑫可以推断出戊一定被派出，那么由条件⑮又可以推断出甲、乙也将会派出，经过以上推断我们也可得一种选派方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。
③假设如果丙一定被派出，那么由条件⑭可以推断出丁一定也被派出，由条件⑬可以推出乙一定不被派出，而又条件⑫可以推出戊可能派出，也可能不派出，假设如果戊被派出的话，由条件⑮可以推出甲、乙一定也被派出，这就与前面的推理相矛盾，所以戊一定不被派出，因此由以上推断可以得到一种选派方案：丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。
④假设如果丁一定被派出，那么由条件⑬⑭可以推断出丙一定派出，乙一定不被派出，又⑪⑮条件可以推出甲、戊一定也不被派出，所以由以上推断可得出一种派出方案：丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。
⑤假设如果戊一定被派出，那么由条件⑮可以推断出甲、乙一定也被派出学习，而又由⑬⑭可以推断出丙、丁一定不被派出，所以由以上的推断可以得出一种派出方案：甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去。
由以上的分析我们可以得出此公司只有两中派出方案：一种是甲、乙、戊被派出学习，丙、丁不会被派去；另一种是丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。
方法二：用命题逻辑推断的方法
分析：如果要推断他们五人谁去，又有怎样的派出方案，我们只需将必要的命题
符号化，再根据所给条件写出各个命题公式F 1、F 2、F 3、F 4、F 5, 那么我们只需将
T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5变换成析取范式的形式，那么此题就可以解决。
将命题符号化：
令p :甲一定被派出学习；q :乙一定被派出学习；r :丙一定被派出学习；s ：丁一定被派出学习； t ：戊一定被派出学习
那么各条件可符号化为：
①F 1=p →q ；②F 2=s ∨t ；③F 3=(q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r ) ；④F 4=(r ∧s ) ∨(⌝r ∧⌝s ) ；⑤F 5=t →(p ∧q )
由于各条件都是已知的，所以它们的合取式一定为真。设：
T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5
=（p →q ）∧（s ∨t ）∧（(q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r ) ）∧（(r ∧s ) ∨(⌝r ∧⌝s ) ）∧（t →(p ∧q ) ）
要想得到派出方案，只需求出T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5的析取范式，那么求T =F 1∧F 2∧F 3∧F 4∧F 5的析取范式的主要步骤是：
T ⇔((⌝p ∨q ) ∧(s ∨t ) ∧(((q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r )) ∧((r ∧s ) ∨(⌝r ∧⌝s )) ∧(⌝t ∨(p ∧q )) ⇔((⌝p ∧s ) ∨(⌝p ∧t ) ∨(q ∧s ) ∨(q ∧t )) ∧((q ∧⌝r ∧⌝s ) ∨(⌝q ∧r ∧s ) ∧(⌝t ∨(p ∧q )) ⇔((⌝p ∧⌝q ∧r ∧s ) ∨(⌝p ∧q ∧⌝r ∧⌝s ∧t ) ∨(q ∧⌝r ∧⌝s ∧t ) ∧(⌝t ∨(p ∧q ))
⇔(⌝p ∧⌝q ∧r ∧s ∧⌝t ) ∨(p ∧q ∧⌝r ∧⌝s ∧t )
由上面的推断可以很容易得出只有两种方案：一种是甲、乙、戊被派出学习，而丙、丁不会被派出；另一种是丙、丁被派出，而甲、乙、戊不被派出。
（二）在推理题中的应用
在推理题中用到命题演绎推理，而其中应用的各种推理规则大多是依靠推理定理完成的。
常用的推理定理有：
1. A ⇒(A ∨B ) 附加
2. (A ∧B ) ⇒A 化简
3. (A →B ) ∧A ⇒B 假言推理
4. (A →B ) ∧⌝B ⇒⌝A 拒取式
5. (A ∨B ) ∧⌝B ⇒A 析取三段论
6. (A →B ) ∧(B →C ) ⇒A →C 假言三段论
例2．某大学为庆祝建校60周年，特别举行了“唱响未来”歌唱比赛，同学们踊跃参加，比赛圆满结束，比赛情况如下：
⑪若赵获得了冠军，那么钱或孙获得了亚军；
⑫若孙获得了亚军，那么赵一定不能获得冠军；
⑬若李获得了亚军，那么钱一定不能获得亚军；
⑭最后赵获得了冠军
那么有人说“李一定未获得亚军”
问：这个人说的对吗？并加以证明。
方法一：一般的推理方法
分析：一般做这样的推理题，想要推出所得的结论是否正确，我们首先得应用所给条件中最明了的，这道题中所给的条件我们可以看出“⑭最后赵获得了冠军”，很明显的告诉了我们可以从这里着手。
因为“⑭最后赵获得了冠军”，那么我们可以根据这条来推，由条件“⑪若赵获得了冠军，那么钱或孙获得了亚军”，我们可以知道钱或孙获得了亚军。
①假设钱获得了亚军，那么我们可以由“⑬若李获得了亚军，那么钱一定不能获得亚军”推出李没有获得亚军。所以这个假设可以推出这道推理题的推理结果是正确的。
②假设孙获得了亚军，那么我们可以由“⑫若孙获得了亚军，那么赵一定不能获得冠军”推出赵一定不能是冠军，这就与所给条件“⑭最后赵获得了冠军”相矛盾了，所以这样的假设不成立。
所以只能是钱得亚军，而李一定未获得亚军。
方法二：用命题逻辑推理的方法
分析：当遇到这样的推理题时，如果用命题演绎推理，只需将一些命题符号化，然后应用一些推理定律，就可推出结果。
将命题符号化：
令p :赵获得了冠军；q :钱获得了亚军；r :孙获得了亚军；s ：李获得亚军 前提条件：⑪p →((q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r )) ，⑫r →⌝p ，⑬s →⌝q ，⑭p .
结论：⌝s
证明：
①p →((q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r )) 前提条件引入
②p 前提条件引入
③(q ∧⌝r ) ∨(⌝q ∧r ) 假言推理
④(⌝q →r ) ∧(q →⌝r ) ③的化简
⑤⌝q →r ④的化简
⑥r →⌝p 前提条件引入
⑦⌝r ②⑥拒取式
⑧q ⑤⑦拒取式
⑨s →⌝q 前提条件引入
⑩⌝s ⑧⑨拒取式
由此可以很明确的看出，上面的条件推出这个结论是正确的，李一定未获亚军。 上面的例1和例2分别用两种不同的方法解答，一种是我们常用的一般方法，一种就是应用了命题逻辑的相关知识，从中我们可以看出：在一些推断推理题中，如果我们应用一般的方法，那么得进行多次假设，而且每次假设都得重新思考每句话之间的关系，得重新进行推断，这样进行的次数越多，那么思维也会越发混乱，因此这样的推断推理也将会浪费更多的时间，即使推出了结果也不一定正确，而如果应用命题逻辑来做的话，只需将必要的命题符号化，然后根据已知条件写出各个命题公式，联立公式进行一些等值变换或应用已知条件进行演绎推理，且不需要再反复推断推理就可以推出我们所想要的结论，所以思路及推断推理过程清晰，只需熟练掌握一些公式就可以又快又准确的解决这些推断推理题。
四、命题逻辑数学证明题中的应用
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已知的前提，或者是由前提条件通过一些推理规则而得到的结论。
在我们解题过程中经常会遇到各种各样的数学证明题，而用来证明它们的方法也非常多，可归根就底来看这些方法实际上大多数都是命题逻辑的一些推理理论。
下面就通过一些实例来分析常见的数学证明方法的逻辑依据。
（一） 直接证明法
直接证明法就是根据已知条件来直接推出结论的方法。
例1．如图1，四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC =
2，CD =AB =AC 【4】．
A
B E
D
图1 图2 C （I ）证明：AD ⊥CE ；
证明:（I ）如上图2，取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，
AB =AC ，∴AF ⊥BC ，
又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，
∴AF ⊥CE ．
tan ∠CED =tan ∠FDC =， ∴∠OED +∠ODE =90 ，∴∠DOE =90 ，即CE ⊥DF ，
∴CE ⊥面ADF ，∴CE ⊥AD ．
逻辑分析：在这道高考证明题中，主要用到了命题逻辑证明方法中的直接证明法，这也是证明中最常用的一种方法。
将命题符号化：
令A 0:底面B C D E 为矩形，A 1:侧面ABC ⊥底面B C D E ，A 2:BC =2，A 3:
CD =A 4:AB =AC ，B :AD ⊥CE
所以整个证明过程可以看作A 0∧A 1∧A 2∧A 3∧A 4⇒B
A 0, A 1, A 2, A 3, A 4为已知前提，B 为要证结论，若A 0∧A 1∧A 2∧A 3∧A 4⇒B 为正确的，则从前提A 0, A 1, A 2, A 3, A 4推出结论B 的证明过程是正确的。
这种方法的逻辑依据为：
像这种证明方法，也就用到了命题逻辑判断推理是否正确的方法，就是判断重言蕴涵式的方法，即蕴涵式(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 为推理的形式结构，A 1, A 2,..., A n 为推理的前，B 为推理的结论，若(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 为重言式，则从前提A 1, A 2,..., A n 推出结论B 的推理正确。
（二） 附加前提证明法
附加前提证明法就是将要证明结论中的条件作为已知前提条件来用的直接证明法。
例2．已知在数列{a n }中，a 1, a 2, a 3成等差数列，a 2, a 3, a 4成等比数列，证明：若a 3, a 4, a 5的倒数成等差数列，则a 1, a 3, a 5成等比数列【5】。
证明：由已知，有
2a 2=a 1＋a 3 （1）
a 32=a 2⋅a 4 （2）
211=+ （3）a 4a 3a 5
（3）由，得a 4=2a 3⋅a 5 a 3+a 5
a 1+a 3a +a 32a 3⋅a 5a (a +a 2) 2（2）代入，得a 3=1整理得a 3=51 ⋅22a 3+a 5a 3+a 5由（1）得a 2=
即 a 3(a 3+a 5) =a 5(a 1+a 3)
∴a 2
3=a 1+a 5
所以a 1, a 3, a 5成等比数列．
逻辑分析：从这道题中我们可以看出这不是我们所看到的一般证明的形式，也就是说不是从一些已知的前提直接来证明的，而它所需证明的是一个“若„„, 则„„”的形式，即可符号化为蕴涵式“p →q ”，这时下面的证明却把这个要证明的蕴涵式的条件作为了已知的前提条件去用，像这样的证明方法也就是命题逻辑中的附加前提证明法。
这种证明方法的逻辑依据为：
设A 1, A 2,..., A n 是n 个前提条件，A →B 是结论, 那么推理形式结构为：
（*） (A 1∧A 2∧... ∧A n ) →(A →B )
就是这道证明题的推理形式。
（*）对进行下列等值演算：
（*）⇔⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ) ∨(⌝A ∨B )
⇔⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧A ) ∨B
（**） ⇔(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧A ) →B .
（**）在中我们可以清楚的看到原来结论中的前提条件A 已经变成了整个证明中的大前提条件，而它的地位和A 1, A 2,..., A n 已经相同，这样就演变成了我们所一般用
（*）（**）到的直接证明法，同时可以得到要证明式是重言式的话，只要证明式是重
言式就可以。因此，按(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧A ) →B 进行推理时，A 称为附加条件，那么像这样的应用附加条件证明的方法方法就是附加条件证明法。
(三) 归谬法（反证法）
归谬法就是将结论的否定作为前提条件引入推出矛盾，从而证明原推理过程正确的方法。
例3．证明:若x , y , z ∈R 且a =x 2-2y +1, b =y 2-2z +1, c =z 2-2x +1，那么a , b , c 中至少有一个不小于0.
证明：假设a , b , c 都小于0，也就是说：
a =x 2-2y +1
b =y 2-2z +1
c =z 2-2x +1
那么a +b +c =(x 2-2y +1) +(y 2-2z +1) +(z 2-2x +1)
=(x -1) 2+(y -1) 2+(z -1) 2
这与(x -1) 2+(y -1) 2+(z -1) 2≥0相矛盾，
所以假设不成立，
所以a , b , c 中至少有一个不小于0.
逻辑分析：一般的当一道证明题用直接证明的方法不方便证明时，我们就会选择应用反证法，而这种方法也就是间接证明法，在命题逻辑中也就是归谬法。
归谬法是将命题通过变换成它的等价命题，一般从结论的否定出发，通过推理来证明结论的否不成立，从而说明结论成立。而当我们在所要证明的命题中出现像“至少„”、“至多„”、“仅有„”、“都是„”、“都不是„”等表示的太绝对的字眼时, 我们常用归谬法来证明【6】。
这道证明题的证明过程用命题逻辑的方法可写成下面的形式：
将命题符号化：
令A 1:a =x 2-2y +1; A 2:b =y 2-2z +1; A 3:c =z 2-2x +1; C ：a +b +c ≥0；B :a , b , c 中至少有一个不小于0（那么⌝B ：a , b , c 都小于0）
前提: A 1∧A 2∧A 3→C , A 1, A 2, A 3, ⌝B →⌝C
结论：B
证明：
①⌝B →⌝C 前提引入
②⌝B 否定结论引入
③⌝C ①②假言推理
④A 1, A 2, A 3 前提引入
⑤A 1∧A 2∧A 3 ④附加
⑥A 1∧A 2∧A 3→C 前提引入
⑦C ④⑤析取三段论
⑧C ∧⌝C ③⑦合取
显然⑧为矛盾式, 所以前面的证明结论是正确的。
这种证明方法的逻辑依据为：
设A 1, A 2,..., A n 是n 个命题公式，
相容的: 若合取式A 1∧A 2∧... ∧A n 是可满足式, 则A 1, A 2,..., A n 是相容的;
不相容的: 若合取式A 1∧A 2∧... ∧A n 是矛盾式, 则A 1, A 2,..., A n 是不相容的;
在例3中我们用直接证明法的推理形式结构应该是(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B , 但是解题时设的是⌝B , 并将其做为前提条件, 这就用到了
⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧⌝B ) ⇔⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ) ∨B ⇔(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B
可见如果A 1, A 2,..., A n , ⌝B 是不相容的, 那么说明⌝(A 1∧A 2∧... ∧A n ∧⌝B ) 就是重言式, 所以与它等价的(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 也为重言式, 因此推理是正确的。即B 是A 1, A 2,..., A n 的逻辑结论。
而在这样的推理过程中，可以发现我们要证明A 1, A 2,..., A n , ⌝B 是不相容的，⌝B 是另外加上去的条件，而这种将结论的否定作为附加条件引入来推导出矛盾的证明方法就是归谬法。
五、总结
数理逻辑在数学中有着非常重要的地位，因为它是我们做任何数学题的基础，贯穿在整个数学的学习过程中，而命题逻辑作为其中的一部分，可以算是最简单，但是却是应用最广泛的，谓词逻辑是它的推广，由于比较难，所以在中学数学中应用比较少。
研究命题逻辑，主要是研究其严密推理方法，而命题逻辑主要应用在数学中的推断推理题和证明题中。
在推断推理题中，可以应用命题逻辑首先先将命题符号化，这样可以将命题简单化；然后就可以应用等值演算和推理定理推出其结果或证明推理过程是否正确。这样就比一般的推理方法思路更清晰，推理更严密，也更便于人理解。
在证明题中，我们常用的直接证明法和间接证明法其实就是用到命题逻辑中的一般证明法的蕴涵式(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B 为推理的形式结构，附加前提证明法的(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →(A →B ) 形式结构和归谬法的(A 1∧A 2∧... ∧A n ) →B ⇔⌝(A 1∧ A 2∧... ∧A n ∧⌝B ) 形式结构。
由此可见命题逻辑贯穿在整个数学解题过程中，只要学好命题逻辑，那么解一些推断推理题的思路也会变得更加清晰，而且了解证明题中一些常见证明方法的逻辑依据，以便于我们在以后的解数学证明题中灵活的应用各种不同的方法。
致谢：经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，难免经验匮乏，有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的指导以及同学们的支持，想要完成这个设计是很困难的。
在论文写作过程中，得到了我的导师xx 老师的悉心指导。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，渊博的专业知识深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的最终完成，冯老师都始终给予我细心的指导。在这里请接受我诚挚的谢意!
然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，有了你们的支持和鼓励，此次毕业论文才会顺利完成。
最后还要感谢数学系和我的母校—对我的栽培。
参考文献：
【1】 耿素云 屈婉玲. 离散数学基础[M].北京：北京大学出版社，1994.
【2】 耿素云 屈婉玲 王捍贫. 离散数学教程[M].北京：北京大学出版社，2003.
【3】 苏岐芳. 数学命题与证明中的数理逻辑[J].齐齐哈尔师范学院学报.1996，16
（2）.
【4】 2008年高考理科全国卷Ⅰ.
【5】 http://www.1kejian.com/shiti/shuxue/gaoyi/70411.html.
【6】 魏跃春. 数学证明方法的逻辑分析[J]，襄樊学院学报.2002，23（5）.