第二章圆锥曲线与方程教案

第二章 圆锥曲线与方程

2.1曲线与方程

2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程

一、教学目标 (一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力． (三)学科渗透点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．

(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

的精神．

三、教学过程 学生探究过程： (一)复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM，

则OM⊥AM． ∵kOM²kAM=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0

)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程． 分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0

∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根． ∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由学生完成

)

由弦长公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)巩固练习

用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出． 1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的

2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． 答案：

义法

)

由中点坐标公式得：

(四)、教学反思

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍． 五、布置作业

1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程． 2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．

3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：

1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4

2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线

六、板书设计

2.2 椭 圆

2.2.1椭圆及其标准方程

◆ 知识与技能目标

理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

◆ 过程与方法目标

（1）预习与引入过程

当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a．

（ii）椭圆标准方程的推导过程

提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．



y2x2

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程221ab0．

ab

（iii）例题讲解与引申

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

53

,，求它的22

x2y253

另解：设椭圆的标准方程为221ab0，因点,在椭圆上，

ab22925a1

则4a24b2． a2b24b

例2 如图，在圆xy4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

分析：点P在圆xy4上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．

2

2

22

x2y2

引申：设定点A6,2，P是椭圆1上动点，求线段AP中点M的轨迹方

259

程．

解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设Mx,y，Px1,y1；②（点与伴随点的关系）∵M为线段AP的中点，∴

x12x6

；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵

y12y2

2

2

x3y11x12y12

；④伴随轨迹表示的范围． 1，∴点M的轨迹方程为

2594259

例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为

4

，求点M的轨迹方程． 9

分析：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是的关系式，即得到点M的轨迹方程．

解法剖析：设点M,x

4

，因此，可以求出x,y之间9

y

x5，x5

y，

则kAM

y

x5； x5

yy4

代入点M的集合有，化简即可得点M的轨迹方程．

x5x59kBM

引申：如图，设△ABC的两个顶点Aa,0，Ba,0，顶点C在移动，且

kACkBCk，且k0，试求动点C的轨迹方程．

引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

◆ 情感、态度与价值观目标

通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是

因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角

坐标系的两个原则，及引入参量b

数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．

◆能力目标

（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和

抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、

2．1．2 椭圆的简单几何性质

◆ 知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意

通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质

y2x2

①范围：由椭圆的标准方程可得，2120，进一步得：axa，同理

ba

可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭

圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e

c

叫做椭圆的离心率（0e1），a

，b当e1时，ca，

圆图形越扁椭

0

当e0时，c0，ba

； ． 椭圆越接近于圆

（iii）例题讲解与引申、扩展

例4 求椭圆16x25y400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量． 扩展：已知椭圆mx5y5mm

0的离心率为e

2

2

22

m的值． 解法剖析：依题意，m0,m5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：

①当焦点在x轴上，即0m

5时，有abc



，

得m3；②当焦点在y轴上，即m5时，

有ab,c，

∴



25m． 53

例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BCF1F2，

F1B2.8cm，F1F24.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

x2y2

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为221，算出a,b,c的

ab

值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

例6如图，设Mx,y与定点F4,0的距离和它到直线l：x

25

的距离的比是常数4

4

，求点M的轨迹方程． 5

分析：若设点Mx,y，则

MF

，到直线l：x25

的距离4

dx

25

，则容易得点M的轨迹方程． 4

引申：（用《几何画板》探究）若点Mx,y与定点Fc,0

a2的距离和它到定直线l：x的距离比是常数

c

a2c

x则点M的轨迹方程是椭圆．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：eac0，

caa2

相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：x．

c

◆ 情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立

直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问

题和解决问题的能力．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径． 练习：第52页1、2、3、4、5、6、7 作业：第53页4、5

补充： 1.课题:双曲线第二定义

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.

教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

的精神．

教学过程： 学生探究过程：复习回顾

1．椭圆9xy81的长轴长为，半焦距为62，离心率为

2

2

22

，3

焦点坐标为(0,62)，顶点坐标为(0,9)(3,0)，（准线方程为y

272

）. 4

2．短轴长为8，离心率为

3

的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B5

两点，则ABF2的周长为引入课题

x2y2

1，M1，M2为椭圆上的点 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为

2516

① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .

② 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？

1691342y02

 1代入消去y0得|MF|解：|MF|(43)y且

2552516

2

2

2

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示成

ab

点M横坐标x的函数吗？

解：

|MF|(xc)2y2



x2y2

221

ba

2

2

2

代入消去

y2

得

b22c

|MF|x2cxcb2x(xa)2

aa

cca2a2|xa||x|e|x| aacc

问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

a2c椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于离心率

ca

问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

a2c

动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于常数(ac)的点的

ca

轨迹是椭圆．

【引出课题】椭圆的第二定义

c

这(0e1)时，

a

个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．

当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e

x2y2a2对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x．根据对称性，相应于焦

caby2x2a2a2

点F(c,0)的准线方程是x．对于椭圆221的准线方程是y．

ccab

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义

|MF|

e可得：右焦半径公式为d

a2a2

|MF右|ede|x|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x()|aex

cc

典型例题

x2y2

1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 例1、求椭圆

2516

a2a2

解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(c,0)和左准线x

cc

变式：求椭圆9xy81方程的准线方程；

2

2

y2x2a2272

1，故其准线方程为y解：椭圆可化为标准方程为： c4819

小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

x2y2

1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离例2、椭圆

2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2由椭圆的第二定义可知：

|MF1|c3|MF|3

e|MF1|1.5 e|MF1|ed12.51.5d1a5d5

又由椭的第一定义可知：|MF1||MF2|2a10|MF2|8.5

a250585

另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为2 2.5

c326

|MF2|385

e|MF2|ed28.5 d256

小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用

例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x8的距离的比是1：2，求点P的轨

迹；

(x2)2y21x2y2

由化简得1，解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

|x8|21612

故所的轨迹是椭圆。

a2

解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以x8解得a4，又因

cx2y2c1

1 为e故所求的轨迹方程为

1612a2

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨

迹； 分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？

解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

(x2)2y21

由化简得

|x5|2

(x1)2y2

3x6x4y90配方得1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）

43

2

2

a2

5解得a210，故解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y2

1 所求的轨迹方程为106

x2y2(x1)2y2

问题1：求出椭圆方程1和1的长半轴长、短半轴长、半焦距、

4343

离心率；

x2y2(x1)2y2

问题2：求出椭圆方程1和1长轴顶点、焦点、准线方程；

4343x2y2(x1)2y2

解：因为把椭圆1向右平移一个单位即可以得到椭圆1所以问题

4343

1中的所有问题均不变，均为a3,b

3,c1,e

c1

 a2

x2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2,0)，(1,0)x4； 43

(x1)2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(21,0)，(11,0)x41；

43

反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e

c21

另一方面离心率就等于这是两上矛盾

a2的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；

解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。 例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l； 过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知d

d1d2

2

又由椭圆的第二定义可知

|AF||BF|

ee即|AF||BF|e(d1d2) d1d2

又

dd2|AB||AB||AF||BF|

且0e1d故直线与圆相离 e1

2222

x2y2

1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求例5、已知点M为椭圆

2516

5

|MA||MF1|的最小值

3

5

分析：应如何把|MF1|表示出来

3

a225

解：左准线l1：x，作MDl1于点D，记d|MD|

c3

由第二定义可知：

|MF1|c335

e ⇒ |MF1|d ⇒ d|MF1| da553

故有|MA|

5

|MF1||MA|d|MA||MD| 3

25 3

所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1即|MA|

528|MF1|的最小值是

33

变式1：3|MA|5|MF1|的最小值； 解：3|MA|5|MF1|3(|MA|

528|MF1|)328 33

3

|MA||MF1|的最小值； 533532828解：|MA||MF1|(|MA||MF1|) 

553535

变式2：

巩固练习

1．已知

是椭圆

的距离为_____________．

上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2

教学反思

1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；

3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业

1.例题5的两个变式；

2. 已知

，

为椭圆

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

的中点到椭圆左准线的距离是

，试确定椭圆的方程．

解：由椭圆方程可知

、两准线间距离为

．设

，

到右准线距离分别为

，

，由椭圆定义有

，

中点

，所以

到右准线距离为

，于是

，则

到左准线距离为

，

思考：

，所求椭圆方程为

．

22

1．方程2(x1)(y1)|xy2|表示什么曲线？

(x1)2(y1)222

解：1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比

2|xy2|2

2

常数（且该常数小于1）方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

解法一：e

c35

，设Pi的横坐标为xi，则xi5i不妨设其焦点为左焦点 a54

|PiF|a2353c3

由e得|PiF|e(xi)aexi5(5i)2i

c544da5

3

|P1F||P2F||P7F|27(127)35

4

解法二：由题意可知P1和P7关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知

|P1F||P7F|2a，同理可知|P2F||P6F|2a，|P3F||P5F|2a，|P4F|a

故|P1F||P2F||P7F|7a35 板书设计：

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

x2y2

性质一：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan。

2(2c)2F1F2

2



PF1PF22PF1PF2cos

22

(PF1PF2)22PF1PF2(1cos)

PF1PF2

(PF1PF2)24c2

2(1cos)

4a24c22b2 2(1cos)1cos

SF1PF2

1b2PF1PF2sinsinb2tan 21cos2

x2y2

性质二：已知椭圆方程为221(ab0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1aexo，PF1aexo 在F1PF2中，cos

PF1PF1F1F2

2PF1PF2

222



(PF1PF2)22PF1PF24c2

2PF1PF2

4a24c24b22b2

11=21 2

2PF1PF22(aexo)(aexo)ae2xo

2

a2 ax0a xo

x2y2

性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2中F1PF2,则cos12e2.

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c22a22c2

1 cos

2r1r22r1r22r1r2

2

2a22c22a22c22

1112e. 命题得证。 2

r1r222a2()

2

x2y2

（2000年高考题）已知椭圆221(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在

ab

一点P,使得F1PF2120,求椭圆的离心率e的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos12012e.即

2

1

12e2 , 2



,1于是得到e的取值范围是. 2

x2y2

性质四：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2，PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e

PF1F2,PF2F1,

由正弦定理得：

sin()

。

sinsin

F1F2

sin(180o)





PF2sin



PF1sin

由等比定理得：

F1F2sin()

PF1PF2sinsin

，

而

F1F2sin()

2csin()

PF1PF2sinsin



2asinsin

∴

e

csin()

。 

asinsin

已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．

解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜

x2y2

∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝3 ∴椭圆的方程为＝1． 43

(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ

1sin(180o)1

椭圆的离心率e 则oo

2sin120sin(60)2

sinsin(60o)2

，

整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)

3

3sin553． ∴故tan，tanF1PF2＝tanθ＝

31cos51125125

2

2.3双曲线

2．2．1 双曲线及其标准方程

◆ 知识与技能目标

理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．

◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集PMMF1MF22a． （ii）双曲线标准方程的推导过程

提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．

类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．



y2x2

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程221a0,b0．

ba

（iii）例题讲解、引申与补充

例1 已知双曲线两个焦点分别为F15,0，F25,0，双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．

补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：① 与⊙C：x2y2内切，且过

2

2

点A2,0；② 与⊙C1：xy11和⊙C2：xy14都外切；③ 与⊙C1：

2

2

22

x3

2

y29外切，且与⊙C2：x3y21内切．

2

解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆

M的半径为r．

① ∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C

外，∴MCr

，MA

r，因此有

MAMCM的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程

2y2

是2x1x；

7

2

② ∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切，∴MC1r1，MC2r2，因此有

MC2MC11，∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，∴M的轨迹方程

2

3； 是4y24x1

y34



③ ∵M与C1外切，且M与C2内切，∴MC1r3，MC2r1，因

此MC1MC24，∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，∴M的轨迹

x2y2

方程是1x2．

45

例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速

为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．

扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为

． 340m/s；相关点均在同一平面内）

解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．

如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A1020,0，

B1020,0，C0,1020．

设Px,y为巨响发生点，∵A、C同时听到巨响，∴OP所在直线为yx„„①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，∴PBPA43401360m．由双曲线定义知，

5∴P点在双曲线方程为a680，c1020，

∴b3，

x2y2

1x680„„②．联立①、②求出P点坐标

为680253402P

68

5,05处． ．即巨响在正西北方向

探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为现？

探究方法：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是

4

，求点M的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发9

4

，因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的9

轨迹方程．

◆ 情感、态度与价值观目标

通过课件（a）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面

所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图

形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量b

思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力．

◆能力目标

（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例

子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第60页1、2、3、 作业：第66页1、2、

2．2．2 双曲线的简单几何性质

◆ 知识与技能目标

了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．

◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程

引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过P56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小

和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）双曲线的简单几何性质

y2x2

①范围：2210，进一步得：xa，或xa．这

ba

说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

x2y2b

④渐近线：直线yx叫做双曲线221的渐近线；

aab

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e（iii）例题讲解与引申、扩展

例3 求双曲线9y16x144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是y

2

2

c

叫做双曲线的离心率（e1）． a

a

x． b

x2y2



1共渐近线，且经过A3点的双曲线的标准方及离扩展：求与双曲线

169



心率．

x2y231的渐近线方程为yx．①焦点在x轴上时，设所求解法剖析：双曲线

1694x2y212

A31的双曲线为，

∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在k22

416k9k



x2y212

A1设所求的双曲线为，

∵点在双曲线上，∴，ky轴上时，

416k29k2



y2x25

1，离心率e．这个要进行分类讨论，但只因此，所求双曲线的标准方程为9434x2y2

mmR,m0．有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为 169

例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为

x2y2

21，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直2ab

角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注

意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知AP150m，BP100m，

BC60m，APB60．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”

线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．

解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，即BMAMAPBP50（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的

左

支

上

的

一

部

分

，

容

易

“

等

距

离

”

线

方

程

为

x2y2135x25,0y60．理由略． 6253750

例5 如图，设Mx,y与定点F5,0的距离和它到直线l：x

16

的距离的比是常数5

5

，求点M的轨迹方程． 4

分析：若设点Mx,y，则

MF

，到直线l：x

16

的距离5

dx

16

，则容易得点M的轨迹方程． 5

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线

a2

若点Mx,y与定点Fc,0的距离和它到定直线l：x的距离比是常数

c

e

c

ca0，则点M的轨迹方程是双曲线．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：a

a2a2x相应于F的准线；另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：x．

cc

◆ 情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探

究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问

题和解决问题的能力．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6

补充： 3.课题:双曲线第二定义

教学目标：

1．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。 2．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。

教学重点：双曲线的第二定义

教学难点：双曲线的第二定义及应用.

教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义） 教学过程： 一、复习引入：

1、 （1）、双曲线的定义：平面上到两定点F1、F2距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）

的点的

轨迹叫做双曲线.定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

(2)、双曲线的标准方程：

x2y2y2x2

焦点在x轴：221 (a0,b0) 焦点在y轴：221 (a0,b0)其中

abab

a2b2c2

2、 对于焦点在x轴上的双曲线的有关性质：

bcx；（3）、离心率：e>1 aa

3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。（板书课题：双曲线第二定义）

（1）、焦点：F1(-c,0),F2(c,0)；(2)、渐近线:y

二、新课教学：

1、引例(课本P64例6)：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线l:

x比是常数

16

的距离之5

,求点M的轨迹方程. 4

分析：利用求轨迹方程的方法。

解:设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M|

|MF|d即

5x2y2

 化简得1

4169所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。

a216

由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线l:x为x,

c5

常数为离心率e

c

>1. a

[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线

a2c

的距离之比是常数e1,求点M的轨迹方程。 l:xca

解：设d是点M到直线l的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M|

|MF|5

}, d4

即

2

2



c22222222

化简得(ca)xaya(ca)两边同时除以a

x2y2

a(ca)得221(其中a0,b0)

ab

2

2、小结：

a2

双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线l:x的

c

距离之比是常数e

c

1时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线a

a2

的一个焦点，定直线l:x叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上

c

任一点到焦点的线段称为焦半径。例如PF是双曲线的焦半径。

（P65思考）与椭圆的第二定义比较,你有什么发现？（让学生讨论）

答：只是常数e的取值范围不同，椭圆的0e

cc

1,而双曲线的e1.

aa

三、课堂练习

x2y2

1． 求1的准线方程、两准线间的距离。

34

x2y2

解:由；

1可知,焦点在x轴上,

且c

:x34(.

72、(2006年广东高考第8题选择题)已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右

焦点

的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。

(A) 2

(B)

3

3

(C) 2

(D) 4

解：

x2y2

1上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿3、如果双曲线

25144

＿＿

解： P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知a=5，b=12，c=13，e

c13 a5

a22591345 根据双曲线第二定义得,em准线方程为x c13m513

又两准线间的距离为

252550

()[1**********]5

P到右准线的距离为 。

131313

a2a21c2c

()2c即23,又e1

所以e 解：由题意可知，cc3aa

4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e.

x2y2

5. 双曲线的221 a＞0，b＞0渐近线与一条准线围成的三角形的面积

ab

是 .

a2a2b

解:由题意可知,一条准线方程为:x,渐近线方程为yx 因为当x时

cca

ba2ab1ababa2a3b

y 所以所求的三角形面积为: [()]2

acc2cccc

四、巩固练习：

1．已知双曲线

x2a

2



y2b

2

= 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A，△OAF

a2面积为（O为原点），则两条渐近线夹角为（ ）

2

A．30° B．45° C．60° D．90°

ba2ab

解：由题意可得，△OAF 的底边|OC|=c,高h= S△

acc

1aba2

cab因此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为OAF=

2c2

90°。

y21

2.已知点（ A3，1）、F（2，0）,在双曲线x1上求一点P，使得PAPF的值最小，并求出最小值。

32

1

分析：本题的关键是利用双曲线的第二定义将PAPF22

解：由题意得e2，设点P到右准线的距离为d，

1PF1

2PFd 即PAPFPA2d2

3结合图形得:最小值为：

a2c



52

,这时P为：（

3

1）。

c

五、教学反思：

(1) 知识内容：双曲线的第二定义及应用。 (2) 数学方法:类比法，

(3) 数学思想: 从特殊到一般

六、作业：

1、双曲线2mxm y 2的一条准线是y=1,则m的值。

2、求渐近线方程是4x3y0,准线方程是5y160的双曲线方程．

3、已知双曲线的离心率为2,准线方程为y2x,焦点F(2,0),求双曲线标准方程. 4、(请你编题)若双曲线标准方程为＿＿上一点p到(左,右)焦点的距离是＿＿＿则点p到(左, 右)准线的距离＿＿＿. 七、板书设计

22

2.4抛物线

一 教学设想 1 2． 3 1抛物线及标准方程

（1） 教具的准备

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.

通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义． （2） 抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案

方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作

MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)． （3） 例题讲解与引申 教材中选取了2个例题，例1是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。例2是应用方面的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。 2 2。 3 2 抛物线的几何性质

（1） 抛物线的几何性质

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．

(二)几何性质

怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．

（2） 例题的讲解与引申

例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P(x0，

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．

(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p 例4涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．

附 教学教案

2.4.1抛物线及标准方程

知识与技能目标

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

过程与方法目标

情感，态度与价值观目标

（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。 （2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

（1） 复习与引入过程

回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

（3） 新课讲授过程

（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义

《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. (ii) 抛物线标准方程的推导过程

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(iii)例题讲解与引申

例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程

已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程

解 因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2

因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8y

例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76

所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）

练习：第72页1、2、3、 作业：第78页1、2、3、4、

2.4.2 抛物线的几何性质

知识与技能目标

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质． 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力

过程与方法目标

复习与引入过程

1．抛物线的定义是什么？

请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”

2．抛物线的标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质

（2）新课讲授过程 （i）抛物线的几何性质

通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？ 学生和教师共同小结：

(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线． (2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了

（ii）例题讲解与引申

．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的

距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方

因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x．

又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．

证明：

(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．

或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2． 综合上述有y1y2=-p2

又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，

练习：第78页：1、2、3、4、 作业：5、6、7

第二章 圆锥曲线与方程

2.1曲线与方程

2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程

一、教学目标 (一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力． (三)学科渗透点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．

(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

的精神．

三、教学过程 学生探究过程： (一)复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM，

则OM⊥AM． ∵kOM²kAM=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0

)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程． 分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0

∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根． ∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由学生完成

)

由弦长公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)巩固练习

用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出． 1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的

2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． 答案：

义法

)

由中点坐标公式得：

(四)、教学反思

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍． 五、布置作业

1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程． 2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．

3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：

1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4

2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线

六、板书设计

2.2 椭 圆

2.2.1椭圆及其标准方程

◆ 知识与技能目标

理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

◆ 过程与方法目标

（1）预习与引入过程

当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a．

（ii）椭圆标准方程的推导过程

提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．



y2x2

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程221ab0．

ab

（iii）例题讲解与引申

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

53

,，求它的22

x2y253

另解：设椭圆的标准方程为221ab0，因点,在椭圆上，

ab22925a1

则4a24b2． a2b24b

例2 如图，在圆xy4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

分析：点P在圆xy4上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．

2

2

22

x2y2

引申：设定点A6,2，P是椭圆1上动点，求线段AP中点M的轨迹方

259

程．

解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设Mx,y，Px1,y1；②（点与伴随点的关系）∵M为线段AP的中点，∴

x12x6

；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵

y12y2

2

2

x3y11x12y12

；④伴随轨迹表示的范围． 1，∴点M的轨迹方程为

2594259

例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为

4

，求点M的轨迹方程． 9

分析：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是的关系式，即得到点M的轨迹方程．

解法剖析：设点M,x

4

，因此，可以求出x,y之间9

y

x5，x5

y，

则kAM

y

x5； x5

yy4

代入点M的集合有，化简即可得点M的轨迹方程．

x5x59kBM

引申：如图，设△ABC的两个顶点Aa,0，Ba,0，顶点C在移动，且

kACkBCk，且k0，试求动点C的轨迹方程．

引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

◆ 情感、态度与价值观目标

通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是

因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角

坐标系的两个原则，及引入参量b

数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．

◆能力目标

（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和

抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、

2．1．2 椭圆的简单几何性质

◆ 知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意

通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质

y2x2

①范围：由椭圆的标准方程可得，2120，进一步得：axa，同理

ba

可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭

圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e

c

叫做椭圆的离心率（0e1），a

，b当e1时，ca，

圆图形越扁椭

0

当e0时，c0，ba

； ． 椭圆越接近于圆

（iii）例题讲解与引申、扩展

例4 求椭圆16x25y400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量． 扩展：已知椭圆mx5y5mm

0的离心率为e

2

2

22

m的值． 解法剖析：依题意，m0,m5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：

①当焦点在x轴上，即0m

5时，有abc



，

得m3；②当焦点在y轴上，即m5时，

有ab,c，

∴



25m． 53

例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BCF1F2，

F1B2.8cm，F1F24.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

x2y2

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为221，算出a,b,c的

ab

值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

例6如图，设Mx,y与定点F4,0的距离和它到直线l：x

25

的距离的比是常数4

4

，求点M的轨迹方程． 5

分析：若设点Mx,y，则

MF

，到直线l：x25

的距离4

dx

25

，则容易得点M的轨迹方程． 4

引申：（用《几何画板》探究）若点Mx,y与定点Fc,0

a2的距离和它到定直线l：x的距离比是常数

c

a2c

x则点M的轨迹方程是椭圆．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：eac0，

caa2

相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：x．

c

◆ 情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立

直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问

题和解决问题的能力．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径． 练习：第52页1、2、3、4、5、6、7 作业：第53页4、5

补充： 1.课题:双曲线第二定义

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.

教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

的精神．

教学过程： 学生探究过程：复习回顾

1．椭圆9xy81的长轴长为，半焦距为62，离心率为

2

2

22

，3

焦点坐标为(0,62)，顶点坐标为(0,9)(3,0)，（准线方程为y

272

）. 4

2．短轴长为8，离心率为

3

的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B5

两点，则ABF2的周长为引入课题

x2y2

1，M1，M2为椭圆上的点 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为

2516

① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .

② 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？

1691342y02

 1代入消去y0得|MF|解：|MF|(43)y且

2552516

2

2

2

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示成

ab

点M横坐标x的函数吗？

解：

|MF|(xc)2y2



x2y2

221

ba

2

2

2

代入消去

y2

得

b22c

|MF|x2cxcb2x(xa)2

aa

cca2a2|xa||x|e|x| aacc

问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

a2c椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于离心率

ca

问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

a2c

动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于常数(ac)的点的

ca

轨迹是椭圆．

【引出课题】椭圆的第二定义

c

这(0e1)时，

a

个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．

当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e

x2y2a2对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x．根据对称性，相应于焦

caby2x2a2a2

点F(c,0)的准线方程是x．对于椭圆221的准线方程是y．

ccab

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义

|MF|

e可得：右焦半径公式为d

a2a2

|MF右|ede|x|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x()|aex

cc

典型例题

x2y2

1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 例1、求椭圆

2516

a2a2

解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(c,0)和左准线x

cc

变式：求椭圆9xy81方程的准线方程；

2

2

y2x2a2272

1，故其准线方程为y解：椭圆可化为标准方程为： c4819

小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

x2y2

1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离例2、椭圆

2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2由椭圆的第二定义可知：

|MF1|c3|MF|3

e|MF1|1.5 e|MF1|ed12.51.5d1a5d5

又由椭的第一定义可知：|MF1||MF2|2a10|MF2|8.5

a250585

另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为2 2.5

c326

|MF2|385

e|MF2|ed28.5 d256

小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用

例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x8的距离的比是1：2，求点P的轨

迹；

(x2)2y21x2y2

由化简得1，解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

|x8|21612

故所的轨迹是椭圆。

a2

解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以x8解得a4，又因

cx2y2c1

1 为e故所求的轨迹方程为

1612a2

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨

迹； 分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？

解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

(x2)2y21

由化简得

|x5|2

(x1)2y2

3x6x4y90配方得1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）

43

2

2

a2

5解得a210，故解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y2

1 所求的轨迹方程为106

x2y2(x1)2y2

问题1：求出椭圆方程1和1的长半轴长、短半轴长、半焦距、

4343

离心率；

x2y2(x1)2y2

问题2：求出椭圆方程1和1长轴顶点、焦点、准线方程；

4343x2y2(x1)2y2

解：因为把椭圆1向右平移一个单位即可以得到椭圆1所以问题

4343

1中的所有问题均不变，均为a3,b

3,c1,e

c1

 a2

x2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2,0)，(1,0)x4； 43

(x1)2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(21,0)，(11,0)x41；

43

反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e

c21

另一方面离心率就等于这是两上矛盾

a2的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；

解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。 例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l； 过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知d

d1d2

2

又由椭圆的第二定义可知

|AF||BF|

ee即|AF||BF|e(d1d2) d1d2

又

dd2|AB||AB||AF||BF|

且0e1d故直线与圆相离 e1

2222

x2y2

1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求例5、已知点M为椭圆

2516

5

|MA||MF1|的最小值

3

5

分析：应如何把|MF1|表示出来

3

a225

解：左准线l1：x，作MDl1于点D，记d|MD|

c3

由第二定义可知：

|MF1|c335

e ⇒ |MF1|d ⇒ d|MF1| da553

故有|MA|

5

|MF1||MA|d|MA||MD| 3

25 3

所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1即|MA|

528|MF1|的最小值是

33

变式1：3|MA|5|MF1|的最小值； 解：3|MA|5|MF1|3(|MA|

528|MF1|)328 33

3

|MA||MF1|的最小值； 533532828解：|MA||MF1|(|MA||MF1|) 

553535

变式2：

巩固练习

1．已知

是椭圆

的距离为_____________．

上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2

教学反思

1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；

3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业

1.例题5的两个变式；

2. 已知

，

为椭圆

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

的中点到椭圆左准线的距离是

，试确定椭圆的方程．

解：由椭圆方程可知

、两准线间距离为

．设

，

到右准线距离分别为

，

，由椭圆定义有

，

中点

，所以

到右准线距离为

，于是

，则

到左准线距离为

，

思考：

，所求椭圆方程为

．

22

1．方程2(x1)(y1)|xy2|表示什么曲线？

(x1)2(y1)222

解：1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比

2|xy2|2

2

常数（且该常数小于1）方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

解法一：e

c35

，设Pi的横坐标为xi，则xi5i不妨设其焦点为左焦点 a54

|PiF|a2353c3

由e得|PiF|e(xi)aexi5(5i)2i

c544da5

3

|P1F||P2F||P7F|27(127)35

4

解法二：由题意可知P1和P7关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知

|P1F||P7F|2a，同理可知|P2F||P6F|2a，|P3F||P5F|2a，|P4F|a

故|P1F||P2F||P7F|7a35 板书设计：

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

x2y2

性质一：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan。

2(2c)2F1F2

2



PF1PF22PF1PF2cos

22

(PF1PF2)22PF1PF2(1cos)

PF1PF2

(PF1PF2)24c2

2(1cos)

4a24c22b2 2(1cos)1cos

SF1PF2

1b2PF1PF2sinsinb2tan 21cos2

x2y2

性质二：已知椭圆方程为221(ab0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1aexo，PF1aexo 在F1PF2中，cos

PF1PF1F1F2

2PF1PF2

222



(PF1PF2)22PF1PF24c2

2PF1PF2

4a24c24b22b2

11=21 2

2PF1PF22(aexo)(aexo)ae2xo

2

a2 ax0a xo

x2y2

性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2中F1PF2,则cos12e2.

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c22a22c2

1 cos

2r1r22r1r22r1r2

2

2a22c22a22c22

1112e. 命题得证。 2

r1r222a2()

2

x2y2

（2000年高考题）已知椭圆221(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在

ab

一点P,使得F1PF2120,求椭圆的离心率e的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos12012e.即

2

1

12e2 , 2



,1于是得到e的取值范围是. 2

x2y2

性质四：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2，PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e

PF1F2,PF2F1,

由正弦定理得：

sin()

。

sinsin

F1F2

sin(180o)





PF2sin



PF1sin

由等比定理得：

F1F2sin()

PF1PF2sinsin

，

而

F1F2sin()

2csin()

PF1PF2sinsin



2asinsin

∴

e

csin()

。 

asinsin

已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．

解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜

x2y2

∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝3 ∴椭圆的方程为＝1． 43

(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ

1sin(180o)1

椭圆的离心率e 则oo

2sin120sin(60)2

sinsin(60o)2

，

整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)

3

3sin553． ∴故tan，tanF1PF2＝tanθ＝

31cos51125125

2

2.3双曲线

2．2．1 双曲线及其标准方程

◆ 知识与技能目标

理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．

◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集PMMF1MF22a． （ii）双曲线标准方程的推导过程

提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．

类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．



y2x2

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程221a0,b0．

ba

（iii）例题讲解、引申与补充

例1 已知双曲线两个焦点分别为F15,0，F25,0，双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．

补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：① 与⊙C：x2y2内切，且过

2

2

点A2,0；② 与⊙C1：xy11和⊙C2：xy14都外切；③ 与⊙C1：

2

2

22

x3

2

y29外切，且与⊙C2：x3y21内切．

2

解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆

M的半径为r．

① ∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C

外，∴MCr

，MA

r，因此有

MAMCM的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程

2y2

是2x1x；

7

2

② ∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切，∴MC1r1，MC2r2，因此有

MC2MC11，∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，∴M的轨迹方程

2

3； 是4y24x1

y34



③ ∵M与C1外切，且M与C2内切，∴MC1r3，MC2r1，因

此MC1MC24，∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，∴M的轨迹

x2y2

方程是1x2．

45

例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速

为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．

扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为

． 340m/s；相关点均在同一平面内）

解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．

如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A1020,0，

B1020,0，C0,1020．

设Px,y为巨响发生点，∵A、C同时听到巨响，∴OP所在直线为yx„„①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，∴PBPA43401360m．由双曲线定义知，

5∴P点在双曲线方程为a680，c1020，

∴b3，

x2y2

1x680„„②．联立①、②求出P点坐标

为680253402P

68

5,05处． ．即巨响在正西北方向

探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为现？

探究方法：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是

4

，求点M的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发9

4

，因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的9

轨迹方程．

◆ 情感、态度与价值观目标

通过课件（a）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面

所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图

形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量b

思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力．

◆能力目标

（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例

子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第60页1、2、3、 作业：第66页1、2、

2．2．2 双曲线的简单几何性质

◆ 知识与技能目标

了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．

◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程

引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过P56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小

和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）双曲线的简单几何性质

y2x2

①范围：2210，进一步得：xa，或xa．这

ba

说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

x2y2b

④渐近线：直线yx叫做双曲线221的渐近线；

aab

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e（iii）例题讲解与引申、扩展

例3 求双曲线9y16x144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是y

2

2

c

叫做双曲线的离心率（e1）． a

a

x． b

x2y2



1共渐近线，且经过A3点的双曲线的标准方及离扩展：求与双曲线

169



心率．

x2y231的渐近线方程为yx．①焦点在x轴上时，设所求解法剖析：双曲线

1694x2y212

A31的双曲线为，

∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在k22

416k9k



x2y212

A1设所求的双曲线为，

∵点在双曲线上，∴，ky轴上时，

416k29k2



y2x25

1，离心率e．这个要进行分类讨论，但只因此，所求双曲线的标准方程为9434x2y2

mmR,m0．有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为 169

例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为

x2y2

21，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直2ab

角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注

意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知AP150m，BP100m，

BC60m，APB60．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”

线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．

解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，即BMAMAPBP50（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的

左

支

上

的

一

部

分

，

容

易

“

等

距

离

”

线

方

程

为

x2y2135x25,0y60．理由略． 6253750

例5 如图，设Mx,y与定点F5,0的距离和它到直线l：x

16

的距离的比是常数5

5

，求点M的轨迹方程． 4

分析：若设点Mx,y，则

MF

，到直线l：x

16

的距离5

dx

16

，则容易得点M的轨迹方程． 5

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线

a2

若点Mx,y与定点Fc,0的距离和它到定直线l：x的距离比是常数

c

e

c

ca0，则点M的轨迹方程是双曲线．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：a

a2a2x相应于F的准线；另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：x．

cc

◆ 情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探

究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问

题和解决问题的能力．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决

问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6

补充： 3.课题:双曲线第二定义

教学目标：

1．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。 2．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。

教学重点：双曲线的第二定义

教学难点：双曲线的第二定义及应用.

教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义） 教学过程： 一、复习引入：

1、 （1）、双曲线的定义：平面上到两定点F1、F2距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）

的点的

轨迹叫做双曲线.定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

(2)、双曲线的标准方程：

x2y2y2x2

焦点在x轴：221 (a0,b0) 焦点在y轴：221 (a0,b0)其中

abab

a2b2c2

2、 对于焦点在x轴上的双曲线的有关性质：

bcx；（3）、离心率：e>1 aa

3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。（板书课题：双曲线第二定义）

（1）、焦点：F1(-c,0),F2(c,0)；(2)、渐近线:y

二、新课教学：

1、引例(课本P64例6)：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线l:

x比是常数

16

的距离之5

,求点M的轨迹方程. 4

分析：利用求轨迹方程的方法。

解:设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M|

|MF|d即

5x2y2

 化简得1

4169所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。

a216

由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线l:x为x,

c5

常数为离心率e

c

>1. a

[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线

a2c

的距离之比是常数e1,求点M的轨迹方程。 l:xca

解：设d是点M到直线l的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M|

|MF|5

}, d4

即

2

2



c22222222

化简得(ca)xaya(ca)两边同时除以a

x2y2

a(ca)得221(其中a0,b0)

ab

2

2、小结：

a2

双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线l:x的

c

距离之比是常数e

c

1时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线a

a2

的一个焦点，定直线l:x叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上

c

任一点到焦点的线段称为焦半径。例如PF是双曲线的焦半径。

（P65思考）与椭圆的第二定义比较,你有什么发现？（让学生讨论）

答：只是常数e的取值范围不同，椭圆的0e

cc

1,而双曲线的e1.

aa

三、课堂练习

x2y2

1． 求1的准线方程、两准线间的距离。

34

x2y2

解:由；

1可知,焦点在x轴上,

且c

:x34(.

72、(2006年广东高考第8题选择题)已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右

焦点

的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。

(A) 2

(B)

3

3

(C) 2

(D) 4

解：

x2y2

1上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿3、如果双曲线

25144

＿＿

解： P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知a=5，b=12，c=13，e

c13 a5

a22591345 根据双曲线第二定义得,em准线方程为x c13m513

又两准线间的距离为

252550

()[1**********]5

P到右准线的距离为 。

131313

a2a21c2c

()2c即23,又e1

所以e 解：由题意可知，cc3aa

4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e.

x2y2

5. 双曲线的221 a＞0，b＞0渐近线与一条准线围成的三角形的面积

ab

是 .

a2a2b

解:由题意可知,一条准线方程为:x,渐近线方程为yx 因为当x时

cca

ba2ab1ababa2a3b

y 所以所求的三角形面积为: [()]2

acc2cccc

四、巩固练习：

1．已知双曲线

x2a

2



y2b

2

= 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A，△OAF

a2面积为（O为原点），则两条渐近线夹角为（ ）

2

A．30° B．45° C．60° D．90°

ba2ab

解：由题意可得，△OAF 的底边|OC|=c,高h= S△

acc

1aba2

cab因此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为OAF=

2c2

90°。

y21

2.已知点（ A3，1）、F（2，0）,在双曲线x1上求一点P，使得PAPF的值最小，并求出最小值。

32

1

分析：本题的关键是利用双曲线的第二定义将PAPF22

解：由题意得e2，设点P到右准线的距离为d，

1PF1

2PFd 即PAPFPA2d2

3结合图形得:最小值为：

a2c



52

,这时P为：（

3

1）。

c

五、教学反思：

(1) 知识内容：双曲线的第二定义及应用。 (2) 数学方法:类比法，

(3) 数学思想: 从特殊到一般

六、作业：

1、双曲线2mxm y 2的一条准线是y=1,则m的值。

2、求渐近线方程是4x3y0,准线方程是5y160的双曲线方程．

3、已知双曲线的离心率为2,准线方程为y2x,焦点F(2,0),求双曲线标准方程. 4、(请你编题)若双曲线标准方程为＿＿上一点p到(左,右)焦点的距离是＿＿＿则点p到(左, 右)准线的距离＿＿＿. 七、板书设计

22

2.4抛物线

一 教学设想 1 2． 3 1抛物线及标准方程

（1） 教具的准备

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.

通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义． （2） 抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案

方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作

MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)． （3） 例题讲解与引申 教材中选取了2个例题，例1是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。例2是应用方面的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。 2 2。 3 2 抛物线的几何性质

（1） 抛物线的几何性质

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．

(二)几何性质

怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．

（2） 例题的讲解与引申

例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P(x0，

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．

(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p 例4涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．

附 教学教案

2.4.1抛物线及标准方程

知识与技能目标

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

过程与方法目标

情感，态度与价值观目标

（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。 （2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

（1） 复习与引入过程

回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

（3） 新课讲授过程

（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义

《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. (ii) 抛物线标准方程的推导过程

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(iii)例题讲解与引申

例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程

已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程

解 因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2

因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8y

例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76

所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）

练习：第72页1、2、3、 作业：第78页1、2、3、4、

2.4.2 抛物线的几何性质

知识与技能目标

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质． 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力

过程与方法目标

复习与引入过程

1．抛物线的定义是什么？

请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”

2．抛物线的标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质

（2）新课讲授过程 （i）抛物线的几何性质

通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？ 学生和教师共同小结：

(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线． (2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了

（ii）例题讲解与引申

．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的

距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方

因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x．

又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．

证明：

(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．

或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2． 综合上述有y1y2=-p2

又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，

练习：第78页：1、2、3、4、 作业：5、6、7