传热学总复习
一、概念
1．热流量：单位时间内所传递的热量，单位？
2．热流密度：单位传热面上的热流量，单位？
3．时间常数：采用集总参数法分析时，物体中过余温度随时间变化的关系式中的ρcV /(hA ) 具有时间的量纲，称为时间常数。
时间常数的数值越小表示测温元件越能迅速地反映流体的温度变化。
4．毕渥数：Bi =h δ
λ=δ/λ
1/h
a τ=物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻5．傅里叶数F o ：：Fo =
6．Nu, Re, Pr, Gr准数： δ2, 是非稳态导热过程的无量纲时间
Nu =
Re =
Pr =hl λul ，表征壁面法向无量纲过余温度梯度的大小，由此梯度反映对流换热的强弱； ，表征流体流动时惯性力与粘滞力的相对大小，Re 的大小能反映流态； νν
a ，物性准则，反映了流体的动量传递能力与热量传递能力的相对大小；
Gr =g ∆t αl 3
ν2，表征浮升力与粘滞力的相对大小，Gr 表示自然对流流态对换热的影响。
7．对流传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K 是的对流传热量，单位为W ／(m2·K) 。对流传热系数表示对流传热能力的大小。
8．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
9．热导率（导热系数）：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K／m 的温度梯度作用下产生的热流密度。热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。导热系数的变化规律？
10．导温系数（热扩散系数）：材料传播温度变化能力大小的指标。
11．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
12．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
13．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
14．保温(隔热) 材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时) 的材料。
15．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
16．定解条件(单值性条件) ：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
17. 速度边界层：在流场中壁面附近流速发生急剧变化的薄层。如何量化？
1
18. 温度边界层：在流体温度场中壁面附近温度发生急剧变化的薄层。如何量化？
19．吸收比：投射到物体表面的热辐射中被物体所吸收的比例。
20．反射比：投射到物体表面的热辐射中被物体表面所反射的比例。
21．黑体：吸收比α= 1的物体。
22．白体：反射比ρ=l的物体(漫射表面)
23．灰体：光谱吸收比与波长无关的理想物体。
24．黑度：实际物体的辐射力与同温度下黑体辐射力的比值，即物体发射能力接近黑体的程度。
25．辐射力：单位时间内物体的单位辐射面积向外界(半球空间) 发射的全部波长的辐射能。
26．角系数：从表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数。角系数的特点？
27. 斯蒂芬-波尔茨曼定律？
28. 普朗克定律？
29. 兰贝特定律？
30. 基尔霍夫定律（基希霍夫定律）？
31. 沸腾传热需要的条件？
32. 大容器的饱和沸腾曲线区域？
33. 对流传热的研究方法？
34. 内部强制对流实验关联式？
35. 外部强制对流实验关联式？
36. 大空间自然对流实验关联式？
37. 膜状冷凝的影响因素？
38. 电磁波波谱对辐射传热的影响？
39. 两个漫灰表面组成的封闭系统辐射传热计算？
40. 应用隔热板隔热原理
二、填空
三、选择
四、简答
1. 导热系数λ与热扩散系数a （又称为导温系数）之间有什么区别和联系。
答：导温系数与导热系数成正比关系(a=λ/ρc) ，但导温系数不但与材料的导热系数有关，还与材料的热容量(或储热能力) 也有关；
从物理意义看，导热系数表征材料导热能力的强弱，导温系数表征材料传播温度变化的能力的大小，两者都是物性参数。
2. 一维平板非稳态无内热源常导热系数导热问题的导热微分方程表达式。
答：导热微分方程的基本形式为：
∂t ∂∂t ∂∂t ∂∂t ρc =(λ) +(λ) +(λ) +Φ ∂τ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
无内热源、导热系数为常数时，非稳态导热微分方程为：
2
222∂t ∂t ∂t ∂t =a (2+2+2) ∂τ∂x ∂y ∂z
一维平板非稳态导热微分方程为：
λ ∂t ∂2t a ==a 2 ρc ∂τ∂x
平板两侧都为第一类边界条件为： x =0, t =t w 1
x =δ, t =t w 2
平板两侧一侧为第一类边界条件，另一侧为第二类边界条件为：
x =0, t =t w 1x =δ, -λ∂t =q w ∂x
3. 试说明集总参数法的物理概念？
答：当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，即当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力，内部由于热阻很小因而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数。
4. 什么叫时间常数τc ？试分析测量恒定的流体温度时τc 对测量准确度的影响。 ττc =答：ρcV
hA , 具有时间的量纲，称为时间常数，c 数值上等于过余温度为初始过余温度的36.8%时所经历的时间。τc 越小，表示物体热惯性越小，到达流体温度的时间越短。测温元件的时间常
τc 越小，准确度越数大小对恒温流体的测量准确度没有影响，对变温流体的测量准确度有影响，
高。
5. 温度计套管测量流体温度时如何提高测温精度。
答：温度计套管可以看作是一根吸热的管状肋(等截面直肋) ，利用等截面直肋计算肋端温度t h 的结果，可得采用温度计套管后造成的测量误差Δt 为Δt=tf -t h =t f -t 0m H =hP H =λA h H ，欲使测量误差Δt 下降，可以采用以下几种措施： ，其中ch (m H )
λδ
(1)降低壁面与流体的温差(tf -t 0) ，也就是想办法使肋基温度t 0接近t f ，可以通过对流体 通道的外表面采取保温措施来实现；
(2)增大(mH)值，使分母ch(mH)增大。具体可以用以下手段实现：a ）增加H ，延长温度计套管的 3
长度；b ）减小λ，采用导热系数小的材料做温度计套管，如采用不锈钢管，不要用铜管。因为不锈钢的导热系数比铜和碳钢小；c ）降低δ，减小温度计套管的壁厚，采用薄壁管；d ）提高h 增强温度计套管与流体之间的热交换。)
参考教材page
6. 用热电偶测定气流的非稳态温度场时，怎样才能改善热电偶的温度响应特性？
答：要改善热电偶的温度响应特性可采取以下措施：
1）尽量降低热电偶的时间常数；2）在形状上要降低热电偶的体积与面积之比；3）选择热容小的材料；4）强化热电偶表面的对流换热。
7. 强化管内强迫对流传热的方法
答：1）增加平均温度差，如采取逆流换热
2）增加换热面积
3）增加流体流速，增加流体扰动
4）减小污垢热阻
5）采用导热系数大的材料
8. 不凝性气体影响膜状凝结传热的原因？
答：(1)含有不凝性气体的蒸汽凝结时在液膜表面会逐渐积聚起不凝性气体层，将蒸汽隔开，蒸汽凝结必须穿过气层，使换热热阻大大增加；(2)随着蒸汽的凝结，液膜表面气体分压增大，使凝结蒸汽的分压降低，液膜表面蒸汽的饱和温度降低，减少了有效冷凝温差，削弱了凝结换热。
9. 试用传热原理说明冬天可以用玻璃温室种植热带植物的原理？
答：可以从可见光、红外线的特性和玻璃的透射比来加以阐述。
玻璃在日光(短波辐射) 下是一种透明体，透过率在90％以上，使绝大部分阳光可以透过玻璃将温室内物体和空气升温。
室内物体所发出的辐射是一种长波辐射——红外线，对于长波辐射玻璃的透过率接近于零，几乎是不透明(透热) 的，因此，室内物体升温后所发出的热辐射被玻璃挡在室内不能穿过。玻璃的这种辐射特性，使室内温度不断升高。
11. 玻璃可以透过可见光，为什么在工业热辐射范围内可以作为灰体处理?
答：可以从灰体的特性和工业热辐射的特点论述。
4
所谓灰体是针对热辐射而言的，灰体是指吸收率与波长无关的物体。在红外区段，将大多数实际物体作为灰体处理所引起的误差并不大，一般工业热辐射的温度范围大多处于2000K 以下，因此其主要热辐射的波长位于红外区域。许多材料的单色吸收率在可见光范围内和红外范围内有较大的差别，如玻璃在可见光范围内几乎是透明的，但在工业热辐射范围内则几乎是不透明的，并且其光谱吸收比与波长的关系不大，可以作为灰体处理。
12. 为什么说大气中的C02含量增加会导致温室效应?
答：CO 2气体具有相当强的辐射和吸收能力，属于温室气体。根据气体辐射具有选择性的特点，CO 2气体的吸收光带有三段：2.65-2.8、4.15-4.45、13.0-17.0μm ，主要分布于红外区域。太阳辐射是短波辐射，波长范围在0.38-0.76μm ，因此，对于太阳辐射CO 2气体是透明的，能量可以射入大气层。而地面向空间的辐射是长波辐射，主要分布于红外区域，这部分辐射在CO 2气体的吸收光带区段，CO 2气体会吸收能量，是不透明的。在正常情况下，地球表面对能量的吸收和释放处于平衡状态，但如果大气中的CO 2含量增加，会使大气对地面辐射的吸收能力增强，导致大气温度上升，导致所谓的温室效应。参考教材page
13. 北方深秋季节的清晨，树叶叶面上常常结霜，为什么?
答：霜会结在树叶的上表面。因为清晨，上表面朝向太空，下表面朝向地面。而太空的温度低于摄氏零度，而地球表面温度一般在零度以上。由于相对树叶下表面来说，其上表面需要向太空辐射更多的能量，所以树叶下表面温度较高，而上表面温度较低且可能低于零度，因而容易结霜。
14. 什么叫黑体、灰体和白体? 它们分别与黑色物体、灰色物体、白色物体有什么区别? 在辐射传热中，引入黑体与灰体有什么意义?
答：黑体：是指能吸收投入到其面上的所有热辐射能的物体，是一种科学假想的物体，现实生活中是不存在的。但却可以人工制造出近似的人工黑体。
灰体：单色发射率与波长无关的物体称为灰体。其发射和吸收辐射与黑体在形式上完全一样，只是减小了一个相同的比例。
根据黑体、白体、灰体的定义可以看出，这些概念都是以热辐射为前提的。灰色、黑色、白色是针对可见光而言的。
黑体、白体、灰体并不是指可见光下物体的颜色，黑体概念的提出使热辐射的吸收和发射具有了理想的参照物。
灰体概念的提出使吸收率的确定及辐射换热计算大为简化，具有重要的作用，
5
15. 说明用热电偶测量高温气体温度时，产生测量误差的原因有哪些? 可以采取什么措施来减小测量误差?
答：用热电偶测量高温气体时，同时存在气流对热电偶换热和热电偶向四壁的辐射散热两种传热情况，热电偶的读数即测量值小于气流的实际温度产生误差。
所以，引起误差的因素：①烟气与热电偶间的复合换热量小；②热电偶与炉膛内壁间的辐射换热量大。
减小误差的措施：①减小烟气与热电偶间的换热热阻，如抽气等；②增加热电偶与炉膛间的辐射热阻，如加遮热板；③设计出计算误差的程序或装置，进行误差补偿。
参考教材page
16. 导热问题数值求解的基本步骤。
Page163
17. 内节点和边界节点：外部角点、内部角点、平直边界上热平衡离散方程的建立
Page165-169
五、模型
1. 平板无内热源，λ为常数，稳态导热两侧均为第一类边界条件
数学描述:
d 2t =02d x
x =0, t =t 1
x =δ, t =t 2
d t =c 1 ⇒
t d x
利用两个边界条件 对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解 =c 1x +c 2
x =0, t =t 1
，c 2=t 1 t
t 1
t 2 6
x =δ, t =t 2，c 1=t 2-t 1
δ
将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下
12 1 t =t -t -t δx
如右图所示，为线性分布。
2. 无内热源，λ为常数，稳态导热，一侧为第一类边界条件，另一侧为第二类或第三类边界条件。
此时导热微分方程式不变，平壁内部的温度分布仍是线性的，只是t 2未知。
12
1 t =t -
t -t
壁面上的温度t 2可由边界条件确定 δx
q w =12另一侧为第二类边界条件 δ/λ
t -t 另一侧为第三类边界条件 h (t 2-t f ) =12
δ/λ
3. 无内热源，变导热系数， λ
（ 1 + ） 稳态导热，两侧均为第一类边界条件。 λ =bt 0t -t
数学描述:
d d t d t (λ) =0Φ=-λA d x d x dx
x =0, t =t 1
x =δ, t =t 2
利用边界条件最后得温度分布为抛物线形式：
7
b b t -t ⎡b ⎤t +t 2
=(t 1+t 12) -12⎢1+(t 1+t 2) ⎥x 22δ⎣2⎦
当b >0，λ=λ0(1+b t) ，随着t 增大，λ增大，即高温区的导热系数大于低温区。所以高温区的温度梯度d t /dx 较小，而形成上凸的温度分布。当b
4. 有均匀内热源稳态导热，λ为常数，两侧均为第一类边界条件。
数学描述:
d 2t
d x 2+Φ/λ=0
x =0, t =t 1
x =δ, t =t 2
对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解
t =-Φ
2λx 2+C 1x +C 2
利用两个边界条件
x =0, t =t 1，得到c 2=t 1
x =δ, t =t Φ
2，得到c 1=(t 2-t 1) /δ+2λδ
将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下
t =t 1-t 2x +Φ
1-t
δ2λx (δ-x )
5. 通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界条件。
在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。
热流量也等于总温差比上总热阻。
q =t 1-t 2t 2-t 3t 1-t 3
δ==
1/λ1δ2/λ2δ1/λ1+δ2/λ2
8
如图所示当厚度相等时，斜率大，温差大，材料导热系数小。
λ1>λ2 ， t 1-t 2
6. 通过单层圆筒壁的导热(无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界条件) 数学描述:
d ⎛
dr ⎝r dt ⎫
dr ⎪⎭=0
r =r 1, t =t 1
r =r 2, t =t 2
积分上面的微分方程两次得到其通解为:
t =c 1 nr +c 2
利用两个边界条件
r =r 1, t =t 1
r =r 2, t =t 2， 得到c 1=t 2-t 1
ln(r c =t t
1-ln r 12-t 1
2/r 1) ，2ln(r 2/r 1)
将两个积分常数代入通解，得圆筒壁内的温度分布如下：
t =t t 2-t
1+1
ln(r r ln(r /r 1)
2/1) ，温度分布是一条对数曲线。
圆筒壁内温度分布曲线的形状？
若 t d 2t
w 1>t w 2:dr 2>0 向下凹；
d 2
若 t t
w 1
通过圆筒壁的热流量为
9
Φ=-λA d t
d r =-λ2πrl ⎛ t
-1-t 21⎫
⎝ln(r ⎪
2r 1) r ⎪⎭
=t 1-t 2
=t 1-t 2[W ]
2R
2πλl ln λr 1
7. 多层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算。Φ=t w 1-t w (n +1)
∑n 1r [W ]
i +1
=12πλi L ln
i r i
q =t w 1-t w (n +1)
l ∑n 1ln r [W m ]
i +1
i =12πλi r i
q l 为通过单位长度圆筒壁的热流量。
8. 单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热。
q (t t w 1-t w 2l r 1=2πr 1h 1f 1-t w 1) =q l =1ln r 2
2πλr 1
=q l r 2=2πr 2h 2(t w 2-t f 2)
q =t f 1-t f 2
l 11r
h r +ln 2+1
12π12πλr 1h 22πr 2
=t f 1-t f 2
R [W m ]
l
9. 多层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热。
10
t f 1-t f 2
q l =n d i +1111
+∑ln +h 1πd 1i =12πλi d i h 2πd n +1
10. 试由导热微分方程出发，导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。Φ为常数。
解：有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为
1∂⎛∂t ⎫
λr ⎪+Φ=0r ∂r ⎝∂r ⎭
r = r0, t=t0； r = rw , t = tw 经过积分得
t =c 1ln r +c 2-
代入边界条件得
φ2
r 4λ
∙
区别于page74具有内热源的圆柱体导热（如下题11） （通解一样，但已知条件不同，边界条件不同）
11. 通过含内热源实心圆柱体的导热
1d ⎛d t ⎫Φ
r ⎪+=0; r d r ⎝d r ⎭λ
d t r =0, =0;
d r
r =r w , t =t w
对上面的微分方程积分两次，得到：
Φt =r 2+c 1 nr +c 2
4λ
进一步利用两个边界得出圆柱体内的温度分为：
11
Φ2
t =t w +r w -r 2
4λ
()
由傅里叶定律可得出壁面处的热流量：
2 Φ=πr w l Φ
12. 内、外半径分别为r 1、r 2，球壳材料的导热系数为常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀恒定的温度t 1、t 2。
1d ⎛2d t ⎫
r ⎪=0 2d r d r r ⎝⎭
r =r 1, t =t w 1r =r 2, t =t w 2
温度分布:
t =t w 2+
热流量:
t w 1-t w 2
r -r 2
r 1-r 2
(
)
Φ=-λA
Φ=
d t d t
=-λ4πr 2d r d r
4πλ(t w 1-t w 2)
r 1-r 2
13. 金属实心长棒通电加热, 单位长度的热功率等于Φl (单位是W/m)，材料的导热系数λ，表面发射率ε、周围气体温度为t f ，辐射环境温度为T sur ，表面传热系数h 均已知，棒的初始温度为t 0。试给出此导热问题的数学描述。 解：此导热问题的数学描述
12
14. 一厚度为2δ的无限大平壁，导热系数λ为常量，壁内具有均匀的内热源Φ(单位为W/m3) ，边界条件为x ＝0，t=tw1；x=2δ，t=tw2；tw 1＞tw 2。试求平壁内的稳态温度分布t(x)及最高温度的位置x tmax ，并画出温度分布的示意图。
解：建立数学描述如下：
d 2t d x
2+Φ
/λ=0， 对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解 t =-Φ 2λ
x 2+C 1x +C 2
利用上述两个边界条件
x =0, t =t w 1，得到c 2=t w 1
x =2δ, t =t Φ
t w1 t w2
w 2，得到c 1=(t 2-t 1) /2δ+
λδ
将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下
t =t t w 1-t w 2Φ
Φ
w 1-2δx +2λ
x (2δ-x )
据
2
可得最高温度的位置x tmax ，即
Φ
(参考4)
15. 一块厚为2δ的无限大平板，初始温度为t 0，在初始瞬间将它放置于温度为t ∞的流体中，流体与板面间的换热系数为h ，求t=f(x,τ) 。
解：导热微分方程为
13
Φ
初始条件为
边界条件为
x
16. 一块无限大平壁，厚为δ，左侧绝热，右侧与某种流体进行对流换热，表面换热系数为h ，流
∙
体温度为t f 。平壁本身具有均匀的内热源 ，求平壁中的温度分布、t 1及t 2（传热是稳定的） Φ ⎧d 2t ∙
⎪2+Φ=0
λ⎪dx
⎪dt ⎪
x =0, =0 解：⎨
dx
⎪
dt ⎪
x =δ, -λ(x =δ=h (t 2-t f ) ⎪dx ⎪ ⎩
∙
d 2t Φ 2=-
λdx
14
dt ∙
dx =-Φ
λx +c 1∙
t =-
Φ2λ
x 2
+c 1x +c 2代入边界条件
⎧⎪c 1=0
⎨∙∙⎪ΦΦ
⎩
-λ(-λδ) =h (-2λδ2+c 1δ+c 2-t f )
c 1=0
Φ∙δΦ∙
δ2
c 2=h +2λ
+t f
∙
∙
t =Φ(δ2-x 2Φδ2λ) +t f +h ∙
∙
t Φ2λδ2+t +Φδ
1=
f h
Φ∙
t δ
2=t f +
h
Φ∙
∙
最高温度处为左侧壁面，为t 21=
2λδ+t Φδf +h
15
17. 导热问题的完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件
常见的边界条件有三类：
1. 第一类边界条件:指定边界上的温度分布。 t
x =0, t =t w 1
x =δ, t =t w 2
x
2. 第二类边界条件:给定边界上的热流密度。 x =δ, -λ∂t
∂x =q w
x
3. 第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数和流体的温度。
牛顿冷却定律： q w =h
(t t w -t f )
q
f
傅里叶定律： q w =-λ(∂t /∂n )
第三类边界条件: x =δ, -λ∂t
=h (t w -
∂x t f )
x =δ
0 x
16
六、计算
1.Page61例题2-6 2.Page122例题3-2 3.Page152，习题3-6
一初始温度为t 0的物体，被置于室温为t ∞的房间中。物体表面的发射率为ε，表面与空气间的换热系数为h 。物体的体积为V ，参与换热的面积为A ，比热容和密度分别为c 及ρ。物体的内热阻可忽略不计，试列出物体温度随时间变化的微分方程式。 解：由题意知，固体温度始终均匀一致，所以可按集总热容系统处理。 固体通过热辐射散到周围的热量为：
4
q 1=σA (T 4-T ∞)
固体通过对流散到周围的热量为：
q 2=hA (T -T ∞)
q 1+q 2=-ρcv
d t
d τ即
固体散出的总热量等于其焓的减小
σA (T 4-T ∞4) +hA (T -T ∞) =-ρcv
d t d τ
4.Page153，习题3-12
一块单侧表面积为A 、初温为t 0的平板，一侧表面突然受到恒定热流密度q w 的加热，另一侧表面受到初温为t ∞的气流冷却，表面传热系数为h 。试列出物体温度随时间变化的微分方程式并求解之。设内阻可以不计，其他的几何、物性参数均已知。
解：由题意，物体内部热阻可以忽略，温度只是时间的函数，一侧的对流换热和另一侧恒热流
加热作为内热源处理，根据热平衡方程可得控制方程为:
d t ⎧ρcv +hA (t -t ∞) -Aq w =0⎪
d τ⎨⎪
⎩t /t =0=t 0 引入过余温度θ=t -t ∞则:
ρcv
d θ
+hA θ-Aq w =0d τ
θ/t =0=θ0
17
上述控制方程的解为:
θ=Be
-
hA τρcv
+
q w h
由初始条件有：
B =θ0-
q w
h ，故温度分布为:
θ=t -t ∞=θ0exp(-
q hA hA τ) +w (1-exp(-τ)) ρcv h ρcv
5.Page153，习题3-13
一块厚20mm 的钢板，加热到500℃后置于20℃的空气中冷却。设冷却过程中钢板两侧面
235W /(m ⋅K ) ，钢板的导热系数为45W/(m·K) ，热扩散系数为的平均表面传热系数为
1. 375⨯10-5m 2/s 。试确定使钢板冷却到与空气相差10℃所需的时间。
解：以钢板中心面为对称面，因此钢板的特征长度为0.01m 。
钢板冷却到与空气相差10℃时，即为钢板终态时的过余温度10℃，即θ
钢板初始过余温度为θ0=500-20=480 ℃ 首先检验Bi 数：
=10℃
Bi =
h δ
λ
=
35⨯0. 01
=0. 00778
45
因此可以采用集总参数法
θhA =exp(-τ) ϑ0ρcV
Ln
θhA
=-τ=-Bi ⋅Fo ϑ0ρcV
Fo =(Ln
a τ
θ10
) /(-Bi ) =(Ln ) /(-0. 00778) =497. 56 ϑ0480
1. 375⨯10-5⨯τ==497. 56 2
0. 01
Fo =
δ2
τ=3618s
18
钢板冷却到与空气相差10℃所需的时间为3618秒。
6.Page188习题4-9
在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4），其余两个界面与温度为t f 的流体
。试列对流换热，h 均匀，内热源强度为Φ
出节点1，2，5，6，9，10的离散方程式。
解：
t 5-t 1⎛∆x ⎫t 2-t 1⎛∆y ⎫11
+λ+∆x ∆y φ-∆yh (t 1-t f )=0 ⎪ ⎪
∆y ⎝2⎭∆x ⎝2⎭42节点1：；
t -t ⎛∆y ⎫t -t t -t ⎛∆y ⎫1
λ12 ⎪+λ32 ⎪+λ62(∆x )+∆x ∆y φ=0∆x ⎝2⎭∆x ⎝2⎭∆y 2节点2：；
λ
t 1-t 5⎛∆y ⎫t 9-t 5⎛∆x ⎫t 6-t 51
+λ+λ∆y +∆x ∆y φ-∆yh (t 5-t f )=0() ⎪ ⎪
∆y 2∆y 2∆x 2⎝⎭⎝⎭节点5：； t -t t -t t -t t -t
λ26(∆x )+λ76(∆y )+λ105(∆x )+λ56(∆y )+∆x ∆y φ=0∆y ∆x ∆y ∆x 节点6：；
λ
t 5-t 9⎛∆x ⎫t 10-t 9⎛∆y ⎫1⎛∆x ∆y ⎫
+λ+∆x ∆y φ-+ ⎪ ⎪ ⎪h (t 9-t f )=0
∆y 2∆x 2422⎝⎭⎝⎭⎝⎭节点9：； t -t ⎛∆y ⎫t -t ⎛∆y ⎫t -t 1
λ910 ⎪+λ1110 ⎪+λ610(∆x )+∆x ∆y φ-∆xh (h 10-t f )=0
∆x ⎝2⎭∆x ⎝2⎭∆y 2节点10：。
λ
6.Page288习题6-14
常压下空气在内径为76mm 的直管内流动，入口温度为65℃，入口体积流量为
0. 022m 3/s ，管壁的平均温度为180℃。求：管子多长才能使空气加热到115℃。（忽略短
管效应）已知90℃下空气的物性数据为：
ρ=0. 972kg /m 3
c p =1. 009kJ /(kg ⋅K ), λ=3. 13⨯10-2W /(m ⋅K ), μ=21. 5⨯10-6kg /(m ⋅s ), Pr =0. 690
3
()c =1. 007kJ /kg ⋅K ρ=1. 0045kg /m p 65℃空气，；115℃空气c p =1. 009kJ /(kg ⋅K )
解： 定性温度
t f =
65+115
=902℃
19
3
ρ=0. 972kg /m 相应的物性值为：
c p =1. 009kJ /(kg ⋅K ), λ=3. 13⨯10-2W /(m ⋅K ), μ=21. 5⨯10-6kg /(m ⋅s ), Pr =0. 690kg /m ，故进口质量流量： 65℃时空气ρ=1. 0045
=0. 022m 3/s ⨯1. 0045m kg /m 3=2. 298⨯10-2kg /s ，
3
4m 4⨯2. 298⨯10-2⨯106
Re ===17906>104
πd μ3. 1416⨯0. 076⨯21. 5
按强制湍流对流传热计算对流表面传热系数
Nu 0=0. 023⨯179060. 8⨯0. 690. 4=50. 08, h =
50. 08⨯0. 0313
=20. 62W /m 2⋅K
0. 076
()
空气在115 ℃时，c p =1. 009kJ /(kg ⋅K )，65℃时，c p =1. 007kJ /(kg ⋅K )。
故加热空气所需热量为：
" ' '
c " Φ=m ⨯1. 009⨯103⨯115-1. 007⨯103⨯65=1162. 3W p t -c p t =0. 02298
()()
所需管长为2.62m 。
7.page289习题6-25
已知：冷空气温度为0℃，以6m/s的流速平行的吹过一太阳能集热器的表面。该表面尺寸为
1m ⨯1m ，其中一个边与来流方向垂直。表面平均温度为20℃。
求：由于对流散热而散失的热量。
解：
t f =
0+20
=102℃
-6-2
γ=14. 16⨯10, λ=2. 51⨯10, Pr =0. 705 10℃空气的物性
Re x =
ul
γ
=
6⨯1. 05
=4. 23728⨯10
14. 16⨯10-6
1
2
13
Nu =0. 664Re Pr =384. 68
384. 68⨯2. 51⨯10-2h ==9. 655(m 2⋅k )
1. 0
20
2 s =1⨯1=1. 0m
Φ=h ⋅s (t w -t 0) =9. 655⨯(20-0) =19. 31w
8. 热处理工艺中，常用银球来测定淬火介质的冷却能力。今有两个直径均为20mm 的银球，加热到650℃后分别置于20℃的静止水和20℃的循环水容器中。当两个银球中心温度均由650℃变化到450℃时，用热电偶分别测得两种情况下的降温速率分别为180℃／s 及360℃／s 。在上述温度范围内银的物性参数ρ＝10500 kg／m 3，
C p ＝2.62×102J ／(kg·K) ，
系数。
解：本题表面传热系数未知，即Bi 数为未知参数，所以无法判断是否满足集总参数法条件。为此．先假定满足集总参数法条件，然后验算。 ＝360w ／(m·K) 。试求两种情况下银球与水之间的表面传热
(1) 对静止水情形，由
且，，
验算Bi 数：满足集总参数条件。
(2)对循环水情形，同理，
按集总参数法计算，h = 3149x1.11/0.56 = 6299 W/(m2·
K)
，因此不满足集总参数法条件, 改用诺谟图。
21
此时，，。 查诺谟图得
，
故：
9. 一双层玻璃窗，宽1.2m ，高1.5m ，厚3mm ，玻璃导热系数为1.05W/(m·K) ；中间空气层厚5mm ，假设空气间隙仅起导热作用，空气导热系数为0.026W/(m·K) 。室内空气温度为25℃。表面传热系数为20W/(m2·K) ；室外空气温度为-10℃，表面传热系数为15 W/(m2·K) 。试计算通过双层玻璃窗的散热量，并与单层玻璃窗相比较。假定在两种情况下室内、外空气温度及表面传热系数相同。
解：(1)双层玻璃窗情形，由传热过程计算式：
(2)单层玻璃窗情形：
显然，单层玻璃窃的散热量是双层玻璃窗的2.6倍。因此，北方的冬天常常采用双层玻璃窗使室内保温。
10. 某工厂用φ170mm ⨯5mm 的无缝钢管输送水蒸气。为了减少沿途的热损失，在管外包两
W /(m ⋅K ) ；第二层为厚30mm 层绝热材料，第一层为厚30mm 的矿渣棉，其热导率为0. 065
的石棉灰，其热导率为0. 21W /(m ⋅K ) 。管内壁温度为300℃，保温层外表面温度为50℃，管路长40m 。试求该管路的散热量。
解：根据题意，画出钢管保温层的示意图
22
q l =2π(t 1-t 4)
1r 21r 31r 4ln +
ln +ln λ1r 1λ2r 2λ3r 3
= 273.1W/m
11. 已知：外径为100mm 的钢管横穿过室温为27℃
的大房间，管外壁温度为100℃，表面发射率为0.85，已知空气物性：ρ=1.049 kg ／m 3，λ=0.0292 w ／(m·K) ，ν=19.34⨯10-6 m 2／s ，空气的Pr=0.695，求：单位管长上的热损失。
βg ∆tL 3g ∆tL 3
=2提示：空气自然对流Nu = 0.48(GrPr) ，Gr =ν2νT 0.25
解：向环境的辐射散热损失
q r =0.85⨯5.67⨯(3.734-34)=542.5W/m2
；
定性温度 t m =1(100-27)=63.5℃52， ， P r =0. 69
9.8⨯0.13⨯(100-27)126Gr =⨯10=5.684⨯1063.5+273⨯19.342，
10.02926h =⨯0.48⨯(5.684⨯10⨯0.695)4=6.25W /(m 2⋅K )0.1，
q c =h r (t w -t j )=6.25(100-27)=456.25W /m 2
每米管长上的热损失为
， q l =3.1416⨯0.1⨯(456.25+542.5)=314W/m。 23
12. 例题3-4
掌握图3-7,3-8,3-9的用法
七、其它
24
传热学总复习
一、概念
1．热流量：单位时间内所传递的热量，单位？
2．热流密度：单位传热面上的热流量，单位？
3．时间常数：采用集总参数法分析时，物体中过余温度随时间变化的关系式中的ρcV /(hA ) 具有时间的量纲，称为时间常数。
时间常数的数值越小表示测温元件越能迅速地反映流体的温度变化。
4．毕渥数：Bi =h δ
λ=δ/λ
1/h
a τ=物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻5．傅里叶数F o ：：Fo =
6．Nu, Re, Pr, Gr准数： δ2, 是非稳态导热过程的无量纲时间
Nu =
Re =
Pr =hl λul ，表征壁面法向无量纲过余温度梯度的大小，由此梯度反映对流换热的强弱； ，表征流体流动时惯性力与粘滞力的相对大小，Re 的大小能反映流态； νν
a ，物性准则，反映了流体的动量传递能力与热量传递能力的相对大小；
Gr =g ∆t αl 3
ν2，表征浮升力与粘滞力的相对大小，Gr 表示自然对流流态对换热的影响。
7．对流传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K 是的对流传热量，单位为W ／(m2·K) 。对流传热系数表示对流传热能力的大小。
8．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
9．热导率（导热系数）：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K／m 的温度梯度作用下产生的热流密度。热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。导热系数的变化规律？
10．导温系数（热扩散系数）：材料传播温度变化能力大小的指标。
11．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
12．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
13．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
14．保温(隔热) 材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时) 的材料。
15．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
16．定解条件(单值性条件) ：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
17. 速度边界层：在流场中壁面附近流速发生急剧变化的薄层。如何量化？
1
18. 温度边界层：在流体温度场中壁面附近温度发生急剧变化的薄层。如何量化？
19．吸收比：投射到物体表面的热辐射中被物体所吸收的比例。
20．反射比：投射到物体表面的热辐射中被物体表面所反射的比例。
21．黑体：吸收比α= 1的物体。
22．白体：反射比ρ=l的物体(漫射表面)
23．灰体：光谱吸收比与波长无关的理想物体。
24．黑度：实际物体的辐射力与同温度下黑体辐射力的比值，即物体发射能力接近黑体的程度。
25．辐射力：单位时间内物体的单位辐射面积向外界(半球空间) 发射的全部波长的辐射能。
26．角系数：从表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数。角系数的特点？
27. 斯蒂芬-波尔茨曼定律？
28. 普朗克定律？
29. 兰贝特定律？
30. 基尔霍夫定律（基希霍夫定律）？
31. 沸腾传热需要的条件？
32. 大容器的饱和沸腾曲线区域？
33. 对流传热的研究方法？
34. 内部强制对流实验关联式？
35. 外部强制对流实验关联式？
36. 大空间自然对流实验关联式？
37. 膜状冷凝的影响因素？
38. 电磁波波谱对辐射传热的影响？
39. 两个漫灰表面组成的封闭系统辐射传热计算？
40. 应用隔热板隔热原理
二、填空
三、选择
四、简答
1. 导热系数λ与热扩散系数a （又称为导温系数）之间有什么区别和联系。
答：导温系数与导热系数成正比关系(a=λ/ρc) ，但导温系数不但与材料的导热系数有关，还与材料的热容量(或储热能力) 也有关；
从物理意义看，导热系数表征材料导热能力的强弱，导温系数表征材料传播温度变化的能力的大小，两者都是物性参数。
2. 一维平板非稳态无内热源常导热系数导热问题的导热微分方程表达式。
答：导热微分方程的基本形式为：
∂t ∂∂t ∂∂t ∂∂t ρc =(λ) +(λ) +(λ) +Φ ∂τ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
无内热源、导热系数为常数时，非稳态导热微分方程为：
2
222∂t ∂t ∂t ∂t =a (2+2+2) ∂τ∂x ∂y ∂z
一维平板非稳态导热微分方程为：
λ ∂t ∂2t a ==a 2 ρc ∂τ∂x
平板两侧都为第一类边界条件为： x =0, t =t w 1
x =δ, t =t w 2
平板两侧一侧为第一类边界条件，另一侧为第二类边界条件为：
x =0, t =t w 1x =δ, -λ∂t =q w ∂x
3. 试说明集总参数法的物理概念？
答：当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，即当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力，内部由于热阻很小因而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数。
4. 什么叫时间常数τc ？试分析测量恒定的流体温度时τc 对测量准确度的影响。 ττc =答：ρcV
hA , 具有时间的量纲，称为时间常数，c 数值上等于过余温度为初始过余温度的36.8%时所经历的时间。τc 越小，表示物体热惯性越小，到达流体温度的时间越短。测温元件的时间常
τc 越小，准确度越数大小对恒温流体的测量准确度没有影响，对变温流体的测量准确度有影响，
高。
5. 温度计套管测量流体温度时如何提高测温精度。
答：温度计套管可以看作是一根吸热的管状肋(等截面直肋) ，利用等截面直肋计算肋端温度t h 的结果，可得采用温度计套管后造成的测量误差Δt 为Δt=tf -t h =t f -t 0m H =hP H =λA h H ，欲使测量误差Δt 下降，可以采用以下几种措施： ，其中ch (m H )
λδ
(1)降低壁面与流体的温差(tf -t 0) ，也就是想办法使肋基温度t 0接近t f ，可以通过对流体 通道的外表面采取保温措施来实现；
(2)增大(mH)值，使分母ch(mH)增大。具体可以用以下手段实现：a ）增加H ，延长温度计套管的 3
长度；b ）减小λ，采用导热系数小的材料做温度计套管，如采用不锈钢管，不要用铜管。因为不锈钢的导热系数比铜和碳钢小；c ）降低δ，减小温度计套管的壁厚，采用薄壁管；d ）提高h 增强温度计套管与流体之间的热交换。)
参考教材page
6. 用热电偶测定气流的非稳态温度场时，怎样才能改善热电偶的温度响应特性？
答：要改善热电偶的温度响应特性可采取以下措施：
1）尽量降低热电偶的时间常数；2）在形状上要降低热电偶的体积与面积之比；3）选择热容小的材料；4）强化热电偶表面的对流换热。
7. 强化管内强迫对流传热的方法
答：1）增加平均温度差，如采取逆流换热
2）增加换热面积
3）增加流体流速，增加流体扰动
4）减小污垢热阻
5）采用导热系数大的材料
8. 不凝性气体影响膜状凝结传热的原因？
答：(1)含有不凝性气体的蒸汽凝结时在液膜表面会逐渐积聚起不凝性气体层，将蒸汽隔开，蒸汽凝结必须穿过气层，使换热热阻大大增加；(2)随着蒸汽的凝结，液膜表面气体分压增大，使凝结蒸汽的分压降低，液膜表面蒸汽的饱和温度降低，减少了有效冷凝温差，削弱了凝结换热。
9. 试用传热原理说明冬天可以用玻璃温室种植热带植物的原理？
答：可以从可见光、红外线的特性和玻璃的透射比来加以阐述。
玻璃在日光(短波辐射) 下是一种透明体，透过率在90％以上，使绝大部分阳光可以透过玻璃将温室内物体和空气升温。
室内物体所发出的辐射是一种长波辐射——红外线，对于长波辐射玻璃的透过率接近于零，几乎是不透明(透热) 的，因此，室内物体升温后所发出的热辐射被玻璃挡在室内不能穿过。玻璃的这种辐射特性，使室内温度不断升高。
11. 玻璃可以透过可见光，为什么在工业热辐射范围内可以作为灰体处理?
答：可以从灰体的特性和工业热辐射的特点论述。
4
所谓灰体是针对热辐射而言的，灰体是指吸收率与波长无关的物体。在红外区段，将大多数实际物体作为灰体处理所引起的误差并不大，一般工业热辐射的温度范围大多处于2000K 以下，因此其主要热辐射的波长位于红外区域。许多材料的单色吸收率在可见光范围内和红外范围内有较大的差别，如玻璃在可见光范围内几乎是透明的，但在工业热辐射范围内则几乎是不透明的，并且其光谱吸收比与波长的关系不大，可以作为灰体处理。
12. 为什么说大气中的C02含量增加会导致温室效应?
答：CO 2气体具有相当强的辐射和吸收能力，属于温室气体。根据气体辐射具有选择性的特点，CO 2气体的吸收光带有三段：2.65-2.8、4.15-4.45、13.0-17.0μm ，主要分布于红外区域。太阳辐射是短波辐射，波长范围在0.38-0.76μm ，因此，对于太阳辐射CO 2气体是透明的，能量可以射入大气层。而地面向空间的辐射是长波辐射，主要分布于红外区域，这部分辐射在CO 2气体的吸收光带区段，CO 2气体会吸收能量，是不透明的。在正常情况下，地球表面对能量的吸收和释放处于平衡状态，但如果大气中的CO 2含量增加，会使大气对地面辐射的吸收能力增强，导致大气温度上升，导致所谓的温室效应。参考教材page
13. 北方深秋季节的清晨，树叶叶面上常常结霜，为什么?
答：霜会结在树叶的上表面。因为清晨，上表面朝向太空，下表面朝向地面。而太空的温度低于摄氏零度，而地球表面温度一般在零度以上。由于相对树叶下表面来说，其上表面需要向太空辐射更多的能量，所以树叶下表面温度较高，而上表面温度较低且可能低于零度，因而容易结霜。
14. 什么叫黑体、灰体和白体? 它们分别与黑色物体、灰色物体、白色物体有什么区别? 在辐射传热中，引入黑体与灰体有什么意义?
答：黑体：是指能吸收投入到其面上的所有热辐射能的物体，是一种科学假想的物体，现实生活中是不存在的。但却可以人工制造出近似的人工黑体。
灰体：单色发射率与波长无关的物体称为灰体。其发射和吸收辐射与黑体在形式上完全一样，只是减小了一个相同的比例。
根据黑体、白体、灰体的定义可以看出，这些概念都是以热辐射为前提的。灰色、黑色、白色是针对可见光而言的。
黑体、白体、灰体并不是指可见光下物体的颜色，黑体概念的提出使热辐射的吸收和发射具有了理想的参照物。
灰体概念的提出使吸收率的确定及辐射换热计算大为简化，具有重要的作用，
5
15. 说明用热电偶测量高温气体温度时，产生测量误差的原因有哪些? 可以采取什么措施来减小测量误差?
答：用热电偶测量高温气体时，同时存在气流对热电偶换热和热电偶向四壁的辐射散热两种传热情况，热电偶的读数即测量值小于气流的实际温度产生误差。
所以，引起误差的因素：①烟气与热电偶间的复合换热量小；②热电偶与炉膛内壁间的辐射换热量大。
减小误差的措施：①减小烟气与热电偶间的换热热阻，如抽气等；②增加热电偶与炉膛间的辐射热阻，如加遮热板；③设计出计算误差的程序或装置，进行误差补偿。
参考教材page
16. 导热问题数值求解的基本步骤。
Page163
17. 内节点和边界节点：外部角点、内部角点、平直边界上热平衡离散方程的建立
Page165-169
五、模型
1. 平板无内热源，λ为常数，稳态导热两侧均为第一类边界条件
数学描述:
d 2t =02d x
x =0, t =t 1
x =δ, t =t 2
d t =c 1 ⇒
t d x
利用两个边界条件 对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解 =c 1x +c 2
x =0, t =t 1
，c 2=t 1 t
t 1
t 2 6
x =δ, t =t 2，c 1=t 2-t 1
δ
将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下
12 1 t =t -t -t δx
如右图所示，为线性分布。
2. 无内热源，λ为常数，稳态导热，一侧为第一类边界条件，另一侧为第二类或第三类边界条件。
此时导热微分方程式不变，平壁内部的温度分布仍是线性的，只是t 2未知。
12
1 t =t -
t -t
壁面上的温度t 2可由边界条件确定 δx
q w =12另一侧为第二类边界条件 δ/λ
t -t 另一侧为第三类边界条件 h (t 2-t f ) =12
δ/λ
3. 无内热源，变导热系数， λ
（ 1 + ） 稳态导热，两侧均为第一类边界条件。 λ =bt 0t -t
数学描述:
d d t d t (λ) =0Φ=-λA d x d x dx
x =0, t =t 1
x =δ, t =t 2
利用边界条件最后得温度分布为抛物线形式：
7
b b t -t ⎡b ⎤t +t 2
=(t 1+t 12) -12⎢1+(t 1+t 2) ⎥x 22δ⎣2⎦
当b >0，λ=λ0(1+b t) ，随着t 增大，λ增大，即高温区的导热系数大于低温区。所以高温区的温度梯度d t /dx 较小，而形成上凸的温度分布。当b
4. 有均匀内热源稳态导热，λ为常数，两侧均为第一类边界条件。
数学描述:
d 2t
d x 2+Φ/λ=0
x =0, t =t 1
x =δ, t =t 2
对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解
t =-Φ
2λx 2+C 1x +C 2
利用两个边界条件
x =0, t =t 1，得到c 2=t 1
x =δ, t =t Φ
2，得到c 1=(t 2-t 1) /δ+2λδ
将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下
t =t 1-t 2x +Φ
1-t
δ2λx (δ-x )
5. 通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界条件。
在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。
热流量也等于总温差比上总热阻。
q =t 1-t 2t 2-t 3t 1-t 3
δ==
1/λ1δ2/λ2δ1/λ1+δ2/λ2
8
如图所示当厚度相等时，斜率大，温差大，材料导热系数小。
λ1>λ2 ， t 1-t 2
6. 通过单层圆筒壁的导热(无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界条件) 数学描述:
d ⎛
dr ⎝r dt ⎫
dr ⎪⎭=0
r =r 1, t =t 1
r =r 2, t =t 2
积分上面的微分方程两次得到其通解为:
t =c 1 nr +c 2
利用两个边界条件
r =r 1, t =t 1
r =r 2, t =t 2， 得到c 1=t 2-t 1
ln(r c =t t
1-ln r 12-t 1
2/r 1) ，2ln(r 2/r 1)
将两个积分常数代入通解，得圆筒壁内的温度分布如下：
t =t t 2-t
1+1
ln(r r ln(r /r 1)
2/1) ，温度分布是一条对数曲线。
圆筒壁内温度分布曲线的形状？
若 t d 2t
w 1>t w 2:dr 2>0 向下凹；
d 2
若 t t
w 1
通过圆筒壁的热流量为
9
Φ=-λA d t
d r =-λ2πrl ⎛ t
-1-t 21⎫
⎝ln(r ⎪
2r 1) r ⎪⎭
=t 1-t 2
=t 1-t 2[W ]
2R
2πλl ln λr 1
7. 多层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算。Φ=t w 1-t w (n +1)
∑n 1r [W ]
i +1
=12πλi L ln
i r i
q =t w 1-t w (n +1)
l ∑n 1ln r [W m ]
i +1
i =12πλi r i
q l 为通过单位长度圆筒壁的热流量。
8. 单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热。
q (t t w 1-t w 2l r 1=2πr 1h 1f 1-t w 1) =q l =1ln r 2
2πλr 1
=q l r 2=2πr 2h 2(t w 2-t f 2)
q =t f 1-t f 2
l 11r
h r +ln 2+1
12π12πλr 1h 22πr 2
=t f 1-t f 2
R [W m ]
l
9. 多层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热。
10
t f 1-t f 2
q l =n d i +1111
+∑ln +h 1πd 1i =12πλi d i h 2πd n +1
10. 试由导热微分方程出发，导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。Φ为常数。
解：有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为
1∂⎛∂t ⎫
λr ⎪+Φ=0r ∂r ⎝∂r ⎭
r = r0, t=t0； r = rw , t = tw 经过积分得
t =c 1ln r +c 2-
代入边界条件得
φ2
r 4λ
∙
区别于page74具有内热源的圆柱体导热（如下题11） （通解一样，但已知条件不同，边界条件不同）
11. 通过含内热源实心圆柱体的导热
1d ⎛d t ⎫Φ
r ⎪+=0; r d r ⎝d r ⎭λ
d t r =0, =0;
d r
r =r w , t =t w
对上面的微分方程积分两次，得到：
Φt =r 2+c 1 nr +c 2
4λ
进一步利用两个边界得出圆柱体内的温度分为：
11
Φ2
t =t w +r w -r 2
4λ
()
由傅里叶定律可得出壁面处的热流量：
2 Φ=πr w l Φ
12. 内、外半径分别为r 1、r 2，球壳材料的导热系数为常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀恒定的温度t 1、t 2。
1d ⎛2d t ⎫
r ⎪=0 2d r d r r ⎝⎭
r =r 1, t =t w 1r =r 2, t =t w 2
温度分布:
t =t w 2+
热流量:
t w 1-t w 2
r -r 2
r 1-r 2
(
)
Φ=-λA
Φ=
d t d t
=-λ4πr 2d r d r
4πλ(t w 1-t w 2)
r 1-r 2
13. 金属实心长棒通电加热, 单位长度的热功率等于Φl (单位是W/m)，材料的导热系数λ，表面发射率ε、周围气体温度为t f ，辐射环境温度为T sur ，表面传热系数h 均已知，棒的初始温度为t 0。试给出此导热问题的数学描述。 解：此导热问题的数学描述
12
14. 一厚度为2δ的无限大平壁，导热系数λ为常量，壁内具有均匀的内热源Φ(单位为W/m3) ，边界条件为x ＝0，t=tw1；x=2δ，t=tw2；tw 1＞tw 2。试求平壁内的稳态温度分布t(x)及最高温度的位置x tmax ，并画出温度分布的示意图。
解：建立数学描述如下：
d 2t d x
2+Φ
/λ=0， 对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解 t =-Φ 2λ
x 2+C 1x +C 2
利用上述两个边界条件
x =0, t =t w 1，得到c 2=t w 1
x =2δ, t =t Φ
t w1 t w2
w 2，得到c 1=(t 2-t 1) /2δ+
λδ
将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下
t =t t w 1-t w 2Φ
Φ
w 1-2δx +2λ
x (2δ-x )
据
2
可得最高温度的位置x tmax ，即
Φ
(参考4)
15. 一块厚为2δ的无限大平板，初始温度为t 0，在初始瞬间将它放置于温度为t ∞的流体中，流体与板面间的换热系数为h ，求t=f(x,τ) 。
解：导热微分方程为
13
Φ
初始条件为
边界条件为
x
16. 一块无限大平壁，厚为δ，左侧绝热，右侧与某种流体进行对流换热，表面换热系数为h ，流
∙
体温度为t f 。平壁本身具有均匀的内热源 ，求平壁中的温度分布、t 1及t 2（传热是稳定的） Φ ⎧d 2t ∙
⎪2+Φ=0
λ⎪dx
⎪dt ⎪
x =0, =0 解：⎨
dx
⎪
dt ⎪
x =δ, -λ(x =δ=h (t 2-t f ) ⎪dx ⎪ ⎩
∙
d 2t Φ 2=-
λdx
14
dt ∙
dx =-Φ
λx +c 1∙
t =-
Φ2λ
x 2
+c 1x +c 2代入边界条件
⎧⎪c 1=0
⎨∙∙⎪ΦΦ
⎩
-λ(-λδ) =h (-2λδ2+c 1δ+c 2-t f )
c 1=0
Φ∙δΦ∙
δ2
c 2=h +2λ
+t f
∙
∙
t =Φ(δ2-x 2Φδ2λ) +t f +h ∙
∙
t Φ2λδ2+t +Φδ
1=
f h
Φ∙
t δ
2=t f +
h
Φ∙
∙
最高温度处为左侧壁面，为t 21=
2λδ+t Φδf +h
15
17. 导热问题的完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件
常见的边界条件有三类：
1. 第一类边界条件:指定边界上的温度分布。 t
x =0, t =t w 1
x =δ, t =t w 2
x
2. 第二类边界条件:给定边界上的热流密度。 x =δ, -λ∂t
∂x =q w
x
3. 第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数和流体的温度。
牛顿冷却定律： q w =h
(t t w -t f )
q
f
傅里叶定律： q w =-λ(∂t /∂n )
第三类边界条件: x =δ, -λ∂t
=h (t w -
∂x t f )
x =δ
0 x
16
六、计算
1.Page61例题2-6 2.Page122例题3-2 3.Page152，习题3-6
一初始温度为t 0的物体，被置于室温为t ∞的房间中。物体表面的发射率为ε，表面与空气间的换热系数为h 。物体的体积为V ，参与换热的面积为A ，比热容和密度分别为c 及ρ。物体的内热阻可忽略不计，试列出物体温度随时间变化的微分方程式。 解：由题意知，固体温度始终均匀一致，所以可按集总热容系统处理。 固体通过热辐射散到周围的热量为：
4
q 1=σA (T 4-T ∞)
固体通过对流散到周围的热量为：
q 2=hA (T -T ∞)
q 1+q 2=-ρcv
d t
d τ即
固体散出的总热量等于其焓的减小
σA (T 4-T ∞4) +hA (T -T ∞) =-ρcv
d t d τ
4.Page153，习题3-12
一块单侧表面积为A 、初温为t 0的平板，一侧表面突然受到恒定热流密度q w 的加热，另一侧表面受到初温为t ∞的气流冷却，表面传热系数为h 。试列出物体温度随时间变化的微分方程式并求解之。设内阻可以不计，其他的几何、物性参数均已知。
解：由题意，物体内部热阻可以忽略，温度只是时间的函数，一侧的对流换热和另一侧恒热流
加热作为内热源处理，根据热平衡方程可得控制方程为:
d t ⎧ρcv +hA (t -t ∞) -Aq w =0⎪
d τ⎨⎪
⎩t /t =0=t 0 引入过余温度θ=t -t ∞则:
ρcv
d θ
+hA θ-Aq w =0d τ
θ/t =0=θ0
17
上述控制方程的解为:
θ=Be
-
hA τρcv
+
q w h
由初始条件有：
B =θ0-
q w
h ，故温度分布为:
θ=t -t ∞=θ0exp(-
q hA hA τ) +w (1-exp(-τ)) ρcv h ρcv
5.Page153，习题3-13
一块厚20mm 的钢板，加热到500℃后置于20℃的空气中冷却。设冷却过程中钢板两侧面
235W /(m ⋅K ) ，钢板的导热系数为45W/(m·K) ，热扩散系数为的平均表面传热系数为
1. 375⨯10-5m 2/s 。试确定使钢板冷却到与空气相差10℃所需的时间。
解：以钢板中心面为对称面，因此钢板的特征长度为0.01m 。
钢板冷却到与空气相差10℃时，即为钢板终态时的过余温度10℃，即θ
钢板初始过余温度为θ0=500-20=480 ℃ 首先检验Bi 数：
=10℃
Bi =
h δ
λ
=
35⨯0. 01
=0. 00778
45
因此可以采用集总参数法
θhA =exp(-τ) ϑ0ρcV
Ln
θhA
=-τ=-Bi ⋅Fo ϑ0ρcV
Fo =(Ln
a τ
θ10
) /(-Bi ) =(Ln ) /(-0. 00778) =497. 56 ϑ0480
1. 375⨯10-5⨯τ==497. 56 2
0. 01
Fo =
δ2
τ=3618s
18
钢板冷却到与空气相差10℃所需的时间为3618秒。
6.Page188习题4-9
在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4），其余两个界面与温度为t f 的流体
。试列对流换热，h 均匀，内热源强度为Φ
出节点1，2，5，6，9，10的离散方程式。
解：
t 5-t 1⎛∆x ⎫t 2-t 1⎛∆y ⎫11
+λ+∆x ∆y φ-∆yh (t 1-t f )=0 ⎪ ⎪
∆y ⎝2⎭∆x ⎝2⎭42节点1：；
t -t ⎛∆y ⎫t -t t -t ⎛∆y ⎫1
λ12 ⎪+λ32 ⎪+λ62(∆x )+∆x ∆y φ=0∆x ⎝2⎭∆x ⎝2⎭∆y 2节点2：；
λ
t 1-t 5⎛∆y ⎫t 9-t 5⎛∆x ⎫t 6-t 51
+λ+λ∆y +∆x ∆y φ-∆yh (t 5-t f )=0() ⎪ ⎪
∆y 2∆y 2∆x 2⎝⎭⎝⎭节点5：； t -t t -t t -t t -t
λ26(∆x )+λ76(∆y )+λ105(∆x )+λ56(∆y )+∆x ∆y φ=0∆y ∆x ∆y ∆x 节点6：；
λ
t 5-t 9⎛∆x ⎫t 10-t 9⎛∆y ⎫1⎛∆x ∆y ⎫
+λ+∆x ∆y φ-+ ⎪ ⎪ ⎪h (t 9-t f )=0
∆y 2∆x 2422⎝⎭⎝⎭⎝⎭节点9：； t -t ⎛∆y ⎫t -t ⎛∆y ⎫t -t 1
λ910 ⎪+λ1110 ⎪+λ610(∆x )+∆x ∆y φ-∆xh (h 10-t f )=0
∆x ⎝2⎭∆x ⎝2⎭∆y 2节点10：。
λ
6.Page288习题6-14
常压下空气在内径为76mm 的直管内流动，入口温度为65℃，入口体积流量为
0. 022m 3/s ，管壁的平均温度为180℃。求：管子多长才能使空气加热到115℃。（忽略短
管效应）已知90℃下空气的物性数据为：
ρ=0. 972kg /m 3
c p =1. 009kJ /(kg ⋅K ), λ=3. 13⨯10-2W /(m ⋅K ), μ=21. 5⨯10-6kg /(m ⋅s ), Pr =0. 690
3
()c =1. 007kJ /kg ⋅K ρ=1. 0045kg /m p 65℃空气，；115℃空气c p =1. 009kJ /(kg ⋅K )
解： 定性温度
t f =
65+115
=902℃
19
3
ρ=0. 972kg /m 相应的物性值为：
c p =1. 009kJ /(kg ⋅K ), λ=3. 13⨯10-2W /(m ⋅K ), μ=21. 5⨯10-6kg /(m ⋅s ), Pr =0. 690kg /m ，故进口质量流量： 65℃时空气ρ=1. 0045
=0. 022m 3/s ⨯1. 0045m kg /m 3=2. 298⨯10-2kg /s ，
3
4m 4⨯2. 298⨯10-2⨯106
Re ===17906>104
πd μ3. 1416⨯0. 076⨯21. 5
按强制湍流对流传热计算对流表面传热系数
Nu 0=0. 023⨯179060. 8⨯0. 690. 4=50. 08, h =
50. 08⨯0. 0313
=20. 62W /m 2⋅K
0. 076
()
空气在115 ℃时，c p =1. 009kJ /(kg ⋅K )，65℃时，c p =1. 007kJ /(kg ⋅K )。
故加热空气所需热量为：
" ' '
c " Φ=m ⨯1. 009⨯103⨯115-1. 007⨯103⨯65=1162. 3W p t -c p t =0. 02298
()()
所需管长为2.62m 。
7.page289习题6-25
已知：冷空气温度为0℃，以6m/s的流速平行的吹过一太阳能集热器的表面。该表面尺寸为
1m ⨯1m ，其中一个边与来流方向垂直。表面平均温度为20℃。
求：由于对流散热而散失的热量。
解：
t f =
0+20
=102℃
-6-2
γ=14. 16⨯10, λ=2. 51⨯10, Pr =0. 705 10℃空气的物性
Re x =
ul
γ
=
6⨯1. 05
=4. 23728⨯10
14. 16⨯10-6
1
2
13
Nu =0. 664Re Pr =384. 68
384. 68⨯2. 51⨯10-2h ==9. 655(m 2⋅k )
1. 0
20
2 s =1⨯1=1. 0m
Φ=h ⋅s (t w -t 0) =9. 655⨯(20-0) =19. 31w
8. 热处理工艺中，常用银球来测定淬火介质的冷却能力。今有两个直径均为20mm 的银球，加热到650℃后分别置于20℃的静止水和20℃的循环水容器中。当两个银球中心温度均由650℃变化到450℃时，用热电偶分别测得两种情况下的降温速率分别为180℃／s 及360℃／s 。在上述温度范围内银的物性参数ρ＝10500 kg／m 3，
C p ＝2.62×102J ／(kg·K) ，
系数。
解：本题表面传热系数未知，即Bi 数为未知参数，所以无法判断是否满足集总参数法条件。为此．先假定满足集总参数法条件，然后验算。 ＝360w ／(m·K) 。试求两种情况下银球与水之间的表面传热
(1) 对静止水情形，由
且，，
验算Bi 数：满足集总参数条件。
(2)对循环水情形，同理，
按集总参数法计算，h = 3149x1.11/0.56 = 6299 W/(m2·
K)
，因此不满足集总参数法条件, 改用诺谟图。
21
此时，，。 查诺谟图得
，
故：
9. 一双层玻璃窗，宽1.2m ，高1.5m ，厚3mm ，玻璃导热系数为1.05W/(m·K) ；中间空气层厚5mm ，假设空气间隙仅起导热作用，空气导热系数为0.026W/(m·K) 。室内空气温度为25℃。表面传热系数为20W/(m2·K) ；室外空气温度为-10℃，表面传热系数为15 W/(m2·K) 。试计算通过双层玻璃窗的散热量，并与单层玻璃窗相比较。假定在两种情况下室内、外空气温度及表面传热系数相同。
解：(1)双层玻璃窗情形，由传热过程计算式：
(2)单层玻璃窗情形：
显然，单层玻璃窃的散热量是双层玻璃窗的2.6倍。因此，北方的冬天常常采用双层玻璃窗使室内保温。
10. 某工厂用φ170mm ⨯5mm 的无缝钢管输送水蒸气。为了减少沿途的热损失，在管外包两
W /(m ⋅K ) ；第二层为厚30mm 层绝热材料，第一层为厚30mm 的矿渣棉，其热导率为0. 065
的石棉灰，其热导率为0. 21W /(m ⋅K ) 。管内壁温度为300℃，保温层外表面温度为50℃，管路长40m 。试求该管路的散热量。
解：根据题意，画出钢管保温层的示意图
22
q l =2π(t 1-t 4)
1r 21r 31r 4ln +
ln +ln λ1r 1λ2r 2λ3r 3
= 273.1W/m
11. 已知：外径为100mm 的钢管横穿过室温为27℃
的大房间，管外壁温度为100℃，表面发射率为0.85，已知空气物性：ρ=1.049 kg ／m 3，λ=0.0292 w ／(m·K) ，ν=19.34⨯10-6 m 2／s ，空气的Pr=0.695，求：单位管长上的热损失。
βg ∆tL 3g ∆tL 3
=2提示：空气自然对流Nu = 0.48(GrPr) ，Gr =ν2νT 0.25
解：向环境的辐射散热损失
q r =0.85⨯5.67⨯(3.734-34)=542.5W/m2
；
定性温度 t m =1(100-27)=63.5℃52， ， P r =0. 69
9.8⨯0.13⨯(100-27)126Gr =⨯10=5.684⨯1063.5+273⨯19.342，
10.02926h =⨯0.48⨯(5.684⨯10⨯0.695)4=6.25W /(m 2⋅K )0.1，
q c =h r (t w -t j )=6.25(100-27)=456.25W /m 2
每米管长上的热损失为
， q l =3.1416⨯0.1⨯(456.25+542.5)=314W/m。 23
12. 例题3-4
掌握图3-7,3-8,3-9的用法
七、其它
24