在高中物理中用整体法处理加速度不等的连接体问题

在高中物理中用整体法处理加速度不等的连接体问题

新疆和静高级中学 李彦波

【摘要】整体法与隔离法是解决连接体问题的两种重要方法，其中，利用整体法思路清晰，步骤简洁，本文重点分析其在加速度不等系统中应用的思路和注意要点，以期引导学生能在较复杂情景中灵活自如地运用整体法。

【关键词】整体法 加速度不等系统

整体法是物理解题过程中的一种重要方法, 是指对物理问题中的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。在力学中, 就是把几个物体视为一个整体作为研究对象, 受力分析时, 只分析这一整体对象之外的物体对整体的作用力, 不考虑整体内部之间的相互作用力。这样就可以把物理问题化繁为简, 变难为易。在学生解决问题的过程中, 整体法往往被用于连接体问题的处理。所谓连接体, 就是指两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体。所以, 中学阶段涉及连接体问题时，要求连接体内的各个物体必须具有相同的加速度或加速度大小相等，才可以用整体法处理；, 而对于加速度不同的物体只能老老实实用隔离法来做。其实这种认识是错误的, 加速度不同的物体不仅可以看成整体并用整体法来处理, 而且用整体法来处理的话会带来意想不到的效果。本文通过高三复习过程中，探讨对加速度不等的连接体的典型例题的整体法处理，期望读者能够站在整体法的高度来分析此类问题，以拓展解题思路，起到事半功倍的功效。

对于一个物体而言，牛顿运动定律指出：物体所受的合外力等于其质量与加速度的乘积，即∑F

i i =ma ① 对于一个具有共同运动加速度的连接体所构成的系统而言，牛顿运动定律指出：系统所受的合外力等于系统的总质量与加速度的乘积，即∑F =∑m a ② i i

i i

i i

i 对于一个加速度不等的连接体所构成的系统而言，牛顿运动定律指出：系统所受的合外力等于系统内各个物体所受合外力之和，即两个分量的方程形式为=∑m i a ix iy i iy

i i i i 动力学知识解题的能力，下面通过较复杂情景中的应用与隔离法作一比较。 ix ∑F ∑F =∑m a ③，采用正交分解法，其和∑F =∑m a i i

例题1 如图所示有一倾角为θ、质量M 的木楔ABC 静置于粗糙水平地面上，有一质量m 的光滑物块在木楔上由静止开始沿斜面下滑。在此过程中木楔没有动，求地面对木楔的摩擦力和支持力大小。

解析：利用隔离法解题：

先取物块m 为研究对象，受力分析如图3，

可得：a =g sin θ

再取木楔为研究对象，受力分析如图4，

水平方向上：f =N 1/sin θ

由牛顿第三定律有：N 1/=N 1

而对物块m ，可得：N 1=mg cos θ

由以上各式联立，可得：

f =N 1/sin θ=mg sin θcos θ

竖直方向上：N 2=Mg +N 1/cos θ=Mg +mg cos 2θ

如利用整体法分析，受力分析与运动分析如图5，其中将物块加速度沿水平、竖直方向正交分解。

在水平方向上，由加速度的水平分量不难确定地面对木楔的

摩擦力方向水平向左，大小由牛顿第二定律可得：

f =ma cos θ=mg sin θcos θ

竖直方向上：Mg +mg -N =ma sin θ=mg sin 2θ

可得：N =Mg +mg (1-sin 2θ) =Mg +mg cos 2θ

通过以上比较不难看出，在加速度不等的系统中应用整体法解题优势明显，其实，不管是定性分析，还是定量求解，该法较隔离法更能全面把握问题关键，凸显运动和力的关系，有效提高解题速度，更深入地理解牛顿运动定律

例题2 总质量为M 的气球由于故障在高空以匀速v 下降，为了阻止继续下降，在t =0时刻，从热气球中释放了一个质量为m 的沙袋，不计空气阻力，问：经过多少时间气球停止下降？气球停止下降时，沙袋的速度为多大？

分析 如图3所示，气球（含沙袋）匀速下降，则浮力等于整体的重力，即F =Mg ①

释放沙袋后，气球（含沙袋）整体受力不变，整体受的合外力仍等于零。取向下为正方向，根据∑F

i iy =∑m i a iy i 得

0=mg +(M -m )(-a ) ② 得a =m g ③ M -m

气球匀减速到速度为零v =at ④

得t =(M -m ) v /mg ⑤

沙袋释放时具有速度v ，释放后做竖直下抛运动，末速度为 v t =v +gt =Mv /m ⑥

例题3 如图所示，一只质量为m 的小猫跳起来抓住悬吊在天花板上质量为M 的竖直木杆，在这瞬间悬绳断了，当小猫继续向上爬时，使得小猫离地的高度不变，在此过程中，木杆下落的加速度多大？

解析：取猫为研究对象，它相对地面静止，故有f =mg 。

再取杆为研究对象，由牛顿第二定律得：Mg +f /=Ma

又由牛顿第三定律可得，猫对杆的摩擦力f /=f

由以上各式可得:a =M +m g M

在运用牛顿运动定律分析此类加速度不等的连接体问题时，通常用隔离法求解，那么，能否用整体法进行求解呢？

【评析点悟】

其实在加速度不等的系统中，牛顿第二定律同样适用，可以表述为：

系统所受的合外力等于系统中各部分物体质量与其对应加速度的乘积之和，即：

F 合= m 1a 1+m 2a 2+m 3a 3+

当系统内各部分加速度相同时，则有：F 合 =（m 1+m 2 +m 3 +……）a =m 总a ，此即我们熟悉的牛顿第二定律常用式。

下面就以上例题用整体法分析：猫相对地面静止，其加速度为零，杆下落的加速度待求，设为a ；对整体，猫和杆所受合外力只有两者的重力，即(M +m ) g ，故有：(M +m ) g =M a ，即可得结果。

与隔离法相比，整体法解题思路清晰，步骤简洁明快，避开了系统内相互作用力的分析，删繁就简，使牛顿运动定律在多对象问题中应用自如，有效地提高了学生应用动力学知识解题的能力

典型训练

1．如图6所示，在粗糙水平面上放一个三角形木块a ，有一滑块b 沿木块斜面匀速下滑，则下列说法中正确的是 【 】

（A ）a 保持静止，且没有相对于水平面运动的趋势

（B ）a 保持静止，但有相对水平面向右运动的趋势

（C ）a 保持静止，但有相对水平面向左运动的趋势

（D ）没有数据，无法通过计算判断

简析 采用整体法分析，假设a 有滑动的趋势，则必受地面给的静摩擦力作用，此静摩擦力为整体在水平方向上的合力，由于b 受力平衡，故此力将产生a 水平向的加速度，这与静摩擦相矛盾，假设不成立，故a 保持静止，且没有相对于水平面运动的趋势，答案A 是正确的。

2. 如图7所示，在光滑水平面上，一个斜面被两个固定在地面上的小桩a 和b 挡住，然后在斜面上放一物体，下列说法正确的是

（A ）若物体加速下滑，则b 受挤压

（B ）若物体减速下滑，则b 受挤压

（C ）若物体匀速下滑，则a 受挤压

（D ）若物体静止在斜面上，则a 受挤压

简析 当物体匀速下滑、匀速上滑或保持静止时，整体在水平方向上无加速度，整体在水平方向上所受合外力等于零，此时斜面对a 和b 均无力作用；若物体加速下滑，则a 对斜面有弹力作用，此弹力仅提供物体产生水平向左的加速度；若物体减速下滑，则物体的加速度沿斜面向上，有水平向右的分加速度，必须靠b 的弹力来提供，所以本题的正确答案是B 。

3．如图8所示，质量为M 的斜劈形物体放在水平地面上，质量为m 的粗糙物块，以某一初速度沿劈的斜面向上滑，至速度为零后又加速返回，而物体M 始终保持静止，则在物块m 上、下滑动的整个过程中

（A ）地面对物体M 的摩擦力方向没有改变

（B ）地面对物体M 的摩擦力先向左后向右

（C ）物块m 上、下滑动时的加速度大小相同

（D ）地面对物体M 的支持力总小于(M +m ) g

简析 据题意，物体沿斜面先向上减速后向下加速，说明加速度方向没有改变，采用整体法分析可知，地面对斜面的静摩擦力方向始终向左；物体向上减速时的加速度大小等于a 1=g (sinθ+μcos θ) ，向下加速时的加速度大小等于a 2=g (sinθ-μcos θ) ，两者不等；由于物体的加速度始终有一个竖直向下的分量，用整体法(M +m ) g -N =ma y ，所以N =(M +m ) g -ma y

在高中物理中用整体法处理加速度不等的连接体问题

新疆和静高级中学 李彦波

【摘要】整体法与隔离法是解决连接体问题的两种重要方法，其中，利用整体法思路清晰，步骤简洁，本文重点分析其在加速度不等系统中应用的思路和注意要点，以期引导学生能在较复杂情景中灵活自如地运用整体法。

【关键词】整体法 加速度不等系统

整体法是物理解题过程中的一种重要方法, 是指对物理问题中的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。在力学中, 就是把几个物体视为一个整体作为研究对象, 受力分析时, 只分析这一整体对象之外的物体对整体的作用力, 不考虑整体内部之间的相互作用力。这样就可以把物理问题化繁为简, 变难为易。在学生解决问题的过程中, 整体法往往被用于连接体问题的处理。所谓连接体, 就是指两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体。所以, 中学阶段涉及连接体问题时，要求连接体内的各个物体必须具有相同的加速度或加速度大小相等，才可以用整体法处理；, 而对于加速度不同的物体只能老老实实用隔离法来做。其实这种认识是错误的, 加速度不同的物体不仅可以看成整体并用整体法来处理, 而且用整体法来处理的话会带来意想不到的效果。本文通过高三复习过程中，探讨对加速度不等的连接体的典型例题的整体法处理，期望读者能够站在整体法的高度来分析此类问题，以拓展解题思路，起到事半功倍的功效。

对于一个物体而言，牛顿运动定律指出：物体所受的合外力等于其质量与加速度的乘积，即∑F

i i =ma ① 对于一个具有共同运动加速度的连接体所构成的系统而言，牛顿运动定律指出：系统所受的合外力等于系统的总质量与加速度的乘积，即∑F =∑m a ② i i

i i

i i

i 对于一个加速度不等的连接体所构成的系统而言，牛顿运动定律指出：系统所受的合外力等于系统内各个物体所受合外力之和，即两个分量的方程形式为=∑m i a ix iy i iy

i i i i 动力学知识解题的能力，下面通过较复杂情景中的应用与隔离法作一比较。 ix ∑F ∑F =∑m a ③，采用正交分解法，其和∑F =∑m a i i

例题1 如图所示有一倾角为θ、质量M 的木楔ABC 静置于粗糙水平地面上，有一质量m 的光滑物块在木楔上由静止开始沿斜面下滑。在此过程中木楔没有动，求地面对木楔的摩擦力和支持力大小。

解析：利用隔离法解题：

先取物块m 为研究对象，受力分析如图3，

可得：a =g sin θ

再取木楔为研究对象，受力分析如图4，

水平方向上：f =N 1/sin θ

由牛顿第三定律有：N 1/=N 1

而对物块m ，可得：N 1=mg cos θ

由以上各式联立，可得：

f =N 1/sin θ=mg sin θcos θ

竖直方向上：N 2=Mg +N 1/cos θ=Mg +mg cos 2θ

如利用整体法分析，受力分析与运动分析如图5，其中将物块加速度沿水平、竖直方向正交分解。

在水平方向上，由加速度的水平分量不难确定地面对木楔的

摩擦力方向水平向左，大小由牛顿第二定律可得：

f =ma cos θ=mg sin θcos θ

竖直方向上：Mg +mg -N =ma sin θ=mg sin 2θ

可得：N =Mg +mg (1-sin 2θ) =Mg +mg cos 2θ

通过以上比较不难看出，在加速度不等的系统中应用整体法解题优势明显，其实，不管是定性分析，还是定量求解，该法较隔离法更能全面把握问题关键，凸显运动和力的关系，有效提高解题速度，更深入地理解牛顿运动定律

例题2 总质量为M 的气球由于故障在高空以匀速v 下降，为了阻止继续下降，在t =0时刻，从热气球中释放了一个质量为m 的沙袋，不计空气阻力，问：经过多少时间气球停止下降？气球停止下降时，沙袋的速度为多大？

分析 如图3所示，气球（含沙袋）匀速下降，则浮力等于整体的重力，即F =Mg ①

释放沙袋后，气球（含沙袋）整体受力不变，整体受的合外力仍等于零。取向下为正方向，根据∑F

i iy =∑m i a iy i 得

0=mg +(M -m )(-a ) ② 得a =m g ③ M -m

气球匀减速到速度为零v =at ④

得t =(M -m ) v /mg ⑤

沙袋释放时具有速度v ，释放后做竖直下抛运动，末速度为 v t =v +gt =Mv /m ⑥

例题3 如图所示，一只质量为m 的小猫跳起来抓住悬吊在天花板上质量为M 的竖直木杆，在这瞬间悬绳断了，当小猫继续向上爬时，使得小猫离地的高度不变，在此过程中，木杆下落的加速度多大？

解析：取猫为研究对象，它相对地面静止，故有f =mg 。

再取杆为研究对象，由牛顿第二定律得：Mg +f /=Ma

又由牛顿第三定律可得，猫对杆的摩擦力f /=f

由以上各式可得:a =M +m g M

在运用牛顿运动定律分析此类加速度不等的连接体问题时，通常用隔离法求解，那么，能否用整体法进行求解呢？

【评析点悟】

其实在加速度不等的系统中，牛顿第二定律同样适用，可以表述为：

系统所受的合外力等于系统中各部分物体质量与其对应加速度的乘积之和，即：

F 合= m 1a 1+m 2a 2+m 3a 3+

当系统内各部分加速度相同时，则有：F 合 =（m 1+m 2 +m 3 +……）a =m 总a ，此即我们熟悉的牛顿第二定律常用式。

下面就以上例题用整体法分析：猫相对地面静止，其加速度为零，杆下落的加速度待求，设为a ；对整体，猫和杆所受合外力只有两者的重力，即(M +m ) g ，故有：(M +m ) g =M a ，即可得结果。

与隔离法相比，整体法解题思路清晰，步骤简洁明快，避开了系统内相互作用力的分析，删繁就简，使牛顿运动定律在多对象问题中应用自如，有效地提高了学生应用动力学知识解题的能力

典型训练

1．如图6所示，在粗糙水平面上放一个三角形木块a ，有一滑块b 沿木块斜面匀速下滑，则下列说法中正确的是 【 】

（A ）a 保持静止，且没有相对于水平面运动的趋势

（B ）a 保持静止，但有相对水平面向右运动的趋势

（C ）a 保持静止，但有相对水平面向左运动的趋势

（D ）没有数据，无法通过计算判断

简析 采用整体法分析，假设a 有滑动的趋势，则必受地面给的静摩擦力作用，此静摩擦力为整体在水平方向上的合力，由于b 受力平衡，故此力将产生a 水平向的加速度，这与静摩擦相矛盾，假设不成立，故a 保持静止，且没有相对于水平面运动的趋势，答案A 是正确的。

2. 如图7所示，在光滑水平面上，一个斜面被两个固定在地面上的小桩a 和b 挡住，然后在斜面上放一物体，下列说法正确的是

（A ）若物体加速下滑，则b 受挤压

（B ）若物体减速下滑，则b 受挤压

（C ）若物体匀速下滑，则a 受挤压

（D ）若物体静止在斜面上，则a 受挤压

简析 当物体匀速下滑、匀速上滑或保持静止时，整体在水平方向上无加速度，整体在水平方向上所受合外力等于零，此时斜面对a 和b 均无力作用；若物体加速下滑，则a 对斜面有弹力作用，此弹力仅提供物体产生水平向左的加速度；若物体减速下滑，则物体的加速度沿斜面向上，有水平向右的分加速度，必须靠b 的弹力来提供，所以本题的正确答案是B 。

3．如图8所示，质量为M 的斜劈形物体放在水平地面上，质量为m 的粗糙物块，以某一初速度沿劈的斜面向上滑，至速度为零后又加速返回，而物体M 始终保持静止，则在物块m 上、下滑动的整个过程中

（A ）地面对物体M 的摩擦力方向没有改变

（B ）地面对物体M 的摩擦力先向左后向右

（C ）物块m 上、下滑动时的加速度大小相同

（D ）地面对物体M 的支持力总小于(M +m ) g

简析 据题意，物体沿斜面先向上减速后向下加速，说明加速度方向没有改变，采用整体法分析可知，地面对斜面的静摩擦力方向始终向左；物体向上减速时的加速度大小等于a 1=g (sinθ+μcos θ) ，向下加速时的加速度大小等于a 2=g (sinθ-μcos θ) ，两者不等；由于物体的加速度始终有一个竖直向下的分量，用整体法(M +m ) g -N =ma y ，所以N =(M +m ) g -ma y