数学教育概论
一、数学教育的含义：数学教育是研究数学教学的实践和方法的学科。而且，数学教育工作者也关注促进这种实践的工具及其研究的发展。数学教育是现代社会激烈争论的主题之一。这个术语有个歧义，它既指各地的教室里的实践，也指新生的一个学科，它有自己的期刊，会议，等等。这方面最重要的国际组织是数学教育国际委员会(the International Commission on Mathematical Instruction)。
中国数学教育mathematics eduction in China
中国的数学教育有悠久的历史，早在西周时期，数学已作为“六艺”之一，成为专门的学问，唐初国子监增设算学馆，设有算学博士和助教，使用李淳风等编纂注释的《算经十书》为教材。明代算科考试亦以这些教材为准（见中国数学史）。
近现代的初等数学教育，可以说是在晚清(1903)颁布癸卯学制, 废除科举, 兴办小学、中学后才开始的。当时小学设算术课，中学设数学课（包括算术、代数、几何、三角、簿记）。民国初年(1912～1913) 公布壬子癸丑学制，中学由五年改为四年，数学课程不再讲授簿记。执行时间最久的是1922年公布的壬戌学制，将小学、中学都改为六年，各分初高两级，初小四年, 高小二年, 初高中皆三年。初中数学讲授算术、代数、平面几何，高中数学讲授平面三角、高中几何、高中代数、平面解析几何（高中曾分文理两科，部分理科加授立体解析几何和微积分初步），这个学制基本沿用到1949年。中华人民共和国成立后，中小学的教育进行了改革，学制大都改为小学六年, 初高中各三年, 初中逐步取消算术课。50年代高中数学一度停授平面解析几何，后又恢复并增授微积分初步以及概率论和电子计算机的初步知识。
中国近代高等数学教育，也是从清朝末年开始的。1862年洋务派创办的京师同文馆, 本来是个外语学校, 从1866年增设天文算学馆,1867年招生, 开始向中等专科学校转变。1868年聘李善兰为总教习，设代数、几何（原本）、平面和球面三角、微积分等课程，可以认为，这是向中国学生较系统地传授西方高等数学基础知识的开始。1898年戊戌变法中，京师大学堂成立，这是中国近代第一个国立大学。1902年，同文馆并入京师大学堂。
二、数学教育中的基本元素：数学教育中包含学生、教材和教师这三个基本要素。数学教育学研究种种数学教育问题，其宗旨或任务答题来说有三个方面：即揭示规律(求真) ，确立价值（求善与求美），优化技术（求善与求美），解题，真的，好的，美的。研究的领域：关于数学教育学的研究对象现在还没有统一的定论，比较趋于一致的观点是：数学教育学包括数学课程论、数学学习论、和数学教学论三个方面。这种观点是由德国学者鲍斯. 费尔德在第三届国际数学教育会上提出来的。美国的TOMKIEREN 在他的一篇《数学教育研究----三角形》的文章里，还对数学教育的研究做了形象的比喻。他把鲍斯. 费尔德在第三届国际数学教育会上描述的三个研究对象：课程、教学、学习，比作三角形的三个顶点，分别对应于三种人：课程设计者、教师、学生。数学教育学有三个研究方面：课程论、教学论、学习论。从拓扑观点看，三角形应有两个部分，内部和外部。有关备课、教学和分析课堂活动的研究，以及教学实验和定向的现象观察，都属于数学教育研究三角形的“内部”。数学、生理学、哲学、技术手段、符号和语言等，都属于数学教育研究三角形的“外部”。 三、数学教育的发展综述：近十年来，科学技术迅猛发展，计算机，计算器，全球互联网逐步普及，学校数学承担着不断增加的责任。计算机的应用已经超越于解决问题的范围，他能给予人们研究科学的洞察力，由此导致对数学教育更高的要求。计算机在当今世界的作用完全可以与物理在二十世纪前半叶的作用相比美。通过计算机的模拟，能揭示未知的数学现象。它给数学如此大的推动，有如望远镜对于天文学，显微镜对于生物学一样。另一方面，计算机的巧妙应用，使得研究人员的学识和智慧得以充分发挥，人们能够相信，无论什么时候，数学教育都应该使用计算器和计算机。
日本数学教育协会主席藤田宏教授认为，数学史上有三大高峰：1. 公元前三世纪诞生的欧氏几何学；2. 17-18世纪微积分的发现和发展；3. 现代公理化数学的起源。当代数学的统一的进步，包括计算机科学的进步，可以称为数学史上的第四个高峰。数学和科学技术的这些发展，应该反映在数学教育中。 发展学生的数学能力
发展学生的科学素质，培养学生的数学能力，是数学教育的重要目标之一。推理能力是重要的数学能力，它与探索能力，实践能力相辅相成。这些能力要同时培养。巴西的努纳斯教授认为，在小学里，儿童能够通过利用数学工具，在问题解决的活动中进行学习，并建立起符合他们年龄特征的推理系统；相反，如果儿童学习有关数学工具，但不把它结合到推理活动中，那么，他们解决问题的思维就将受到束缚。 ICME 9的小学数学教学组着重研究了如下专题：（1）理解和检查儿童的数学思维；（2）努力发展儿童的数学能力；（3）对教师在理解、评价和发展儿童数学能力方面给予支持。
培养学生的学科意识
ICME 9的初中数学教学组认为，对于11-16岁的少年儿童，数学课程，相关的教材和教学活动，应该巧妙地帮助学生完成从儿童到成人行为的转变。初中数学课程既要考虑与小学课程的衔接，又要考虑与高中课程的衔接。
在数学中，符号是必不可少的语言。它是人类思维与交流的工具，它能够清晰而简明地表达数学思想和规律。数学符号涉及多个数学分支，在科学技术中，利用数学符号，能有效地寻求模式，进行概括。借助于数学符号，能把有关问题规范化。因此，数学课程要帮助学生树立正确的学科观念，建立正确的符号意识。初中生在数学学习中，要接触大量数学符号，因此，在概念的教学中，要注意符号的自然引入。在代数中要讲请算理与算法，在几何中要弄清图形的特征性质，正确揭示符号所反映的的关系与规律。 帮助学生掌握数学思想方法
高中数学课程面临重大改革，美国数学教师协会（NCTM ）於2000年制订发表的" 学校数学课程的原则与标准" 受到举世关注。高中生应该学习范围宽广的函数知识，包括三角函数，指数函数，等等。在几何，度量，数据分析，概率等方面，学生应该巩固和扩展他们在低年级所学的知识。不断发展他们在数学方面，特别是在问题解决，数学表述，推理论证等方面的熟练程度。ICME 9的高中数学教学组一致认为，数学思想方法的教学应该成为高中数学课程的重要部分。数学建模思想受到与会专家的普遍重视。
由于各国的情况存在诸多差异，在高中数学课程的具体安排上，各国有不同的着重点。例如，英国的高级水平（A-level ）数学，主要面向对数学要求较高的理工大学考生，此种数学班的学生需要学习纯数学：统计学，理论力学等内容。韩国开办面向天才生的理科高中，密码学和高等字符串的理论理科高中的学习内容。印度有良好的计算技能传统，甚至文盲的蔬菜小贩也有出色的算术运算技能。为了保持这一善于计算的传统，他们在当今数学教学中仍然不允许使用计算器。
四、数学教育的发展趋势：在迈入21世纪后，随着社会发展和人民生活的需求，数学教育越来越明显地表现出如下的趋势和变化:
1. 科学文化素养越来越成为每一个公民乃至于整个民族文化素养的重要内容和标志，因此数学教育应面向大众，面向每一学生。实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
2. 数学教学将从传统的" 传授知识" 的模式，更多地转变到" 以激励学习为特征、以学生为中心" 的实践模式。学生的自主学习、独立创造、个性发展将受到更多的重视。
3. 数学教学将本着重于培养、发展学生的广泛的数学能力。它不仅包括理解运用数学概念和方法，组织正确的逻辑推理，进行准确有效的计算和估算，还应包括：会检索阅读相应的数学书刊文献，会利用表、图、计算机去组织、解释、选择、分析和处理信息，能从模糊的实际问题中抽象出相应的数学问题，会选择有
效的解决问题的方法、工具和策略，会用数学符号和语言进行正确的表达和交流。
4. 素质教育要求我们在基础教育阶段就开始培养学生有实现自我" 可持续发展" 的意识和能力，它要求我们的学生学会设问、学会探索、学会合作，去解决面临的问题，去适应环境。只有学会学习，才能学会生存，只有敢于创新，才能赢得发展。
5. 数学教学的目标不仅仅局限于发展学生的认知能力，而更关注学生作为一个社会中的人的发展，特别是学生个性和创造力的发展。不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，让学生亲身经历探索获取的过程。
6. 学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引者与合作者。数学教学不再是教师单纯地为学生的付出，而是教师创造性生活的一部分。数学教学的过程是师生双方实现自己生命价值和自身发展的舞台。 我们应该看到，在教师的指导下，由学生自主探索、动手实践和合作交流，已然成为当前数学教育的必然趋势。数学教学呼唤学生的主体参与，不仅强调在实践中完成学生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造。我们教师应致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索的数学活动中去，正真实现可持续性和谐发展。 五、现代数学教育观：ICME 9的大专数学教育组和大学数学教育组分别研究高等数学教育中广泛的问题。由于大学院系专业繁多，各专业对数学的要求不一，大会主要讨论大学公共基础课的高等数学教学问题。与会者认为，随着中小学教学改革的深入展开，随着大学教育系统的改变，大学数学教学改革势在必行：
（1）大学数学应该为学生学习专业课打下良好基础；（2）大学数学应该培养学生良好的思维品质和学习能力；（3）大学数学要为学生未来专业工作提供数学工具；（4）当前的大学数学教学赶不上中小学的发展，因此，大学数学教学方法必须改革。
日本专家认为，日本大学数学进入了紧要关头。其理由有三个：首先，大学一年级学生数学知识和能力水平在严重下降；其二，大学教育系统正在改变，数学教学尚未适应这个变化；第三，大学数学教育与学生未来的专业学习配合不当，甚至相互脱节。为此，日本文部省组织专家进行了深入的调查，并提出了改革方案。
六、国际视野下的中国数学教育：中国高等学校是全国科学研究的一个重要的方面军，数学研究也是这样，特别是近十年来有了较全面的发展与提高，一些大学还设立了数学研究所。高级数学人才的培养也随之逐渐能立足于国内，正式建立了学位制。数学方面已在基础数学、计算数学、应用数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论、数学教育与数学史等方面培养博士研究生。1983年在中国第一批18位接受本国博士学位的研究生中，获得数学博士学位的就有12人。必须指出，中国科学院数学各方面研究所，在培育人才，包括培养研究生方面，也起了重要作用。1966年以前曾向少数国家派遣了数学方面的留学生和进修教师，1978年起派出人员大量增加。还邀请了许多国外数学家前来讲学，中国数学家出国讲学和参加国际数学学术会议的就更多了。中外学术交流对中国数学事业的繁荣起着很好的作用。
数学教育概论
一、数学教育的含义：数学教育是研究数学教学的实践和方法的学科。而且，数学教育工作者也关注促进这种实践的工具及其研究的发展。数学教育是现代社会激烈争论的主题之一。这个术语有个歧义，它既指各地的教室里的实践，也指新生的一个学科，它有自己的期刊，会议，等等。这方面最重要的国际组织是数学教育国际委员会(the International Commission on Mathematical Instruction)。
中国数学教育mathematics eduction in China
中国的数学教育有悠久的历史，早在西周时期，数学已作为“六艺”之一，成为专门的学问，唐初国子监增设算学馆，设有算学博士和助教，使用李淳风等编纂注释的《算经十书》为教材。明代算科考试亦以这些教材为准（见中国数学史）。
近现代的初等数学教育，可以说是在晚清(1903)颁布癸卯学制, 废除科举, 兴办小学、中学后才开始的。当时小学设算术课，中学设数学课（包括算术、代数、几何、三角、簿记）。民国初年(1912～1913) 公布壬子癸丑学制，中学由五年改为四年，数学课程不再讲授簿记。执行时间最久的是1922年公布的壬戌学制，将小学、中学都改为六年，各分初高两级，初小四年, 高小二年, 初高中皆三年。初中数学讲授算术、代数、平面几何，高中数学讲授平面三角、高中几何、高中代数、平面解析几何（高中曾分文理两科，部分理科加授立体解析几何和微积分初步），这个学制基本沿用到1949年。中华人民共和国成立后，中小学的教育进行了改革，学制大都改为小学六年, 初高中各三年, 初中逐步取消算术课。50年代高中数学一度停授平面解析几何，后又恢复并增授微积分初步以及概率论和电子计算机的初步知识。
中国近代高等数学教育，也是从清朝末年开始的。1862年洋务派创办的京师同文馆, 本来是个外语学校, 从1866年增设天文算学馆,1867年招生, 开始向中等专科学校转变。1868年聘李善兰为总教习，设代数、几何（原本）、平面和球面三角、微积分等课程，可以认为，这是向中国学生较系统地传授西方高等数学基础知识的开始。1898年戊戌变法中，京师大学堂成立，这是中国近代第一个国立大学。1902年，同文馆并入京师大学堂。
二、数学教育中的基本元素：数学教育中包含学生、教材和教师这三个基本要素。数学教育学研究种种数学教育问题，其宗旨或任务答题来说有三个方面：即揭示规律(求真) ，确立价值（求善与求美），优化技术（求善与求美），解题，真的，好的，美的。研究的领域：关于数学教育学的研究对象现在还没有统一的定论，比较趋于一致的观点是：数学教育学包括数学课程论、数学学习论、和数学教学论三个方面。这种观点是由德国学者鲍斯. 费尔德在第三届国际数学教育会上提出来的。美国的TOMKIEREN 在他的一篇《数学教育研究----三角形》的文章里，还对数学教育的研究做了形象的比喻。他把鲍斯. 费尔德在第三届国际数学教育会上描述的三个研究对象：课程、教学、学习，比作三角形的三个顶点，分别对应于三种人：课程设计者、教师、学生。数学教育学有三个研究方面：课程论、教学论、学习论。从拓扑观点看，三角形应有两个部分，内部和外部。有关备课、教学和分析课堂活动的研究，以及教学实验和定向的现象观察，都属于数学教育研究三角形的“内部”。数学、生理学、哲学、技术手段、符号和语言等，都属于数学教育研究三角形的“外部”。 三、数学教育的发展综述：近十年来，科学技术迅猛发展，计算机，计算器，全球互联网逐步普及，学校数学承担着不断增加的责任。计算机的应用已经超越于解决问题的范围，他能给予人们研究科学的洞察力，由此导致对数学教育更高的要求。计算机在当今世界的作用完全可以与物理在二十世纪前半叶的作用相比美。通过计算机的模拟，能揭示未知的数学现象。它给数学如此大的推动，有如望远镜对于天文学，显微镜对于生物学一样。另一方面，计算机的巧妙应用，使得研究人员的学识和智慧得以充分发挥，人们能够相信，无论什么时候，数学教育都应该使用计算器和计算机。
日本数学教育协会主席藤田宏教授认为，数学史上有三大高峰：1. 公元前三世纪诞生的欧氏几何学；2. 17-18世纪微积分的发现和发展；3. 现代公理化数学的起源。当代数学的统一的进步，包括计算机科学的进步，可以称为数学史上的第四个高峰。数学和科学技术的这些发展，应该反映在数学教育中。 发展学生的数学能力
发展学生的科学素质，培养学生的数学能力，是数学教育的重要目标之一。推理能力是重要的数学能力，它与探索能力，实践能力相辅相成。这些能力要同时培养。巴西的努纳斯教授认为，在小学里，儿童能够通过利用数学工具，在问题解决的活动中进行学习，并建立起符合他们年龄特征的推理系统；相反，如果儿童学习有关数学工具，但不把它结合到推理活动中，那么，他们解决问题的思维就将受到束缚。 ICME 9的小学数学教学组着重研究了如下专题：（1）理解和检查儿童的数学思维；（2）努力发展儿童的数学能力；（3）对教师在理解、评价和发展儿童数学能力方面给予支持。
培养学生的学科意识
ICME 9的初中数学教学组认为，对于11-16岁的少年儿童，数学课程，相关的教材和教学活动，应该巧妙地帮助学生完成从儿童到成人行为的转变。初中数学课程既要考虑与小学课程的衔接，又要考虑与高中课程的衔接。
在数学中，符号是必不可少的语言。它是人类思维与交流的工具，它能够清晰而简明地表达数学思想和规律。数学符号涉及多个数学分支，在科学技术中，利用数学符号，能有效地寻求模式，进行概括。借助于数学符号，能把有关问题规范化。因此，数学课程要帮助学生树立正确的学科观念，建立正确的符号意识。初中生在数学学习中，要接触大量数学符号，因此，在概念的教学中，要注意符号的自然引入。在代数中要讲请算理与算法，在几何中要弄清图形的特征性质，正确揭示符号所反映的的关系与规律。 帮助学生掌握数学思想方法
高中数学课程面临重大改革，美国数学教师协会（NCTM ）於2000年制订发表的" 学校数学课程的原则与标准" 受到举世关注。高中生应该学习范围宽广的函数知识，包括三角函数，指数函数，等等。在几何，度量，数据分析，概率等方面，学生应该巩固和扩展他们在低年级所学的知识。不断发展他们在数学方面，特别是在问题解决，数学表述，推理论证等方面的熟练程度。ICME 9的高中数学教学组一致认为，数学思想方法的教学应该成为高中数学课程的重要部分。数学建模思想受到与会专家的普遍重视。
由于各国的情况存在诸多差异，在高中数学课程的具体安排上，各国有不同的着重点。例如，英国的高级水平（A-level ）数学，主要面向对数学要求较高的理工大学考生，此种数学班的学生需要学习纯数学：统计学，理论力学等内容。韩国开办面向天才生的理科高中，密码学和高等字符串的理论理科高中的学习内容。印度有良好的计算技能传统，甚至文盲的蔬菜小贩也有出色的算术运算技能。为了保持这一善于计算的传统，他们在当今数学教学中仍然不允许使用计算器。
四、数学教育的发展趋势：在迈入21世纪后，随着社会发展和人民生活的需求，数学教育越来越明显地表现出如下的趋势和变化:
1. 科学文化素养越来越成为每一个公民乃至于整个民族文化素养的重要内容和标志，因此数学教育应面向大众，面向每一学生。实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
2. 数学教学将从传统的" 传授知识" 的模式，更多地转变到" 以激励学习为特征、以学生为中心" 的实践模式。学生的自主学习、独立创造、个性发展将受到更多的重视。
3. 数学教学将本着重于培养、发展学生的广泛的数学能力。它不仅包括理解运用数学概念和方法，组织正确的逻辑推理，进行准确有效的计算和估算，还应包括：会检索阅读相应的数学书刊文献，会利用表、图、计算机去组织、解释、选择、分析和处理信息，能从模糊的实际问题中抽象出相应的数学问题，会选择有
效的解决问题的方法、工具和策略，会用数学符号和语言进行正确的表达和交流。
4. 素质教育要求我们在基础教育阶段就开始培养学生有实现自我" 可持续发展" 的意识和能力，它要求我们的学生学会设问、学会探索、学会合作，去解决面临的问题，去适应环境。只有学会学习，才能学会生存，只有敢于创新，才能赢得发展。
5. 数学教学的目标不仅仅局限于发展学生的认知能力，而更关注学生作为一个社会中的人的发展，特别是学生个性和创造力的发展。不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，让学生亲身经历探索获取的过程。
6. 学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引者与合作者。数学教学不再是教师单纯地为学生的付出，而是教师创造性生活的一部分。数学教学的过程是师生双方实现自己生命价值和自身发展的舞台。 我们应该看到，在教师的指导下，由学生自主探索、动手实践和合作交流，已然成为当前数学教育的必然趋势。数学教学呼唤学生的主体参与，不仅强调在实践中完成学生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造。我们教师应致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索的数学活动中去，正真实现可持续性和谐发展。 五、现代数学教育观：ICME 9的大专数学教育组和大学数学教育组分别研究高等数学教育中广泛的问题。由于大学院系专业繁多，各专业对数学的要求不一，大会主要讨论大学公共基础课的高等数学教学问题。与会者认为，随着中小学教学改革的深入展开，随着大学教育系统的改变，大学数学教学改革势在必行：
（1）大学数学应该为学生学习专业课打下良好基础；（2）大学数学应该培养学生良好的思维品质和学习能力；（3）大学数学要为学生未来专业工作提供数学工具；（4）当前的大学数学教学赶不上中小学的发展，因此，大学数学教学方法必须改革。
日本专家认为，日本大学数学进入了紧要关头。其理由有三个：首先，大学一年级学生数学知识和能力水平在严重下降；其二，大学教育系统正在改变，数学教学尚未适应这个变化；第三，大学数学教育与学生未来的专业学习配合不当，甚至相互脱节。为此，日本文部省组织专家进行了深入的调查，并提出了改革方案。
六、国际视野下的中国数学教育：中国高等学校是全国科学研究的一个重要的方面军，数学研究也是这样，特别是近十年来有了较全面的发展与提高，一些大学还设立了数学研究所。高级数学人才的培养也随之逐渐能立足于国内，正式建立了学位制。数学方面已在基础数学、计算数学、应用数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论、数学教育与数学史等方面培养博士研究生。1983年在中国第一批18位接受本国博士学位的研究生中，获得数学博士学位的就有12人。必须指出，中国科学院数学各方面研究所，在培育人才，包括培养研究生方面，也起了重要作用。1966年以前曾向少数国家派遣了数学方面的留学生和进修教师，1978年起派出人员大量增加。还邀请了许多国外数学家前来讲学，中国数学家出国讲学和参加国际数学学术会议的就更多了。中外学术交流对中国数学事业的繁荣起着很好的作用。