第五部分：同角之间基本关系计算
【解题原理】
【同角之间的基本关系一】：
。
【同角之间的基本关系二】：
。
【推导】：根据终边上任意点的定义得到：
，
；
。
；
根据终边上任意点的定义得到：
，
。
【三角函数在四个象限的正负】：
三角函数/象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
正弦
正
正
负
负
余弦
正
负
负
正
正切
正
负
正
负
【第一类题型】
【题型一】：已知
，
角的象限，求
和
。
【解题思路】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据
角的象限确定：
的正负。
或者
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
得到
的值。
【题型二】：已知
，
角的象限，求
和
。
【解题思路】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据
角的象限确定：
的正负。
或者
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
得到
的值。
【题型三】：已知
，
角的象限，求
和
。
【解题思路】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据
角的象限确定：
的正负。
或
。
根据
得到：
的值。
【第二类题型】
【题型一】：已知
，求
。
【解题思路】：根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
。解一元二次方程得到
的值。
【题型二】：已知
，求
。
【解题思路】：
。
解一元二次方程得到：
的值。
【第三类题型】
【题型一】：已知
，求
和
。
【解题思路】：
。
根据三角函数的同角之间基本关系得到：
。
把
代入
得到：
解一元二次方程的得到：
的值。
把
的值代入
得到
的值。
【同角之间基本关系的相关例题】
【例题一】：【2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷】已知
，
，则
。
【本题解析】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
；
，
。
根据余弦函数的两角差公式得到：
。
【本题答案】：
【例题二】：【2017年高考文科数学新课标Ⅲ卷】已知
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
；
根据正弦函数的二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【例题三】：【2016年高考文科数学全国Ⅰ卷第14题】已知
是第四象限角，且
，则
=
。
【本题解析】：
，
或者
。
是第四象限角
。
根据正切函数的二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【例题四】：【2016年高考理科数学新课标Ⅲ卷第4题】若
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据三角函数二倍角公式得到：
；
，
。
【本题答案】：
【例题五】：【2016年高考文科数学新课标Ⅲ卷第6题】若
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
，
。
【本题答案】：
【例题六】：【
年高考理科数学重庆卷第
题】若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：三角函数两角和差公式如下：
两角和公式
两角差公式
正弦
余弦
正切
；
；
根据诱导公式得到：
；
。
。
【本题答案】：
【例题七】：【
年高考理科数学广东卷第
题】在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
。
（Ⅰ）若
，求
的值。
【本题解析】：根据两个向量垂直，向量积为零得到：
。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
【本题答案】：
【例题八】：【
年高考理科数学浙江卷】已知
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：因为：
；
所以：
或者
。
三角函数的二倍角公式：
正弦
余弦
正切
当
时：
。
当
时：
。
【本题答案】：
【例题九】：【
年高考理科数学大纲卷】已知
是第三象限角，
，则
。
【本题解析】：根据同角之间的基本关系得到：
。
因为：
角是第三象限角；所以：
。
根据同角之间的基本关系得到：
；
。
【本题答案】：
【例题十】：【
年高考理科数学新课标Ⅱ卷】设
为第二象限角。若
，则
。
【本题解析】：根据三角函数的两角和差公式得到：
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
把
代入
得到：
。
因为：
为第二象限角；所以：
。
。
【本题答案】：
【跟踪训练一】：【
年高考理科数学山东卷第
题】若
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
【跟踪训练二】：【
年高考理科数学辽宁卷第
题】已知
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】
【跟踪训练三】：【
年高考理科数学江西卷第
题】若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
【跟踪训练四】：【
年高考理科数学全国卷第
题】已知
为第二象限角，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】
【跟踪训练五】：【
年高考理科数学福建卷第
题】若
，则
的值等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
【跟踪训练六】：【
年高考理科数学重庆卷第
题】
已知
，且
，则
的值为 。
【本题解析】：
【跟踪训练七】：已知
，
，则
。
【本题解析】
【跟踪训练八】：【
年高考理科数学辽宁卷】
已知
，
，
。
（Ⅰ）若
，求
的值。
【本题解析】：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：【
年高考理科数学山东卷第
题】若
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据同角之间的基本关系得到：
。
因为：
；所以：
。
根据三角函数的二倍角公式得到：
。
因为：
；所以：
。
【本题答案】：
【跟踪训练二】：【
年高考理科数学辽宁卷第
题】已知
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
。
【本题答案】：
【跟踪训练三】：【
年高考理科数学江西卷第
题】若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据三角函数同角之间的基本关系得到：
；
。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
三角函数半角公式如下：
正弦半角公式
余弦半角公式一
余弦半角公式二
根据三角函数的半角公式得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练四】：【
年高考理科数学全国卷第
题】
已知
为第二象限角，
，则
（ ）
（B）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
。
把
代入
得到：
。
因为：
角为第二象限角；所以：
。
根据三角函数的二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练五】：【
年高考理科数学福建卷第
题】若
，则
的值等于（ ）
（B）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据三角函数的二倍角公式得到：
。
。
【本题答案】：
【跟踪训练六】：【
年高考理科数学重庆卷第
题】
已知
，且
，则
的值为 。
【本题解析】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
把
代入
得到：
因为：
；所以：
。
根据三角函数两角和差公式得到：
。
根据三角函数二倍角公式得到：
。
所以：
。
【本题答案】：
【跟踪训练七】：已知
，
，则
。
【本题解析】：根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
因为：
；所以：
。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
根据三角函数二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练八】：【
年高考理科数学辽宁卷】
已知
，
，
。
（Ⅰ）若
，求
的值。
【本题解析】：
；
；
。因为：
；所以：
。
【本题答案】：
第五部分：同角之间基本关系计算
【解题原理】
【同角之间的基本关系一】：
。
【同角之间的基本关系二】：
。
【推导】：根据终边上任意点的定义得到：
，
；
。
；
根据终边上任意点的定义得到：
，
。
【三角函数在四个象限的正负】：
三角函数/象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
正弦
正
正
负
负
余弦
正
负
负
正
正切
正
负
正
负
【第一类题型】
【题型一】：已知
，
角的象限，求
和
。
【解题思路】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据
角的象限确定：
的正负。
或者
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
得到
的值。
【题型二】：已知
，
角的象限，求
和
。
【解题思路】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据
角的象限确定：
的正负。
或者
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
得到
的值。
【题型三】：已知
，
角的象限，求
和
。
【解题思路】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据
角的象限确定：
的正负。
或
。
根据
得到：
的值。
【第二类题型】
【题型一】：已知
，求
。
【解题思路】：根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
。解一元二次方程得到
的值。
【题型二】：已知
，求
。
【解题思路】：
。
解一元二次方程得到：
的值。
【第三类题型】
【题型一】：已知
，求
和
。
【解题思路】：
。
根据三角函数的同角之间基本关系得到：
。
把
代入
得到：
解一元二次方程的得到：
的值。
把
的值代入
得到
的值。
【同角之间基本关系的相关例题】
【例题一】：【2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷】已知
，
，则
。
【本题解析】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
；
，
。
根据余弦函数的两角差公式得到：
。
【本题答案】：
【例题二】：【2017年高考文科数学新课标Ⅲ卷】已知
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
；
根据正弦函数的二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【例题三】：【2016年高考文科数学全国Ⅰ卷第14题】已知
是第四象限角，且
，则
=
。
【本题解析】：
，
或者
。
是第四象限角
。
根据正切函数的二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【例题四】：【2016年高考理科数学新课标Ⅲ卷第4题】若
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据三角函数二倍角公式得到：
；
，
。
【本题答案】：
【例题五】：【2016年高考文科数学新课标Ⅲ卷第6题】若
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
，
。
【本题答案】：
【例题六】：【
年高考理科数学重庆卷第
题】若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：三角函数两角和差公式如下：
两角和公式
两角差公式
正弦
余弦
正切
；
；
根据诱导公式得到：
；
。
。
【本题答案】：
【例题七】：【
年高考理科数学广东卷第
题】在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
。
（Ⅰ）若
，求
的值。
【本题解析】：根据两个向量垂直，向量积为零得到：
。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
【本题答案】：
【例题八】：【
年高考理科数学浙江卷】已知
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：因为：
；
所以：
或者
。
三角函数的二倍角公式：
正弦
余弦
正切
当
时：
。
当
时：
。
【本题答案】：
【例题九】：【
年高考理科数学大纲卷】已知
是第三象限角，
，则
。
【本题解析】：根据同角之间的基本关系得到：
。
因为：
角是第三象限角；所以：
。
根据同角之间的基本关系得到：
；
。
【本题答案】：
【例题十】：【
年高考理科数学新课标Ⅱ卷】设
为第二象限角。若
，则
。
【本题解析】：根据三角函数的两角和差公式得到：
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
把
代入
得到：
。
因为：
为第二象限角；所以：
。
。
【本题答案】：
【跟踪训练一】：【
年高考理科数学山东卷第
题】若
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
【跟踪训练二】：【
年高考理科数学辽宁卷第
题】已知
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】
【跟踪训练三】：【
年高考理科数学江西卷第
题】若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
【跟踪训练四】：【
年高考理科数学全国卷第
题】已知
为第二象限角，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】
【跟踪训练五】：【
年高考理科数学福建卷第
题】若
，则
的值等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
【跟踪训练六】：【
年高考理科数学重庆卷第
题】
已知
，且
，则
的值为 。
【本题解析】：
【跟踪训练七】：已知
，
，则
。
【本题解析】
【跟踪训练八】：【
年高考理科数学辽宁卷】
已知
，
，
。
（Ⅰ）若
，求
的值。
【本题解析】：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：【
年高考理科数学山东卷第
题】若
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据同角之间的基本关系得到：
。
因为：
；所以：
。
根据三角函数的二倍角公式得到：
。
因为：
；所以：
。
【本题答案】：
【跟踪训练二】：【
年高考理科数学辽宁卷第
题】已知
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：
。
【本题答案】：
【跟踪训练三】：【
年高考理科数学江西卷第
题】若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据三角函数同角之间的基本关系得到：
；
。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
三角函数半角公式如下：
正弦半角公式
余弦半角公式一
余弦半角公式二
根据三角函数的半角公式得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练四】：【
年高考理科数学全国卷第
题】
已知
为第二象限角，
，则
（ ）
（B）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
。
把
代入
得到：
。
因为：
角为第二象限角；所以：
。
根据三角函数的二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练五】：【
年高考理科数学福建卷第
题】若
，则
的值等于（ ）
（B）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：根据三角函数的二倍角公式得到：
。
。
【本题答案】：
【跟踪训练六】：【
年高考理科数学重庆卷第
题】
已知
，且
，则
的值为 。
【本题解析】：根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
。
把
代入
得到：
因为：
；所以：
。
根据三角函数两角和差公式得到：
。
根据三角函数二倍角公式得到：
。
所以：
。
【本题答案】：
【跟踪训练七】：已知
，
，则
。
【本题解析】：根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
因为：
；所以：
。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：
。
根据三角函数二倍角公式得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练八】：【
年高考理科数学辽宁卷】
已知
，
，
。
（Ⅰ）若
，求
的值。
【本题解析】：
；
；
。因为：
；所以：
。
【本题答案】：