第一积分中值定理的一些扩展及其应用
朱碧
朱正军
（河南工业大学理学院，河南郑州４５０００１）
摘要：积分中值定理是进入微积分学的大门．在许多
证明和近似计算中都会用到．并且有不少的推广形式。而与之对应的积分中值定理．一般教材对之讲得都比较简略，其推广形式也只是提了一下。而没有给出证明。本文对积分中值定理进行了总结．并给出了一些推广形式及其证明。
关键词：第一积分中值定理分析推广应用在一般的教材巾，我们很容易就可以找到第一积分中值定理和第二积分中值定理。但它们都是在有限闭Ⅸ问上成立的。它们在无限区间上是否成立？还有没有其它的推广形式？它们有哪些重要的应用？下面我们对第一积分中值定理进行分析。
第一积分中值定理：㈣¨９１若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续有界，ｇ（ｘ）在
［ａ。ｂ］上可积且不变号，则存在一点专∈［ａ＇ｂ］，使得
ｆｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝““ｇ（ｘ）ｄｘ
（１）
作为特殊情况，当ｇ（ｘ）＝１时，有：若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则存
在一点∈∈［ａ，ｂ】，使得（ｆ（ｘ）ｄｘ＝聪№一ａ）。
１．有关第一积分中值定理的推广
由第一积分中值定理可知。在［ａ，ｂ］上满足（１）的毫是存在的，但在原题设的条件Ｆ毒是可以限制在ａ，ｂ）内的，这样才更能体现中值定理的“巾值”二字。下面是第一积分中值定理推广：
定理１．１若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续有界＇ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积且
不变号，则存在一点考∈（ａ，ｂ），使得ｆ“ｘ）ｇ（ｘ）ｄ】【趔考垣ｇ（ｘ）ｄｘ。
由第一积分中值定理可知，当区间［ａ，ｂ］是有限Ⅸ间时，中值定理成立。若把区间［ａ，ｂ］换成［ａ，＋∞）或（一ｍ，ｂ］时，满足结论
的￡还存在吗？事实Ｌ，答案是肯定的。
定理１．２若ｆ∞在Ⅸ间［ａ，＋ｏｏ）七连续有界，ｇ（ｘ）在区间［ａ，＋唧上可积且不变号，则存在专∈［ａ’＋∞），使得
ｆｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（鲁珑ｇ（ｘ）ｄｘ
（２）
当把区间［ａ，ｂ３换成（一∞，ｂ］时，满足结论的ｔ也存在。下面给出第一积分中值定理的推广形式：Ｉｏ］
定理１．３若ｆ（ｘ）在［讪］上可积且有原函数，ｇ（ｘ）在［曲］上可
积且不变号，则存在一点考∈［ａ
ｔ，］，使得Ｊ＝ｆ（ｘ枞删办）ｄｘ。
为证明这一定理．先给出引理：
引理：（达布定理）若ｆ（ｘ）在［ａ＇ｂ］上可导，则对ｆ，＋（ａ）和ｆ，＋∞之
间的任意¨，则在（ａ＇ｂ）内存在一点ｃ使得ｆ，（ｃ）＝斗。
证明：不妨设ｓ（ｘ）≥０，令ｍ＝ｉｎｆｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ】，且Ｍ＝ｓｕｐｆ（ｘ），
Ｘ∈［ａ’ｂ］。设Ｆ（ｘ）是ｑｘ）的一个原函数，即当Ｘ∈［曲］时，Ｆ’（ｘ）＿－－ｆ
（ｘ）。又显然有
１．
ｋ
ｈ
ｍＪ：ｇ（ｘ）ｄｘ≤．ｆ＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ≤ＭＪ：ｇ（ｘ）ｄｘ
（３）
当ｆｇ（ｘ）ｄ】【＝ｏ时，由（３）知，．『＝ｆ（ｘ碱ｘ）ｄｘ＝ｏ。这时对任意的考Ｅ
［ａ，ｂ］均有取ｘ）出）ｄｘ＝ｆ（“酿）ｄｘ。当Ｊ：融）ｄｘ＞ｏ时，由（３）知
ｍ≤￡竺尘堂≤Ｍ
（４）
记舻警
ｒ出）ｄ】【
（５）
万方数据
此时可分两种情况考虑：
如果（４）中两边等号不成立，ｌｌｌｌｍ＜斗＜Ｍ，此时存在ｘ．’ｘ：Ｅ［ａ，ｂ］，使得ｍ≤ｆ（ｘＩ）＜肛，ｐ≤ｆ（ｘ２）＜Ｍ，不妨设ｘｌ＜ｘ２，则有［ｘＩ＇ｘ２］Ｃ
［ａ，ｂ］，ＲＦ’（ｘ１）却１）＜斗＜ｆ（ｘ２）＝Ｆ’ｘ２），由引理知，至少存在一点专Ｅｘ。，）【２），使得Ｆ’（Ｏ－－ｆ（Ｏ＝ｔｌ，，于是．『敝）ｇ（ｘ）ｄｘ川副秘）ｄ】【。考Ｅ
ｘ。，
ｋ）Ｃ［ａ，ｂ］，结论成立。
如果（４）中有一个等号成立，不妨设Ｉｚ＝Ｍ。由ｇ（ｘ）≥Ｏ且
，：ｇ（ｘ）ｄ】【＞０知，必存在［ａ。，ｂ。］ｃ［ａ’ｂ］（其巾ａＩ＜ｂ。）使得对任意的ｘ∈［ａｔ，ｂ１］恒有ｇ（ｘ）＞ｏ。因为ｔｒ＝Ｍ，即Ｊ：（Ｍ－ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，又因为ｇ（ｘ）Ｉ＞０，必有ｏ≤－ｒ．：（Ｍ—ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ≤ｆ（Ｍ一“ｘ））ｇ（ｘ）ｄ】【＝ｏ，于是璃ｊ＇Ｊ＇：ｉ（Ｍ－ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｏ
（６）
下证必存在毫∈［ａｉ，ｂ．］ｃ［ａ，ｂ］使得ｆ（０＝Ｍ＝ｔｒ，若不然，在［ａ．，ｂ１］中恒有Ｍ－ｆ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）＞Ｏ，从而（Ｍ—ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）＞Ｏ，所以
，：：（Ｍ—ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ＞Ｏ，这与（６）式矛盾。
所以存在毫Ｅ（ａ，ｂ），使得，：ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄ】【＝ｆ（￡矿ｇ（ｘ）ｄ】【。
２．第一积分中值定理的应用
‘
．例２．１．含变量的积分函数的导数［，】
设Ｆｏ）可：：ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ，如果函数ｆｋｙ）及ｆ，似ｙ）都在［如ｂ］上连
续，同时在［ｃ，ｄ］３２ａ’Ｏ）及ｂ’∞皆存在，并且ａ≤ａ０）≤ｂ，ａ≤ｂ∽≤ｂ，（ｃ≤ｙ≤ｄ），则
Ｆ７６归兰《ｆ（ｘ，ｙ＞ｄｘ＝彘（ｘ，ｙ）ｄ】‘＋袖（ｙ），ｙ）ｂ７０卜ｆ（ａｏ），ｙ）ａ’劬
ｕＪ
要证明这个定理。先给出一个引理。
ｉ
引理：若函数㈣及‘ｏ滞在［ａ，ｂ】上连续，则兰取壮趣
（ｘ，ｙ）ｄｘ－垛ｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘＶ
。
证明：考虑Ｆ∽在［ｃ，ｄ］上的任何一点Ｙ。处的导数，由于呦
＝，裂ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋．ｆ：瓤，ｙ）ｄｘ－Ｊ：）（ｘ，ｙ）ｄ）【＝Ｆ．ｏ）＋Ｆ２０）＋Ｆ３∽。现在分别
考虑ＦｉＯ）在ｙ。处的导数（ｉ＝ｌ，２，３）。
由引理可知，Ｆ’。∞可数（ｘ，ｙｏ）Ｃｋ。
．．
此外，因为Ｆ２㈨＝ｏ，所以Ｆ，：㈨：ｌｉｍ—Ｆ２（ｙ）－—Ｆ２（Ｙｏ）：ｌｉｍ墨盟：
７’，・
ｙ－Ｙｏ
，’，・ｙ—ｙｏ
ｌｉ越型ｄ】【。
ｒ＿．ｙ・
Ｙ－Ｙｏ
应用积分中值定理，Ｆ＇２㈨：ｌｉｍｂ（ｙ）－－ｂ（ｙｏ）ｆ（；，ｙ），这里ｉ在㈨
’’“
Ｙ－Ｙｏ
和ｂ００）之间。我们再注意到ｆ（ｘ，ｙ）的连续性及ｂＯ）的可微性，于是得Ｆ’２（Ｙｏ）＝ｂ’（Ｙｏ）ｆ（ｂ（ｙｏ），Ｙｏ）。同理可以证明：Ｆ，３（ｙｏ）＝ａ’（ｙｏ）ｆ（ａ（ＹＪ，蚶。
综上可知，Ｆ，ｏ）＝璧‘ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｆ（ｂ（ｙ），ｙ）ｂ’ｏ）—舳ｏ），ｙ）ａ’∽
．
第一积分中值定理在微分学中还有许多应用，例如在
几‘类常见的递推公式
王太生
（秦安县第四中学，甘肃秦安７４１６００）
递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式求数列
的通项公式是每年高考的热点。这类题型对学生的能力要
例２．已知数列｛ａｎ｝中，ａＩ＝ｉＩ，Ｓ。２～，求通项ａｈ。
求较高，特别是对运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力的要求较为突出，在求解过程中渗透了多种数学解：当ｎ≥２时，ａｎ＝鼠一＆。＝ｎ２ａ．一（ｎ－１）≮．。＋
思想方法。灵活性大，技巧性强。下面笔者列举几种常见的
＝，——＝——ｏ
．ａｕ
ｎ—ｌ
递推式。
ａ¨ｎ＋１
一、形如“ａｎ＋．－ａ－－ｆ（ｎ）”的递推式
．ａ２
Ｉａ３２ａ４３ａ，４
ａ¨
ｎ一２ａｎ
由此类递推式给出的数列求通项公式，可采用“累加法”。・。・——＝——，——＝——，——＝——，——＝——，…，——＝——，——＝
ａＩ
３’ａ２
４
ａ３
５。ａ．６’’ａｔｍ
ｎ’ａ
Ｉ
ａ２－ａｌ≤（１），ａ３－ａ２－－ｆ（２），ａ４－ａ３－－－－ｆ（３），…，ａｎ一¨＝ｆ（ｎ—１）。将
ｎ－Ｉ
这些等式累加可得：ａｎ：ａＩ＋艺ｆ（ｋ），其中艺ｆ（ｋ）可求。，这些等式累加可得：ａｎ＝ａＩ＋二ｆ（ｋ），其中二ｆ（ｋ）可求。，
鬲。
以上（ｎ－１）个等式相乘得：
例１．在数列（～ｌ中，已知ａｌ＿了Ｉ，～产～＋击，求通项公式ａｎ。
２３４ｎ一２
ｎ－Ｉ
ａ。
２
“
・
——＝——。一ｕ——…‰‘——ｊ——＝——＝ａ—ｊ
ａｎ
ｌ
Ｚ
ａ．
３４
５
６
ｎ
ｎ＋ｌ
ａ。
ｎ（ｎ＋１）
解：由题设可知，ａ２一ａｌ－÷，
——Ｌ（ｎ≥２）２。
ｎ（ｎ＋１）‘
１
屯一ａ２。—ｉ，
．・．。ａＩ－÷适合上式，．
２。
１
・。・ａｎ２丽。
‰一～１＿了。
三、形如“ａ训＝ｐａ。＋ｑ”（ｐ为常数且ｐ≠０，ｐ≠１）的递推式两边累加得ａ．＝｛＋÷＋÷＋……＋÷２－一｛２。
由此类递推式给出的数列求通项公式．可先将数列转化为等比数列，用“待定系数法”求解，构造ａ。，＋ｘ＝ｐ（ａ。＋ｘ），比较
二、形如“塑＝ｆ（ｎ）一Ｉｆ（ｎ）不是常数）的递推式
ａｎ
系数可得Ｘ－－－－三，即数列｛ａｎ＋ｊ≮ｌ是以８．＋三为首项，ｐ为公
ｐ－ｉ
ｐ－ｌ
ｐ—ｌ
由此类递推式给出的数列求通项公式，可采用“累乘法”。
比的等比数列，从而求ｘ“ｄａｎ。当ｐ＝ｌｆｉｅｆ，数列｛ａｎＪ为等差数列，可ｔ兰＝ｆ（１），皇－－ｆ（２），！：ｆ（３），…，！＝ｆ（ｎ－１）。将这些等
直接求ａｎ。
ａｌ
ａ２ａ３
～Ｉ
例３．已知数列｛ａ。｝中，ａＩ＝１，ａ。＝÷ａ，ｌ＋ｌ（ｎ≥２），求通项公
式累乘可得懈。＃瞅）’其中取ｒｃ０可求。
式气。
第一类曲线积分的计算公式的推导，化第一类曲面积分为
［３］毛羽辉．数学分析选论．北京：科学出版社，２００３．二重积分的推导，以及格林公式的推导中都有积分中值定［４］李成章，黄玉民．数学分析（上册）．北京：科学出版社，
理的应用，另外，第一积分中值定理在后继课程中也有不少
２００４．
的应用。
［５］邓车皋，以小玲．数学分析简明教程（上册）．北京：高等
经以上论证和举例知，满足第一积分中值定理的∈可以限
教育出版社．１９９６．６（２００２重印）．
制在开区间内。此定理也可以推广到［ａ，＋＊）或（一∞，ｂ］上。另［６］龚怀云等．数学分析．西安：西安交通大学出版社，２０００．１１．外，由此定理的应用可知，积分中值定理在微积分学及其后继［７］复旦大学数学系．数学分析（下册）．北京：高等教育出
课程里具有举足轻重的地位。因此，这个定理是不容忽视的，版社。１９８３．１１（２００２重印）．
学生对其充分的了解是必要的。
［８］邓车皋，尹小玲．数学分析简明教程（下册）．北京：高等
教育出版社．１９９６．６（２００２重印）．
参考文献：
［９］Ｔ．Ｍ．菲赫金哥尔茨著．徐献瑜等译．微积分学教程（第『¨复旦大学数学系．数学分析（上册）．北京：高等教育出二卷第三分册）．北京：人民教育出版社，１９５４．１０（１９７８．３重印）．
版社．１９８３．１ｌ（２００２重印）．
［１０］关若锋．积分中值定理的推广．广州大学学报（自然科
『２］Ｔ．Ｍ．菲赫金哥尔茨著．北京大学数学教研室译．微积分学版），２００４．１２，ＶＯＬ３，（６）．
学教程（第二卷第一分册）．北京：人民教育出版社，１９５４．１０［１１］Ａ．Ｈ．吉洪诺夫，Ａ．Ａ．撒马尔斯基著．黄可欧等译．数学
（１９７８．３。第１４次印刷）．
物理方程（上册）．北京：人民教育出版社，１９５６．１（１９６０．５蕾印）．
万方数据
第一积分中值定理的一些扩展及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
朱碧， 朱正军
河南工业大学理学院,河南,郑州,450001考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2009，""(37)0次
参考文献(11条)
1. 复旦大学数学系 数学分析 1983
2. T M 菲赫金哥尔茨. 北京大学数学教研室 微积分学教程 19543. 毛羽辉 数学分析选论 20034. 李成章. 黄玉民 数学分析 20045. 邓车皋. 以小玲 数学分析简明教程 19966. 龚怀云 数学分析 20007. 复旦大学数学系 数学分析 19838. 邓车皋. 尹小玲 数学分析简明教程 19969. T M 菲赫金哥尔茨. 徐献瑜 微积分学教程 195410. 关若锋 积分中值定理的推广 2004(06)
11. A H 吉洪诺夫. A A 撒马尔斯基. 黄可欧 数学物理方程 1956
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第一积分中值定理的一些扩展及其应用
朱碧
朱正军
（河南工业大学理学院，河南郑州４５０００１）
摘要：积分中值定理是进入微积分学的大门．在许多
证明和近似计算中都会用到．并且有不少的推广形式。而与之对应的积分中值定理．一般教材对之讲得都比较简略，其推广形式也只是提了一下。而没有给出证明。本文对积分中值定理进行了总结．并给出了一些推广形式及其证明。
关键词：第一积分中值定理分析推广应用在一般的教材巾，我们很容易就可以找到第一积分中值定理和第二积分中值定理。但它们都是在有限闭Ⅸ问上成立的。它们在无限区间上是否成立？还有没有其它的推广形式？它们有哪些重要的应用？下面我们对第一积分中值定理进行分析。
第一积分中值定理：㈣¨９１若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续有界，ｇ（ｘ）在
［ａ。ｂ］上可积且不变号，则存在一点专∈［ａ＇ｂ］，使得
ｆｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝““ｇ（ｘ）ｄｘ
（１）
作为特殊情况，当ｇ（ｘ）＝１时，有：若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则存
在一点∈∈［ａ，ｂ】，使得（ｆ（ｘ）ｄｘ＝聪№一ａ）。
１．有关第一积分中值定理的推广
由第一积分中值定理可知。在［ａ，ｂ］上满足（１）的毫是存在的，但在原题设的条件Ｆ毒是可以限制在ａ，ｂ）内的，这样才更能体现中值定理的“巾值”二字。下面是第一积分中值定理推广：
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不变号，则存在一点考∈（ａ，ｂ），使得ｆ“ｘ）ｇ（ｘ）ｄ】【趔考垣ｇ（ｘ）ｄｘ。
由第一积分中值定理可知，当区间［ａ，ｂ］是有限Ⅸ间时，中值定理成立。若把区间［ａ，ｂ］换成［ａ，＋∞）或（一ｍ，ｂ］时，满足结论
的￡还存在吗？事实Ｌ，答案是肯定的。
定理１．２若ｆ∞在Ⅸ间［ａ，＋ｏｏ）七连续有界，ｇ（ｘ）在区间［ａ，＋唧上可积且不变号，则存在专∈［ａ’＋∞），使得
ｆｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（鲁珑ｇ（ｘ）ｄｘ
（２）
当把区间［ａ，ｂ３换成（一∞，ｂ］时，满足结论的ｔ也存在。下面给出第一积分中值定理的推广形式：Ｉｏ］
定理１．３若ｆ（ｘ）在［讪］上可积且有原函数，ｇ（ｘ）在［曲］上可
积且不变号，则存在一点考∈［ａ
ｔ，］，使得Ｊ＝ｆ（ｘ枞删办）ｄｘ。
为证明这一定理．先给出引理：
引理：（达布定理）若ｆ（ｘ）在［ａ＇ｂ］上可导，则对ｆ，＋（ａ）和ｆ，＋∞之
间的任意¨，则在（ａ＇ｂ）内存在一点ｃ使得ｆ，（ｃ）＝斗。
证明：不妨设ｓ（ｘ）≥０，令ｍ＝ｉｎｆｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ】，且Ｍ＝ｓｕｐｆ（ｘ），
Ｘ∈［ａ’ｂ］。设Ｆ（ｘ）是ｑｘ）的一个原函数，即当Ｘ∈［曲］时，Ｆ’（ｘ）＿－－ｆ
（ｘ）。又显然有
１．
ｋ
ｈ
ｍＪ：ｇ（ｘ）ｄｘ≤．ｆ＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ≤ＭＪ：ｇ（ｘ）ｄｘ
（３）
当ｆｇ（ｘ）ｄ】【＝ｏ时，由（３）知，．『＝ｆ（ｘ碱ｘ）ｄｘ＝ｏ。这时对任意的考Ｅ
［ａ，ｂ］均有取ｘ）出）ｄｘ＝ｆ（“酿）ｄｘ。当Ｊ：融）ｄｘ＞ｏ时，由（３）知
ｍ≤￡竺尘堂≤Ｍ
（４）
记舻警
ｒ出）ｄ】【
（５）
万方数据
此时可分两种情况考虑：
如果（４）中两边等号不成立，ｌｌｌｌｍ＜斗＜Ｍ，此时存在ｘ．’ｘ：Ｅ［ａ，ｂ］，使得ｍ≤ｆ（ｘＩ）＜肛，ｐ≤ｆ（ｘ２）＜Ｍ，不妨设ｘｌ＜ｘ２，则有［ｘＩ＇ｘ２］Ｃ
［ａ，ｂ］，ＲＦ’（ｘ１）却１）＜斗＜ｆ（ｘ２）＝Ｆ’ｘ２），由引理知，至少存在一点专Ｅｘ。，）【２），使得Ｆ’（Ｏ－－ｆ（Ｏ＝ｔｌ，，于是．『敝）ｇ（ｘ）ｄｘ川副秘）ｄ】【。考Ｅ
ｘ。，
ｋ）Ｃ［ａ，ｂ］，结论成立。
如果（４）中有一个等号成立，不妨设Ｉｚ＝Ｍ。由ｇ（ｘ）≥Ｏ且
，：ｇ（ｘ）ｄ】【＞０知，必存在［ａ。，ｂ。］ｃ［ａ’ｂ］（其巾ａＩ＜ｂ。）使得对任意的ｘ∈［ａｔ，ｂ１］恒有ｇ（ｘ）＞ｏ。因为ｔｒ＝Ｍ，即Ｊ：（Ｍ－ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，又因为ｇ（ｘ）Ｉ＞０，必有ｏ≤－ｒ．：（Ｍ—ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ≤ｆ（Ｍ一“ｘ））ｇ（ｘ）ｄ】【＝ｏ，于是璃ｊ＇Ｊ＇：ｉ（Ｍ－ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｏ
（６）
下证必存在毫∈［ａｉ，ｂ．］ｃ［ａ，ｂ］使得ｆ（０＝Ｍ＝ｔｒ，若不然，在［ａ．，ｂ１］中恒有Ｍ－ｆ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）＞Ｏ，从而（Ｍ—ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）＞Ｏ，所以
，：：（Ｍ—ｆ（ｘ））ｇ（ｘ）ｄｘ＞Ｏ，这与（６）式矛盾。
所以存在毫Ｅ（ａ，ｂ），使得，：ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄ】【＝ｆ（￡矿ｇ（ｘ）ｄ】【。
２．第一积分中值定理的应用
‘
．例２．１．含变量的积分函数的导数［，】
设Ｆｏ）可：：ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ，如果函数ｆｋｙ）及ｆ，似ｙ）都在［如ｂ］上连
续，同时在［ｃ，ｄ］３２ａ’Ｏ）及ｂ’∞皆存在，并且ａ≤ａ０）≤ｂ，ａ≤ｂ∽≤ｂ，（ｃ≤ｙ≤ｄ），则
Ｆ７６归兰《ｆ（ｘ，ｙ＞ｄｘ＝彘（ｘ，ｙ）ｄ】‘＋袖（ｙ），ｙ）ｂ７０卜ｆ（ａｏ），ｙ）ａ’劬
ｕＪ
要证明这个定理。先给出一个引理。
ｉ
引理：若函数㈣及‘ｏ滞在［ａ，ｂ】上连续，则兰取壮趣
（ｘ，ｙ）ｄｘ－垛ｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘＶ
。
证明：考虑Ｆ∽在［ｃ，ｄ］上的任何一点Ｙ。处的导数，由于呦
＝，裂ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋．ｆ：瓤，ｙ）ｄｘ－Ｊ：）（ｘ，ｙ）ｄ）【＝Ｆ．ｏ）＋Ｆ２０）＋Ｆ３∽。现在分别
考虑ＦｉＯ）在ｙ。处的导数（ｉ＝ｌ，２，３）。
由引理可知，Ｆ’。∞可数（ｘ，ｙｏ）Ｃｋ。
．．
此外，因为Ｆ２㈨＝ｏ，所以Ｆ，：㈨：ｌｉｍ—Ｆ２（ｙ）－—Ｆ２（Ｙｏ）：ｌｉｍ墨盟：
７’，・
ｙ－Ｙｏ
，’，・ｙ—ｙｏ
ｌｉ越型ｄ】【。
ｒ＿．ｙ・
Ｙ－Ｙｏ
应用积分中值定理，Ｆ＇２㈨：ｌｉｍｂ（ｙ）－－ｂ（ｙｏ）ｆ（；，ｙ），这里ｉ在㈨
’’“
Ｙ－Ｙｏ
和ｂ００）之间。我们再注意到ｆ（ｘ，ｙ）的连续性及ｂＯ）的可微性，于是得Ｆ’２（Ｙｏ）＝ｂ’（Ｙｏ）ｆ（ｂ（ｙｏ），Ｙｏ）。同理可以证明：Ｆ，３（ｙｏ）＝ａ’（ｙｏ）ｆ（ａ（ＹＪ，蚶。
综上可知，Ｆ，ｏ）＝璧‘ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｆ（ｂ（ｙ），ｙ）ｂ’ｏ）—舳ｏ），ｙ）ａ’∽
．
第一积分中值定理在微分学中还有许多应用，例如在
几‘类常见的递推公式
王太生
（秦安县第四中学，甘肃秦安７４１６００）
递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式求数列
的通项公式是每年高考的热点。这类题型对学生的能力要
例２．已知数列｛ａｎ｝中，ａＩ＝ｉＩ，Ｓ。２～，求通项ａｈ。
求较高，特别是对运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力的要求较为突出，在求解过程中渗透了多种数学解：当ｎ≥２时，ａｎ＝鼠一＆。＝ｎ２ａ．一（ｎ－１）≮．。＋
思想方法。灵活性大，技巧性强。下面笔者列举几种常见的
＝，——＝——ｏ
．ａｕ
ｎ—ｌ
递推式。
ａ¨ｎ＋１
一、形如“ａｎ＋．－ａ－－ｆ（ｎ）”的递推式
．ａ２
Ｉａ３２ａ４３ａ，４
ａ¨
ｎ一２ａｎ
由此类递推式给出的数列求通项公式，可采用“累加法”。・。・——＝——，——＝——，——＝——，——＝——，…，——＝——，——＝
ａＩ
３’ａ２
４
ａ３
５。ａ．６’’ａｔｍ
ｎ’ａ
Ｉ
ａ２－ａｌ≤（１），ａ３－ａ２－－ｆ（２），ａ４－ａ３－－－－ｆ（３），…，ａｎ一¨＝ｆ（ｎ—１）。将
ｎ－Ｉ
这些等式累加可得：ａｎ：ａＩ＋艺ｆ（ｋ），其中艺ｆ（ｋ）可求。，这些等式累加可得：ａｎ＝ａＩ＋二ｆ（ｋ），其中二ｆ（ｋ）可求。，
鬲。
以上（ｎ－１）个等式相乘得：
例１．在数列（～ｌ中，已知ａｌ＿了Ｉ，～产～＋击，求通项公式ａｎ。
２３４ｎ一２
ｎ－Ｉ
ａ。
２
“
・
——＝——。一ｕ——…‰‘——ｊ——＝——＝ａ—ｊ
ａｎ
ｌ
Ｚ
ａ．
３４
５
６
ｎ
ｎ＋ｌ
ａ。
ｎ（ｎ＋１）
解：由题设可知，ａ２一ａｌ－÷，
——Ｌ（ｎ≥２）２。
ｎ（ｎ＋１）‘
１
屯一ａ２。—ｉ，
．・．。ａＩ－÷适合上式，．
２。
１
・。・ａｎ２丽。
‰一～１＿了。
三、形如“ａ训＝ｐａ。＋ｑ”（ｐ为常数且ｐ≠０，ｐ≠１）的递推式两边累加得ａ．＝｛＋÷＋÷＋……＋÷２－一｛２。
由此类递推式给出的数列求通项公式．可先将数列转化为等比数列，用“待定系数法”求解，构造ａ。，＋ｘ＝ｐ（ａ。＋ｘ），比较
二、形如“塑＝ｆ（ｎ）一Ｉｆ（ｎ）不是常数）的递推式
ａｎ
系数可得Ｘ－－－－三，即数列｛ａｎ＋ｊ≮ｌ是以８．＋三为首项，ｐ为公
ｐ－ｉ
ｐ－ｌ
ｐ—ｌ
由此类递推式给出的数列求通项公式，可采用“累乘法”。
比的等比数列，从而求ｘ“ｄａｎ。当ｐ＝ｌｆｉｅｆ，数列｛ａｎＪ为等差数列，可ｔ兰＝ｆ（１），皇－－ｆ（２），！：ｆ（３），…，！＝ｆ（ｎ－１）。将这些等
直接求ａｎ。
ａｌ
ａ２ａ３
～Ｉ
例３．已知数列｛ａ。｝中，ａＩ＝１，ａ。＝÷ａ，ｌ＋ｌ（ｎ≥２），求通项公
式累乘可得懈。＃瞅）’其中取ｒｃ０可求。
式气。
第一类曲线积分的计算公式的推导，化第一类曲面积分为
［３］毛羽辉．数学分析选论．北京：科学出版社，２００３．二重积分的推导，以及格林公式的推导中都有积分中值定［４］李成章，黄玉民．数学分析（上册）．北京：科学出版社，
理的应用，另外，第一积分中值定理在后继课程中也有不少
２００４．
的应用。
［５］邓车皋，以小玲．数学分析简明教程（上册）．北京：高等
经以上论证和举例知，满足第一积分中值定理的∈可以限
教育出版社．１９９６．６（２００２重印）．
制在开区间内。此定理也可以推广到［ａ，＋＊）或（一∞，ｂ］上。另［６］龚怀云等．数学分析．西安：西安交通大学出版社，２０００．１１．外，由此定理的应用可知，积分中值定理在微积分学及其后继［７］复旦大学数学系．数学分析（下册）．北京：高等教育出
课程里具有举足轻重的地位。因此，这个定理是不容忽视的，版社。１９８３．１１（２００２重印）．
学生对其充分的了解是必要的。
［８］邓车皋，尹小玲．数学分析简明教程（下册）．北京：高等
教育出版社．１９９６．６（２００２重印）．
参考文献：
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版社．１９８３．１ｌ（２００２重印）．
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『２］Ｔ．Ｍ．菲赫金哥尔茨著．北京大学数学教研室译．微积分学版），２００４．１２，ＶＯＬ３，（６）．
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物理方程（上册）．北京：人民教育出版社，１９５６．１（１９６０．５蕾印）．
万方数据
第一积分中值定理的一些扩展及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
朱碧， 朱正军
河南工业大学理学院,河南,郑州,450001考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2009，""(37)0次
参考文献(11条)
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