第20卷 第102期 财经理论与实践(双月刊)
1999年11月 THETHEORYANDPRACTICEOFFINANCEANDECONOMICS vol.20 No.102Nov.1999
布莱克)斯科尔斯期权定价模型
在可转换债券定价中的应用
张德华 陶 融
(沙洲工学院 江苏 张家港 215600)*
摘 要:可转换债券可看成是由一般债券和一个看涨期权价值所组成。介绍了布莱克)斯科尔斯期权定
价模型,分析了该模型在可转换债券定价中的应用。
关键词:布莱克)斯科尔斯期权定价模型 可转换债券
中图分类号:F830191 文献标识码:A 文章编号:1003-7217(1999)06-0052-03
一、引言
可转换公司债券是一种兼有股票和债券双重性的金融品种。近年来,随着国际市场的发展,尤其是最近的十年中,可转换公司债券得到了许多国家的高度重视,成为他们直接融资工具中的重要选择,可转换公司债券的发行量和其资本市场中的比重增长速度很快。在我国,随着5可转换公司债券管理暂行办法6的颁布,可转换债券(以下简称转券)的推出为公司和广大投资者提供了一种新的融资渠道与投资工具。公司需要制定正确的筹资决策以保证转券的顺利发行与转换成功,而投资者则需要制定正确的投资决策以规避风险并获得预期收益。为此,本文首先介绍了典型的期权定价布莱克)斯科尔斯(Black,FandHScholes)期权定价模型,然后使用该模型定量分析了转券的定价。
二、布莱克)斯科尔斯模型
期权是一种特殊的金融证券,它赋予持有人在特定的时期以确定的条件购买或售出一种资产的权利。看涨期权是购买资产的期权,看跌期权是卖出资产的期权。期权被执行时支付给资产的价格叫做执行价格或/敲定价格0,期权可被执行的最后日期叫/到期日0或/期满日0,欧式期权只能在到期日才能被执行,而美式期权可在到期日之前及以前的任何时间都能被执行。
关于期权定价的研究虽然在本世纪一开始就已由法国教学家路易斯#巴舍利耶(CouisBachelier)奠定了基础,但取得突破性进展却是在1973年,麦希尔#布莱克(FischerBlack)和迈托#斯科尔斯(MyronScholes)在5政治经济学杂志6上发表了他们关于期权和开拓性论文5期权和公司债务的定价6,在文中提出了开拓性的布莱克)斯科尔斯期权定价模型。布莱克和斯科尔斯在推导其期权价值公式时,假定股票市场和期权市场符合下面的/理想条件0:(1)无风险利率已知且不随时间变化;(2)股票价格是连续的,其行为遵循几何或对数布郎运动,即股票价格服从对数分布,且股票收益的方差不变;(3)股票不付红利或其他收益;(4)期权是/欧式的0,即期权品种在合约到期日才能被执行;(5)买卖股票或期权无交易成本和税的限制;(6)卖空没有限制;(7)市场连续运行。
基于上述假定,布莱克和斯科尔斯推导出的期权定价问题的解,仅仅是股票价格、股票价格波动率、期权的执行价格、距期权到期的时间、无风险利率这五个等量的函数,他们经过严密的数学推导,给出了无套利可能性及基于不付红利股票的欧式看涨期权的定价公式:
1999年第6期(总第102期) 张德华、陶融 布莱克)斯科尔斯期权定价模型在可转换债券定价中的应用53
C=SN(d1)-XeN(d2)
rF为无风险利率,N(d1)和N(d2)表示累积正态密度函数。-rft(1)其中,C是欧式看涨期权的价格,S是股票价格,X为期权的执行价格,t是期权距到期日的时间,
221n()+(rF+R)t1n()+(rF-R)tx2x2d1= , d2==d1-R是股票价格的年标准差(波动率)。
上述公式是假设不付红利或其他收益的情况下的,若考虑支付红利,布莱克)斯科尔斯期权定价模型要作相应的改进。如果以g代表股票的持续股息收益率,则改进后的模型,即支付股息的股票期权定价公式为:
C=SeN(d1)-XeN(d2)
其中,
d1=[1n(SPX)+(r-g+2R)t]PRt,d2=d1-Rt2-gt-rt(2)
三、转券定价模型
假定一个公司在t时刻拥有N股发行在外的流通股股票和M份转券,每股转券可使其持有者在T时刻以每股CP的转换价格转换该公司CR股股票,公司在t和T时刻的股价分别为St和ST,r为无风险利率。在t时的转券的价格应由二部分所组成,第一部分为可转券的直接价值,即如投资者购买了公司的可转券,如果按可转券的票面收益率计算未来期限内的现金流入量的市场贴现值,可转券的直接价值Pb可由下式表达:
+Pb=SE=1(1+r)(1+r)
上式中,FV)))转券面值,g)))转券票面利率,r)))市场贴现率,S)))转券剩余年限
第二部分为转换价值,即债券转换成股票时所能得到的价值。在T时刻从每份债券转换得到的盈利为:
CR(ST-CP)
只有当盈利为正时,转券的转换才有可能被执行,所以转券持有者的盈利为:
CR#max(ST-CP,O)
用贴现率t贴现,每份转券的盈利t时刻价值为:
-r(T-t)-r(T-t)e#CR#max(ST-CP,O)=e#max(CR#ST-CP#CR,O)
这是一个典型的看涨期权价值。因此,转券价格可以看作是由一般债券的价格和一个看涨期权价值组成,转券价格PC由下式表达:
PC=Pb+e-r(T-t)S#max[CR#ST-FV,O]
其中FV=转券面值=CR#CP
-r(T-t)可得:PC-Pb=e#max[CR#ST-FV,O]
上式实际上是一个看涨期权的价值。其价值直接用布莱克)斯科尔斯期权定价公式估计
-rSPC-Pb=St#CR#N(d1)-FV#e#N(d2)
其中:
2+(r+R)Sd1= , d2=d1-RRSt)))股票t时价格,r)))无风险利率,S=T-t即1nPbSt#1-(2-rS(
54财经理论与实践(双月刊) 1999年第20卷由上式公式可知,可转券价格受可转换债本身利率(g),公司股票价格(St)转换率和转换价格(CR和CP),无风险利率(r),距转券到期日(S)和股票标准差(R)。
(3)式是转券为零息债券时和定价公式,考虑转券附息的情况,需要作一定修正,根据式(2)和(3)式可得:
-gS-rSPc=Pb+St#e#CR#N(d1)-FVe#N(d2)(4)
其中:
2+(r-g+R)Sd1= , d2=d1-RR若考虑到转券转换时对股票稀释的影响,(3)式和(4)式中的股价St需作一定调整。
t时刻该公司的股本数为St#N,若T时刻转券持有人执行转换,该债权转股权,由于转换价格的现
-r(T-t)-r(T-t)值为M#CR#CP#e,公司的股权值增长到St#N+M#CR#CP#e,同时公司的股票增长到N+M#
CR,所以,转换执行后的瞬间股票价格成为:
-r(T-t)StN+M#CR#CP#e
N+M#CR
1令St=(5)式,于是(4)式改写为:
-gS-rSPc=Pb+S't#e#CR#N(d1)-FVe#N(d2)(5)1n
其中:
2+(r-g+R)Sd1= , d2=d1-RR(3)式可改写为:
-rSPc=Pb+S't#CR#N(d1)-FVe#N(d2)1n
其中:
St12+(r-g+R)Sd1= , d2=d1-RR-r(T-t)1由于股价大于转换价格时转券持有人才会执行转换,即St4CP#e才可能转换,所以St4St,由
此可知(4)式4(5)式,(3)式4(6)式。因此可以得到如下结论:转券到期之前只会转让,不会转换。说明转换期权具有看涨价值。
倒如,德昌公司发行转券9亿港元,期限为7年,支付年利息为415%,转换价格为20港元,每张面值为100港元。现在离到期还有2年,市场无风险率为5%,该公司股票价格为25元,该股票年方差为012。求该转券目前的价值。
不考虑转券转换对股票稀释的影响,根据式(4)进行计算,求得该转券的价值PC=13717港元,该定1n价综合考虑了债券的票面、利率、市场无风险利率,股票价格及其波动,转换价格等等。因此上述公式是转券投资决策的一个比较科学的标准。
四、小结
转券价格可以看作是由一般债券的价格(直接价值)和一个看涨期权价值(转换价值)所组成。看涨期权价值可直接用布莱克)斯科尔斯斯模型估价。这对转券投资者具有一定的参考价值。(6)
参考文献:
[1]Black,FandMScholes/ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities0,JournalofPoliticalEconomy,1973,NO3,P637-659.
[2]马忠智、吕益民:5可转换公司债券发行与交易实务6,人民出版社。
[3]邱惠清:/可转换债券定价模型与投资策略0,金融教学与研究,1998年第5期。(责任编校 东方)
第20卷 第102期 财经理论与实践(双月刊)
1999年11月 THETHEORYANDPRACTICEOFFINANCEANDECONOMICS vol.20 No.102Nov.1999
布莱克)斯科尔斯期权定价模型
在可转换债券定价中的应用
张德华 陶 融
(沙洲工学院 江苏 张家港 215600)*
摘 要:可转换债券可看成是由一般债券和一个看涨期权价值所组成。介绍了布莱克)斯科尔斯期权定
价模型,分析了该模型在可转换债券定价中的应用。
关键词:布莱克)斯科尔斯期权定价模型 可转换债券
中图分类号:F830191 文献标识码:A 文章编号:1003-7217(1999)06-0052-03
一、引言
可转换公司债券是一种兼有股票和债券双重性的金融品种。近年来,随着国际市场的发展,尤其是最近的十年中,可转换公司债券得到了许多国家的高度重视,成为他们直接融资工具中的重要选择,可转换公司债券的发行量和其资本市场中的比重增长速度很快。在我国,随着5可转换公司债券管理暂行办法6的颁布,可转换债券(以下简称转券)的推出为公司和广大投资者提供了一种新的融资渠道与投资工具。公司需要制定正确的筹资决策以保证转券的顺利发行与转换成功,而投资者则需要制定正确的投资决策以规避风险并获得预期收益。为此,本文首先介绍了典型的期权定价布莱克)斯科尔斯(Black,FandHScholes)期权定价模型,然后使用该模型定量分析了转券的定价。
二、布莱克)斯科尔斯模型
期权是一种特殊的金融证券,它赋予持有人在特定的时期以确定的条件购买或售出一种资产的权利。看涨期权是购买资产的期权,看跌期权是卖出资产的期权。期权被执行时支付给资产的价格叫做执行价格或/敲定价格0,期权可被执行的最后日期叫/到期日0或/期满日0,欧式期权只能在到期日才能被执行,而美式期权可在到期日之前及以前的任何时间都能被执行。
关于期权定价的研究虽然在本世纪一开始就已由法国教学家路易斯#巴舍利耶(CouisBachelier)奠定了基础,但取得突破性进展却是在1973年,麦希尔#布莱克(FischerBlack)和迈托#斯科尔斯(MyronScholes)在5政治经济学杂志6上发表了他们关于期权和开拓性论文5期权和公司债务的定价6,在文中提出了开拓性的布莱克)斯科尔斯期权定价模型。布莱克和斯科尔斯在推导其期权价值公式时,假定股票市场和期权市场符合下面的/理想条件0:(1)无风险利率已知且不随时间变化;(2)股票价格是连续的,其行为遵循几何或对数布郎运动,即股票价格服从对数分布,且股票收益的方差不变;(3)股票不付红利或其他收益;(4)期权是/欧式的0,即期权品种在合约到期日才能被执行;(5)买卖股票或期权无交易成本和税的限制;(6)卖空没有限制;(7)市场连续运行。
基于上述假定,布莱克和斯科尔斯推导出的期权定价问题的解,仅仅是股票价格、股票价格波动率、期权的执行价格、距期权到期的时间、无风险利率这五个等量的函数,他们经过严密的数学推导,给出了无套利可能性及基于不付红利股票的欧式看涨期权的定价公式:
1999年第6期(总第102期) 张德华、陶融 布莱克)斯科尔斯期权定价模型在可转换债券定价中的应用53
C=SN(d1)-XeN(d2)
rF为无风险利率,N(d1)和N(d2)表示累积正态密度函数。-rft(1)其中,C是欧式看涨期权的价格,S是股票价格,X为期权的执行价格,t是期权距到期日的时间,
221n()+(rF+R)t1n()+(rF-R)tx2x2d1= , d2==d1-R是股票价格的年标准差(波动率)。
上述公式是假设不付红利或其他收益的情况下的,若考虑支付红利,布莱克)斯科尔斯期权定价模型要作相应的改进。如果以g代表股票的持续股息收益率,则改进后的模型,即支付股息的股票期权定价公式为:
C=SeN(d1)-XeN(d2)
其中,
d1=[1n(SPX)+(r-g+2R)t]PRt,d2=d1-Rt2-gt-rt(2)
三、转券定价模型
假定一个公司在t时刻拥有N股发行在外的流通股股票和M份转券,每股转券可使其持有者在T时刻以每股CP的转换价格转换该公司CR股股票,公司在t和T时刻的股价分别为St和ST,r为无风险利率。在t时的转券的价格应由二部分所组成,第一部分为可转券的直接价值,即如投资者购买了公司的可转券,如果按可转券的票面收益率计算未来期限内的现金流入量的市场贴现值,可转券的直接价值Pb可由下式表达:
+Pb=SE=1(1+r)(1+r)
上式中,FV)))转券面值,g)))转券票面利率,r)))市场贴现率,S)))转券剩余年限
第二部分为转换价值,即债券转换成股票时所能得到的价值。在T时刻从每份债券转换得到的盈利为:
CR(ST-CP)
只有当盈利为正时,转券的转换才有可能被执行,所以转券持有者的盈利为:
CR#max(ST-CP,O)
用贴现率t贴现,每份转券的盈利t时刻价值为:
-r(T-t)-r(T-t)e#CR#max(ST-CP,O)=e#max(CR#ST-CP#CR,O)
这是一个典型的看涨期权价值。因此,转券价格可以看作是由一般债券的价格和一个看涨期权价值组成,转券价格PC由下式表达:
PC=Pb+e-r(T-t)S#max[CR#ST-FV,O]
其中FV=转券面值=CR#CP
-r(T-t)可得:PC-Pb=e#max[CR#ST-FV,O]
上式实际上是一个看涨期权的价值。其价值直接用布莱克)斯科尔斯期权定价公式估计
-rSPC-Pb=St#CR#N(d1)-FV#e#N(d2)
其中:
2+(r+R)Sd1= , d2=d1-RRSt)))股票t时价格,r)))无风险利率,S=T-t即1nPbSt#1-(2-rS(
54财经理论与实践(双月刊) 1999年第20卷由上式公式可知,可转券价格受可转换债本身利率(g),公司股票价格(St)转换率和转换价格(CR和CP),无风险利率(r),距转券到期日(S)和股票标准差(R)。
(3)式是转券为零息债券时和定价公式,考虑转券附息的情况,需要作一定修正,根据式(2)和(3)式可得:
-gS-rSPc=Pb+St#e#CR#N(d1)-FVe#N(d2)(4)
其中:
2+(r-g+R)Sd1= , d2=d1-RR若考虑到转券转换时对股票稀释的影响,(3)式和(4)式中的股价St需作一定调整。
t时刻该公司的股本数为St#N,若T时刻转券持有人执行转换,该债权转股权,由于转换价格的现
-r(T-t)-r(T-t)值为M#CR#CP#e,公司的股权值增长到St#N+M#CR#CP#e,同时公司的股票增长到N+M#
CR,所以,转换执行后的瞬间股票价格成为:
-r(T-t)StN+M#CR#CP#e
N+M#CR
1令St=(5)式,于是(4)式改写为:
-gS-rSPc=Pb+S't#e#CR#N(d1)-FVe#N(d2)(5)1n
其中:
2+(r-g+R)Sd1= , d2=d1-RR(3)式可改写为:
-rSPc=Pb+S't#CR#N(d1)-FVe#N(d2)1n
其中:
St12+(r-g+R)Sd1= , d2=d1-RR-r(T-t)1由于股价大于转换价格时转券持有人才会执行转换,即St4CP#e才可能转换,所以St4St,由
此可知(4)式4(5)式,(3)式4(6)式。因此可以得到如下结论:转券到期之前只会转让,不会转换。说明转换期权具有看涨价值。
倒如,德昌公司发行转券9亿港元,期限为7年,支付年利息为415%,转换价格为20港元,每张面值为100港元。现在离到期还有2年,市场无风险率为5%,该公司股票价格为25元,该股票年方差为012。求该转券目前的价值。
不考虑转券转换对股票稀释的影响,根据式(4)进行计算,求得该转券的价值PC=13717港元,该定1n价综合考虑了债券的票面、利率、市场无风险利率,股票价格及其波动,转换价格等等。因此上述公式是转券投资决策的一个比较科学的标准。
四、小结
转券价格可以看作是由一般债券的价格(直接价值)和一个看涨期权价值(转换价值)所组成。看涨期权价值可直接用布莱克)斯科尔斯斯模型估价。这对转券投资者具有一定的参考价值。(6)
参考文献:
[1]Black,FandMScholes/ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities0,JournalofPoliticalEconomy,1973,NO3,P637-659.
[2]马忠智、吕益民:5可转换公司债券发行与交易实务6,人民出版社。
[3]邱惠清:/可转换债券定价模型与投资策略0,金融教学与研究,1998年第5期。(责任编校 东方)