实验二 阿贝成像原理和空间滤波实验
1． 引言
阿贝所提出的显微镜成像的原理以及随后的阿—波特实验在傅里叶光学早期发展历史上具有重要的地位。这些实验简单而且漂亮，对相干光成像的机理、对频谱的分析和综合的原理做出了深刻的解释。同时，这种用简单模板做滤波的方法，直到今天，在图像处理中仍然有广泛的应用价值。
1．1 实验目的和意义
1）.加强对傅里叶光学中有关空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。
2）.用一个带有蓝天白云还有城楼的光栅进行空间滤波和图像再现，熟悉空间滤波的光路及空间滤波的原理。
2． 系统概述
2．1 系统原理
1）.二维傅里叶变换
设有一个空间二维函数g(x,y)，其二维傅里叶变换为
G(fx,fy)Fg(x,y)g(x,y)expi2(fxx
fyy)dxdy （1）
-1式中fx,fy分别为x,y方向的空间频率，其量纲为L，而g(x,y)又是G(fx,fy)的
逆傅里叶变换，即
FG(fx,fy) G(fx,-1g(x,y)fy)expi2(fxxfyy)dfxdfy （2）
式（2）表示任意一个空金函数g(x,y)，可以表示为无穷多个基元函数expi2(fxxfyy)的线性叠加，G(fx,fy)dfxdfy是相应于空间频率为fx,fy的基元函数的权重，G(fx,fy)称为g(x,y)的空间频率。
当g(x,y)是一个空间周期性函数时，其空间频率是不连续的离散函数。
2）.光学傅里叶变换
理论证明，如果在焦距为F的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为g(x,y)的图象作为物，并以波长为λ的单色平
面波垂照明图象，则在透镜后焦面
（x,y）上的振幅分布就是g(x,y)的傅
里叶变换G(fx,fy)，其中
x,y的关系为
x'y'fx,fy与坐标fxF,fYF （3） 图 1
故x—y面称为频谱面（或傅氏面），见图1，由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布则为G(fx,fy)2，称为频谱，也就是物的夫琅禾费衍射图。
3）.阿贝成像原理
阿贝在1873年提出了相干光照明下显微镜的阿贝成像原理，他认为，在相干的光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜后焦面上形成一个衍射图，第二步则为物镜后面上的衍射图复合为（中间）像，这个像可以通过目镜观察到。
成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换，第一步把物面光场的空间分布g(x,y)变为频谱面上空家频率分布G(fx,fy)，第二步则是再作一次变换，又将
G(fx,fy)还原到空间分布g(x,y)。
图2显示了成像的这两个步骤，为了方便起见，我们假设是一个一维光栅，单色平行光照在光栅上，经衍射分解成为不同的很多束平行光相应于一定的空间频率）
，经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵，然后代表不同空间频率的光束
又重新在像平面上复合而成像。
图 2
如果这两傅氏变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像的物应完全相似（可能有放大或缩小），但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息），不能进入到透镜而被丢失了，所以像的信息总是比物的信息要少一些，高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是透镜分辨率受到限制的根本原因，特别当物的结构非常精细（如很密的光栅）或物镜孔非常小时，有可能只有0级衍射（空间频率为0）能通过，则在像平面上就完全不能形成像。
4）.空间滤波
根据上面讨论，成像过程本质上是两次傅里叶变换，即从空间函数g(x,y)变为频谱函数G(fx,fy)，再变回到空间函数g(x,y)（忽略放大率），如果我们在频谱面（即透镜的后焦面）上放一些模板（吸收板或相移板），以减弱某些空间频率成分或改变某些频率成分的相位，则必然使像面上的图象发生相应的变化、，这样的图象处理称为空间滤波，频谱面上这种模板称为滤波器，最简单的滤波器就是一些特殊形状的光阑，它使频谱面上一个或一部分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变像上图象的频率成分，例如圆孔光阑,它使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变了像上图象的频率成分，例如圆孔光阑可以作为一个低通滤波器，而圆屏就可以用作为高通滤波器。
2．2仪器说明
激光器、扩束镜L1、圆形透镜L2、光栅、光屏、单缝、小孔光阑，白光光源等。
3． 实验步骤
图 3
（1）先将激光器打开，利用一个小孔光阑对光束的光路进行准直，对激光器高度及俯仰角进行调整，使激光光束在光学平台的中心线上。
（2）激光光束通过扩束镜L1进行扩束，得到较大光斑及散射角的光束。
（3）用小孔光阑截取光束的一部分照射到一个准直透镜上，对光束进行准直，使它变成平行光。
（4）在物架上放置一光栅，光栅条纹沿水平竖直方向，其后放一傅里叶变换透镜。在频谱面上将会看到水平方向和竖直方向上排列的等间距衍射光点。中间最亮的为0级衍射，四周依次为±1，±2，……级衍射。
（5）频谱面上放置一狭缝，分别只让水平和竖直的衍射光斑通过，观察并记录像面图像变化。
第二个实验时候实验简图如下：
图 4
（1）光栅换成具有三个偏振方向的天安门图样光栅，将其倒置并将光源换成卤钨灯，撤去显微镜目镜，直接用小孔光阑截取光束照射到准直透镜L1上，对光束进行准直，用光屏接收，观察现象。
（2）傅里叶透镜后的频谱面上用一狭缝分别只允许三个方向上的其中一个方向上的光斑通过，并把中间最亮的光也挡住，用光屏接收并观察现象。
（3）硬纸板挡住衍射光，然后在纸板上的三个方向上的衍射光上分别打三个小孔，其中每个孔各自对应每个频谱方向相应的颜色，如蓝天为蓝色，草地为绿色，城楼为红色，观察在其后方呈现出光栅上图像的不同。
4． 实验现象
1）.第一个小实验中，在远处的光屏上看到了横向和纵向的条纹。若用狭缝挡住水平方向上的衍射光谱，在屏上出现竖直方向上的衍射条纹；用狭缝挡住竖直方向上的衍射光谱，在屏上出现水平方向上的衍射条纹。
2）.第二个小实验中，三个方向的衍射光谱分别代表不同的景物。顺着光路看，水平方向代表草地，斜向右上为天空，斜向右下为城楼。按步骤（3）完成后，可在光屏上看到再现的光栅上的图像——蓝天、绿草、红色的城楼，由于光强及直板孔径大小的原因，图像很模糊，勉强可以看到。
图5 未加狭缝时，光屏所成图像
图6 最后所成图像
5． 总结和结论
在光学实验中，前期的光路调节的好坏直接影响到最后实验结果现象的好坏。首先要调节好光路，可以用一个小孔光阑作为参考，要综合考虑多个个因素，如透镜的高度、仰角、偏角等，在调节光路的时候标杆必须固定后才能调节激光器，否则会影响实验的准确性。在调节时要有耐心，认真仔细，不能急躁。其次，比较重要的就是光线准直，使发散的光变为平行光。通过本次试验，然我对所学知识有了跟直观地了解，对光学实验也有了更多的了解，得到了很多经验。
这次实验，感觉还是很有趣的，尤其是最后的天安门的光栅，尽管以前也接触过光栅，但这么使用它还是第一回，将频谱上不同方向、不同颜色的光进行滤波后，可以恢复出有颜色的像，虽然最后的天安门还是很模糊，但毕竟实验条件有限。
实验二 阿贝成像原理和空间滤波实验
1． 引言
阿贝所提出的显微镜成像的原理以及随后的阿—波特实验在傅里叶光学早期发展历史上具有重要的地位。这些实验简单而且漂亮，对相干光成像的机理、对频谱的分析和综合的原理做出了深刻的解释。同时，这种用简单模板做滤波的方法，直到今天，在图像处理中仍然有广泛的应用价值。
1．1 实验目的和意义
1）.加强对傅里叶光学中有关空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。
2）.用一个带有蓝天白云还有城楼的光栅进行空间滤波和图像再现，熟悉空间滤波的光路及空间滤波的原理。
2． 系统概述
2．1 系统原理
1）.二维傅里叶变换
设有一个空间二维函数g(x,y)，其二维傅里叶变换为
G(fx,fy)Fg(x,y)g(x,y)expi2(fxx
fyy)dxdy （1）
-1式中fx,fy分别为x,y方向的空间频率，其量纲为L，而g(x,y)又是G(fx,fy)的
逆傅里叶变换，即
FG(fx,fy) G(fx,-1g(x,y)fy)expi2(fxxfyy)dfxdfy （2）
式（2）表示任意一个空金函数g(x,y)，可以表示为无穷多个基元函数expi2(fxxfyy)的线性叠加，G(fx,fy)dfxdfy是相应于空间频率为fx,fy的基元函数的权重，G(fx,fy)称为g(x,y)的空间频率。
当g(x,y)是一个空间周期性函数时，其空间频率是不连续的离散函数。
2）.光学傅里叶变换
理论证明，如果在焦距为F的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为g(x,y)的图象作为物，并以波长为λ的单色平
面波垂照明图象，则在透镜后焦面
（x,y）上的振幅分布就是g(x,y)的傅
里叶变换G(fx,fy)，其中
x,y的关系为
x'y'fx,fy与坐标fxF,fYF （3） 图 1
故x—y面称为频谱面（或傅氏面），见图1，由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布则为G(fx,fy)2，称为频谱，也就是物的夫琅禾费衍射图。
3）.阿贝成像原理
阿贝在1873年提出了相干光照明下显微镜的阿贝成像原理，他认为，在相干的光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜后焦面上形成一个衍射图，第二步则为物镜后面上的衍射图复合为（中间）像，这个像可以通过目镜观察到。
成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换，第一步把物面光场的空间分布g(x,y)变为频谱面上空家频率分布G(fx,fy)，第二步则是再作一次变换，又将
G(fx,fy)还原到空间分布g(x,y)。
图2显示了成像的这两个步骤，为了方便起见，我们假设是一个一维光栅，单色平行光照在光栅上，经衍射分解成为不同的很多束平行光相应于一定的空间频率）
，经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵，然后代表不同空间频率的光束
又重新在像平面上复合而成像。
图 2
如果这两傅氏变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像的物应完全相似（可能有放大或缩小），但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息），不能进入到透镜而被丢失了，所以像的信息总是比物的信息要少一些，高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是透镜分辨率受到限制的根本原因，特别当物的结构非常精细（如很密的光栅）或物镜孔非常小时，有可能只有0级衍射（空间频率为0）能通过，则在像平面上就完全不能形成像。
4）.空间滤波
根据上面讨论，成像过程本质上是两次傅里叶变换，即从空间函数g(x,y)变为频谱函数G(fx,fy)，再变回到空间函数g(x,y)（忽略放大率），如果我们在频谱面（即透镜的后焦面）上放一些模板（吸收板或相移板），以减弱某些空间频率成分或改变某些频率成分的相位，则必然使像面上的图象发生相应的变化、，这样的图象处理称为空间滤波，频谱面上这种模板称为滤波器，最简单的滤波器就是一些特殊形状的光阑，它使频谱面上一个或一部分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变像上图象的频率成分，例如圆孔光阑,它使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变了像上图象的频率成分，例如圆孔光阑可以作为一个低通滤波器，而圆屏就可以用作为高通滤波器。
2．2仪器说明
激光器、扩束镜L1、圆形透镜L2、光栅、光屏、单缝、小孔光阑，白光光源等。
3． 实验步骤
图 3
（1）先将激光器打开，利用一个小孔光阑对光束的光路进行准直，对激光器高度及俯仰角进行调整，使激光光束在光学平台的中心线上。
（2）激光光束通过扩束镜L1进行扩束，得到较大光斑及散射角的光束。
（3）用小孔光阑截取光束的一部分照射到一个准直透镜上，对光束进行准直，使它变成平行光。
（4）在物架上放置一光栅，光栅条纹沿水平竖直方向，其后放一傅里叶变换透镜。在频谱面上将会看到水平方向和竖直方向上排列的等间距衍射光点。中间最亮的为0级衍射，四周依次为±1，±2，……级衍射。
（5）频谱面上放置一狭缝，分别只让水平和竖直的衍射光斑通过，观察并记录像面图像变化。
第二个实验时候实验简图如下：
图 4
（1）光栅换成具有三个偏振方向的天安门图样光栅，将其倒置并将光源换成卤钨灯，撤去显微镜目镜，直接用小孔光阑截取光束照射到准直透镜L1上，对光束进行准直，用光屏接收，观察现象。
（2）傅里叶透镜后的频谱面上用一狭缝分别只允许三个方向上的其中一个方向上的光斑通过，并把中间最亮的光也挡住，用光屏接收并观察现象。
（3）硬纸板挡住衍射光，然后在纸板上的三个方向上的衍射光上分别打三个小孔，其中每个孔各自对应每个频谱方向相应的颜色，如蓝天为蓝色，草地为绿色，城楼为红色，观察在其后方呈现出光栅上图像的不同。
4． 实验现象
1）.第一个小实验中，在远处的光屏上看到了横向和纵向的条纹。若用狭缝挡住水平方向上的衍射光谱，在屏上出现竖直方向上的衍射条纹；用狭缝挡住竖直方向上的衍射光谱，在屏上出现水平方向上的衍射条纹。
2）.第二个小实验中，三个方向的衍射光谱分别代表不同的景物。顺着光路看，水平方向代表草地，斜向右上为天空，斜向右下为城楼。按步骤（3）完成后，可在光屏上看到再现的光栅上的图像——蓝天、绿草、红色的城楼，由于光强及直板孔径大小的原因，图像很模糊，勉强可以看到。
图5 未加狭缝时，光屏所成图像
图6 最后所成图像
5． 总结和结论
在光学实验中，前期的光路调节的好坏直接影响到最后实验结果现象的好坏。首先要调节好光路，可以用一个小孔光阑作为参考，要综合考虑多个个因素，如透镜的高度、仰角、偏角等，在调节光路的时候标杆必须固定后才能调节激光器，否则会影响实验的准确性。在调节时要有耐心，认真仔细，不能急躁。其次，比较重要的就是光线准直，使发散的光变为平行光。通过本次试验，然我对所学知识有了跟直观地了解，对光学实验也有了更多的了解，得到了很多经验。
这次实验，感觉还是很有趣的，尤其是最后的天安门的光栅，尽管以前也接触过光栅，但这么使用它还是第一回，将频谱上不同方向、不同颜色的光进行滤波后，可以恢复出有颜色的像，虽然最后的天安门还是很模糊，但毕竟实验条件有限。