2015年北京高考文科数学试题及参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
（1）若集合A=｛x|-5＜x ＜2｝，B=｛x|-3＜x ＜3｝，则A B=（ ） A. -3＜x ＜2 B. -5＜x ＜2 C. -3＜x ＜3 D. -5＜x ＜3 （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）（x-1）2+（y-1）2=1 （B ）（x+1）2+（y+1）2=1 （C ）（x+1）2+（y+1）2=2 （D ）（x-1）2+（y-1）2=2 （3）下列函数中为偶函数的是（ ）
（A ）y=x²sinx （B ）y =x 2cos x
（C ）y =ln x （D ）y =2-x
（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师
的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ） （A
(5)
（A ）3 （B ）4 (C)5 (D)6 （6）设a ，b 是非零向量，“a ·b=IaIIbI”是“a//b”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
(A)1 （B ）错误！未找到引用源。 （B ）错误！未找到引用源。 (D)2 （8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i (1+i )的实部为 （10）2
-3
, 3 , log 25三个数中最大数的是12
（11）在△ABC 中，a=3,b=错误！未找到引用源。, ∠A=错误！未找到引用源。，∠
（12）已知（2，0）是双曲线错误！未找到引用源。=1(b>0)的一个焦点，则b= .
（13）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x+3y的最大值为
（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是
三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
π
（15）（本小题13分）已知函数f （x ）
=sin x -2
2
⎡2π⎤
（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）在区间⎢0, ⎥上的最小值。
⎣3⎦
（16）（本小题13分）已知等差数列{错误！未找到引用源。}满足错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=10，错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=2.
（Ⅰ）求{错误！未找到引用源。}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{错误！未找到引用源。}满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。；问：错误！未找到引用源。与数列{错误！未找到引用源。}的第几项相等？ （17）（本小题13分）
某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ （18）（本小题14分）如图，在三棱锥E-ABC 中，平面EAB ⊥平面ABC ，三角形EAB 为等边三角形，AC ⊥ BC,且AC=BC=错误！未找到引用源。,O,M 分别为AB,EA 的中点。
（1） 求证:EB//平面MOC.
（2） 求证：平面MOC ⊥平面 EAB （3） 求三棱锥E-ABC 的体积。
x 2
-k ln x ，(k >0) （19）（本小题13分）设函数f (x )=2
（Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若f (x )存在零点，则f (x
)在区间上仅有一个零点．（
(
(20)(本小题14分)
已知椭圆错误！未找到引用源。, 过点错误！未找到引用源。且不过点错误！未找到引用源。的直线与椭圆错误！未找到引用源。交于错误！未找到引用源。两点，直线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。. （1）求椭圆错误！未找到引用源。的离心率； （II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（III ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。
参考答案
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B
π
12. 3 13, 7 14. 乙 数学 4
π⎫⎛
15、解：(I )因为f (x )=sin x +3cos x -3=2sin x +⎪-，所以T =2π
3⎭⎝
(II )因为0≤x ≤2π，所以π≤x +π≤π，从而x +π=π，即x =2π时，f (x )最小。
33333⎡2π⎤⎛2π⎫
所以f (x )在区间⎢0, 上的最小值为f ⎪=-3 ⎥⎣3⎦⎝3⎭
9. -1 10 . log 25 11.
16、解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 4-a 3=2，所以d =2. 又因为a 1+a 2=10，所以2a 1+d =10，故a 1=4. 所以a n =4+2(n -1) =2n +2 (n =1, 2, . )
（Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2=a 3=8，b 3=a 7=16， 所以q =2，b 1=4. 所以b 6=4⨯26-1=128.
由128=2n +2，得n =63. 所以b 6与数列{a n }的第63项相等.
17、解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
200
=0.2. 1000
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
100+200
=0.3.
1000
200
=0.2， 1000
100+200+300
=0.6， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
1000100
=0.1， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
18、解：（Ⅰ）因为O , M 分别为AB ，V A 的中点，
所以OM //VB . 又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB //平面MOC. （Ⅱ）因为AC =BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面V AB. 所以平面MOC ⊥平面V AB.
（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB
中，AC =BC =所以等边三角形V AB
的面积S ∆VAB =又因为OC ⊥平面V AB ， 所以三棱锥C-V AB
的体积等于⨯OC ⨯S ∆VAB =又因为三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C-V AB 的体积相等， 所以三棱锥V-ABC
所以AB =2, OC =1.
13. x 2k x 2-k /
-k ln x ，(k >0)⇒f (x )=x -=19、解：（Ⅰ）由函数f (x )= 2x x
所以f /(x )=0⇒x =k 。从而f /(x )>0⇒x >k ；f /
所以，f (x
) 的单调递减区间是
，单调递增区间是+∞) ；
f (x
) 在x =
f =
k (1-ln k )
. 2
k (1-ln k )
. 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) 在区间(0,+∞
) 上的最小值为f =因为f (x ) 存在零点，所以
k (1-ln k )
≤0，从而k ≥e . 2
当k =e 时，f (x
) 在区间
上单调递减，且f =0，
所以x =
f (x
) 在区间上的唯一零点.
当k >e 时，f (x
) 在区间上单调递减，且f (1)=所以f (x
) 在区间上仅有一个零点.
综上可知，若f (x ) 存在零点，则f (x
) 在区间上仅有一个零点
1e -k >
0，f =
x 2
+y 2=1.
所以a =b =
1，c =20、解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为3
所以椭圆C
的离心率e =
c . =
a （Ⅱ）因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴，所以可设A (1,y 1) ，B (1,-y 1) . 直线AE 的方程为y -1=(1-y 1)(x -2) . 令x =3，得M (3,2-y 1) . 所以直线BM 的斜率k BM =
2-y 1+y 1
=1.
3-1
（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行. 证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知k BM =1. 又因为直线DE 的斜率k DE =
1-0
=1，所以BM //DE . 2-1
当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =k (x -1)(k ≠1) . 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则直线AE 的方程为y -1=
y 1-1
(x -2) . x 1-2
令x =3，得点M (3,
y 1+x 1-3
) .
x 1-2
⎧x 2+3y 2=3由⎨，得(1+3k 2) x 2-6k 2x +3k 2-3=0. ⎩y =k (x -1)
y 1+x 1-3
-y 2
x 1-2=
3-x 2
直线BM 的斜率k BM
因为k BM -1=
k (x 1-1)+x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2)-(3-x 2)(x 1-2)
3-x 2x 1-2
⎛-3k 2+312k 2⎫
⎪(k -1) +-322 ⎪1+3k 1+3k (k -1)[-x 1x 2+2(x 1+x 2)-3]=0 ==
3-x 2x 1-23-x 2x 1-2 所以k BM =1=k DE ⇒BM //DE 综上可知，直线BM 与直线DE 平行
2015年北京高考文科数学试题及参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
（1）若集合A=｛x|-5＜x ＜2｝，B=｛x|-3＜x ＜3｝，则A B=（ ） A. -3＜x ＜2 B. -5＜x ＜2 C. -3＜x ＜3 D. -5＜x ＜3 （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）（x-1）2+（y-1）2=1 （B ）（x+1）2+（y+1）2=1 （C ）（x+1）2+（y+1）2=2 （D ）（x-1）2+（y-1）2=2 （3）下列函数中为偶函数的是（ ）
（A ）y=x²sinx （B ）y =x 2cos x
（C ）y =ln x （D ）y =2-x
（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师
的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ） （A
(5)
（A ）3 （B ）4 (C)5 (D)6 （6）设a ，b 是非零向量，“a ·b=IaIIbI”是“a//b”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
(A)1 （B ）错误！未找到引用源。 （B ）错误！未找到引用源。 (D)2 （8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i (1+i )的实部为 （10）2
-3
, 3 , log 25三个数中最大数的是12
（11）在△ABC 中，a=3,b=错误！未找到引用源。, ∠A=错误！未找到引用源。，∠
（12）已知（2，0）是双曲线错误！未找到引用源。=1(b>0)的一个焦点，则b= .
（13）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x+3y的最大值为
（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是
三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
π
（15）（本小题13分）已知函数f （x ）
=sin x -2
2
⎡2π⎤
（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）在区间⎢0, ⎥上的最小值。
⎣3⎦
（16）（本小题13分）已知等差数列{错误！未找到引用源。}满足错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=10，错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=2.
（Ⅰ）求{错误！未找到引用源。}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{错误！未找到引用源。}满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。；问：错误！未找到引用源。与数列{错误！未找到引用源。}的第几项相等？ （17）（本小题13分）
某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ （18）（本小题14分）如图，在三棱锥E-ABC 中，平面EAB ⊥平面ABC ，三角形EAB 为等边三角形，AC ⊥ BC,且AC=BC=错误！未找到引用源。,O,M 分别为AB,EA 的中点。
（1） 求证:EB//平面MOC.
（2） 求证：平面MOC ⊥平面 EAB （3） 求三棱锥E-ABC 的体积。
x 2
-k ln x ，(k >0) （19）（本小题13分）设函数f (x )=2
（Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若f (x )存在零点，则f (x
)在区间上仅有一个零点．（
(
(20)(本小题14分)
已知椭圆错误！未找到引用源。, 过点错误！未找到引用源。且不过点错误！未找到引用源。的直线与椭圆错误！未找到引用源。交于错误！未找到引用源。两点，直线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。. （1）求椭圆错误！未找到引用源。的离心率； （II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（III ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。
参考答案
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B
π
12. 3 13, 7 14. 乙 数学 4
π⎫⎛
15、解：(I )因为f (x )=sin x +3cos x -3=2sin x +⎪-，所以T =2π
3⎭⎝
(II )因为0≤x ≤2π，所以π≤x +π≤π，从而x +π=π，即x =2π时，f (x )最小。
33333⎡2π⎤⎛2π⎫
所以f (x )在区间⎢0, 上的最小值为f ⎪=-3 ⎥⎣3⎦⎝3⎭
9. -1 10 . log 25 11.
16、解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 4-a 3=2，所以d =2. 又因为a 1+a 2=10，所以2a 1+d =10，故a 1=4. 所以a n =4+2(n -1) =2n +2 (n =1, 2, . )
（Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2=a 3=8，b 3=a 7=16， 所以q =2，b 1=4. 所以b 6=4⨯26-1=128.
由128=2n +2，得n =63. 所以b 6与数列{a n }的第63项相等.
17、解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
200
=0.2. 1000
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
100+200
=0.3.
1000
200
=0.2， 1000
100+200+300
=0.6， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
1000100
=0.1， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
18、解：（Ⅰ）因为O , M 分别为AB ，V A 的中点，
所以OM //VB . 又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB //平面MOC. （Ⅱ）因为AC =BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面V AB. 所以平面MOC ⊥平面V AB.
（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB
中，AC =BC =所以等边三角形V AB
的面积S ∆VAB =又因为OC ⊥平面V AB ， 所以三棱锥C-V AB
的体积等于⨯OC ⨯S ∆VAB =又因为三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C-V AB 的体积相等， 所以三棱锥V-ABC
所以AB =2, OC =1.
13. x 2k x 2-k /
-k ln x ，(k >0)⇒f (x )=x -=19、解：（Ⅰ）由函数f (x )= 2x x
所以f /(x )=0⇒x =k 。从而f /(x )>0⇒x >k ；f /
所以，f (x
) 的单调递减区间是
，单调递增区间是+∞) ；
f (x
) 在x =
f =
k (1-ln k )
. 2
k (1-ln k )
. 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) 在区间(0,+∞
) 上的最小值为f =因为f (x ) 存在零点，所以
k (1-ln k )
≤0，从而k ≥e . 2
当k =e 时，f (x
) 在区间
上单调递减，且f =0，
所以x =
f (x
) 在区间上的唯一零点.
当k >e 时，f (x
) 在区间上单调递减，且f (1)=所以f (x
) 在区间上仅有一个零点.
综上可知，若f (x ) 存在零点，则f (x
) 在区间上仅有一个零点
1e -k >
0，f =
x 2
+y 2=1.
所以a =b =
1，c =20、解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为3
所以椭圆C
的离心率e =
c . =
a （Ⅱ）因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴，所以可设A (1,y 1) ，B (1,-y 1) . 直线AE 的方程为y -1=(1-y 1)(x -2) . 令x =3，得M (3,2-y 1) . 所以直线BM 的斜率k BM =
2-y 1+y 1
=1.
3-1
（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行. 证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知k BM =1. 又因为直线DE 的斜率k DE =
1-0
=1，所以BM //DE . 2-1
当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =k (x -1)(k ≠1) . 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则直线AE 的方程为y -1=
y 1-1
(x -2) . x 1-2
令x =3，得点M (3,
y 1+x 1-3
) .
x 1-2
⎧x 2+3y 2=3由⎨，得(1+3k 2) x 2-6k 2x +3k 2-3=0. ⎩y =k (x -1)
y 1+x 1-3
-y 2
x 1-2=
3-x 2
直线BM 的斜率k BM
因为k BM -1=
k (x 1-1)+x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2)-(3-x 2)(x 1-2)
3-x 2x 1-2
⎛-3k 2+312k 2⎫
⎪(k -1) +-322 ⎪1+3k 1+3k (k -1)[-x 1x 2+2(x 1+x 2)-3]=0 ==
3-x 2x 1-23-x 2x 1-2 所以k BM =1=k DE ⇒BM //DE 综上可知，直线BM 与直线DE 平行