12.3角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的作法及性质
一、新课导入
1. 导入课题：
投影教材第48页开头的“思考”中的文字和图形，让学生说明道理后提出问题：你能从“思考”中得到的启示通过运用尺规作一个角的平分线吗？
2. 学习目标：
（1）学会角平分线的画法.
（2）探究并认知角平分线的性质.
（3）熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
3. 学习重、难点：
重点：角的平分线的性质.
难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.
二、分层学习
1. 自学指导：
（1）自学内容：探究“角平分线的作法”.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读、作图、总结、归纳.
（4）自学参考提纲：
①投影中AE 平分∠DAB 是由什么方法得到∠DAE=∠BAE ？证明△ABC ≌△ADC(SSS).
②由平分角的仪器尝试画∠AOB 的平分线.
③由导入得到作角平分线的方法：
a. 作法(1)能得到OM=ON；
b. 作法(2)能得到MC=NC；
c. 由SSS 方法判定△OMC ≌△ONC ，得到∠MOC ＝∠NOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线;
d. 在作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？不行.
2. 自学：学生结合自学指导进行探究式学习.
3. 助学：
(1)师助生：
①明了学情：利用角平分仪悟出画角平分线的方法，由实物抽象出几何图形，应用了数学里面的建模思想，部分学生理解起来还存在一定的困难.
②差异指导： a.引导学生理解角平分仪平分角的道理是证明两
角相等，回忆前面证明角相等的方法是证明三角形全等.b. 在尺规作图的过程中引导学生运用三角形三边关系定理，理解“大于12MN 的长”这个条件.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4. 强化：
（1）让学生口述角平分线的作法步骤.
（2）尝试练习：作出△ABC 的三条角平分线（保留作图痕迹，写出作法）.
（3）练习：
平分平角∠AOB ，通过作角平分线得到射线OC ，然后反向延长OC 得到直线CD ，直线CD 与直线AB 存在什么样的位置关系？互相垂直.
（4）给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？
能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则该线就是这个角的平分线
.
1. 自学指导：
（1）自学内容：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.
（2）自学时间：5分钟.
（3）学习方法：先通过折纸画图、测量得出角平分线的性质，再探究几何证明方法.
（4）探究提纲：
①如图，OC 平分∠AOB ，点P 是OC 上任一点，P 点到OA 、OB 的距离怎么找？
过点P 分别向OA 、OB 作垂线，P 点与垂足之间的线段的长就是P 点到OA 、OB 的距离.
②这两个距离可采用什么方法得到它们的大小关系？
证三角形全等，然后得出这两个距离相等.
③用你采用的方法，得到了什么结论？
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等..
④将性质用图形、几何语言表示（填写下表）：
图形：
已知事项：已知∠AOB,OC 是∠AOB 的平分线，P 为OC 上一点，且PD ⊥OA,PE ⊥OB, 垂足分别为D 、E.
由已知事项推出的事项：PD=PE
⑤根据探究的内容，写出已知、求证及证明结论的过程.
已知：∠AOC=∠BOC, 点P 在OC 上，PD ⊥OA,PE ⊥OB, 垂足分别为
D 、E.
求证：PD=PE.
证明：∵PD ⊥OA,PE ⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO 和△PEO 中，∠PDO=∠PEO, ∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO ≌△PEO(AAS),∴PD=PE.
⑥由上述证明过程，总结证明一个几何命题的一般步骤：
1. 明确命题中的已知和求证;2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证;3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
2. 自学：学生可结合自学指导探究式学习.
3. 助学：
(1)师助生：
①明了学情：通过第二层次的学习，学生能够理解角平分线的性质定理，但在证明过程中，大部分学生不习惯把文字语言改成几何语言，教师应了解学生在几何表述中存在的问题.
②差异指导：得出结论之后，要通过证明，才能确定命题的正确性，引导学生学会证明文字语言描述的几何题的步骤.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4. 强化：
(1)用文字及几何语言表述定理；(2)证明题的基本步骤.
三、评价
1. 学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和学习困惑.
2. 教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3. 教师的自我评价（教学反思）：
本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法. 从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感性. 所以本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的，不是之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩
固和训练.
一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）
1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是 (D)
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠
DPO D.OC=PO
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AB=10cm，则△DBE 的周长等于(A)
A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm
4. 如图，P 是∠AOB 角平分线上的点，C 、D 分别是OA 、OB 上的点，且PC=PD，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：CE=DF.
证明：∵OP 是∠AOB 的平分线，PE ⊥OA,PF ⊥OB, ∴∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF,在Rt △PEC 和Rt △PFD 中，PC=PD,PE=PF,∴Rt △PEC ≌Rt △PFD(HL),∴CE=DF.
二、综合应用（第5题10分，第6题20分，共30分）
5. 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③BD=CD，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ．其中，正确的个数是（D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第5题图 第6题图
6. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC，求证：BE=CF.
证明：∵DF ⊥AC, ∴∠DFA=∠B=90°.∵AD 为∠BAC 的平分线，∴DB=DF.在Rt △BDE 和Rt △FDC 中，DE=CD,DB=DF,∴Rt △BDE ≌Rt △FDC （HL ）. ∴BE=CF.
三、拓展延伸（20分）
7. 如图，点D 、B 分别在∠MAN 的两边上，C 是∠MAN 内一点，AB=AD，BC=CD，CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F.
求证：
CE =CF.
证明：在△ABC 和△ADC 中，AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.
∴AC 平分∠MAN. ∵CE ⊥AM,CF ⊥AN, ∴CE=CF.
12.3角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的作法及性质
一、新课导入
1. 导入课题：
投影教材第48页开头的“思考”中的文字和图形，让学生说明道理后提出问题：你能从“思考”中得到的启示通过运用尺规作一个角的平分线吗？
2. 学习目标：
（1）学会角平分线的画法.
（2）探究并认知角平分线的性质.
（3）熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
3. 学习重、难点：
重点：角的平分线的性质.
难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.
二、分层学习
1. 自学指导：
（1）自学内容：探究“角平分线的作法”.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读、作图、总结、归纳.
（4）自学参考提纲：
①投影中AE 平分∠DAB 是由什么方法得到∠DAE=∠BAE ？证明△ABC ≌△ADC(SSS).
②由平分角的仪器尝试画∠AOB 的平分线.
③由导入得到作角平分线的方法：
a. 作法(1)能得到OM=ON；
b. 作法(2)能得到MC=NC；
c. 由SSS 方法判定△OMC ≌△ONC ，得到∠MOC ＝∠NOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线;
d. 在作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？不行.
2. 自学：学生结合自学指导进行探究式学习.
3. 助学：
(1)师助生：
①明了学情：利用角平分仪悟出画角平分线的方法，由实物抽象出几何图形，应用了数学里面的建模思想，部分学生理解起来还存在一定的困难.
②差异指导： a.引导学生理解角平分仪平分角的道理是证明两
角相等，回忆前面证明角相等的方法是证明三角形全等.b. 在尺规作图的过程中引导学生运用三角形三边关系定理，理解“大于12MN 的长”这个条件.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4. 强化：
（1）让学生口述角平分线的作法步骤.
（2）尝试练习：作出△ABC 的三条角平分线（保留作图痕迹，写出作法）.
（3）练习：
平分平角∠AOB ，通过作角平分线得到射线OC ，然后反向延长OC 得到直线CD ，直线CD 与直线AB 存在什么样的位置关系？互相垂直.
（4）给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？
能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则该线就是这个角的平分线
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1. 自学指导：
（1）自学内容：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.
（2）自学时间：5分钟.
（3）学习方法：先通过折纸画图、测量得出角平分线的性质，再探究几何证明方法.
（4）探究提纲：
①如图，OC 平分∠AOB ，点P 是OC 上任一点，P 点到OA 、OB 的距离怎么找？
过点P 分别向OA 、OB 作垂线，P 点与垂足之间的线段的长就是P 点到OA 、OB 的距离.
②这两个距离可采用什么方法得到它们的大小关系？
证三角形全等，然后得出这两个距离相等.
③用你采用的方法，得到了什么结论？
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等..
④将性质用图形、几何语言表示（填写下表）：
图形：
已知事项：已知∠AOB,OC 是∠AOB 的平分线，P 为OC 上一点，且PD ⊥OA,PE ⊥OB, 垂足分别为D 、E.
由已知事项推出的事项：PD=PE
⑤根据探究的内容，写出已知、求证及证明结论的过程.
已知：∠AOC=∠BOC, 点P 在OC 上，PD ⊥OA,PE ⊥OB, 垂足分别为
D 、E.
求证：PD=PE.
证明：∵PD ⊥OA,PE ⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO 和△PEO 中，∠PDO=∠PEO, ∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO ≌△PEO(AAS),∴PD=PE.
⑥由上述证明过程，总结证明一个几何命题的一般步骤：
1. 明确命题中的已知和求证;2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证;3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
2. 自学：学生可结合自学指导探究式学习.
3. 助学：
(1)师助生：
①明了学情：通过第二层次的学习，学生能够理解角平分线的性质定理，但在证明过程中，大部分学生不习惯把文字语言改成几何语言，教师应了解学生在几何表述中存在的问题.
②差异指导：得出结论之后，要通过证明，才能确定命题的正确性，引导学生学会证明文字语言描述的几何题的步骤.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4. 强化：
(1)用文字及几何语言表述定理；(2)证明题的基本步骤.
三、评价
1. 学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和学习困惑.
2. 教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3. 教师的自我评价（教学反思）：
本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法. 从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感性. 所以本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的，不是之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩
固和训练.
一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）
1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是 (D)
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠
DPO D.OC=PO
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AB=10cm，则△DBE 的周长等于(A)
A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm
4. 如图，P 是∠AOB 角平分线上的点，C 、D 分别是OA 、OB 上的点，且PC=PD，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：CE=DF.
证明：∵OP 是∠AOB 的平分线，PE ⊥OA,PF ⊥OB, ∴∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF,在Rt △PEC 和Rt △PFD 中，PC=PD,PE=PF,∴Rt △PEC ≌Rt △PFD(HL),∴CE=DF.
二、综合应用（第5题10分，第6题20分，共30分）
5. 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③BD=CD，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ．其中，正确的个数是（D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第5题图 第6题图
6. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC，求证：BE=CF.
证明：∵DF ⊥AC, ∴∠DFA=∠B=90°.∵AD 为∠BAC 的平分线，∴DB=DF.在Rt △BDE 和Rt △FDC 中，DE=CD,DB=DF,∴Rt △BDE ≌Rt △FDC （HL ）. ∴BE=CF.
三、拓展延伸（20分）
7. 如图，点D 、B 分别在∠MAN 的两边上，C 是∠MAN 内一点，AB=AD，BC=CD，CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F.
求证：
CE =CF.
证明：在△ABC 和△ADC 中，AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.
∴AC 平分∠MAN. ∵CE ⊥AM,CF ⊥AN, ∴CE=CF.