22.3 实际问题(1)

22.3 实际问题（1）

：

1.列一元二次方程解应用题的和步骤：

归结为6个字，审，设，列，解，验，答

（1）“审”是指弄懂题目，审清题意，明确各数量之间的关系；

（2）“设”是指设元，也就是设未知数；

（3）“列”就是列方程，根据题意得到含有未知数的等式；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“验”就是检验方程的解是否符合实际情况；

（6）“答”就是写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答” 的原则。

2.列一元二次方程解决实际问题的常见题型：

（1）数字问题；（2）几何图形问题；（3）平均增长（降低）问题；

（4）利润问题。

自主探究一：

看书p45页，有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

开始有一个人感染了流感，第一轮传染了 人，第一轮之后，共感染

了 人，这些人，没人又传染给了x人，这些人共传染给了 人，现在共有 人患了流感。

解：（列方程）

解之得， x1= ，x2= （ ）

答：

扩充：若照这样的速度，三轮传染后有多少人感染？

解：三轮感染在原来 的基础上，又感染了 人，两组加起来就是 ，化简之后

是 。

将x= ，带入之后，求得三轮感染之后是 人。

若是4轮呢？ ，n轮呢？

自主探究二：

1.两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

分析：容易求出，甲种药品的年平均下降额是（5000—3000）÷2= 乙种药品的年平均下降额是（6000—3600）÷2= ，但下降率不等于下架额。

设甲种药品的年平均下降率是x，则一年之后甲种药品的成本是 两年之后家中药品的成本是 。

解：列方程：

解之得，x1= x2= （ ）

自主分析并计算出乙种药品的年平均下降率：

答：

讨论：甲种药品成本从5000降到3000，乙种药品成本从6000降到3600，但是两种药品的下降率是 的。说明不一定成本高，下降率就高。

总结：增长率问题：起始值a，终止值b，变化率x

上升a（1+x）2=b a（1+x）n=b

下降a（1—x）2=b a（1—x）n

=b

1、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）

A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元

C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元

2、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

A．200(1a%)=148 B．200(1a%)=148

C．200(12a%)=148 D．200(1a%)=148

3、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.

A．12 B．10 C．9 D．8

4、县化肥厂第一季度增产a吨化肥，以后每季度比上一季度增产x%，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）

A．a(1x) B．a(1x%) C．(1x%) D．aa(x%)

2222222

5、某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）

A．p100p100p B．p C． D． 100p1000p100p

6、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

7、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为m千克，•第二年的产量为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克．

8、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，则可列出方程为________________________．

9、某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

10、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?

●体验中考

1、（2009年，太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是________________________．

（注意:要理解增长率或降低率问题中的数量关系.）

2、（2009年，广东）某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?

思考：

1.某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

◆典例分析

某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．

（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润×100%） 年初投入资金

（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

分析:列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审题，（2）设设出未知数，（3）找等量关系列出方程，（4）用适当方法解方程，（5）检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去，（6）答题.要注意各个环节的准确性.

解:（1）∵年获利率=年利润×100%, 年初投入资金

∴第一年年终的总资金是(5050p)万元，即50(1p)万元.

（2）则依题意得：50(1p)(1p10%)66

把（1+p）看成一个整体，整理得：(1p)0.1(1p)1.320，

解得:1p1.2或1p1.1，

∴p10.2,p22.1(不合题意舍去).

∴p=0.2=20%.

∴第一年的年获利率是20%. 2

22.3 实际问题（1）

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1.列一元二次方程解应用题的和步骤：

归结为6个字，审，设，列，解，验，答

（1）“审”是指弄懂题目，审清题意，明确各数量之间的关系；

（2）“设”是指设元，也就是设未知数；

（3）“列”就是列方程，根据题意得到含有未知数的等式；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“验”就是检验方程的解是否符合实际情况；

（6）“答”就是写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答” 的原则。

2.列一元二次方程解决实际问题的常见题型：

（1）数字问题；（2）几何图形问题；（3）平均增长（降低）问题；

（4）利润问题。

自主探究一：

看书p45页，有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

开始有一个人感染了流感，第一轮传染了 人，第一轮之后，共感染

了 人，这些人，没人又传染给了x人，这些人共传染给了 人，现在共有 人患了流感。

解：（列方程）

解之得， x1= ，x2= （ ）

答：

扩充：若照这样的速度，三轮传染后有多少人感染？

解：三轮感染在原来 的基础上，又感染了 人，两组加起来就是 ，化简之后

是 。

将x= ，带入之后，求得三轮感染之后是 人。

若是4轮呢？ ，n轮呢？

自主探究二：

1.两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

分析：容易求出，甲种药品的年平均下降额是（5000—3000）÷2= 乙种药品的年平均下降额是（6000—3600）÷2= ，但下降率不等于下架额。

设甲种药品的年平均下降率是x，则一年之后甲种药品的成本是 两年之后家中药品的成本是 。

解：列方程：

解之得，x1= x2= （ ）

自主分析并计算出乙种药品的年平均下降率：

答：

讨论：甲种药品成本从5000降到3000，乙种药品成本从6000降到3600，但是两种药品的下降率是 的。说明不一定成本高，下降率就高。

总结：增长率问题：起始值a，终止值b，变化率x

上升a（1+x）2=b a（1+x）n=b

下降a（1—x）2=b a（1—x）n

=b

1、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）

A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元

C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元

2、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

A．200(1a%)=148 B．200(1a%)=148

C．200(12a%)=148 D．200(1a%)=148

3、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.

A．12 B．10 C．9 D．8

4、县化肥厂第一季度增产a吨化肥，以后每季度比上一季度增产x%，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）

A．a(1x) B．a(1x%) C．(1x%) D．aa(x%)

2222222

5、某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）

A．p100p100p B．p C． D． 100p1000p100p

6、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

7、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为m千克，•第二年的产量为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克．

8、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，则可列出方程为________________________．

9、某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

10、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?

●体验中考

1、（2009年，太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是________________________．

（注意:要理解增长率或降低率问题中的数量关系.）

2、（2009年，广东）某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?

思考：

1.某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

◆典例分析

某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．

（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润×100%） 年初投入资金

（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

分析:列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审题，（2）设设出未知数，（3）找等量关系列出方程，（4）用适当方法解方程，（5）检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去，（6）答题.要注意各个环节的准确性.

解:（1）∵年获利率=年利润×100%, 年初投入资金

∴第一年年终的总资金是(5050p)万元，即50(1p)万元.

（2）则依题意得：50(1p)(1p10%)66

把（1+p）看成一个整体，整理得：(1p)0.1(1p)1.320，

解得:1p1.2或1p1.1，

∴p10.2,p22.1(不合题意舍去).

∴p=0.2=20%.

∴第一年的年获利率是20%. 2