练习：1. 数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，
则n =
2. 已知数列{a 4n }满足3a n +1+a n =0, a 2=-3
, 则{a n }的前10项和等于（ ）
A ．-6(1-3-10
)
B ．
1
9
(1-3-10) C ．3(1-3-10
)
D ．3(1+3-10
)
2. 等比数列的通项公式和前n 项和公式
记等比数列的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则该等比数列的
注：做等比数列的题目，若用前n 项和公式无法计算时，可考虑用
S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n 来做
练习：在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 3+a 4=24, S 4=30，则数列{a n }的通项
公式为 前n 项和公式为
3. 等比中项
若三个数a , b , c 构成等比数列，则把b 叫作a 与c 的等比中项，此时有b 2
=ac
练习：已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．求数列{a n }的通项公式．
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三．a n 与S n 的关系（适用于任何数列） 1）当n =1时，a ⎧S 1(n =1)
1=S 1 即a n =⎨
⎩S n -S n -1(n ≥2)
2）当n ≥2时，a n =S n -S n -1
练习：1. 已知S n =n 2+1，则a 8= a n =
2. 在数列{a n }中，已知a 1=2且S n =2a n -1，求该数列的通项公式
第三部分：解斜三角形
一．正弦定理及变形
1.. 正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对的角的正弦比都相等，并且等于三角形外接圆的直径 即
a sin A =b sin B =c
sin C
=2R 2. 正弦定理的变形
⎧
sin A a ⎧a =2R sin A ⎪=⎪
2R 变形一(边化角) ：⎪
⎨b =2R sin B 变形一(角化边) ：⎪⎨sin B =b ⎪⎩c =2R sin C
⎪2R
⎪
⎪c ⎩
sin C =2R 二． 余弦定理及变形
1. 余弦定理：在三角形中，任意一边的平方都等于另外两边的平方减去这两边与这两边夹角
的余弦2倍的乘积
第 4页 共4页
⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A 即⎪⎨b 2=a 2+c 2
-2bc cos B ⎪⎩
c 2=a 2+b 2-2ab cos C 2. 余弦定理的变形
⎧b 2+c 2-a 2⎪cos A =⎪
2bc ⎪
B =
a 2+c 2-b 2⎨cos ⎪
2ac ⎪⎪⎩
cos C =
a 2+b 2-c 22ab 练习：1. 在∆ABC 中，已知AB =2，AC =3，A =60
. 则BC 的长为_______
2. 已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a , b , c . 若a 2
+ab +b 2
-c 2
=0, 则角C
的大小是_______
三．三角形面积公式 公式一：S 底⨯高
∆ABC =2 公式二：S ∆ABC
=12ab sin C =12ac sin B =1
2
bc sin A 练习：1. 若锐角∆
ABC 的面积为，且AB =5, AC =8，则BC 等于 2. 在∆
ABC 中，已知a =2, b =3, c
四：在∆ABC 中, 任意两个角和的正弦都等于第三个角的正弦（若是余弦和正切，则要加一个负号）即
sin(A +B ) =sin C sin(B +C ) =sin A sin(A +C ) =sin B
练习：设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C +c cos B =a sin A ，
则角A =
第5页 共6页
五．几个特殊的三角形
1. 直角三角形（假设a , b 为直角边，c 为斜边）
（1）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边平方和等于斜边平方（直角所对的边就是斜边）即a 2
+b 2
=c 2
（2）直角三角形的面积公式：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半 即S 1
Rt ∆ABC =
2
ab （做题的时候要看清楚哪两条边才是直角边） （3）直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除与斜边长
练习：在直角三角形中，已知其中一条直角边长为1，该直角边所对的角为π
6
，则斜边上的高为 ，该三角形的面积为
2. 等边三角形
等边三角形的三条边都相等，三个角都为60︒
，根据正弦定理可得
S =12ab sin A =12a ⋅a sin 60︒=24
，
由正弦定理变形a =
2R sin A 可得R =a 2sin a =a 2sin 60︒
= 由此可得等边三角形的面积和外接圆半径与边长的关系
（1） 等边三角形的面积公式：
等边三角形的面积等于边长平方的4
倍
即S 等边三角形=
4
a 2
（不一定要死记，掌握推导方法即可） (2)等边三角形的外接圆半径与边长的关系：
倍
即r =
，它的外接圆的直径为
3. 对角线互相垂直的四边形面积公式：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则该四边形的
面积等于两条对角线乘积的一半 练习：在四边形ABCD 中, AC =(1, 2), BD =(-4, 2) , 则该四边形的面积为（ ）
A ．5 B ．25
C ．5
D ．10
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练习：1. 数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，
则n =
2. 已知数列{a 4n }满足3a n +1+a n =0, a 2=-3
, 则{a n }的前10项和等于（ ）
A ．-6(1-3-10
)
B ．
1
9
(1-3-10) C ．3(1-3-10
)
D ．3(1+3-10
)
2. 等比数列的通项公式和前n 项和公式
记等比数列的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则该等比数列的
注：做等比数列的题目，若用前n 项和公式无法计算时，可考虑用
S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n 来做
练习：在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 3+a 4=24, S 4=30，则数列{a n }的通项
公式为 前n 项和公式为
3. 等比中项
若三个数a , b , c 构成等比数列，则把b 叫作a 与c 的等比中项，此时有b 2
=ac
练习：已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．求数列{a n }的通项公式．
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三．a n 与S n 的关系（适用于任何数列） 1）当n =1时，a ⎧S 1(n =1)
1=S 1 即a n =⎨
⎩S n -S n -1(n ≥2)
2）当n ≥2时，a n =S n -S n -1
练习：1. 已知S n =n 2+1，则a 8= a n =
2. 在数列{a n }中，已知a 1=2且S n =2a n -1，求该数列的通项公式
第三部分：解斜三角形
一．正弦定理及变形
1.. 正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对的角的正弦比都相等，并且等于三角形外接圆的直径 即
a sin A =b sin B =c
sin C
=2R 2. 正弦定理的变形
⎧
sin A a ⎧a =2R sin A ⎪=⎪
2R 变形一(边化角) ：⎪
⎨b =2R sin B 变形一(角化边) ：⎪⎨sin B =b ⎪⎩c =2R sin C
⎪2R
⎪
⎪c ⎩
sin C =2R 二． 余弦定理及变形
1. 余弦定理：在三角形中，任意一边的平方都等于另外两边的平方减去这两边与这两边夹角
的余弦2倍的乘积
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⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A 即⎪⎨b 2=a 2+c 2
-2bc cos B ⎪⎩
c 2=a 2+b 2-2ab cos C 2. 余弦定理的变形
⎧b 2+c 2-a 2⎪cos A =⎪
2bc ⎪
B =
a 2+c 2-b 2⎨cos ⎪
2ac ⎪⎪⎩
cos C =
a 2+b 2-c 22ab 练习：1. 在∆ABC 中，已知AB =2，AC =3，A =60
. 则BC 的长为_______
2. 已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a , b , c . 若a 2
+ab +b 2
-c 2
=0, 则角C
的大小是_______
三．三角形面积公式 公式一：S 底⨯高
∆ABC =2 公式二：S ∆ABC
=12ab sin C =12ac sin B =1
2
bc sin A 练习：1. 若锐角∆
ABC 的面积为，且AB =5, AC =8，则BC 等于 2. 在∆
ABC 中，已知a =2, b =3, c
四：在∆ABC 中, 任意两个角和的正弦都等于第三个角的正弦（若是余弦和正切，则要加一个负号）即
sin(A +B ) =sin C sin(B +C ) =sin A sin(A +C ) =sin B
练习：设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C +c cos B =a sin A ，
则角A =
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五．几个特殊的三角形
1. 直角三角形（假设a , b 为直角边，c 为斜边）
（1）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边平方和等于斜边平方（直角所对的边就是斜边）即a 2
+b 2
=c 2
（2）直角三角形的面积公式：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半 即S 1
Rt ∆ABC =
2
ab （做题的时候要看清楚哪两条边才是直角边） （3）直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除与斜边长
练习：在直角三角形中，已知其中一条直角边长为1，该直角边所对的角为π
6
，则斜边上的高为 ，该三角形的面积为
2. 等边三角形
等边三角形的三条边都相等，三个角都为60︒
，根据正弦定理可得
S =12ab sin A =12a ⋅a sin 60︒=24
，
由正弦定理变形a =
2R sin A 可得R =a 2sin a =a 2sin 60︒
= 由此可得等边三角形的面积和外接圆半径与边长的关系
（1） 等边三角形的面积公式：
等边三角形的面积等于边长平方的4
倍
即S 等边三角形=
4
a 2
（不一定要死记，掌握推导方法即可） (2)等边三角形的外接圆半径与边长的关系：
倍
即r =
，它的外接圆的直径为
3. 对角线互相垂直的四边形面积公式：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则该四边形的
面积等于两条对角线乘积的一半 练习：在四边形ABCD 中, AC =(1, 2), BD =(-4, 2) , 则该四边形的面积为（ ）
A ．5 B ．25
C ．5
D ．10
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