第25卷第4期
V ol 125 N o 14长春师范学院学报(自然科学版) Journal of Changchun N ormal Un iv ersity (N atural Science ) 2006年8月Aug 2006
高等数学思想方法的特征
莫正芳, 黄燕玲12
(11河池学院数学系, 广西宜州 546300; 2. 广西大学数学与信息科学学院, 广西南宁 530004)
[摘 要]高等数学和初等数学的思想方法有许多相同之处, 但又各有不同的特点, 高等数学思想方
法不管是在方法层面上还是在哲学层面上都有着初等数学思维所不能及的特点。
[关键词]高等数学; 思维; 证法; 合论; 射方法
[中图分类号]G 642 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X (2006) 04-0119204
1 高等数学方法体现了辩证法的思想
从哲学层面上看, 以数学分析为代表的高等数学中许多基本概念和基本方法充满了辩证的思想。极限方法是数学分析的基础, 也是数学分析的基本方法。下面就来分析数学分析中有关极限方法的几个基本概念中所渗透的辩证法思想:
δ和ε—111 极限 极限概念的ε—N 形式中, 扮演主要角色的ε具有二重性, 即ε既有确定性, 又有任意
性, 这种集确定性与任意性于一身的特点, 深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一的辩证关系。即用一系列静态去刻画和把握动态, 这种静与动的辩证关系正符合事物发展变化的一般规律, 这是初等数学思维所无能为力的。
112 导数 导数概念是数学分析核心内容的一个基本概念, 导数概念是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展成为用极限方法求曲线上点的切线斜率而形成的, 为了求函数F (x ) 在x 0的变化率, 要进行以下步骤:
第一步, 从x 0出发, 以x 0为中心“张开”一个小区间;
第二步, 利用已有的代数知识和方法, 求出F (x ) 在该小区间上的平均变化率;
第三步, 让此小区间向x 0点“收缩”, 经过一个“无限”变小的飞跃过程, 由函数F (x ) 在x 0点邻近的平均变化率获得在x 0点的变化率, 即函数F (x)在x 0点的导数。
上述处理问题的思想方法采取了“欲进故退”的迂回方式, 即为了求精确值而先求近似值然后再由近似值过渡到精确值。从本质上讲, 这种思想方法正是利用函数F (x)在x 0点邻近的变化状态去揭示和把握F (x ) 在x 0点的变化状态。是一个描述“局部”特性的概念。
113 积分 积分概念是在用代数运算求直线所围成的平面图形面积的基础上, 发展成为用极限方法求曲线所围成的平面图形面积而形成的, 为了求函数F (x ) 在区间[a , b ]上的定积分, 一般分为如下四个步骤:
第一步 从要求的整体出发, 将整体“化整为零”;
第二步 在被分割开的每一个局部范围内“以直求曲”, 用初等代数, 几何方法求出各个局部的近似值; 第三步 “积零为整”求出整体的近似值;
第四步 “无限求和”达到最终目的, 即求出整体的精确值。
从以上步骤可以看出, 积分概念的建立和求积分过程, 也是采用由“精确到近似, 再由近似到精确”的迂回曲折的手段和途径。通过这种曲折的道路, 使得所求的整体由未知转化为已知, 实现了“直”与“曲”、“有限”和“无限”、“近似”与“精确”的矛盾转化, 是一个反映“整体”性质的概念。
114 级数 无穷级数(简称级数) 是把数列{un }(或函数列{un (x ) }) 的各项依次用“+”号连接起来的表达式:∑u n =u 1+u 2+u 3+…+u n +…, 在其收敛性的讨论及其和的定义中, 经历了由级数∑u n →数列{Sn}(部分和数列) →级数∑u n , 即无限→有限→无限的过程, 级数理论便可利用数列的极限理论去建立, 又可反过来建立新的理论、新的方法去研究数列的极限, 从而相互转化, 相互利用, 相互促进。其整个过程是通
[收稿日期]2006-03-16
[基金资目]广西教育科学“十五”规划重点项目(2005-B38) 、河池学院科研项目(2004B -E 005)
[作者简介]莫正芳(1965-) , 男, 广西宜州人, 河池学院数学系讲师, 吉林大学应用数学专业硕士研究生, 从事最优化理论研究。
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V ol 125 N o 14长春师范学院学报(自然科学版) Journal of Changchun N ormal Un iv ersity (N atural Science ) 2006年8月Aug 2006
高等数学思想方法的特征
莫正芳, 黄燕玲12
(11河池学院数学系, 广西宜州 546300; 2. 广西大学数学与信息科学学院, 广西南宁 530004)
[摘 要]高等数学和初等数学的思想方法有许多相同之处, 但又各有不同的特点, 高等数学思想方
法不管是在方法层面上还是在哲学层面上都有着初等数学思维所不能及的特点。
[关键词]高等数学; 思维; 证法; 合论; 射方法
[中图分类号]G 642 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X (2006) 04-0119204
1 高等数学方法体现了辩证法的思想
从哲学层面上看, 以数学分析为代表的高等数学中许多基本概念和基本方法充满了辩证的思想。极限方法是数学分析的基础, 也是数学分析的基本方法。下面就来分析数学分析中有关极限方法的几个基本概念中所渗透的辩证法思想:
δ和ε—111 极限 极限概念的ε—N 形式中, 扮演主要角色的ε具有二重性, 即ε既有确定性, 又有任意
性, 这种集确定性与任意性于一身的特点, 深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一的辩证关系。即用一系列静态去刻画和把握动态, 这种静与动的辩证关系正符合事物发展变化的一般规律, 这是初等数学思维所无能为力的。
112 导数 导数概念是数学分析核心内容的一个基本概念, 导数概念是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展成为用极限方法求曲线上点的切线斜率而形成的, 为了求函数F (x ) 在x 0的变化率, 要进行以下步骤:
第一步, 从x 0出发, 以x 0为中心“张开”一个小区间;
第二步, 利用已有的代数知识和方法, 求出F (x ) 在该小区间上的平均变化率;
第三步, 让此小区间向x 0点“收缩”, 经过一个“无限”变小的飞跃过程, 由函数F (x ) 在x 0点邻近的平均变化率获得在x 0点的变化率, 即函数F (x)在x 0点的导数。
上述处理问题的思想方法采取了“欲进故退”的迂回方式, 即为了求精确值而先求近似值然后再由近似值过渡到精确值。从本质上讲, 这种思想方法正是利用函数F (x)在x 0点邻近的变化状态去揭示和把握F (x ) 在x 0点的变化状态。是一个描述“局部”特性的概念。
113 积分 积分概念是在用代数运算求直线所围成的平面图形面积的基础上, 发展成为用极限方法求曲线所围成的平面图形面积而形成的, 为了求函数F (x ) 在区间[a , b ]上的定积分, 一般分为如下四个步骤:
第一步 从要求的整体出发, 将整体“化整为零”;
第二步 在被分割开的每一个局部范围内“以直求曲”, 用初等代数, 几何方法求出各个局部的近似值; 第三步 “积零为整”求出整体的近似值;
第四步 “无限求和”达到最终目的, 即求出整体的精确值。
从以上步骤可以看出, 积分概念的建立和求积分过程, 也是采用由“精确到近似, 再由近似到精确”的迂回曲折的手段和途径。通过这种曲折的道路, 使得所求的整体由未知转化为已知, 实现了“直”与“曲”、“有限”和“无限”、“近似”与“精确”的矛盾转化, 是一个反映“整体”性质的概念。
114 级数 无穷级数(简称级数) 是把数列{un }(或函数列{un (x ) }) 的各项依次用“+”号连接起来的表达式:∑u n =u 1+u 2+u 3+…+u n +…, 在其收敛性的讨论及其和的定义中, 经历了由级数∑u n →数列{Sn}(部分和数列) →级数∑u n , 即无限→有限→无限的过程, 级数理论便可利用数列的极限理论去建立, 又可反过来建立新的理论、新的方法去研究数列的极限, 从而相互转化, 相互利用, 相互促进。其整个过程是通
[收稿日期]2006-03-16
[基金资目]广西教育科学“十五”规划重点项目(2005-B38) 、河池学院科研项目(2004B -E 005)
[作者简介]莫正芳(1965-) , 男, 广西宜州人, 河池学院数学系讲师, 吉林大学应用数学专业硕士研究生, 从事最优化理论研究。
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