确定圆的条件教案（蔡飞）
教学内容与过程：
一、 创设问题情境，引入新课
1、问题：
车间工人要将一个破损的圆形文物复原，你有办法吗？
2、引入新课：
（1）这个问题就是本节课的学习的一个知识点，相信同学们通过本节课的学习一定能解决
这个问题。
（2）出示课题：3.4确定圆的条件
二、探索新知
类比确定直线的条件
我们知道经过一点可以作无数条直线；经过两点只能作一条直线. 想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?（提问）
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?（提问）
作法：（1）连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
（2）在直线MN上任取一点O，以O为圆心，以OA为半径作圆，即为所求。
证明：因为O为圆心，OA为半径，所以A在圆上。又因为O在线段的AB的垂直平分线上，而垂直平分线上的所有点到线段两端点的距离相等，故OB＝OA，所以B在圆上。
所以，圆O是经过两点A、B的圆。
师：现在，请同学回答以下两个问题：
（1）你是怎样想到上述作法的？（作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定。在教学中，解决过已知点作圆的问题，应紧紧抓住对圆心和半径的探讨，已知圆心和半径就可以作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思路，因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此作圆的问题又变成了找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数.）
（2）经过两个已知点A、B的圆有多少个？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？为什么？
（在学生回答后，教师把上述两个问题的结果作一个小结。）
师：“经过两已知点A、B的圆心在线段AB的垂直平分线上”（板书）由于经过已知点A、B的圆，圆心可以取线段AB的垂直平分线上的任意点，圆心不确定，而半径也不确定，所以，“经过两个已知点A、B的圆有无穷多个，圆的大小是不确定的”（板书）。这是很重要的结论，以后经常要用到，希望同学们记下来。
发现新问题：
既然经过两已知点A、B的圆是不确定的，那么经过几个点的圆才是确定的呢？我们将“经过两个已知点A、B”换成“经过三点A、B、C”，这里新增了第三点C。这三点的位置要进行讨论．有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．
解决新问题
怎样才能做出这个圆呢？下面，我们来研究这个问题。2．请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
分析：作圆可以先找圆心，前面已学过，经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。这垂直平分线如果设为DE，那么DE上哪一点是既经过A、B两点又经过第三点C的圆的圆心呢？同学们想一下，圆心是否应该在线段AC（或BC的垂直平分线上）呢？那么圆心怎样找呢？
生：圆心应在线段AB的垂直平分线DE与线段BC的垂直平分线FG的交点上。
师：要作经过不共线三点A、B、C的圆，找圆心时，把经过三点A、B、C分解为先要求经过两点A、B，再要求经过两点A、C，两次一结合。问题就得到解决了。这是数学上常用的思考方法。对于这个问题小华是这样做的
作法：
1.连结AB，BC。
2.分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O。
3.以O为圆心、以OA为半径作圆。
⊙O就是所求作的圆。他作的圆符合要求吗？与同伴进行交流。
师：“证明”就是根据“作法”，从理论上说清所作圆确实经过不共线的三点A、B、C。 因为O为圆心，OB为半径，所以B在⊙O上，即⊙O过点B。又因为O在线段AB的垂直平分线上，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以OA＝OB。故A在⊙O上，即⊙O经过点A。同理，⊙O经过点C。因此，⊙O确实是经过不共线三点
A、B、C的圆。现在，请同学们考虑：经过不共线三点A、B、C的圆只有一个。 生：经过不共线的三点A、B、C的圆只有一个。
师：这就得到了定理“过不共线三点决定一个圆”（板书）。这里的“决定”包含两层意思：一是能够作出一个圆；二是仅能作出一个圆。怎样证明这一个结论？
（1）要证明“存在性”，说明能作出一个圆，这包含刚才的“作法”、“证明”两部分的所有内容。
（2）要证明“唯一性”，说明仅能作一个圆，这由于AB、AC的垂直平分线DE、FG有唯一的交点O，从而圆心O是唯一的。进一步又知OA＝OB＝OC半径是唯一的，所以，这样所作的圆是唯一的，“唯一性”得到了证明。
师：请同学们再考虑，如果三点A、B、C是在同一直线上，那么存在不存在经过三点
A、B、C的圆？考虑一下圆心在哪里？
生：若A、B、C三点共线，线段AB、BC、CA的垂直平分线平行而无交点，因而找不到圆心，于是不存在经过共线三点的圆。（不共线三点能确定一个圆。这里的“不共线”是极重要的条件，要再一次强调。
引导学生观察
这个圆与三角形的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．
三、应用和拓展
（1一下怎样找圆心就行，试试看。
（2）车间工人要将一个破损的圆形文物复原，你有办法吗？
（3）不共线三点可以确定一个圆，那么三个以上的点呢？如：不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能？什么情况下不能？（用三角形外接圆、圆外、圆内各一点说明四个点或四个点以上未必在同一圆上， 如右图所示。）
四、新知巩固
师：我们学会了定理“不共线三点能确定一个圆”有什么用呢？可以用来作出三角形
的外接圆。（请同学们在准备好的画有锐角三角形、钝角三角形、直角三角形卡片上，画出它们的外接圆，看谁最快）作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
（学生画图，教师巡视、指导。）
师：画完后，请同学们观察一下，圆心的位置有什么特点？
生：直角三角形的外心在斜边的中点上；锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部。（板书：
师：画得较快的同学是不是每个三角形只画了两边的垂直平分线，用交点确定圆心O，画外接圆；而画得稍慢的是不是每个三角形都画了三边的垂直平分线，用交点确定圆心O，画外接圆？但这样的同学也有另外的收获，又重现了过去学过的“三角形三边的垂直平分线三线共点”这个事实。
五、新知理解
请回答下列填空题和判断题。（完成后可让学生读出）
1．填空题：
（1）经过两点A、B，可用＿＿＿＿＿个圆，其圆心在＿＿＿＿。
（2）经过不共线三点A、B、C可作＿＿＿＿个圆，其圆心在＿＿＿＿＿。
2．判断题：
（1）过三点确定一个圆。
（2）多边形的顶点都在圆内时，叫做这个圆的内接多边形。
（3）以线段AB为直径可以作一个确定了位置和大小的圆。所以说，两点A、B确定一个圆。所以，推广到一般，可以说“两点确定一个圆”。
（4）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
（5）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
（6）三角形的外心是三角形三边中线的交点；
（7）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．
六、感悟与收获
师：请同学们说出本节课学会了哪些知识、技能。
生：（1）不共线三点能确定一个圆；（2）三角形外接圆的圆心就是三边垂直平分线的交点，可以通过作任意两边的垂直平分线而找到的。
七、作业
1、P111习题3.6 1 2 3
2．任画一个直角梯形，再画出经过它的每三个顶点的圆。
3、如图3-4-2，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
八、探究活动
确定圆的个数
1、如图1，直线上两个不同点A、B和直线外一点P可以确定一个圆；如图2，直线上三个不同点A、B、C和直线外一点P可以确定三个圆；……；那么直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外一点P可以确定多少个圆？
2、如图4，直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外两个不同的点P、Q，则这（n+2）个点最多可以确定多少个圆？
3、如图5，在⊙O上的n个不同点A1、A2、A3……An和P，可以确定多少个圆？
确定圆的条件教案（蔡飞）
教学内容与过程：
一、 创设问题情境，引入新课
1、问题：
车间工人要将一个破损的圆形文物复原，你有办法吗？
2、引入新课：
（1）这个问题就是本节课的学习的一个知识点，相信同学们通过本节课的学习一定能解决
这个问题。
（2）出示课题：3.4确定圆的条件
二、探索新知
类比确定直线的条件
我们知道经过一点可以作无数条直线；经过两点只能作一条直线. 想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?（提问）
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?（提问）
作法：（1）连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
（2）在直线MN上任取一点O，以O为圆心，以OA为半径作圆，即为所求。
证明：因为O为圆心，OA为半径，所以A在圆上。又因为O在线段的AB的垂直平分线上，而垂直平分线上的所有点到线段两端点的距离相等，故OB＝OA，所以B在圆上。
所以，圆O是经过两点A、B的圆。
师：现在，请同学回答以下两个问题：
（1）你是怎样想到上述作法的？（作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定。在教学中，解决过已知点作圆的问题，应紧紧抓住对圆心和半径的探讨，已知圆心和半径就可以作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思路，因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此作圆的问题又变成了找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数.）
（2）经过两个已知点A、B的圆有多少个？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？为什么？
（在学生回答后，教师把上述两个问题的结果作一个小结。）
师：“经过两已知点A、B的圆心在线段AB的垂直平分线上”（板书）由于经过已知点A、B的圆，圆心可以取线段AB的垂直平分线上的任意点，圆心不确定，而半径也不确定，所以，“经过两个已知点A、B的圆有无穷多个，圆的大小是不确定的”（板书）。这是很重要的结论，以后经常要用到，希望同学们记下来。
发现新问题：
既然经过两已知点A、B的圆是不确定的，那么经过几个点的圆才是确定的呢？我们将“经过两个已知点A、B”换成“经过三点A、B、C”，这里新增了第三点C。这三点的位置要进行讨论．有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．
解决新问题
怎样才能做出这个圆呢？下面，我们来研究这个问题。2．请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
分析：作圆可以先找圆心，前面已学过，经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。这垂直平分线如果设为DE，那么DE上哪一点是既经过A、B两点又经过第三点C的圆的圆心呢？同学们想一下，圆心是否应该在线段AC（或BC的垂直平分线上）呢？那么圆心怎样找呢？
生：圆心应在线段AB的垂直平分线DE与线段BC的垂直平分线FG的交点上。
师：要作经过不共线三点A、B、C的圆，找圆心时，把经过三点A、B、C分解为先要求经过两点A、B，再要求经过两点A、C，两次一结合。问题就得到解决了。这是数学上常用的思考方法。对于这个问题小华是这样做的
作法：
1.连结AB，BC。
2.分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O。
3.以O为圆心、以OA为半径作圆。
⊙O就是所求作的圆。他作的圆符合要求吗？与同伴进行交流。
师：“证明”就是根据“作法”，从理论上说清所作圆确实经过不共线的三点A、B、C。 因为O为圆心，OB为半径，所以B在⊙O上，即⊙O过点B。又因为O在线段AB的垂直平分线上，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以OA＝OB。故A在⊙O上，即⊙O经过点A。同理，⊙O经过点C。因此，⊙O确实是经过不共线三点
A、B、C的圆。现在，请同学们考虑：经过不共线三点A、B、C的圆只有一个。 生：经过不共线的三点A、B、C的圆只有一个。
师：这就得到了定理“过不共线三点决定一个圆”（板书）。这里的“决定”包含两层意思：一是能够作出一个圆；二是仅能作出一个圆。怎样证明这一个结论？
（1）要证明“存在性”，说明能作出一个圆，这包含刚才的“作法”、“证明”两部分的所有内容。
（2）要证明“唯一性”，说明仅能作一个圆，这由于AB、AC的垂直平分线DE、FG有唯一的交点O，从而圆心O是唯一的。进一步又知OA＝OB＝OC半径是唯一的，所以，这样所作的圆是唯一的，“唯一性”得到了证明。
师：请同学们再考虑，如果三点A、B、C是在同一直线上，那么存在不存在经过三点
A、B、C的圆？考虑一下圆心在哪里？
生：若A、B、C三点共线，线段AB、BC、CA的垂直平分线平行而无交点，因而找不到圆心，于是不存在经过共线三点的圆。（不共线三点能确定一个圆。这里的“不共线”是极重要的条件，要再一次强调。
引导学生观察
这个圆与三角形的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．
三、应用和拓展
（1一下怎样找圆心就行，试试看。
（2）车间工人要将一个破损的圆形文物复原，你有办法吗？
（3）不共线三点可以确定一个圆，那么三个以上的点呢？如：不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能？什么情况下不能？（用三角形外接圆、圆外、圆内各一点说明四个点或四个点以上未必在同一圆上， 如右图所示。）
四、新知巩固
师：我们学会了定理“不共线三点能确定一个圆”有什么用呢？可以用来作出三角形
的外接圆。（请同学们在准备好的画有锐角三角形、钝角三角形、直角三角形卡片上，画出它们的外接圆，看谁最快）作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
（学生画图，教师巡视、指导。）
师：画完后，请同学们观察一下，圆心的位置有什么特点？
生：直角三角形的外心在斜边的中点上；锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部。（板书：
师：画得较快的同学是不是每个三角形只画了两边的垂直平分线，用交点确定圆心O，画外接圆；而画得稍慢的是不是每个三角形都画了三边的垂直平分线，用交点确定圆心O，画外接圆？但这样的同学也有另外的收获，又重现了过去学过的“三角形三边的垂直平分线三线共点”这个事实。
五、新知理解
请回答下列填空题和判断题。（完成后可让学生读出）
1．填空题：
（1）经过两点A、B，可用＿＿＿＿＿个圆，其圆心在＿＿＿＿。
（2）经过不共线三点A、B、C可作＿＿＿＿个圆，其圆心在＿＿＿＿＿。
2．判断题：
（1）过三点确定一个圆。
（2）多边形的顶点都在圆内时，叫做这个圆的内接多边形。
（3）以线段AB为直径可以作一个确定了位置和大小的圆。所以说，两点A、B确定一个圆。所以，推广到一般，可以说“两点确定一个圆”。
（4）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
（5）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
（6）三角形的外心是三角形三边中线的交点；
（7）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．
六、感悟与收获
师：请同学们说出本节课学会了哪些知识、技能。
生：（1）不共线三点能确定一个圆；（2）三角形外接圆的圆心就是三边垂直平分线的交点，可以通过作任意两边的垂直平分线而找到的。
七、作业
1、P111习题3.6 1 2 3
2．任画一个直角梯形，再画出经过它的每三个顶点的圆。
3、如图3-4-2，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
八、探究活动
确定圆的个数
1、如图1，直线上两个不同点A、B和直线外一点P可以确定一个圆；如图2，直线上三个不同点A、B、C和直线外一点P可以确定三个圆；……；那么直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外一点P可以确定多少个圆？
2、如图4，直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外两个不同的点P、Q，则这（n+2）个点最多可以确定多少个圆？
3、如图5，在⊙O上的n个不同点A1、A2、A3……An和P，可以确定多少个圆？