银行复利的计算
一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？
解 按月存款和计算时，每月的利息为
数，则由题意得 141⨯=，记x k 为第k 月末时的养老金12100300
1⎫⎛x 1=100 x 2=100+100 1+⎪ ⎝300⎭
1⎫1⎫⎛⎛x 3=100+100 1++1001+⎪ ⎪ ⎝300⎭⎝300⎭
2
1⎫1⎫⎛⎛x n =100+100 1+⎪+ +100 1+⎪300300⎝⎭⎝⎭
5年末养老金为
60n -1 1⎫⎛1- 1+⎪160⎫300⎭⎛⎝x 60=100⨯=30000) -1⎪（元） (1+1⎫300⎛⎝⎭1- 1+⎪⎝300⎭
当复利和存款按日计算时，记y k 为第k 天的养老金数，则每天的存款额为a =每天的利率为r =1200，3654。第k +1天的养老金数量与第k 天养老金数量的关系为 36500
y k +1=12004⎫⎛+y k 1+⎪ 36536500⎝⎭
从第1天开始递推为
y 1=[1**********]0⎛4⎫ y 2=+1+ ⎪ 365365365⎝36500⎭
212001200⎛4⎫1200⎛4⎫y 3=+ 1+⎪+ 1+⎪ 365365⎝36500⎭365⎝36500⎭
12001200⎛4⎫1200⎛4⎫y n =+ 1+⎪+ + 1+⎪365365⎝36500⎭365⎝36500⎭n -1
在5年末时的养老金数为
y 18254⎫⎛1- 1+⎪1825⎛⎛⎫1200⎝36500⎭4⎫ （元） ==30000 1+⎪-1⎪ ⎪4⎫365⎛⎝⎝36500⎭⎭1- 1+⎪⎝36500⎭1825
当存款和复利连续计算时，我们先将1年分为m 个相等的时间区间，则每个时间区间中存款为12004，每个区间的利息为。记第k 个区间养老金的数目为z k ，类似于前面100m m
的分析得5年后的养老金为
z 5m 4⎫⎛1- 1+⎪5m ⎛⎛⎫1200⎝100m ⎭4⎫ ==30000 1+-1⎪（元） （1） ⎪ ⎝100m ⎭⎪4⎫m ⎛⎝⎭1- 1+⎪⎝100m ⎭5m
再让m →+∞即得连续存款和计息时5年后的养老金数为
5m ⎛⎛⎫4⎫⎛ z =lim 30000 1+-1⎪=30000e -1⎫ ⎪（元） ⎪ ⎝100m ⎭⎪m →+∞⎝⎭⎝⎭
观察这三种不同情况下复利的计算问题，我们可以看出将1年分为m 等份得出的计算公式（1）具有一般性，当m 分别取12和365时就是前面两种情况下的计算公式。另外，1⎫⎛由于 1+⎪是m 的单调增函数，所以计息间隔越小，5年后的养老金数就越多，但不25m ⎝⎭
会超过连续存款和计息时的极限值。在这三种情况下的具体计算结果分别是 5m
x 60≈6629. 9, y 1825=6641. 68, z =6642. 08
由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存入较多现金，而是分批逐渐存入，对投资者的资金周转有利。所以在银行按复利计息时，我们建议存款者尽量采用小间隔的策略。
1、作者：周义仓，赫孝良；
2、书名：《数学建模实验》；
3、出版社：西安交通大学出版社；
4、出版时间：1999年10月
银行复利的计算
一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？
解 按月存款和计算时，每月的利息为
数，则由题意得 141⨯=，记x k 为第k 月末时的养老金12100300
1⎫⎛x 1=100 x 2=100+100 1+⎪ ⎝300⎭
1⎫1⎫⎛⎛x 3=100+100 1++1001+⎪ ⎪ ⎝300⎭⎝300⎭
2
1⎫1⎫⎛⎛x n =100+100 1+⎪+ +100 1+⎪300300⎝⎭⎝⎭
5年末养老金为
60n -1 1⎫⎛1- 1+⎪160⎫300⎭⎛⎝x 60=100⨯=30000) -1⎪（元） (1+1⎫300⎛⎝⎭1- 1+⎪⎝300⎭
当复利和存款按日计算时，记y k 为第k 天的养老金数，则每天的存款额为a =每天的利率为r =1200，3654。第k +1天的养老金数量与第k 天养老金数量的关系为 36500
y k +1=12004⎫⎛+y k 1+⎪ 36536500⎝⎭
从第1天开始递推为
y 1=[1**********]0⎛4⎫ y 2=+1+ ⎪ 365365365⎝36500⎭
212001200⎛4⎫1200⎛4⎫y 3=+ 1+⎪+ 1+⎪ 365365⎝36500⎭365⎝36500⎭
12001200⎛4⎫1200⎛4⎫y n =+ 1+⎪+ + 1+⎪365365⎝36500⎭365⎝36500⎭n -1
在5年末时的养老金数为
y 18254⎫⎛1- 1+⎪1825⎛⎛⎫1200⎝36500⎭4⎫ （元） ==30000 1+⎪-1⎪ ⎪4⎫365⎛⎝⎝36500⎭⎭1- 1+⎪⎝36500⎭1825
当存款和复利连续计算时，我们先将1年分为m 个相等的时间区间，则每个时间区间中存款为12004，每个区间的利息为。记第k 个区间养老金的数目为z k ，类似于前面100m m
的分析得5年后的养老金为
z 5m 4⎫⎛1- 1+⎪5m ⎛⎛⎫1200⎝100m ⎭4⎫ ==30000 1+-1⎪（元） （1） ⎪ ⎝100m ⎭⎪4⎫m ⎛⎝⎭1- 1+⎪⎝100m ⎭5m
再让m →+∞即得连续存款和计息时5年后的养老金数为
5m ⎛⎛⎫4⎫⎛ z =lim 30000 1+-1⎪=30000e -1⎫ ⎪（元） ⎪ ⎝100m ⎭⎪m →+∞⎝⎭⎝⎭
观察这三种不同情况下复利的计算问题，我们可以看出将1年分为m 等份得出的计算公式（1）具有一般性，当m 分别取12和365时就是前面两种情况下的计算公式。另外，1⎫⎛由于 1+⎪是m 的单调增函数，所以计息间隔越小，5年后的养老金数就越多，但不25m ⎝⎭
会超过连续存款和计息时的极限值。在这三种情况下的具体计算结果分别是 5m
x 60≈6629. 9, y 1825=6641. 68, z =6642. 08
由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存入较多现金，而是分批逐渐存入，对投资者的资金周转有利。所以在银行按复利计息时，我们建议存款者尽量采用小间隔的策略。
1、作者：周义仓，赫孝良；
2、书名：《数学建模实验》；
3、出版社：西安交通大学出版社；
4、出版时间：1999年10月