（一２）ｍ十（一１）行十１—０，２ｍ十７ｚ＝１，ｍ，ｒｌ＞０，
所以Ａ＋Ａ：（土＋呈）．（２仇＋竹）一
４＋ｎ＋》４＋２４ｎ・４ｍｍ以一８，
以
澎彝妻詈，誉差鼍鼍篙曩謇萎麓主委萋
值时有２种基本方法：一是带入消元，二是整体使用条件，利用均值不等式求最值．
◇北京徐德前王芝平
当且仅当ｍ＝１，ｎ＝２时取“＝”．
不等式是每年高考必考的热点内容，考题灵活多变，思想方法丰富．从近几年的高考试题来看，多为考查不等式的性质和运算以及应用均值不等式求最值等．试题一般具有以下几个特点：不等式性质的考查一般与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查结合起来，常以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性知识结合起来．不等式的应用题大都是以函数的形式出现，以最优化的性质展现，在解题过程中涉及不等式求值、取值范围等．
下面对不等式重点、热点题型分类解析，希望对读者的复习有所帮助．１基本不等式的应用
—ｒ＿弋，’
１ｒ‘
２利用函数的性质解不等式问题■”矿
：二例３设ａ＝ｌｇｅ，６＝（１９ｅ）２，ｃ＝ｌｇｆ苫则（
Ａ口＞６＞ｆ；
Ｃ
Ｂ
）．
ｎ＞ｆ＞６；ｃ＞ｂ＞ａ
ｌｇ
ｃ＞ａ＞６；Ｄ
肆析
由０＜１９ｅ＜１，知口＞６，又ｆ一虿１
ｅ，作商比
较知ｃ＞ｂ，答案选Ｂ
鸢舞尝茎￡篡般麓差萎躲知
■ｒ’，．
１
ｏ二例４设口，ｂ，ｃ均为正数，且２４＝ｌｏｇ专ａ，（÷）６＝
ｌ。ｇ吾¨丢）哇ｌ。ｇｚｆ，则（
ＡＣ
）．
ａ＜ｂ＜ｃ；
Ｂ
名例１已知ｚ，Ｙ，ｚＥＲ＋，ｘ－－２ｙ＋３ｚ＝０，则上的
ｃ＜ｎ＜６；Ｄ
ｃ＜ｂ＜ａ；６＜ｎ＜ｃ
ｙ一
最小值——．
Ｑ
对于多元问题首先应该想到消元策略，尽可
Ｑ
考虑到函数与方程
／解析的关系，不难得到口是函数Ｙ一２１与Ｙ—ｌｏｇ｛ｚ交点的横坐标，ｂ是函数Ｙ一
１
＼．
３ｚ＝０得ｙ＝半，则
ｚｚ
４Ｘｚ
／解析能的减少待求式中的变量个数．由ｚ－－２ｙ＋
／。
Ｄ
（去）。与Ｙ—ｌｏｇ吉ｚ交点的横
１
鸟彝耋蒙爹妻主柔萋支淼莩萋雾柔
‘４ｘｚ
兰：ｘ２＋９．ｚ２＋６ｘｚ一＞６ｘｚ．＋６ｘｚ一３，
繇
口上６
坐标，ｃ是函数Ｙ一（去）２与
ｙ＝ｌｏｇｚｚ交点的横坐标，在同一个坐标系下分别做出４
当且仅当ｘ＝３ｚ时取“＝”．
２／＼
图１
Ａｃ；
个函数的图象（如图１），结合图象不难得到ａ＜ｂ＜ｃ．
件．合理“分拆”或“配凑”是常用的技巧，而“拆”与“凑”的目的在于使“和”或“积”为定值．
鸢舞柔麓曼釜翟鬻瀚淼甍高譬
转化为函数的交点问题，突出函数与方程的思想．３以线性规划为载体考查不等式问题
：二例２函数ｙ＝－ｌｏｇ．（ｚ＋３）一１（口＞ｏ，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线ｒｎｘ＋ｎｙ＋１－＝０上，其中ｍｎ＞Ｏ，
－２十号的最小值为——．ｍ，ｚ——
Ｑ
函数ｙ－－－－－ｌｏｇ。（ｘ＋３）－－ｌ（ａ＞０，口≠１）的图象
！二例５设ｚ，Ｙ满足约束条ｆ制ｚ—ｙ＋２≥ｏ，
ｋ≥Ｏ，Ｙ≥Ｏ，
刑
ｆ３ｘ—Ｙ一６≤”
／解析过定点Ａ（～２，－－１），所以
１９４９年１１月１日，中国科学院成立．
斟品化
若目标函数ｇ－－一＂ａＸ＋ｂｙ（口＞ｏ，６＞Ｏ）的值是最大值为
２栏的面积之和为１８０００ｃｍ２，
１２，则导＋旱的最小值为
口０
四周空白的宽度为１０ｃｍ，２栏之间的中缝空白的宽度为５ｃｍ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：ｃｍ），能使矩形广告面积最小？
解法１
设矩形栏目的高
ａｂ＝９０００ｃｍ２．
图２
Ｑ
结合不等式表示的平面区域可知当直线２一
／解析口ｚ＋ｂ（ｎ＞ｏ，６＞ｏ）过直线ｘ－－ｙ＋２＝Ｏ与直线３ｘ－－ｙ－－６＝０的交点（４，６）时，目标函数ｚ—ａａｃ＋ｂｙ（口＞Ｏ，６＞０）取得最大值１２，即２ａ＋３ｂ＝６，而
一２
ａ）３＋２（３ｏ
ａ半＝
Ｏ
为口，宽为ｂ，则
①
设广告的高为口＋２０，宽为２６＋２５，其中ｎ＞０，ｂ＞Ｏ．广告的面积
Ｓ一（口＋２０）（２ｂ＋２５）＝２ａｂ＋４０ｂ＋２５ａ＋５００＝
１８
彭彝喜竺量凳篡署翟慧蠹端柔
・１。３＋（口ｂ＋口ａ）＞１。３＋２
２。５．
等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最
５００＋２５ａ＋４０ｂ＞少１８
５００＋２∥甄丽＝２４
５００．
值？对于形如已知２ａ＋３ｂ一６（ａ＞Ｏ，６＞ｏ），求詈＋詈
的最小值常用基本不等式解答．
４不等式在解决函数含参问题中的应用
当且仅当２５ａ＝４０ｂ时等号成立，此时６＝ｉｏ口，代人①式得口＝１２０，６—７５即当ｎ一１２０，ｂ＝７５，Ｓ取得最小值２４５００．故广告的高为１４０ｃｍ，宽为１７５ａｍ时，可使广告的面积最小．
解法２设广告的高、宽分别为上，Ｙ，则每栏的高
，其中ｚ＞２０，ｙ＞２５．２栏面
谚，例６厂（ｚ）＝ａｘ３－－３ｚ＋１对于ｚ６Ｅ一１，１Ｊ总有
，（ｚ）≥Ｏ成立，则口＝——．
ｐ
本小题考查函数单调性的综合运用．
当ｘ＞Ｏ即ｘＥ（Ｏ，１７时，厂（ｚ）＝ａｘ３—３ｘ＋１≥Ｏ
和宽分别为ｚ一２０，出９
２５，广告的面积
／解析若ｚ—ｏ，不论口取何值，，（ｚ）≥ｏ显然成立；
积和为２（ｚ一２０）￡笋＝１８ｏｏｏ，由此得Ｙ＝警箸＋
’‘
可化为口≥耋一≯１．
设ｇ（ｚ）＝≯３一了１，则９７（ｚ）一学，所以
当ｘ＜Ｏ即ｚ∈Ｅ－１，ｏ）时，，（ｚ）＝ａｘ３－－３ｘ＋ｌ≥
ｓ—ｚｙ刊鬻＋２５）一等＋２５ｚ，
５００．
５００＿２４５００．
ｇ（ｚ）在区间（ｏ，告］上单调递增，在区ｆｉｚｌ…１ｒ，１－］１－单调
递减，因此ｇ一（ｚ）一ｇ（去）一４，从而ｎ≥４．
整理得Ｓ＿－－萼竺箬＋２５（Ｘ－－２０）＋１８
因为ｚ＞２０，所以
ｏ可化为口≤吾一了１，９７（ｚ）＝掣＞ｏ，ｇ（ｚ）在
区间［一１，ｏ）上单调递增，因此ｇ血（ｚ）一ｇ（一１）一４，从而口≤４，综上ａ＝４．
ｓ≥２√篱×２５（ｚ－２０）＋１８
当且仅当萼竺桨一２５（Ｘ－－２０）时等号成立，此时
有（ｚ一２０）２＝１４４００（ｚ＞２０），解得ｚ一１４０，代人ｙ＝
塑黑一－［－－２５＝１７５，即广告的高为１４０ｃｍ，宽为１７５ｃｍ
时，可使广告的面积最小．
鸯彝言霍曩姜蒿羹麓慧耋望署萎釜碧寡羹
讨论，善于使用导数求最值．化归与转化思想在不等式中占有重要地位，如等式与不等式的转化，不等式与不等式之间的转化、函数与不等式的转化等．５不等式在解决实际问题中的应用
■，１，
鸯彝主篡嚣黧毓裟茎鑫霎篥莩
景、领悟数学实质，再进行抽象、归纳其中的数量关系，建立数学模型，最后根据所建立的模型的知识系统，解出模型的数学结果，给出实际问题的答案．
（作者单位：北京宏志中学）
彩例７如图２，要设计一张矩形广告，该广告含有
舭化
大小相等的左右２个矩形栏目（即图中阴影部分），这
１９２８年１１月１日，中央银行成立．
高考中不等式问题分类解析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
徐德前， 王芝平北京宏志中学高中数理化
GAOZHONG SHU-LI-HUA2009(11)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gzslh200911007.aspx
（一２）ｍ十（一１）行十１—０，２ｍ十７ｚ＝１，ｍ，ｒｌ＞０，
所以Ａ＋Ａ：（土＋呈）．（２仇＋竹）一
４＋ｎ＋》４＋２４ｎ・４ｍｍ以一８，
以
澎彝妻詈，誉差鼍鼍篙曩謇萎麓主委萋
值时有２种基本方法：一是带入消元，二是整体使用条件，利用均值不等式求最值．
◇北京徐德前王芝平
当且仅当ｍ＝１，ｎ＝２时取“＝”．
不等式是每年高考必考的热点内容，考题灵活多变，思想方法丰富．从近几年的高考试题来看，多为考查不等式的性质和运算以及应用均值不等式求最值等．试题一般具有以下几个特点：不等式性质的考查一般与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查结合起来，常以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性知识结合起来．不等式的应用题大都是以函数的形式出现，以最优化的性质展现，在解题过程中涉及不等式求值、取值范围等．
下面对不等式重点、热点题型分类解析，希望对读者的复习有所帮助．１基本不等式的应用
—ｒ＿弋，’
１ｒ‘
２利用函数的性质解不等式问题■”矿
：二例３设ａ＝ｌｇｅ，６＝（１９ｅ）２，ｃ＝ｌｇｆ苫则（
Ａ口＞６＞ｆ；
Ｃ
Ｂ
）．
ｎ＞ｆ＞６；ｃ＞ｂ＞ａ
ｌｇ
ｃ＞ａ＞６；Ｄ
肆析
由０＜１９ｅ＜１，知口＞６，又ｆ一虿１
ｅ，作商比
较知ｃ＞ｂ，答案选Ｂ
鸢舞尝茎￡篡般麓差萎躲知
■ｒ’，．
１
ｏ二例４设口，ｂ，ｃ均为正数，且２４＝ｌｏｇ专ａ，（÷）６＝
ｌ。ｇ吾¨丢）哇ｌ。ｇｚｆ，则（
ＡＣ
）．
ａ＜ｂ＜ｃ；
Ｂ
名例１已知ｚ，Ｙ，ｚＥＲ＋，ｘ－－２ｙ＋３ｚ＝０，则上的
ｃ＜ｎ＜６；Ｄ
ｃ＜ｂ＜ａ；６＜ｎ＜ｃ
ｙ一
最小值——．
Ｑ
对于多元问题首先应该想到消元策略，尽可
Ｑ
考虑到函数与方程
／解析的关系，不难得到口是函数Ｙ一２１与Ｙ—ｌｏｇ｛ｚ交点的横坐标，ｂ是函数Ｙ一
１
＼．
３ｚ＝０得ｙ＝半，则
ｚｚ
４Ｘｚ
／解析能的减少待求式中的变量个数．由ｚ－－２ｙ＋
／。
Ｄ
（去）。与Ｙ—ｌｏｇ吉ｚ交点的横
１
鸟彝耋蒙爹妻主柔萋支淼莩萋雾柔
‘４ｘｚ
兰：ｘ２＋９．ｚ２＋６ｘｚ一＞６ｘｚ．＋６ｘｚ一３，
繇
口上６
坐标，ｃ是函数Ｙ一（去）２与
ｙ＝ｌｏｇｚｚ交点的横坐标，在同一个坐标系下分别做出４
当且仅当ｘ＝３ｚ时取“＝”．
２／＼
图１
Ａｃ；
个函数的图象（如图１），结合图象不难得到ａ＜ｂ＜ｃ．
件．合理“分拆”或“配凑”是常用的技巧，而“拆”与“凑”的目的在于使“和”或“积”为定值．
鸢舞柔麓曼釜翟鬻瀚淼甍高譬
转化为函数的交点问题，突出函数与方程的思想．３以线性规划为载体考查不等式问题
：二例２函数ｙ＝－ｌｏｇ．（ｚ＋３）一１（口＞ｏ，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线ｒｎｘ＋ｎｙ＋１－＝０上，其中ｍｎ＞Ｏ，
－２十号的最小值为——．ｍ，ｚ——
Ｑ
函数ｙ－－－－－ｌｏｇ。（ｘ＋３）－－ｌ（ａ＞０，口≠１）的图象
！二例５设ｚ，Ｙ满足约束条ｆ制ｚ—ｙ＋２≥ｏ，
ｋ≥Ｏ，Ｙ≥Ｏ，
刑
ｆ３ｘ—Ｙ一６≤”
／解析过定点Ａ（～２，－－１），所以
１９４９年１１月１日，中国科学院成立．
斟品化
若目标函数ｇ－－一＂ａＸ＋ｂｙ（口＞ｏ，６＞Ｏ）的值是最大值为
２栏的面积之和为１８０００ｃｍ２，
１２，则导＋旱的最小值为
口０
四周空白的宽度为１０ｃｍ，２栏之间的中缝空白的宽度为５ｃｍ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：ｃｍ），能使矩形广告面积最小？
解法１
设矩形栏目的高
ａｂ＝９０００ｃｍ２．
图２
Ｑ
结合不等式表示的平面区域可知当直线２一
／解析口ｚ＋ｂ（ｎ＞ｏ，６＞ｏ）过直线ｘ－－ｙ＋２＝Ｏ与直线３ｘ－－ｙ－－６＝０的交点（４，６）时，目标函数ｚ—ａａｃ＋ｂｙ（口＞Ｏ，６＞０）取得最大值１２，即２ａ＋３ｂ＝６，而
一２
ａ）３＋２（３ｏ
ａ半＝
Ｏ
为口，宽为ｂ，则
①
设广告的高为口＋２０，宽为２６＋２５，其中ｎ＞０，ｂ＞Ｏ．广告的面积
Ｓ一（口＋２０）（２ｂ＋２５）＝２ａｂ＋４０ｂ＋２５ａ＋５００＝
１８
彭彝喜竺量凳篡署翟慧蠹端柔
・１。３＋（口ｂ＋口ａ）＞１。３＋２
２。５．
等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最
５００＋２５ａ＋４０ｂ＞少１８
５００＋２∥甄丽＝２４
５００．
值？对于形如已知２ａ＋３ｂ一６（ａ＞Ｏ，６＞ｏ），求詈＋詈
的最小值常用基本不等式解答．
４不等式在解决函数含参问题中的应用
当且仅当２５ａ＝４０ｂ时等号成立，此时６＝ｉｏ口，代人①式得口＝１２０，６—７５即当ｎ一１２０，ｂ＝７５，Ｓ取得最小值２４５００．故广告的高为１４０ｃｍ，宽为１７５ａｍ时，可使广告的面积最小．
解法２设广告的高、宽分别为上，Ｙ，则每栏的高
，其中ｚ＞２０，ｙ＞２５．２栏面
谚，例６厂（ｚ）＝ａｘ３－－３ｚ＋１对于ｚ６Ｅ一１，１Ｊ总有
，（ｚ）≥Ｏ成立，则口＝——．
ｐ
本小题考查函数单调性的综合运用．
当ｘ＞Ｏ即ｘＥ（Ｏ，１７时，厂（ｚ）＝ａｘ３—３ｘ＋１≥Ｏ
和宽分别为ｚ一２０，出９
２５，广告的面积
／解析若ｚ—ｏ，不论口取何值，，（ｚ）≥ｏ显然成立；
积和为２（ｚ一２０）￡笋＝１８ｏｏｏ，由此得Ｙ＝警箸＋
’‘
可化为口≥耋一≯１．
设ｇ（ｚ）＝≯３一了１，则９７（ｚ）一学，所以
当ｘ＜Ｏ即ｚ∈Ｅ－１，ｏ）时，，（ｚ）＝ａｘ３－－３ｘ＋ｌ≥
ｓ—ｚｙ刊鬻＋２５）一等＋２５ｚ，
５００．
５００＿２４５００．
ｇ（ｚ）在区间（ｏ，告］上单调递增，在区ｆｉｚｌ…１ｒ，１－］１－单调
递减，因此ｇ一（ｚ）一ｇ（去）一４，从而ｎ≥４．
整理得Ｓ＿－－萼竺箬＋２５（Ｘ－－２０）＋１８
因为ｚ＞２０，所以
ｏ可化为口≤吾一了１，９７（ｚ）＝掣＞ｏ，ｇ（ｚ）在
区间［一１，ｏ）上单调递增，因此ｇ血（ｚ）一ｇ（一１）一４，从而口≤４，综上ａ＝４．
ｓ≥２√篱×２５（ｚ－２０）＋１８
当且仅当萼竺桨一２５（Ｘ－－２０）时等号成立，此时
有（ｚ一２０）２＝１４４００（ｚ＞２０），解得ｚ一１４０，代人ｙ＝
塑黑一－［－－２５＝１７５，即广告的高为１４０ｃｍ，宽为１７５ｃｍ
时，可使广告的面积最小．
鸯彝言霍曩姜蒿羹麓慧耋望署萎釜碧寡羹
讨论，善于使用导数求最值．化归与转化思想在不等式中占有重要地位，如等式与不等式的转化，不等式与不等式之间的转化、函数与不等式的转化等．５不等式在解决实际问题中的应用
■，１，
鸯彝主篡嚣黧毓裟茎鑫霎篥莩
景、领悟数学实质，再进行抽象、归纳其中的数量关系，建立数学模型，最后根据所建立的模型的知识系统，解出模型的数学结果，给出实际问题的答案．
（作者单位：北京宏志中学）
彩例７如图２，要设计一张矩形广告，该广告含有
舭化
大小相等的左右２个矩形栏目（即图中阴影部分），这
１９２８年１１月１日，中央银行成立．
高考中不等式问题分类解析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
徐德前， 王芝平北京宏志中学高中数理化
GAOZHONG SHU-LI-HUA2009(11)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gzslh200911007.aspx