初中数学不等式精选典型试题及答案
A 卷
1．不等式2(x + 1) -
2-x 3
≤7x 2
-1的解集为_____________。
x 3
x 5
2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和3．如果不等式
mx +13
>1+
x +33
的整解为______________。
的解集为x >5，则m 值为___________。
4．不等式(2x +1) 2-3x (x -1)
5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。
⎧2x +3>3
6．关于x 的不等式组⎨的解集为-1
5x -b
7．能够使不等式(|x| - x )(1 + x )
9．已知a,b 和c 满足a ≤2,b ≤2,c ≤2, 且a + b + c = 6，则abc=______________。 10．已知a,b 是实数，若不等式(2a - b)x + 3a – 4b 3b >0的解是__________。 B 卷
一、填空题
1．不等式|x 2-3x -4|>x +2的解集是_____________。 2．不等式|x| + |y|
1⎧x
⎪≥z ≥y
3．若x,y,z 为正整数，且满足不等式⎨3 则x 的最小值为_______________。 2
⎪y +z ≥1997⎩
49
，则不等式(a – 4b)x + 2a –
4．已知M=
22
19981999
+1+1
, N =
22
19992000
+1+1
，那么M ，N 的大小关系是__________。（填“>”或“
5．设a, a + 1, a + 2为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是______________。
二、选择题 1．满足不等式
3|x |-14
x -322
A ．x>3 B ．x3或x
77
2．不等式x – 1
2
A ．等于4 B ．小于4 C ．大于5 D ．等于5 ⎧x 1⎪x ⎪2⎪3．⎨x 3
⎪x ⎪4⎪⎩x 5
+x 2+x 3=a 1(1) +x 3+x 4=a 2(2)
+x 4+x 5=a 3(3) 其中a 1, a 2, a 3, a 4, a 5是常数，且a 1>a 2>a 3>a 4>a 5，则+x 5+x 1=a 4(4) +x 1+x 2=a 5(5)
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5的大小顺序是（ ）
A ．x 1>x 2>x 3>x 4>x 5 B ．x 4>x 2>x 1>x 3>x 5 C ．x 3>x 1>x 4>x 2>x 5 D ．x 5>x 3>x 1>x 4>x 2
4．已知关于x 的不等式x -A ．m = C ．m =
14110
32
>mx 的解是4
, n = 32 B ．m = , n = 38 D ．m =
, n = 34 , n = 36
三、解答题
1．求满足下列条件的最小的正确整数，n ：对于n ，存在正整数k ，使立。
2．已知a,b,c 是三角形的三边，求证：
2⎧⎪x -x -2>0
3．若不等式组⎨的整数解只有x = -2，求实数k 的取值范围。
2
⎪⎩2x +(5+2k ) x +5k
815
n n +k
713
成
a b +c
+
b c +a
+
c a +b
答案 A 卷 1．x ≥2
⎧7x +4≥5x -8
3⎪
2．不等式组⎨x 的解集是-6≤x
4
5⎩3
0，1，2， 3．由不等式
mx +13
>1+
x +33
可得(1 – m )·x 5，则有
(1-m)·5 = -5, ∴m = 2.
4．由原不等式得：(7 – 2k)x
2
2
72
时，解集为 x
k
2
+6
7-2k
；
当k >
7272
时，解集为x >
k +6
7-2k
;
当k =时，解集为一切实数。
525
5．要使关于x 的不等式的解是正数，必须5 – 2m 6．2x + a >3的解集为 x >所以原不等式组的解集为–1
3-a 2
3-a
，故所取的最小整数是3。
2
3-a 2
； 5x – b
2+b 5
2+b
。且
3-a 23-a 2
2+b 52+b 5
。又题设原不等式的解集为 ，解得：a = 5, b = 3，所以
=-1，
2+b 5
=1，再结合
ab = 15
7．当x ≥0时，|x| - x = x –x = 0，于是(|x| - x )(1 + x ) = 0，不满足原式，故舍去x ≥0
当x 0，x 应当要使(|x| - x )(1 + x )
⎧|x -4|>2(1) ⎩|x -4|
由（1）解得或x 6，由（2）解得 1
不等式的解集为1
9．若a,b,c ，中某个值小于2，比如a
49
的一元一次不等式为 – 9 x + 4
⎧2a -b =-9⎧a =-81
⎨ 所以第二个不等式为20x + 5 > 0，所以x > - ⎨
4⎩3a -4b =4⎩b =-7
B 卷
1．原不等式化为|(x + 1) (x - 4) | > x + 2,若(x + 1) (x - 4) ≥0，即x ≤-1或x ≥4时，有
x
2
-3x -4>x +2, x
2
-4x -6>0 或1-
3
3
∴x 2+
2．∵|x| + |y|
所以满足不等式的整数解的组数为：
198 + 2 (1 + 3 + „ + 99) + 2(100 + 102 + „ + 196)
=198+2⨯
(1+99) ⨯50
2
+2⨯
(100+196) ⨯49
2
=19702
1⎧x
⎪≥z ≥y (1) 3．⎨3 2
⎪y +z ≥1997(2) ⎩
由（1）得y ≤2z (3) 由（3）（2）得3z ≥ 1997 （4） 因为z 是正整数，所以z ≥[
19973
]+1=666
由（1）知x ≥3z ，∴z ≥1998，取x = 1998, z = 666, y = 1332满足条件 所以x 的最小值是1998。 4．令2
1998
=n ，则2
1999
=2⋅2
1998
=2n , 2
2000
=4n , ∴
M N
=
n +12n +1
÷
2n +14n +1
=
(n +1)(4n +1) (2n +1)
2
=
4n +5n +14n +4n +1
2
2
=1+
n 4n +4n +1
2
>1
∴M>N
5．钝角三角形的三边a, a + 1, a + 2满足： ⎧a +(a +1) >a +2⎧a >1
即 ⎨2⎨22
2a -2a -3>0a +(a +1)
∴⎨
⎧a >1⎩-1
故1
二、选择题
1．当x ≥0且x ≠3时，若x>3，则（1）式成立
若0≤x
3|x |-14x -3
=3x -14x -3
27
27
3|x |-14x -3
=3x -14x -3
=3-
5x -3
5x -3
>-1(1)
(2)
由（1），（2）知x 的取值范围是x >3或x
2．由(x -1) 2=x 2-2x +1, 原不等式等价于(x -2) ⋅(x -1) >0, (x +1) ⋅(x -6) 2，-1
x 1-x 4=a 1-a 2, x 2-x 5=a 2-a 3x 3-x 1=a 3-a 4, x 4-x 2=a 4-a 5
因为a 1>a 2>a 3>a 4>a 5
所以x 1>x 4, x 2>x 5, x 3>x 1, x 4>x 2，于是有x 3>x 1>x 4>x 2>x 5故应选C 4．令
x =a (a≥0) 则原不等式等价于ma
2
-a +
32
因为２和n 是方程ma
2
1⎧
2+n =⎪31⎪m
-a +=0的两个根，所以⎨解得m = , n =36
28⎪2n =3
⎪2m ⎩
故应选D
三、解答题 1．由已知得
158>n +k n 5478>137, 即
158>1+
k n >137, ∴
67
n , k为正整数
显然n>8，取n = 9则时，分别得
607
638
，没有整数K 的值，依次取n = 10, n = 11, n = 12, n = 14
778
70
，
667
，
1058
727
848
，
787
918
，
847
988
，k
都取不到整数，当n = 15时，
a
, b
, c
2．由“三角形两边之和大于第三边”可知，
b +c a +c a +b
，是正分数，再利用分数不
等式：∴
a
a b +c +
a +a b +c +a +
c a +b
=
2a a +b +c 2a a +b +c
，同理
+
2b
b a +c
+
2b 2c
a +b +c a +b
=
,
c
2c a +b +c
=2
2(a +b +c ) a +b +c
b +c a +c a +b +c a +b +c
3．因为x = -2是不等式组的解，把x = - 2代入第2个不等式得
(2x + 5) (x + k) = [2·(-2) + 5]·(-2 + k ) -2 > -式的解为-
52
52
, 即第2个不等
2，这两个不等式仅有整数解x =
⎧x 2⎪⎪⎪5⎪5
-2，应满足(1) ⎨-
⎪2⎪2⎪⎪⎩x 为整数⎩x 为整数.
对于（1）因为x
综合（1）（2）有-3≤k
初中数学不等式精选典型试题及答案
A 卷
1．不等式2(x + 1) -
2-x 3
≤7x 2
-1的解集为_____________。
x 3
x 5
2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和3．如果不等式
mx +13
>1+
x +33
的整解为______________。
的解集为x >5，则m 值为___________。
4．不等式(2x +1) 2-3x (x -1)
5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。
⎧2x +3>3
6．关于x 的不等式组⎨的解集为-1
5x -b
7．能够使不等式(|x| - x )(1 + x )
9．已知a,b 和c 满足a ≤2,b ≤2,c ≤2, 且a + b + c = 6，则abc=______________。 10．已知a,b 是实数，若不等式(2a - b)x + 3a – 4b 3b >0的解是__________。 B 卷
一、填空题
1．不等式|x 2-3x -4|>x +2的解集是_____________。 2．不等式|x| + |y|
1⎧x
⎪≥z ≥y
3．若x,y,z 为正整数，且满足不等式⎨3 则x 的最小值为_______________。 2
⎪y +z ≥1997⎩
49
，则不等式(a – 4b)x + 2a –
4．已知M=
22
19981999
+1+1
, N =
22
19992000
+1+1
，那么M ，N 的大小关系是__________。（填“>”或“
5．设a, a + 1, a + 2为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是______________。
二、选择题 1．满足不等式
3|x |-14
x -322
A ．x>3 B ．x3或x
77
2．不等式x – 1
2
A ．等于4 B ．小于4 C ．大于5 D ．等于5 ⎧x 1⎪x ⎪2⎪3．⎨x 3
⎪x ⎪4⎪⎩x 5
+x 2+x 3=a 1(1) +x 3+x 4=a 2(2)
+x 4+x 5=a 3(3) 其中a 1, a 2, a 3, a 4, a 5是常数，且a 1>a 2>a 3>a 4>a 5，则+x 5+x 1=a 4(4) +x 1+x 2=a 5(5)
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5的大小顺序是（ ）
A ．x 1>x 2>x 3>x 4>x 5 B ．x 4>x 2>x 1>x 3>x 5 C ．x 3>x 1>x 4>x 2>x 5 D ．x 5>x 3>x 1>x 4>x 2
4．已知关于x 的不等式x -A ．m = C ．m =
14110
32
>mx 的解是4
, n = 32 B ．m = , n = 38 D ．m =
, n = 34 , n = 36
三、解答题
1．求满足下列条件的最小的正确整数，n ：对于n ，存在正整数k ，使立。
2．已知a,b,c 是三角形的三边，求证：
2⎧⎪x -x -2>0
3．若不等式组⎨的整数解只有x = -2，求实数k 的取值范围。
2
⎪⎩2x +(5+2k ) x +5k
815
n n +k
713
成
a b +c
+
b c +a
+
c a +b
答案 A 卷 1．x ≥2
⎧7x +4≥5x -8
3⎪
2．不等式组⎨x 的解集是-6≤x
4
5⎩3
0，1，2， 3．由不等式
mx +13
>1+
x +33
可得(1 – m )·x 5，则有
(1-m)·5 = -5, ∴m = 2.
4．由原不等式得：(7 – 2k)x
2
2
72
时，解集为 x
k
2
+6
7-2k
；
当k >
7272
时，解集为x >
k +6
7-2k
;
当k =时，解集为一切实数。
525
5．要使关于x 的不等式的解是正数，必须5 – 2m 6．2x + a >3的解集为 x >所以原不等式组的解集为–1
3-a 2
3-a
，故所取的最小整数是3。
2
3-a 2
； 5x – b
2+b 5
2+b
。且
3-a 23-a 2
2+b 52+b 5
。又题设原不等式的解集为 ，解得：a = 5, b = 3，所以
=-1，
2+b 5
=1，再结合
ab = 15
7．当x ≥0时，|x| - x = x –x = 0，于是(|x| - x )(1 + x ) = 0，不满足原式，故舍去x ≥0
当x 0，x 应当要使(|x| - x )(1 + x )
⎧|x -4|>2(1) ⎩|x -4|
由（1）解得或x 6，由（2）解得 1
不等式的解集为1
9．若a,b,c ，中某个值小于2，比如a
49
的一元一次不等式为 – 9 x + 4
⎧2a -b =-9⎧a =-81
⎨ 所以第二个不等式为20x + 5 > 0，所以x > - ⎨
4⎩3a -4b =4⎩b =-7
B 卷
1．原不等式化为|(x + 1) (x - 4) | > x + 2,若(x + 1) (x - 4) ≥0，即x ≤-1或x ≥4时，有
x
2
-3x -4>x +2, x
2
-4x -6>0 或1-
3
3
∴x 2+
2．∵|x| + |y|
所以满足不等式的整数解的组数为：
198 + 2 (1 + 3 + „ + 99) + 2(100 + 102 + „ + 196)
=198+2⨯
(1+99) ⨯50
2
+2⨯
(100+196) ⨯49
2
=19702
1⎧x
⎪≥z ≥y (1) 3．⎨3 2
⎪y +z ≥1997(2) ⎩
由（1）得y ≤2z (3) 由（3）（2）得3z ≥ 1997 （4） 因为z 是正整数，所以z ≥[
19973
]+1=666
由（1）知x ≥3z ，∴z ≥1998，取x = 1998, z = 666, y = 1332满足条件 所以x 的最小值是1998。 4．令2
1998
=n ，则2
1999
=2⋅2
1998
=2n , 2
2000
=4n , ∴
M N
=
n +12n +1
÷
2n +14n +1
=
(n +1)(4n +1) (2n +1)
2
=
4n +5n +14n +4n +1
2
2
=1+
n 4n +4n +1
2
>1
∴M>N
5．钝角三角形的三边a, a + 1, a + 2满足： ⎧a +(a +1) >a +2⎧a >1
即 ⎨2⎨22
2a -2a -3>0a +(a +1)
∴⎨
⎧a >1⎩-1
故1
二、选择题
1．当x ≥0且x ≠3时，若x>3，则（1）式成立
若0≤x
3|x |-14x -3
=3x -14x -3
27
27
3|x |-14x -3
=3x -14x -3
=3-
5x -3
5x -3
>-1(1)
(2)
由（1），（2）知x 的取值范围是x >3或x
2．由(x -1) 2=x 2-2x +1, 原不等式等价于(x -2) ⋅(x -1) >0, (x +1) ⋅(x -6) 2，-1
x 1-x 4=a 1-a 2, x 2-x 5=a 2-a 3x 3-x 1=a 3-a 4, x 4-x 2=a 4-a 5
因为a 1>a 2>a 3>a 4>a 5
所以x 1>x 4, x 2>x 5, x 3>x 1, x 4>x 2，于是有x 3>x 1>x 4>x 2>x 5故应选C 4．令
x =a (a≥0) 则原不等式等价于ma
2
-a +
32
因为２和n 是方程ma
2
1⎧
2+n =⎪31⎪m
-a +=0的两个根，所以⎨解得m = , n =36
28⎪2n =3
⎪2m ⎩
故应选D
三、解答题 1．由已知得
158>n +k n 5478>137, 即
158>1+
k n >137, ∴
67
n , k为正整数
显然n>8，取n = 9则时，分别得
607
638
，没有整数K 的值，依次取n = 10, n = 11, n = 12, n = 14
778
70
，
667
，
1058
727
848
，
787
918
，
847
988
，k
都取不到整数，当n = 15时，
a
, b
, c
2．由“三角形两边之和大于第三边”可知，
b +c a +c a +b
，是正分数，再利用分数不
等式：∴
a
a b +c +
a +a b +c +a +
c a +b
=
2a a +b +c 2a a +b +c
，同理
+
2b
b a +c
+
2b 2c
a +b +c a +b
=
,
c
2c a +b +c
=2
2(a +b +c ) a +b +c
b +c a +c a +b +c a +b +c
3．因为x = -2是不等式组的解，把x = - 2代入第2个不等式得
(2x + 5) (x + k) = [2·(-2) + 5]·(-2 + k ) -2 > -式的解为-
52
52
, 即第2个不等
2，这两个不等式仅有整数解x =
⎧x 2⎪⎪⎪5⎪5
-2，应满足(1) ⎨-
⎪2⎪2⎪⎪⎩x 为整数⎩x 为整数.
对于（1）因为x
综合（1）（2）有-3≤k