高三《一题多解 一题多变》题目
一题多解 一题多变（一）
原题：f (x ) =mx 2+8x +4 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意mx 2+8x +4≥0在R 上恒成立
∴m >0且Δ≤0，得m ≥4
变1：f (x ) =log 3mx 2+8x +4的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意mx 2+8x +4>0在R 上恒成立
∴m >0且Δ4
变2：f (x ) =log 3(mx 2+8x +4) 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令t =mx 2+8x +4，则要求t 能取到所有大于0的实数，
∴ 当m =0时，t 能取到所有大于0的实数
当m ≠0时，m >0且Δ≥0⇒0
∴0≤m ≤4
mx 2+8x +n
变3：f (x ) =log 3的定义域为R, 值域为[0, 2]，求m,n 的值 2
x 1mx 2+8x +n
∈[1, 9]，得解：由题意，令y =（y -m ）x 2-8x +y -n =0 2
x +1
y ≠m 时，Δ≥0⇒y 2-(m +n ) y +mn -16≤0-
∴ 1和9时y 2-(m +n ) y +mn -16=0的两个根 ∴ m =n =5
n -m
=0 x ∈R ，也符合题意 ∴ 当y =m 时，x =8
∴m =n =5
一 题 多 解-
解不等式3
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当2x -3≥0时，不等式可化为3
原不等式等价于
2x -3>3且2x -3
3
原不等式可化为
3335
2222
35
，且小于，由图得， 解集为{x 3
}
一题多解 一题多变（二）
已知s n 是等比数列的前n 想项和，s 3, s 6, s 9成等差数列，求证：
a 2, a 5, a 8成等差数列
a 1(1一q n ) 法一：用公式s n =，
1一q
因为s 3, s 6, s 9成等差数列，所以s 3+s 6=2s 9且q ≠1则
a 1(1一q 3) a 1(1一q 6) 2a 1(1一q 9)
+=⇒q 3+q 6=2q 9(q ≠1) ⇒1+q 3=2q 6 1一q 1一q 1一q
所以a 2+a 5=a 1q +a 1q 4=a 1q (2q 6) =2a 1q 7=2a 8 所以 a 2, a 5, a 8成等差数列｀ 法二用公式s n =
a 1一a n q a 一a q a 一a q 2(a 一a q )
， s 3+s 6=2s 9, ∴13+16=19
1一q 1一q 1一q 1一q
则a 3+a 6=2a 9⇒a 2q +a 5q =2a 8q ⇒a 2+a 5=2a 8，所以 a 2, a 5, a 8成等差数列｀
证法三：（用公式s 2n =s n (1+q n ), s 3n =s n (1+q n +q 2n ) ） s 6=s 3+a 4+a 5+a 6=s 3+(a 1+a 2+a 3) q 3=(1+q 3) s 3
s 9=s 3(1+q 3+q 6) s 3+s 6=2s 9⇒s 3+s 3(1+q 3) =2s 3(1+q 3+q 6)
解得q 3=一（下略）
1
2
变题：
已知sin α=且α是第二象限角，求tan α 解
sin α=
45
：
α
是第二象限角，
434⇒cos α=一一sin 2α=一, tan α=一 553
4
sin α=变1：，求tan α
54
解：sin α=>0，所以α是第一或第二象限角
5
34
若是第一象限角，则cos α=, tan α=
5344
若是第二象限角，则cos α=一, tan α=一
53
变2：已知sin α=m (m >0) 求tan α 解：由条件0
当 0
m 一m
2
若是第二象限角cos α=一一m 2, tan α=一 当m =1时tan α不存在
变3：已知sin α=m (m ≤1) ，求tan α 解：当m =1, 一1时，tan α不存在 当m =0时， tan α=0
当α时第一、第四象限角时，tan α=
m 一m
2
m 一m
2
当α是第二、第三象限角时，tan α=一
一题多解 一题多变（三）
题目：求函数f (x ) =x +(x 0) 的值域 方法一：判别式法 --
1x
m 一m
2
设y =x + ，则x 2-yx +1=0，由Δ=y 2-4≥0⇒y ≥2 当y =2时，x 2-2x +1=0⇒x =1， 因此当x =1时，
1
f (x ) =x +(x 0) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
x
1x
方法二：单调性法
先判断函数f (x ) =x +(x 0) 的单调性 任取0 x 1 x 2，则f (x 1) -f (x 2) =
(x 1-x 2)(x 1x 2-1)
x 1x 2
1x
当0 x 1 x 2≤2时，即f (x 1) f (x 2) ，此时f (x ) 在(0, 1]上时减函数 当2 x 1 x 2时，f (x 1) f (x 2) f (x ) 在(2, +∞) 上是增函数
) 上是增函数，知 由f (x ) 在(0, 1]上是减函数，f (x ) 在(1, +∞
x =1
时，f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法三：配方法 f (x ) =x +=(x -1
x
1x
) 2+2，当x -
1x
=0时，x =1，此时
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法四：基本不等式法
11212
f (x ) =x +=(x ) +() ≥2x =2
x x x
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
变 题
原题：若函数f (x ) =范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
1ax +2x +1
2
的定义域为R ，求实数a 的取值
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式一：函数f (x ) =log 2(ax 2+2x +1) 的定义域为R ，求实数a 的取值范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式二：函数f (x ) =l o 2g (ax 2+2x +1) 的值域为R ，求实数a 的取值范围
解：令u = ax 2+2x +1能取到所有大于0的实数，则 a =0时，u =zx +1能取到所有大于0的实数 a ≠0时，a 0且Δ=4-4a ≥0⇒0 a ≤1
综上0≤a ≤1
一题多解 一题多变（四）
题目：求函数f (x ) =x +(x 0) 的值域 方法一：判别式法 -- 设y =x +
1
，则x 2-yx +1=0，由Δ=y 2-4≥0⇒y ≥2 x
1x
当y =2时，x 2-2x +1=0⇒x =1， 因此当x =1时，
1
f (x ) =x +(x 0) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
x
方法二：单调性法
先判断函数f (x ) =x +(x 0) 的单调性 任取0 x 1 x 2，则f (x 1) -f (x 2) =
(x 1-x 2)(x 1x 2-1)
x 1x 2
1x
当0 x 1 x 2≤2时，即f (x 1) f (x 2) ，此时f (x ) 在(0, 1]上时减函数 当2 x 1 x 2时，f (x 1) f (x 2) f (x ) 在(2, +∞) 上是增函数
) 上是增函数，知 由f (x ) 在(0, 1]上时减函数，f (x ) 在(1, +∞
x =1
时，f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法三：配方法 f (x ) =x +=(x -1
x
1x
) 2+2，当x -
1x
=0时，x =1，此时
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法四：基本不等式法
11212
f (x ) =x +=(x ) +() ≥2x =2
x x x
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
变 题
原题：若函数f (x ) =范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
1ax +2x +1
2
的定义域为R ，求实数a 的取值
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式一：函数f (x ) =log 2(ax 2+2x +1) 的定义域为R ，求实数a 的取值范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式二：函数f (x ) =l o 2g (ax 2+2x +1) 的值域为R ，求实数a 的取值范围
解：令u = ax 2+2x +1能取到所有大于0的实数，则 a =0时，u =zx +1能取到所有大于0的实数 a ≠0时，a 0且Δ=4-4a ≥0⇒0 a ≤1
综上0≤a ≤1
一题多解 一题多变（五）
x 2y 2
题目：椭圆+=1的焦点是F 1、F 2，椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，
2516
下面结论正确的是———————————————————————（ ）
（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个
（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在
解法一：
以F 1F 2为直径构圆，知：圆的半径r =c =3
解法二：
由题知(S ∆pF F ) max =⨯F 1F 2∙b =3⨯4=12，而在椭圆中：
12
12
S ∆PF 1F 2=b 2tan
π
4
=16，∴不可能成立12>16, 故选D
解法三：
由题意知当p 点在短轴端点处
tan α=
3π
解法四：
设P (5con θ, 4sin θ) ，由PF 1⊥PF 2, 知1⊥PF 2⇒PF 1∙PF 2=0，而
PF 1∙PF 2=(5con θ-3, 4sin θ)(5con θ+3, 4sin θ) =25con 2θ-9+16sin 2θ=0⇒con 2θ=-
7⇒9
无解，故选D
解法五：
设∠PF 1F 2=θ，假设PF 1⊥PF 2，则
|PF 1|+|PF 2|=6con θ+6sin θ=62sin(θ+
π
4
) ≤62，而|PF 1|+|PF 2|=2a =10
即：10≤62，不可能。故选D
解法六：
|PF 1|2+|PF 2|2-36(|PF 1|2+|PF 2|2) -2|PF 1||PF 2|-3664-2|PF 1|PF 2|
con
|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|
3232327
-1≥-1=-1=≠0，故
|PF 1|+|PF 2|2|PF 1||PF 2|2525()
2
解法七：设P (x 0, y 0) 由焦半径知：
|PF 1|=a +ex 0=5+
33
x 0, |PF 2|=a -ex 0=5-x 0, PF 1⊥PF 2∴55
|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2
⇒(5+
∴x =±
25
3
25
>8, 故不符合题意，故选D 3
331826252x 0) 2+(5-x 0) 2=102⇒x 0=50⇒x 0= 55259
而在椭圆中|x 0|≤5而|x 0|= 解法八.
设圆方程为：x 2+y 2=9
x 2y 2
椭圆方程为：+=1
2516
两者联立解方程组得：
16x 2+25y 2=25⨯1616x 2+25(9-x 2) =25⨯16-9x 2=25⨯16-25⨯9=25⨯7 ∴x 2=-
25⨯79
不可能
x 2y 2
故圆x +y =9与椭圆+=1无交点
2516
2
2
即 PF 1不可能垂直PF 2 故选D
一题多解 一题多变（六）
一变题：课本P110 写出数列{a n }的前5项：a 1=-, a n =1-
12
14
1 a n -1
, 1]f (x ) 的反函数为y =g (x ) ， 变题：已知函数f (x ) =-2x +2, x [，设
a 1=1, a 2=g (a 1)
a n =g (a n -1) ，求数列{a n }的通项公式。
解：由题意得，y =g (x ) =1-x ，a n =1-a n -1
1
212
∴a n -
211212
=(a n -1-) ，令b n =a n -，则{b n }是以为首项，-为公
332323
比的等比数列，
故b n =(-) n -1(n ≥1)
22n +(-1) n -1
从而，a n =b n +=(n ≥1)
33×2n -1
1
3
12
二、一题多解
x 2+2x +a
, x ∈[1, +∞) 已知函数f (x ) =
x
（1）当a =时，求函数f (x ) 的最小值；-
（2）若对于任意x ∈[1, +∞), f (x ) >0恒成立，试求实数a 的取值范围， 解：（1）当a =时，f (x ) =x +2+取等号
由f (x ) =x +(k >0) 性质可知，f (x ) 在[
k
x 12
12≥2+2，当且仅当x =时2x 2
1
2
2
, +∞) 上是增函数 2
x ∈[1, +∞) ，所以f (x ) 在[1, +∞) 是增函数，f (x ) 在区间[1, +∞) 上的
最小值为f (1) =
x 2+2x +a
>0恒成立) ，f (x ) =（2）法一：在区间上[1, +∞
x ⇔x 2+2x +a >0恒成立
) 设y =x 2+2x +a ， x ∈[1, +∞) y =x 2+2x +a =(x +1) 2+a -1在[1, +∞
7
2
上增
所以x =1时，y min =a +3，于是当且仅当y min =a +3>0时，函数
f (x ) >0恒成立，
故a >-3
法二：f (x ) =x ++2, x ∈[1, +∞) 当a ≥0时，函数f (x ) 的值恒为正；
当a 0时，函数f (x ) >0恒成，故a >-3
x 2+2x +a
法三：在区间[1, +∞>0恒成立⇔x 2+2x +a >0) 上，f (x ) =
x
a x
恒成立
⇔a >-x 2 -2x 恒成立，故a 应大于u =-x 2 -2x ，x ∈[1, +∞) 时的最大值
-3，
所以a >-3
一题多解 一题多变（七）
原题：:若f () =x ++x 2(x >0) , 则f (x ) 分析:用倒数换元
解: 令t =则x =, 所以
11
f (t ) =++() 2(t >0)
t t
1x
1t
1x
将t 换成x 得到:
11
f (t ) =++() 2(x >0)
x x
变题1：设f (x ) 满足关系式f (x ) +2f () =3x , 求f (x ) 的解析式 解：t =则x =
1x
1t
1x
11f () +2f (t ) =3 t t
将t 换成x 得到:
11f () +2f (x ) =3 x x
1
与原式联立方程组消去f () 得到
x
2
f (x ) =-x (x ≠0)
x
变题2：已知af (x ) (-x ) =bx ，其中a 2≠1试求f (x ) 的解析式
解：用相反数换元 令t =-x , x =-t 代入到原式当中得到： af (-t ) +f (t ) =-bt 将t 换成x 得到:
af (-x ) +f (x ) =-bx
与原式联立方程组，得到：
(a 2-1) f (x ) =b (a +1) x
a 2≠1
∴
f (x ) =
b (a +1) b
x =x 2
(a -1) a -1
变题3：已知af (4x -3) +bf (3-4x ) =2x , a 2≠b 2，试求f (x ) 的解析式
解：令4x -3=t ，则2x =
t +3
2-t +3
∴af (t ) +bf (-t ) = (1)
2
将(1) 中t 换－t 得到:
af (-t ) +bf (t ) =
t +3
2
与(1) 联立方程组得到：
(a 2-b 2) f (t ) =
a +b 3
t +(a -b ) 22
a 2≠b 2
∴f (t ) =
13
t +
2(a -b ) 2(a +b ) 13
x +
2(a -b ) 2(a +b )
f (x ) =
变题4：已知af (x n ) +f (-x n ) =bx ，其中a 2≠1, n 为奇数，求f (x )
解：设x n =t , x =t 代入原式得：
af (t ) +f (-t ) =将t 换成—t 得到:
af (—t ) +f (t ) =—b 与上式联立方程组得到
(a 2—1) f (t ) =b (a +1)
∴
a 2≠1
f (x ) =
== ∴ f
(x ) 的解析式为：f (x ) =
一题多解
题目：设二次函数f (x ) 满足f (x —2) =f (—x —2) ，且函数图象y 轴上的截距为1，被x 轴截的线段长为22，求f (x ) 的解析式
分析：设二次函数的一般形式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ，然后
根据条件求出待定系数a,b,c 解法一：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0)
由f (x —2) =f (—x —2) ， 得：
4a —b =0 又
x 1—x 2=
a
=22
∴b 2—4ac =8a 2 由题意可知 c =1 解之得：
1
a =, b =2, c =1
21
f (x ) =x +2x +1
2
解法二：f (x —2) =f (—x —2) ，
故函数y =f (x ) 的图象有对称轴x =—2 可设y =a (x +2) 2+k
函数图象与y 轴上的截距为1，则4a +k =1
又 被x 轴截的线段长为22，则x 1—x 2=整理得：2a +k =0 解之得：
a =, k =—1
f (x ) =
1
x +2x +1 2
d
=22
12
解法三：：
故 f (x —2) =f (—x —2) ，
函数y =f (x ) 的图象有对称轴x =—2，又
x 1—x 2=2
∴
y =(x ) 与x 轴的交点为：
(—2+22, 0) (—2—22，0) ，
∴
故可设y =a (x +2+2)
1 2
∴ f (0) =1, a =∴f (x ) =
1
x +2x +1 2
一题多解 一题多变（八）
原题 设y =f (x ) 有反函数y =f -1(x ) ，又y =f (x +2) 与y =f -1(x -1)
互为反函数，则f -1(1) -f -1(0) =__________（《教学与测试》P 77） 变题 设y =f (x ) 有反函数y =f -1(x ) ，又y =f (x +1) 的图象与
y =f (x +1) 的图象关于y =x 对称
-1
（1） 求f (1) -f (0) 及f -1(1) -f -1(0) 的值；
（2） 若a , b 均为整数，请用a , b 表示f (a ) f (b ) 及f -1(a ) -f -1(b ) 解(1)因y =f (x +1) 的反函数是y =f (x ) -1，从而令x =1得f (1) -f (0)=-1；f (x +1) =f (x ) -1, 于是有f (x +1) -f (x ) =-1，
同样，y =f (x +1) 得反函数为y =f -1(x ) -1，从而
f -1(x +1) =f -1(x ) -1，于是，f -1(x +1) -f -1(x ) =-1．
-1
(2)
f (x +2) -f (x +1) =-1
, 而f (x +1) -f (x ) =-1, 故
f (x +2) -(f (x ) -1) =-1, 即f (x +2) -f (x ) =-2, „f (x +n ) -f (x ) =-n ，
从而f (a ) -f (b ) =f [a +(b -a ) ]-f (a ) =b -a ． 同理，f -1(a ) -f -1(b )=b -a ．
一题多解
1．函数f (x ) =x 2+bx +c , f (-1) =f (3)，则( ) （A ） f (1)>c >f (-1) （B ） f (1)f (-1) >f (1) （D ） c
解法1. 由f (-1) =f (3)知f (x ) 的图象关于x =1对称，得b =-2
而
f (1)=12+(-2) ∙1+c =c -1, f (-1) =(-1) 2+(-2) ∙(-1) +c =c +3
，且
c +3>c >c -1，因此f (1)
解法2. 由f (-1) =f (3)知f (x ) 的图象关于x =1对称，而
c =f (0) ，而f (x ) 在[－1,1]上递减，易得答案为B ．
y
-1 0
1 x
一题多解 一题多变（九）
姜忠杰
变 题
原题：若在区间y =x 2-ax -a 2在区间(-∞,1-3) 是减函数，则a 的取值范围是多少？
变1：若函数y =x 2-ax -a 2在(-∞,1-) 上是减函数，则a 的取值范围是多少？
变2、若函数y =log (x 2-ax -a 2) 在(-∞,1-) 上是增函数，则a 的取值
1
范围是多少？
变3、若函数y =log (x 2-ax -a 2) 在(-∞,1-3) 上是增函数，且函数的
1
2
值域为R ，则a 的取值范围是多少？
（-∞（-∞∴(-∞解： 函数y =x 2-ax -a 2的减区间为,1-3) ⊆2]，2]
∴[2-23， - +∞）
变1、设u =x 2-ax -a 2，则u 在(-∞,1-) 为减函数，且在(-∞,1-3) ，
u ≥0
所以有1-≤a 且u （1-）≥0，∴a 的取值范围是
[
(-1)(1-)
,
(-1)(1+)
]
变2：设u =x 2-ax -a 2，则u 在为减函数，且在(-∞,1-3]，u ≥0-
所以有1-3≤a 且u （1-）≥0，∴a 的取值范围是
[
(3-1)(1-5) 2
,
(3-1)(1+5)
2
]
变3：设u =x 2-ax -a 2，则u 在(-∞,1-3) 减区间，u 在(-∞,1-3) 取到一切正实数
1-≤a ，u (1-) =0，所以a =
(-1)(1-)
或(
3-1)(1)
一题多解：
设a +lg a =10 ，b +10b =10，求a +b 的值。 解法一（构造函数）：设f (x ) =x +lg x ，则
f (a ) =10=b +10b =lg 10b +10b =f (10b ) ，由于f (x ) 在(0, +∞) 上是单调递
增函数，所以a =10b ，故a +b =10b +b =10。 解法二（图象法）
因为a 是方程x +lg x =10的一个根，也就是方程lg x =10-x 的一个根
b 是方程x +10x =10的一个根，也就是方程10x =10-x 的一个
根
令g (x ) =lg x ，h (x ) =10x ，Φ(x ) =10-x ，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：
a 是方程g (x ) =Φ(x ) 的根，即图中OA=a
b 是方程h (x ) =Φ(x ) 的根，即图中
OB=b
易得OA+OB=10，所以a +b =10
解法三：方程x +lg x =10，x +10x =10的根为a ，b 由x +10x =10，得
10x =10-x ，∴x =lg(10-x) ，又x +lg x =10∴lg(10-x) +lgx =10，
即x(10-x) =1010，即x 2-10x +1010=0 x 1+x 2=10 (虚根Δ
一题多解 一题多变（十）
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) =; 22
（课本P 102 ）证明：
x +x f (x ) +f (x ) 212
(2) 若f (x ) =x 2+ax +b , 则f (1) ≤
22
（1）若f (x ) =ax +b , 则f (
变题：1、如图所示，f (x i )(i =1, 2, 3, 4) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的x 1, x 2，任意
λ∈[0,1],f [λx 1+(1-λ) x 2]≤λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) 恒成立”
的只有（ A ）
A 、 f (x 1), f (x 3) B 、f (x 2) C 、f (x 2), f (x 3) D 、f (x 4)
变题2、定义在R 上的函数f (x ) 满足：如果对于任意x 1, x 2∈R 都有
f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) ≤ 22
则称函数f (x ) 是R 上的凹函数。已知二次函数
f (x ) =ax 2+x (a ∈R , a ≠0)
（1）求证：当a >0时，函数f (x ) 是凹函数；
（2）如果x ∈[0, 1]时，|f (x ) |≤1，试求实数a 的取值范围。 （1）证明：略
（2）实数a 的取值范围是[ 2,0)
二、一题多解
不查表计算：lg 32+lg 35+3lg 2lg 5
解法一：原式=(lg2+lg 5)(lg 22-lg2lg5+lg 25) +3lg2lg5 =lg 22-lg 2lg 5+lg 25+3lg 2lg 5 =lg 22+2lg 2lg 5+lg 25 =(lg2+lg 5) 2=1
解法二：原式=(lg2+lg5) 3-3lg 22lg5-3lg2lg 25+3lg2lg5
=1-3lg 2lg5(lg2+lg5-1) =1
解法三：原式=(lg2+lg 5) 3-3lg 2lg 5(lg2+lg 5) +3lg 2lg 5
=1-3lg 2lg 5+3lg 2lg 5 =1
解
法
四
：
原
=lg 32+lg 35+3lg 22lg 5+3lg 2lg 25-3lg 22lg 5-3lg 2lg 25+3lg 2lg 5=(lg2+lg 5) 3-3lg 2lg 5(lg2+lg 5-1) =1
解法五：原式=lg 32+lg 35+3lg 2lg 5×1
=lg 32+lg 35+3lg 2lg 5×(lg2+lg 5) =(lg2+lg 5) 3 =1
一题多解 一题多变（十一）
一题多解- 1．
已知f (x ) =
221-x 2（x
f -1
(－3
) 的值 解法1 先求反函数 由y =
21－x 2
得x 2=1－2y
x
式
∴ x =--2y
且y
x
(x
3
) =-2
解法2从互为反函数的函数的关系看
令21-x
2
=-23解得x =±2 x
∴
x =-2
即 f -1(-2
3
) =-2 变题 2．
已知f (x ) 对于任意实数x . y 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，当时，f (x )
（1） 求证f (x ) =-f (-x )
x >0
（2） 判断f (x ) 的单调性
证明 （1）令x =y =0, 得f (0) =f (0) +f (0) ∴ f (0) =0 -
令x =-y ，得f (0) =f (x ) +f (-x) =0
∴
f (x ) =-f (-x )
（2）设
x 1
，f (x 2) =f [x 1+(x 2-x 1)]=f (x 1) +f (x 2-x 1)
∴ f (x ) 在R 上是单调函数
变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数，f (x
y
) =f (x ) -f (y ) （1） 求f (1) 的值
（2） 若f (6) =1, 解不等式f (x +5) -f (1x
)
解 （1） 令x =y =1，得 f (1) =f (1) -f (1)
∴ f (1) =0-
（3） 在f (x y
) =f (x ) -f (y ) 中，令x =1, y =6得
f (1
6
) =-f (6) =-1
从而f (36) =f (6) -f (16
) =2
又原不等式可化为
则
且满足
f [x (x +5)]
∴ 原不等式等价于
x (x +5)
∴ -9
又 x >0 x +5>0 解得 0
∴
原不等式的解集为（0，4）
一题多解 一题多变（十二）
考查知识点：函数的对称中心
原题：函数y =lg(x +x 2+1)
x ) +f (x ) =lg(-x +(-x ) 2+1) + 解：该函数定义域为R ，且f (-
lg(x +x 2+1) =lg(-x +x 2+1)(x +x 2+1) =lg 1=0
∴f (-x ) =-f (x ) ，∴该函数图像关于原点对称
x +1) =-f (x +1) 则y =f (x ) 的图象的关变题1：已知函数y =f (x ) 满足f (-
于(1, 0) 对称
x +1) =-f (x +1) ∴y =f (x +1) 为奇函数，解：即y =f (x +1) 的图象关 f (-
于原点(0, 0) 对称，故y =f (x ) 的图象关于(1, 0) 对称。
x ) =2，则函数y =f (x ) 的图象变题2：已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (-
关于(0, 1) 对称
x ) =2得，∴f (-x ) -1=-[f (x ) -1]，y =f (x ) －1为奇函数， 解：由f (x ) +f (-
即y =f (x ) －1的图象关于（0，0）对称，∴y =f (x ) 的图象关于(0, 1) 对
称
变题3：已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (2+x ) =2，则y =f (x ) 的图象关于（1，1）对称
1，x =1-t ， 解：令x =t -则-故由f (x ) +f (2+x ) =2得f (1+t ) +f (1-t ) =2，
即f (x )
满足f (1+x ) +f (1-x ) =2，即f (-x +1) -1=-[f (x +1) -1]，∴y =f (x +1) -1的图象关于原点（0，0）对称，故y =f (x ) 的图象关于（1，1）对称。
x ) =b ，则y =f (x ) 的图象关于结论：若函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (c -c b
a +, ) 对称。
4x
x ) =1（2）指出该函数变题4：已知f (x ) =x 求证：（1）f (x ) +f (1-42
图象的对称中心并说明理由。
12
（3）求f () +f () + +f (1000) 的值。
x
4x 41-4x 2x ) =x +x =+=1，得证。- （1）证明：f (x ) +f (1-4+241-+24x +24x +2
1
x ) =1得（2）解：该函数图象的对称中心为1，由f (x ) +f (1-1
f (1+x ) +f (-x ) =1
即f (-x +2) -2=-[f (x +2) -2]，∴y =f (x +2) -2的图象关于原点中心对称，故y =f (x ) 的图象关于对称。 （3）解： f (x ) +f (1-x ) =1，故
1
f () +f (1000) =1
，
999212
f () +f () =1，„„，∴ f () +f () + +f (1000) =500
变题5：求证：二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象没有对称中心。 证明：假设(m , n ) 是f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象的对称中心，则对任
意
x ∈R
，都有
f (m +x ) +f (m -x ) =2n
，即
a (m +x ) 2+b (m +x ) +c +a (m -x ) 2+b (m -x ) +c =2n 恒成立，
n =0与即有ax 2+am 2+bm +c =n 恒成立，也就是a =0且am 2+bm +c -a ≠0矛盾
所以f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象没有对称中心。
一题多解 一题多变（十三）
题目：已知函数
x 2+2x +a
) 若对任意f （x ）=x ∈[1，+∞
x
x ∈[1，+∞) ，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围。
x 2+2x +a
=>0恒成立⇔x 2+2x +a >0+∞) 上，f （x ）解法一：在区间[1，
x
+∞) 递增 ，∴当x=1时恒成立，设y =x 2+2x +a 在[1，
y min =3+a ，于是当且仅当y min =3+a >0时，函数恒成立，故
a>—3。
=x ++2，x ∈[1，+∞) 当a ≥0的值恒为正, 当a
a
x
数f （x ）为增函数故当x=1时f （x ）于是当且仅当min =3+a 3+a>)时恒成立, 故 a>—3。
x 2+2x +a
=+∞) 上f （x ）解法三：在区间[1，恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成
x
立⇔a >—x 2—2x 恒成立，故
a 应大于
u =—x 2—2x ，x ∈[1，+∞) 时的最大值—3， ∴a >—(x +1) +1
2
当x=1时，取得最大值 —3 ∴a >—3。
题目： 将函数f (x ) =-的图象向左平移1个单位，再向上平移1
个单位，求所得图象的函数表达式。
1
中的x 换成x+1，y 换成y-1得x 11x
f (x ) -1=-⇒f (x ) =1-⇒f (x ) =
x +1x +1x +1
x -1
变题1：作出函数f (x ) =的图象
x +1x -122
解： 函数f (x ) ==1-，它是由函数f (x ) =-的图象向左平
x +1x +1x
1
x
解： 将函数f (x ) =-
移1
变题2：求函数f (x ) =
x -1
的单调递增区间 x +1
解： 由图象知 函数f (x ) =变题3：求函数f (x ) =解： 由
x -1
的单调递增区间为：(-∞, -1), (-1, +∞) x +1
x -1
的单调递增区间 x +1
x -1
的单调递增区x +1
x -1
≥0 得x ≥1或x
间为(-∞, -1), [1, +∞) 变题4： 求函数f (x ) =log 2(解： 由增区间
为(1, +∞), (-∞, -1) 变题5 函数f (x ) =求实数a 解： 由f (x ) =
a -x 1
=-1+知对称中心为（（a+1，-1），
x -a -1x -(a +1)
a -x
的反函数的图象的对称中心为（-1，3），x -a -1
x -1
) 的单调递增区间 x +1
x -1x -1
>0⇒x >1或x
所以它的反函数的对称中心为（-1，a+1），由题意知：a+1=3 得a=2。
x -2
的图象关于y=x对称求a 的值 x +a
x -2
解： 因为函数f (x ) =的反函数是它本身，且过点（2，0），
x +a
x -2
所以其反函数的图象必过点（0，2），即函数f (x ) =也
x +a
变题6 ：函数f (x ) =
过点（0，2），代入得a=-1。
变题7 设（a ，b ）与（c ，d ）都是函数f （x ）的单调区间，
且x
1
2
1
2
则f (x 1) 与f (x 2) 的大小关系为
（ ）
（A ）f (x 1) f (x 2) （C ）f (x 1) =f (x 2) （D ）不能确
定
解 ： 构造函数f (x ) =-它在(-∞, 0), (0, +∞)上都是增函数，但在
1x
(-∞, 0) (0, +∞)上无单调性，故选D
ax +11
(a ≠) 在(-2, +∞) 上的单调性。 x +22
ax +11-2a 11
=a +(a ≠) 由f (x ) 的图象知 ，当 a >时在上解： f (x ) =
x +2x +222
1
是增函数；当a
2
变题8：讨论函数f (x ) =
一题多解 一题多变（十四）
已知a >b >0, m >0，求证：
b +m b
> a +m a
变 题
n
，n ∈N *，试比较a n 与a n +1的大小 n +2
b +m b
b >0, m 0, b +m >0，求证：
a m a
b +m b
b >0, m >0，求证：
a +m a
1、已知数列{a n }满足a n =
解： 原题：证明：作差-
b +m b ab +am -ab -bm m (a -b )
‘ -==
a m a a (a m ) a (a m )
b +m b m (a -b )
->0 >0 ∴
a m a a (a m )
a >b >0，m >0 ∴a -b >0 ∴
1、 a n >0 ∴
∴a n
a n
a n +1
n
n (n +3) n 2+3n +===
n (n 2)(n 1) n 2+3n +2n 3
2、
b +m b ab +am -ab -bm m (a -b )
- -==
a m a a (a m ) a (a m )
a >b >0，∴a -b >0，又a +m >0 ∴
∴
m (a -b )
a a m ，
b +m b
3、作差
a +m a b (a +m ) -a (b +m ) m (b -a )
-==
b m b b (b m ) b (b m )
a >b >0
，m >0 ∴b -a
m (b -a )
b (b m )
∴
a +m a
一 题 多 解
n
已知数列{a n }满足a n =，n ∈N *，试比较a n 与a n +1的大小
n +2
方法一：作差a n +1-a n =方法二：作商 a n >0
∴
n +1n 2
-=>0，∴a n +1>a n
n 3n 2(n 2)(n 3)
a n a n +1
n
n (n +3) n 2+3n ===
n 1(n +2)(n +1) n 2+3n +2n 3
∴a n
n n +2 -22
==1-方法三：（单调性）a n =，a n 关于n 单调递增 n +2n +2n +2
∴a n
方法四：浓度法 把a n =
n
看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着n 的n +2
增大（相当于向溶液中加糖），浓度 当然增大，易得a n
一题多解 一题多变（十五）
例、ax 2-ax +≥0恒成立，求a 的取值范围
解：1、当a =0 时
、 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
≤0 21
>0 2
12
∴0≤a ≤2
变式1：已知函数g (x )=ax 2-ax +的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意得ax 2-ax +≥0恒成立， ∴1、当a =0 时>0 2 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
≤0 212
12
12
∴0≤a ≤2
变式2、函数g (x )=ax 2-ax +的定义域为R 的充要条件是什么
解：由题意得ax 2-ax +≥0恒成立，
12
12
∴1、当a =0 时>0 2 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
≤0 2
12
∴0≤a ≤2 变式3、y =
1ax 2-ax +
12
的定义域为R ，求实数a 的取值范
围。
解：由题意得ax 2-ax +>0恒成立，
∴1、当a =0 时>0 2 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
12
∴0≤a
变式4、y =
11
ax 2-ax +
2
的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
ax 2
解：由题意得
Δ
2
-
1
ax +=0
2
无解即
1
或a =0
∴0≤a
变式5、y =log 2(ax 2-ax +) 的定义域为R ，求a 的取值范围
12
解：由题意得ax 2-ax +12>0恒成立，
∴1、当a =0 时1
2
>0
、 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
2
一题多解
徐晓洲y =x 2求+1
x 22
的值域
法一：常数分离法
y =1 -1
x 2+2
∴ x 2≥0⇒x 2+2≥2⇒0
1x 2+2≤12⇒ -12≤ -1
x 2+2
11
2≤1-x 2+2
2
，1)
法二：反解法
即
x 2+11-2y
由y =2⇒yx 2+2y =x 2+1⇒x 2=≥0
y -1x +2
1
∴函数的值域为[，1
2
)
法三：判别式法
x 2+1
由y =2⇒yx 2+2y =x 2+1⇒(y -1)x 2+2y -1=0
x +2
即：1、当y =1时 1≠0 故舍去
2、当y ≠1时
Δ=0-4(y-1)(2y-1) ≥0⇒
1
2
≤y ≤1 所以函数的值域为[1
2
，1
)
高三《一题多解 一题多变》题目
一题多解 一题多变（一）
原题：f (x ) =mx 2+8x +4 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意mx 2+8x +4≥0在R 上恒成立
∴m >0且Δ≤0，得m ≥4
变1：f (x ) =log 3mx 2+8x +4的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意mx 2+8x +4>0在R 上恒成立
∴m >0且Δ4
变2：f (x ) =log 3(mx 2+8x +4) 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令t =mx 2+8x +4，则要求t 能取到所有大于0的实数，
∴ 当m =0时，t 能取到所有大于0的实数
当m ≠0时，m >0且Δ≥0⇒0
∴0≤m ≤4
mx 2+8x +n
变3：f (x ) =log 3的定义域为R, 值域为[0, 2]，求m,n 的值 2
x 1mx 2+8x +n
∈[1, 9]，得解：由题意，令y =（y -m ）x 2-8x +y -n =0 2
x +1
y ≠m 时，Δ≥0⇒y 2-(m +n ) y +mn -16≤0-
∴ 1和9时y 2-(m +n ) y +mn -16=0的两个根 ∴ m =n =5
n -m
=0 x ∈R ，也符合题意 ∴ 当y =m 时，x =8
∴m =n =5
一 题 多 解-
解不等式3
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当2x -3≥0时，不等式可化为3
原不等式等价于
2x -3>3且2x -3
3
原不等式可化为
3335
2222
35
，且小于，由图得， 解集为{x 3
}
一题多解 一题多变（二）
已知s n 是等比数列的前n 想项和，s 3, s 6, s 9成等差数列，求证：
a 2, a 5, a 8成等差数列
a 1(1一q n ) 法一：用公式s n =，
1一q
因为s 3, s 6, s 9成等差数列，所以s 3+s 6=2s 9且q ≠1则
a 1(1一q 3) a 1(1一q 6) 2a 1(1一q 9)
+=⇒q 3+q 6=2q 9(q ≠1) ⇒1+q 3=2q 6 1一q 1一q 1一q
所以a 2+a 5=a 1q +a 1q 4=a 1q (2q 6) =2a 1q 7=2a 8 所以 a 2, a 5, a 8成等差数列｀ 法二用公式s n =
a 1一a n q a 一a q a 一a q 2(a 一a q )
， s 3+s 6=2s 9, ∴13+16=19
1一q 1一q 1一q 1一q
则a 3+a 6=2a 9⇒a 2q +a 5q =2a 8q ⇒a 2+a 5=2a 8，所以 a 2, a 5, a 8成等差数列｀
证法三：（用公式s 2n =s n (1+q n ), s 3n =s n (1+q n +q 2n ) ） s 6=s 3+a 4+a 5+a 6=s 3+(a 1+a 2+a 3) q 3=(1+q 3) s 3
s 9=s 3(1+q 3+q 6) s 3+s 6=2s 9⇒s 3+s 3(1+q 3) =2s 3(1+q 3+q 6)
解得q 3=一（下略）
1
2
变题：
已知sin α=且α是第二象限角，求tan α 解
sin α=
45
：
α
是第二象限角，
434⇒cos α=一一sin 2α=一, tan α=一 553
4
sin α=变1：，求tan α
54
解：sin α=>0，所以α是第一或第二象限角
5
34
若是第一象限角，则cos α=, tan α=
5344
若是第二象限角，则cos α=一, tan α=一
53
变2：已知sin α=m (m >0) 求tan α 解：由条件0
当 0
m 一m
2
若是第二象限角cos α=一一m 2, tan α=一 当m =1时tan α不存在
变3：已知sin α=m (m ≤1) ，求tan α 解：当m =1, 一1时，tan α不存在 当m =0时， tan α=0
当α时第一、第四象限角时，tan α=
m 一m
2
m 一m
2
当α是第二、第三象限角时，tan α=一
一题多解 一题多变（三）
题目：求函数f (x ) =x +(x 0) 的值域 方法一：判别式法 --
1x
m 一m
2
设y =x + ，则x 2-yx +1=0，由Δ=y 2-4≥0⇒y ≥2 当y =2时，x 2-2x +1=0⇒x =1， 因此当x =1时，
1
f (x ) =x +(x 0) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
x
1x
方法二：单调性法
先判断函数f (x ) =x +(x 0) 的单调性 任取0 x 1 x 2，则f (x 1) -f (x 2) =
(x 1-x 2)(x 1x 2-1)
x 1x 2
1x
当0 x 1 x 2≤2时，即f (x 1) f (x 2) ，此时f (x ) 在(0, 1]上时减函数 当2 x 1 x 2时，f (x 1) f (x 2) f (x ) 在(2, +∞) 上是增函数
) 上是增函数，知 由f (x ) 在(0, 1]上是减函数，f (x ) 在(1, +∞
x =1
时，f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法三：配方法 f (x ) =x +=(x -1
x
1x
) 2+2，当x -
1x
=0时，x =1，此时
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法四：基本不等式法
11212
f (x ) =x +=(x ) +() ≥2x =2
x x x
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
变 题
原题：若函数f (x ) =范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
1ax +2x +1
2
的定义域为R ，求实数a 的取值
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式一：函数f (x ) =log 2(ax 2+2x +1) 的定义域为R ，求实数a 的取值范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式二：函数f (x ) =l o 2g (ax 2+2x +1) 的值域为R ，求实数a 的取值范围
解：令u = ax 2+2x +1能取到所有大于0的实数，则 a =0时，u =zx +1能取到所有大于0的实数 a ≠0时，a 0且Δ=4-4a ≥0⇒0 a ≤1
综上0≤a ≤1
一题多解 一题多变（四）
题目：求函数f (x ) =x +(x 0) 的值域 方法一：判别式法 -- 设y =x +
1
，则x 2-yx +1=0，由Δ=y 2-4≥0⇒y ≥2 x
1x
当y =2时，x 2-2x +1=0⇒x =1， 因此当x =1时，
1
f (x ) =x +(x 0) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
x
方法二：单调性法
先判断函数f (x ) =x +(x 0) 的单调性 任取0 x 1 x 2，则f (x 1) -f (x 2) =
(x 1-x 2)(x 1x 2-1)
x 1x 2
1x
当0 x 1 x 2≤2时，即f (x 1) f (x 2) ，此时f (x ) 在(0, 1]上时减函数 当2 x 1 x 2时，f (x 1) f (x 2) f (x ) 在(2, +∞) 上是增函数
) 上是增函数，知 由f (x ) 在(0, 1]上时减函数，f (x ) 在(1, +∞
x =1
时，f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法三：配方法 f (x ) =x +=(x -1
x
1x
) 2+2，当x -
1x
=0时，x =1，此时
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
方法四：基本不等式法
11212
f (x ) =x +=(x ) +() ≥2x =2
x x x
f (x ) 有最小值2，即值域为[2, +∞)
变 题
原题：若函数f (x ) =范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
1ax +2x +1
2
的定义域为R ，求实数a 的取值
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式一：函数f (x ) =log 2(ax 2+2x +1) 的定义域为R ，求实数a 的取值范围
解：由题意得
ax 2+2x +1 0在R 上恒成立，则要求 a 0
且Δ=4-4a 0⇒a 1
变式二：函数f (x ) =l o 2g (ax 2+2x +1) 的值域为R ，求实数a 的取值范围
解：令u = ax 2+2x +1能取到所有大于0的实数，则 a =0时，u =zx +1能取到所有大于0的实数 a ≠0时，a 0且Δ=4-4a ≥0⇒0 a ≤1
综上0≤a ≤1
一题多解 一题多变（五）
x 2y 2
题目：椭圆+=1的焦点是F 1、F 2，椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，
2516
下面结论正确的是———————————————————————（ ）
（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个
（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在
解法一：
以F 1F 2为直径构圆，知：圆的半径r =c =3
解法二：
由题知(S ∆pF F ) max =⨯F 1F 2∙b =3⨯4=12，而在椭圆中：
12
12
S ∆PF 1F 2=b 2tan
π
4
=16，∴不可能成立12>16, 故选D
解法三：
由题意知当p 点在短轴端点处
tan α=
3π
解法四：
设P (5con θ, 4sin θ) ，由PF 1⊥PF 2, 知1⊥PF 2⇒PF 1∙PF 2=0，而
PF 1∙PF 2=(5con θ-3, 4sin θ)(5con θ+3, 4sin θ) =25con 2θ-9+16sin 2θ=0⇒con 2θ=-
7⇒9
无解，故选D
解法五：
设∠PF 1F 2=θ，假设PF 1⊥PF 2，则
|PF 1|+|PF 2|=6con θ+6sin θ=62sin(θ+
π
4
) ≤62，而|PF 1|+|PF 2|=2a =10
即：10≤62，不可能。故选D
解法六：
|PF 1|2+|PF 2|2-36(|PF 1|2+|PF 2|2) -2|PF 1||PF 2|-3664-2|PF 1|PF 2|
con
|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|
3232327
-1≥-1=-1=≠0，故
|PF 1|+|PF 2|2|PF 1||PF 2|2525()
2
解法七：设P (x 0, y 0) 由焦半径知：
|PF 1|=a +ex 0=5+
33
x 0, |PF 2|=a -ex 0=5-x 0, PF 1⊥PF 2∴55
|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2
⇒(5+
∴x =±
25
3
25
>8, 故不符合题意，故选D 3
331826252x 0) 2+(5-x 0) 2=102⇒x 0=50⇒x 0= 55259
而在椭圆中|x 0|≤5而|x 0|= 解法八.
设圆方程为：x 2+y 2=9
x 2y 2
椭圆方程为：+=1
2516
两者联立解方程组得：
16x 2+25y 2=25⨯1616x 2+25(9-x 2) =25⨯16-9x 2=25⨯16-25⨯9=25⨯7 ∴x 2=-
25⨯79
不可能
x 2y 2
故圆x +y =9与椭圆+=1无交点
2516
2
2
即 PF 1不可能垂直PF 2 故选D
一题多解 一题多变（六）
一变题：课本P110 写出数列{a n }的前5项：a 1=-, a n =1-
12
14
1 a n -1
, 1]f (x ) 的反函数为y =g (x ) ， 变题：已知函数f (x ) =-2x +2, x [，设
a 1=1, a 2=g (a 1)
a n =g (a n -1) ，求数列{a n }的通项公式。
解：由题意得，y =g (x ) =1-x ，a n =1-a n -1
1
212
∴a n -
211212
=(a n -1-) ，令b n =a n -，则{b n }是以为首项，-为公
332323
比的等比数列，
故b n =(-) n -1(n ≥1)
22n +(-1) n -1
从而，a n =b n +=(n ≥1)
33×2n -1
1
3
12
二、一题多解
x 2+2x +a
, x ∈[1, +∞) 已知函数f (x ) =
x
（1）当a =时，求函数f (x ) 的最小值；-
（2）若对于任意x ∈[1, +∞), f (x ) >0恒成立，试求实数a 的取值范围， 解：（1）当a =时，f (x ) =x +2+取等号
由f (x ) =x +(k >0) 性质可知，f (x ) 在[
k
x 12
12≥2+2，当且仅当x =时2x 2
1
2
2
, +∞) 上是增函数 2
x ∈[1, +∞) ，所以f (x ) 在[1, +∞) 是增函数，f (x ) 在区间[1, +∞) 上的
最小值为f (1) =
x 2+2x +a
>0恒成立) ，f (x ) =（2）法一：在区间上[1, +∞
x ⇔x 2+2x +a >0恒成立
) 设y =x 2+2x +a ， x ∈[1, +∞) y =x 2+2x +a =(x +1) 2+a -1在[1, +∞
7
2
上增
所以x =1时，y min =a +3，于是当且仅当y min =a +3>0时，函数
f (x ) >0恒成立，
故a >-3
法二：f (x ) =x ++2, x ∈[1, +∞) 当a ≥0时，函数f (x ) 的值恒为正；
当a 0时，函数f (x ) >0恒成，故a >-3
x 2+2x +a
法三：在区间[1, +∞>0恒成立⇔x 2+2x +a >0) 上，f (x ) =
x
a x
恒成立
⇔a >-x 2 -2x 恒成立，故a 应大于u =-x 2 -2x ，x ∈[1, +∞) 时的最大值
-3，
所以a >-3
一题多解 一题多变（七）
原题：:若f () =x ++x 2(x >0) , 则f (x ) 分析:用倒数换元
解: 令t =则x =, 所以
11
f (t ) =++() 2(t >0)
t t
1x
1t
1x
将t 换成x 得到:
11
f (t ) =++() 2(x >0)
x x
变题1：设f (x ) 满足关系式f (x ) +2f () =3x , 求f (x ) 的解析式 解：t =则x =
1x
1t
1x
11f () +2f (t ) =3 t t
将t 换成x 得到:
11f () +2f (x ) =3 x x
1
与原式联立方程组消去f () 得到
x
2
f (x ) =-x (x ≠0)
x
变题2：已知af (x ) (-x ) =bx ，其中a 2≠1试求f (x ) 的解析式
解：用相反数换元 令t =-x , x =-t 代入到原式当中得到： af (-t ) +f (t ) =-bt 将t 换成x 得到:
af (-x ) +f (x ) =-bx
与原式联立方程组，得到：
(a 2-1) f (x ) =b (a +1) x
a 2≠1
∴
f (x ) =
b (a +1) b
x =x 2
(a -1) a -1
变题3：已知af (4x -3) +bf (3-4x ) =2x , a 2≠b 2，试求f (x ) 的解析式
解：令4x -3=t ，则2x =
t +3
2-t +3
∴af (t ) +bf (-t ) = (1)
2
将(1) 中t 换－t 得到:
af (-t ) +bf (t ) =
t +3
2
与(1) 联立方程组得到：
(a 2-b 2) f (t ) =
a +b 3
t +(a -b ) 22
a 2≠b 2
∴f (t ) =
13
t +
2(a -b ) 2(a +b ) 13
x +
2(a -b ) 2(a +b )
f (x ) =
变题4：已知af (x n ) +f (-x n ) =bx ，其中a 2≠1, n 为奇数，求f (x )
解：设x n =t , x =t 代入原式得：
af (t ) +f (-t ) =将t 换成—t 得到:
af (—t ) +f (t ) =—b 与上式联立方程组得到
(a 2—1) f (t ) =b (a +1)
∴
a 2≠1
f (x ) =
== ∴ f
(x ) 的解析式为：f (x ) =
一题多解
题目：设二次函数f (x ) 满足f (x —2) =f (—x —2) ，且函数图象y 轴上的截距为1，被x 轴截的线段长为22，求f (x ) 的解析式
分析：设二次函数的一般形式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ，然后
根据条件求出待定系数a,b,c 解法一：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0)
由f (x —2) =f (—x —2) ， 得：
4a —b =0 又
x 1—x 2=
a
=22
∴b 2—4ac =8a 2 由题意可知 c =1 解之得：
1
a =, b =2, c =1
21
f (x ) =x +2x +1
2
解法二：f (x —2) =f (—x —2) ，
故函数y =f (x ) 的图象有对称轴x =—2 可设y =a (x +2) 2+k
函数图象与y 轴上的截距为1，则4a +k =1
又 被x 轴截的线段长为22，则x 1—x 2=整理得：2a +k =0 解之得：
a =, k =—1
f (x ) =
1
x +2x +1 2
d
=22
12
解法三：：
故 f (x —2) =f (—x —2) ，
函数y =f (x ) 的图象有对称轴x =—2，又
x 1—x 2=2
∴
y =(x ) 与x 轴的交点为：
(—2+22, 0) (—2—22，0) ，
∴
故可设y =a (x +2+2)
1 2
∴ f (0) =1, a =∴f (x ) =
1
x +2x +1 2
一题多解 一题多变（八）
原题 设y =f (x ) 有反函数y =f -1(x ) ，又y =f (x +2) 与y =f -1(x -1)
互为反函数，则f -1(1) -f -1(0) =__________（《教学与测试》P 77） 变题 设y =f (x ) 有反函数y =f -1(x ) ，又y =f (x +1) 的图象与
y =f (x +1) 的图象关于y =x 对称
-1
（1） 求f (1) -f (0) 及f -1(1) -f -1(0) 的值；
（2） 若a , b 均为整数，请用a , b 表示f (a ) f (b ) 及f -1(a ) -f -1(b ) 解(1)因y =f (x +1) 的反函数是y =f (x ) -1，从而令x =1得f (1) -f (0)=-1；f (x +1) =f (x ) -1, 于是有f (x +1) -f (x ) =-1，
同样，y =f (x +1) 得反函数为y =f -1(x ) -1，从而
f -1(x +1) =f -1(x ) -1，于是，f -1(x +1) -f -1(x ) =-1．
-1
(2)
f (x +2) -f (x +1) =-1
, 而f (x +1) -f (x ) =-1, 故
f (x +2) -(f (x ) -1) =-1, 即f (x +2) -f (x ) =-2, „f (x +n ) -f (x ) =-n ，
从而f (a ) -f (b ) =f [a +(b -a ) ]-f (a ) =b -a ． 同理，f -1(a ) -f -1(b )=b -a ．
一题多解
1．函数f (x ) =x 2+bx +c , f (-1) =f (3)，则( ) （A ） f (1)>c >f (-1) （B ） f (1)f (-1) >f (1) （D ） c
解法1. 由f (-1) =f (3)知f (x ) 的图象关于x =1对称，得b =-2
而
f (1)=12+(-2) ∙1+c =c -1, f (-1) =(-1) 2+(-2) ∙(-1) +c =c +3
，且
c +3>c >c -1，因此f (1)
解法2. 由f (-1) =f (3)知f (x ) 的图象关于x =1对称，而
c =f (0) ，而f (x ) 在[－1,1]上递减，易得答案为B ．
y
-1 0
1 x
一题多解 一题多变（九）
姜忠杰
变 题
原题：若在区间y =x 2-ax -a 2在区间(-∞,1-3) 是减函数，则a 的取值范围是多少？
变1：若函数y =x 2-ax -a 2在(-∞,1-) 上是减函数，则a 的取值范围是多少？
变2、若函数y =log (x 2-ax -a 2) 在(-∞,1-) 上是增函数，则a 的取值
1
范围是多少？
变3、若函数y =log (x 2-ax -a 2) 在(-∞,1-3) 上是增函数，且函数的
1
2
值域为R ，则a 的取值范围是多少？
（-∞（-∞∴(-∞解： 函数y =x 2-ax -a 2的减区间为,1-3) ⊆2]，2]
∴[2-23， - +∞）
变1、设u =x 2-ax -a 2，则u 在(-∞,1-) 为减函数，且在(-∞,1-3) ，
u ≥0
所以有1-≤a 且u （1-）≥0，∴a 的取值范围是
[
(-1)(1-)
,
(-1)(1+)
]
变2：设u =x 2-ax -a 2，则u 在为减函数，且在(-∞,1-3]，u ≥0-
所以有1-3≤a 且u （1-）≥0，∴a 的取值范围是
[
(3-1)(1-5) 2
,
(3-1)(1+5)
2
]
变3：设u =x 2-ax -a 2，则u 在(-∞,1-3) 减区间，u 在(-∞,1-3) 取到一切正实数
1-≤a ，u (1-) =0，所以a =
(-1)(1-)
或(
3-1)(1)
一题多解：
设a +lg a =10 ，b +10b =10，求a +b 的值。 解法一（构造函数）：设f (x ) =x +lg x ，则
f (a ) =10=b +10b =lg 10b +10b =f (10b ) ，由于f (x ) 在(0, +∞) 上是单调递
增函数，所以a =10b ，故a +b =10b +b =10。 解法二（图象法）
因为a 是方程x +lg x =10的一个根，也就是方程lg x =10-x 的一个根
b 是方程x +10x =10的一个根，也就是方程10x =10-x 的一个
根
令g (x ) =lg x ，h (x ) =10x ，Φ(x ) =10-x ，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：
a 是方程g (x ) =Φ(x ) 的根，即图中OA=a
b 是方程h (x ) =Φ(x ) 的根，即图中
OB=b
易得OA+OB=10，所以a +b =10
解法三：方程x +lg x =10，x +10x =10的根为a ，b 由x +10x =10，得
10x =10-x ，∴x =lg(10-x) ，又x +lg x =10∴lg(10-x) +lgx =10，
即x(10-x) =1010，即x 2-10x +1010=0 x 1+x 2=10 (虚根Δ
一题多解 一题多变（十）
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) =; 22
（课本P 102 ）证明：
x +x f (x ) +f (x ) 212
(2) 若f (x ) =x 2+ax +b , 则f (1) ≤
22
（1）若f (x ) =ax +b , 则f (
变题：1、如图所示，f (x i )(i =1, 2, 3, 4) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的x 1, x 2，任意
λ∈[0,1],f [λx 1+(1-λ) x 2]≤λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) 恒成立”
的只有（ A ）
A 、 f (x 1), f (x 3) B 、f (x 2) C 、f (x 2), f (x 3) D 、f (x 4)
变题2、定义在R 上的函数f (x ) 满足：如果对于任意x 1, x 2∈R 都有
f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) ≤ 22
则称函数f (x ) 是R 上的凹函数。已知二次函数
f (x ) =ax 2+x (a ∈R , a ≠0)
（1）求证：当a >0时，函数f (x ) 是凹函数；
（2）如果x ∈[0, 1]时，|f (x ) |≤1，试求实数a 的取值范围。 （1）证明：略
（2）实数a 的取值范围是[ 2,0)
二、一题多解
不查表计算：lg 32+lg 35+3lg 2lg 5
解法一：原式=(lg2+lg 5)(lg 22-lg2lg5+lg 25) +3lg2lg5 =lg 22-lg 2lg 5+lg 25+3lg 2lg 5 =lg 22+2lg 2lg 5+lg 25 =(lg2+lg 5) 2=1
解法二：原式=(lg2+lg5) 3-3lg 22lg5-3lg2lg 25+3lg2lg5
=1-3lg 2lg5(lg2+lg5-1) =1
解法三：原式=(lg2+lg 5) 3-3lg 2lg 5(lg2+lg 5) +3lg 2lg 5
=1-3lg 2lg 5+3lg 2lg 5 =1
解
法
四
：
原
=lg 32+lg 35+3lg 22lg 5+3lg 2lg 25-3lg 22lg 5-3lg 2lg 25+3lg 2lg 5=(lg2+lg 5) 3-3lg 2lg 5(lg2+lg 5-1) =1
解法五：原式=lg 32+lg 35+3lg 2lg 5×1
=lg 32+lg 35+3lg 2lg 5×(lg2+lg 5) =(lg2+lg 5) 3 =1
一题多解 一题多变（十一）
一题多解- 1．
已知f (x ) =
221-x 2（x
f -1
(－3
) 的值 解法1 先求反函数 由y =
21－x 2
得x 2=1－2y
x
式
∴ x =--2y
且y
x
(x
3
) =-2
解法2从互为反函数的函数的关系看
令21-x
2
=-23解得x =±2 x
∴
x =-2
即 f -1(-2
3
) =-2 变题 2．
已知f (x ) 对于任意实数x . y 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，当时，f (x )
（1） 求证f (x ) =-f (-x )
x >0
（2） 判断f (x ) 的单调性
证明 （1）令x =y =0, 得f (0) =f (0) +f (0) ∴ f (0) =0 -
令x =-y ，得f (0) =f (x ) +f (-x) =0
∴
f (x ) =-f (-x )
（2）设
x 1
，f (x 2) =f [x 1+(x 2-x 1)]=f (x 1) +f (x 2-x 1)
∴ f (x ) 在R 上是单调函数
变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数，f (x
y
) =f (x ) -f (y ) （1） 求f (1) 的值
（2） 若f (6) =1, 解不等式f (x +5) -f (1x
)
解 （1） 令x =y =1，得 f (1) =f (1) -f (1)
∴ f (1) =0-
（3） 在f (x y
) =f (x ) -f (y ) 中，令x =1, y =6得
f (1
6
) =-f (6) =-1
从而f (36) =f (6) -f (16
) =2
又原不等式可化为
则
且满足
f [x (x +5)]
∴ 原不等式等价于
x (x +5)
∴ -9
又 x >0 x +5>0 解得 0
∴
原不等式的解集为（0，4）
一题多解 一题多变（十二）
考查知识点：函数的对称中心
原题：函数y =lg(x +x 2+1)
x ) +f (x ) =lg(-x +(-x ) 2+1) + 解：该函数定义域为R ，且f (-
lg(x +x 2+1) =lg(-x +x 2+1)(x +x 2+1) =lg 1=0
∴f (-x ) =-f (x ) ，∴该函数图像关于原点对称
x +1) =-f (x +1) 则y =f (x ) 的图象的关变题1：已知函数y =f (x ) 满足f (-
于(1, 0) 对称
x +1) =-f (x +1) ∴y =f (x +1) 为奇函数，解：即y =f (x +1) 的图象关 f (-
于原点(0, 0) 对称，故y =f (x ) 的图象关于(1, 0) 对称。
x ) =2，则函数y =f (x ) 的图象变题2：已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (-
关于(0, 1) 对称
x ) =2得，∴f (-x ) -1=-[f (x ) -1]，y =f (x ) －1为奇函数， 解：由f (x ) +f (-
即y =f (x ) －1的图象关于（0，0）对称，∴y =f (x ) 的图象关于(0, 1) 对
称
变题3：已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (2+x ) =2，则y =f (x ) 的图象关于（1，1）对称
1，x =1-t ， 解：令x =t -则-故由f (x ) +f (2+x ) =2得f (1+t ) +f (1-t ) =2，
即f (x )
满足f (1+x ) +f (1-x ) =2，即f (-x +1) -1=-[f (x +1) -1]，∴y =f (x +1) -1的图象关于原点（0，0）对称，故y =f (x ) 的图象关于（1，1）对称。
x ) =b ，则y =f (x ) 的图象关于结论：若函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (c -c b
a +, ) 对称。
4x
x ) =1（2）指出该函数变题4：已知f (x ) =x 求证：（1）f (x ) +f (1-42
图象的对称中心并说明理由。
12
（3）求f () +f () + +f (1000) 的值。
x
4x 41-4x 2x ) =x +x =+=1，得证。- （1）证明：f (x ) +f (1-4+241-+24x +24x +2
1
x ) =1得（2）解：该函数图象的对称中心为1，由f (x ) +f (1-1
f (1+x ) +f (-x ) =1
即f (-x +2) -2=-[f (x +2) -2]，∴y =f (x +2) -2的图象关于原点中心对称，故y =f (x ) 的图象关于对称。 （3）解： f (x ) +f (1-x ) =1，故
1
f () +f (1000) =1
，
999212
f () +f () =1，„„，∴ f () +f () + +f (1000) =500
变题5：求证：二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象没有对称中心。 证明：假设(m , n ) 是f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象的对称中心，则对任
意
x ∈R
，都有
f (m +x ) +f (m -x ) =2n
，即
a (m +x ) 2+b (m +x ) +c +a (m -x ) 2+b (m -x ) +c =2n 恒成立，
n =0与即有ax 2+am 2+bm +c =n 恒成立，也就是a =0且am 2+bm +c -a ≠0矛盾
所以f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象没有对称中心。
一题多解 一题多变（十三）
题目：已知函数
x 2+2x +a
) 若对任意f （x ）=x ∈[1，+∞
x
x ∈[1，+∞) ，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围。
x 2+2x +a
=>0恒成立⇔x 2+2x +a >0+∞) 上，f （x ）解法一：在区间[1，
x
+∞) 递增 ，∴当x=1时恒成立，设y =x 2+2x +a 在[1，
y min =3+a ，于是当且仅当y min =3+a >0时，函数恒成立，故
a>—3。
=x ++2，x ∈[1，+∞) 当a ≥0的值恒为正, 当a
a
x
数f （x ）为增函数故当x=1时f （x ）于是当且仅当min =3+a 3+a>)时恒成立, 故 a>—3。
x 2+2x +a
=+∞) 上f （x ）解法三：在区间[1，恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成
x
立⇔a >—x 2—2x 恒成立，故
a 应大于
u =—x 2—2x ，x ∈[1，+∞) 时的最大值—3， ∴a >—(x +1) +1
2
当x=1时，取得最大值 —3 ∴a >—3。
题目： 将函数f (x ) =-的图象向左平移1个单位，再向上平移1
个单位，求所得图象的函数表达式。
1
中的x 换成x+1，y 换成y-1得x 11x
f (x ) -1=-⇒f (x ) =1-⇒f (x ) =
x +1x +1x +1
x -1
变题1：作出函数f (x ) =的图象
x +1x -122
解： 函数f (x ) ==1-，它是由函数f (x ) =-的图象向左平
x +1x +1x
1
x
解： 将函数f (x ) =-
移1
变题2：求函数f (x ) =
x -1
的单调递增区间 x +1
解： 由图象知 函数f (x ) =变题3：求函数f (x ) =解： 由
x -1
的单调递增区间为：(-∞, -1), (-1, +∞) x +1
x -1
的单调递增区间 x +1
x -1
的单调递增区x +1
x -1
≥0 得x ≥1或x
间为(-∞, -1), [1, +∞) 变题4： 求函数f (x ) =log 2(解： 由增区间
为(1, +∞), (-∞, -1) 变题5 函数f (x ) =求实数a 解： 由f (x ) =
a -x 1
=-1+知对称中心为（（a+1，-1），
x -a -1x -(a +1)
a -x
的反函数的图象的对称中心为（-1，3），x -a -1
x -1
) 的单调递增区间 x +1
x -1x -1
>0⇒x >1或x
所以它的反函数的对称中心为（-1，a+1），由题意知：a+1=3 得a=2。
x -2
的图象关于y=x对称求a 的值 x +a
x -2
解： 因为函数f (x ) =的反函数是它本身，且过点（2，0），
x +a
x -2
所以其反函数的图象必过点（0，2），即函数f (x ) =也
x +a
变题6 ：函数f (x ) =
过点（0，2），代入得a=-1。
变题7 设（a ，b ）与（c ，d ）都是函数f （x ）的单调区间，
且x
1
2
1
2
则f (x 1) 与f (x 2) 的大小关系为
（ ）
（A ）f (x 1) f (x 2) （C ）f (x 1) =f (x 2) （D ）不能确
定
解 ： 构造函数f (x ) =-它在(-∞, 0), (0, +∞)上都是增函数，但在
1x
(-∞, 0) (0, +∞)上无单调性，故选D
ax +11
(a ≠) 在(-2, +∞) 上的单调性。 x +22
ax +11-2a 11
=a +(a ≠) 由f (x ) 的图象知 ，当 a >时在上解： f (x ) =
x +2x +222
1
是增函数；当a
2
变题8：讨论函数f (x ) =
一题多解 一题多变（十四）
已知a >b >0, m >0，求证：
b +m b
> a +m a
变 题
n
，n ∈N *，试比较a n 与a n +1的大小 n +2
b +m b
b >0, m 0, b +m >0，求证：
a m a
b +m b
b >0, m >0，求证：
a +m a
1、已知数列{a n }满足a n =
解： 原题：证明：作差-
b +m b ab +am -ab -bm m (a -b )
‘ -==
a m a a (a m ) a (a m )
b +m b m (a -b )
->0 >0 ∴
a m a a (a m )
a >b >0，m >0 ∴a -b >0 ∴
1、 a n >0 ∴
∴a n
a n
a n +1
n
n (n +3) n 2+3n +===
n (n 2)(n 1) n 2+3n +2n 3
2、
b +m b ab +am -ab -bm m (a -b )
- -==
a m a a (a m ) a (a m )
a >b >0，∴a -b >0，又a +m >0 ∴
∴
m (a -b )
a a m ，
b +m b
3、作差
a +m a b (a +m ) -a (b +m ) m (b -a )
-==
b m b b (b m ) b (b m )
a >b >0
，m >0 ∴b -a
m (b -a )
b (b m )
∴
a +m a
一 题 多 解
n
已知数列{a n }满足a n =，n ∈N *，试比较a n 与a n +1的大小
n +2
方法一：作差a n +1-a n =方法二：作商 a n >0
∴
n +1n 2
-=>0，∴a n +1>a n
n 3n 2(n 2)(n 3)
a n a n +1
n
n (n +3) n 2+3n ===
n 1(n +2)(n +1) n 2+3n +2n 3
∴a n
n n +2 -22
==1-方法三：（单调性）a n =，a n 关于n 单调递增 n +2n +2n +2
∴a n
方法四：浓度法 把a n =
n
看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着n 的n +2
增大（相当于向溶液中加糖），浓度 当然增大，易得a n
一题多解 一题多变（十五）
例、ax 2-ax +≥0恒成立，求a 的取值范围
解：1、当a =0 时
、 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
≤0 21
>0 2
12
∴0≤a ≤2
变式1：已知函数g (x )=ax 2-ax +的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意得ax 2-ax +≥0恒成立， ∴1、当a =0 时>0 2 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
≤0 212
12
12
∴0≤a ≤2
变式2、函数g (x )=ax 2-ax +的定义域为R 的充要条件是什么
解：由题意得ax 2-ax +≥0恒成立，
12
12
∴1、当a =0 时>0 2 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
≤0 2
12
∴0≤a ≤2 变式3、y =
1ax 2-ax +
12
的定义域为R ，求实数a 的取值范
围。
解：由题意得ax 2-ax +>0恒成立，
∴1、当a =0 时>0 2 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
12
∴0≤a
变式4、y =
11
ax 2-ax +
2
的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
ax 2
解：由题意得
Δ
2
-
1
ax +=0
2
无解即
1
或a =0
∴0≤a
变式5、y =log 2(ax 2-ax +) 的定义域为R ，求a 的取值范围
12
解：由题意得ax 2-ax +12>0恒成立，
∴1、当a =0 时1
2
>0
、 a >0
⇒0
Δ=a 2-4a ×
1
2
一题多解
徐晓洲y =x 2求+1
x 22
的值域
法一：常数分离法
y =1 -1
x 2+2
∴ x 2≥0⇒x 2+2≥2⇒0
1x 2+2≤12⇒ -12≤ -1
x 2+2
11
2≤1-x 2+2
2
，1)
法二：反解法
即
x 2+11-2y
由y =2⇒yx 2+2y =x 2+1⇒x 2=≥0
y -1x +2
1
∴函数的值域为[，1
2
)
法三：判别式法
x 2+1
由y =2⇒yx 2+2y =x 2+1⇒(y -1)x 2+2y -1=0
x +2
即：1、当y =1时 1≠0 故舍去
2、当y ≠1时
Δ=0-4(y-1)(2y-1) ≥0⇒
1
2
≤y ≤1 所以函数的值域为[1
2
，1
)