函数概念梳理——王雪
1. 小学涉及函数思想的内容 1.1北师大版小学教材
北师大版教材，四年级下册，第七章《方程的认识》
北师大版教材，六年级下册，第二章《正比例和反比例》
1.2人教版小学教材
人教版教材，五年级上册，第四章《简易方程、找规律、量一量》
人教版教材，六年级上册，第七章《数学广角》
人教版教材，六年级下册，第三章《比例、自行车里的数学》第二节《正比例和反比例的意义》
1.3苏教版教材
苏教版，五年级下册，第一章《方程》 苏教版，六年级上册，第一章《方程》
苏教版，六年级下册，第五章《正比例与反比例》
综合以上三版的教材，得出这样的结论：小学阶段并未对函数做概念的界定，
只
是将函数的思考方式逐步渗透到数学课程当中，主要集中在第二学段（4-6），函数思想的集中体现在：式与方程、正比例反比例、探索规律。
小学阶段的函数可以概括如下两点：第一，探索两者之间的简单的关系，通过已知求未知；第二，探索两个量之间的变化趋势。 2. 初中涉及函数思想及函数概念相关内容 2.1北师大版教材
北师大版教材，七年级上册，第三章《字母表示数》 北师大版教材，七年级上册，第五章《一元一次方程》 北师大版教材，七年级下册，第六章《变量之间的关系》
在本章中引入“自变量”和“因变量”具体表述为：支撑物高度h 和小车下滑时间t 都在变化，他们都是自变量（variable ）, 其中t 随h 的变化而变化，h 是自变量（inpendent variable），t 是因变量（dependent variable）。 北师大版教材，八年级上册，第六章《一次函数》
在本章第一节课界定函数的概念，具体表述为：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定一个y 值，那么我们称y 是x 的一个函数（function ）其中x 是自变量，y 是因变量。
在此，一次函数和正比例函数得到定义，表述为：若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。
北师大版教材，八年级上册，第七章《二元一次方程组》
本章对于是在一元一次方程基础上的进一步深化，本章的重点在技能训练，但本章提到鸡兔同笼问题，而这类问题人教版教材却在小学六年级便提及，可见教材编写者各有用意。
北师大版教材，九年级上册，第五章《反比例函数》 反比例函数的概念表述如下：
北师大版教材，九年级下册，第二章《二次函数》
本章对二次函数概念做了界定，具体表述为：一般地，形如的函数叫做x 的二次函数（quadratic function）。值得一提的是本章建立二次函数与一元二次方程的关系，具体表述如下图所示：
我认为这一环节是联系函数与方程很重要的部分，通过这部分的教学学生会从根本上理解一元一次方程与一元一次函数的关系、联系、及区别，同时会理解一元二次函数与一元二次方程的关系、联系、及区别，本部分内容我认为在初中学习函数阶段是质的飞跃。
综合分析北师大版7—9年级数学教材，关于函数的概念涉及“自变量” “因变量”“函数”“一次函数”“正比例函数”“反比例函数”“二次函数”，定义形式包括描述型定义、决定型定义、和关系型定义，不可否认他们对函数的表述并不
完整准确，但如此定义却能被该学段的学生理解接受，如此看来此类定义尚佳。 研究中学中的函数，并不能只研究以上提及的内容，函数更多的体现的是一种联系的思想，它会渗透到中学教学的点滴之中，我之所以列举如上例子，只是想说明中学“函数的概念”这部分内容，并未对中学函数做研究。 2.2人教版教材
人教版教材，七年级上册，第三章《一元一次方程》 人教版教材，七年级下册，第八章《二元一次方程组》 人教版教材，八年级上册，第十四章《一次函数》
本章提到“变量”具体表述为：在一个变化过程中，我们数值发生变化的量为变量，有些数值始终不变，称为常量。 对于函数的概念，人教版教材做了如下表述：
对比人教版和北师大版的教材对“函数”概念的描述，可以发现很大的不同，北师大版的教材介绍了“自变量”和“因变量”，在讲述x 与y 的关系时，这样写道“给定一个x 值，相应的就有一个确定的y 值”，而人教版的表述更严密“对于每一个确定的x 值，y 都有唯一确定的值与其对应”，尽管表述不同，但具体的含义是相同的，我更倾向于北师大版的表述，它更容易理解。 人教版对“正比例函数”的概念做了如下表述：
对于“一次函数”的概念做了这样的表述：
对比人教版和北师大版对于“一次函数”的概念和“正比例函数”的概念表述基本基本相同，都同样用了决定式的方法。
在此有必要提到人教版与北师大版对于一次函数教学的理解，人教版将一次函数与不等式联系到一起，对于一次函数的理解更深一层次，对于函数图象的应用多一层面，我很赞同。
人教版教材，八年级下册，第十七章《反比例函数》 “反比例函数”的概念具体表述为：
对比两版教材，关于“反比例函数”的概念基本相同。 人教版教材，九年级上册，第十二章《一元二次方程》 人教版教材，九年级下册，第二十六章《二次函数》 本章对“二次函数”做了概念界定，具体表述如下：
3. 高中涉及函数思想及函数概念相关内容 3.1高中教材A 版涉及函数思想及函数概念
人教版A 教材，必修一，第一章《集合与函数概念》 对“函数”的概念做了如下表述：
将初中与高中“函数”概念做比较，可以发现，高中“函数”中出现一下关键词“对应关系f ”“集合A 中的每一个元素”“唯一确定”“定义域”“值域”，这些关键词使得函数概念更接近准确。
人教版A 教材，必修一，第二章《基本初等函数（Ⅰ）》 本章2.2.1《指数函数及性质》给出了“指数函数”的概念
本章2.2.1《对数与对数运算》给出了“对数函数”的概念
本章2.3《幂函数》给出“幂函数”的概念
人教版A 教材，必修一，第三章《函数与方程》 人教版A 教材，必修二，第三章《直线与方程》 人教版A 教材，必修二，第四章《圆与方程》 人教版A 教材，必修四，第一章《三角函数》
人教版A 教材，必修五，第二章《数列》
在数列中涉及的通项公式、求和公式、递推公式都涉及函数思想，在此不列举。 人教版A 教材，选修1-1, 第二章《圆锥曲线与方程》
关于椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 关于双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 人教版A 教材，选修1-1, 第三章《变化率与导数》 关于导数的概念：
一般地，函数在处的瞬时变化率是
我们称它为函数在处的导数，记作或即
当x 取值为某一区间D 时，对于D 中的任意一个x 值，都有唯一确定的导数与之对应，这便是导函数。
3.2高中教材B 版涉及的函数思想及函数概念 人教版教材B 版，必修一，第二章《函数》
对于函数做了这样的表述：设集合A 是一个非空的数集，对A 内任意数x, 按照确定的法则f ，都有唯一确定的数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作。
人教版教材B 版，必修一，第三章《基本初等函数》
关于基本初等函数中“指数函数”“对数函数”“幂函数”的概念与A 版相同。 4. 部分书籍对“函数”概念做的界定
【1】北京教育科学研究院基础教育教学研究中心编. 函数. 首都师范大学出版社,2006.06.
对比初中、高中、和大学对“函数”的定义，可以做这样的理解，初中的函数是站在关系角度来谈函数的，高中的函数是站在集合的角度来谈的，大学的函数是站在映射的角度来谈的，可见数学的学习逐步抽象。 【2】章志敏, 张素亮编著. 函数[M].科学出版社
,1985.
大学的函数可以概括如下：具体定义我会在不断学习中完善。
相
复变函数 关搜
凸函数 索
实变函数 格林函数
复变函数与积分
变换
实变函数与泛函 分析
三角函数
函数
生产函数
函数
贝尔函数类 波函数
泊松密度函数
多元函数
不连续函数
布尔函数
隐藏
布尔函数 超越函数 初等函数 递归函数 非周期函数 传递函数 点散布函数 分布函数
代数体函
数
代数体函数 单调函数 多元函数 多值函数 多元函数 风险函数 风险函数
概率密度函
数
光度函数
哈尔函数 基数函数 解析函数 可微函数 隶属函数 模函数 逆函数 扰动函数 实变函数 随机函数 凸函数 相关函数 形函数
复变函数
光学传递函数 耗散函数 集函数 矩母函数 空间时间函
数
连续函数 模糊函数 判别函数 蠕变函数 试验函数 特殊函数 瓦尔什函数 响应函数 样本函数
复合函数
核函数 阶跃函数 矩阵函数
流函数
莫尔斯势能函数 配分函数 生成函数 数论函数 特征函数 误差函数 协方差函数 样条函数
概率分布函数 灰函数 结构函数 可测函数
麦克斯韦尔一波
尔兹曼密度函数 目标函数 权函数 时间函数 松弛函数 调和函数 相干函数 斜坡函数 隐函数
概率密度
函数
基数函数 解析函数 可微函数
模函数
逆函数
扰动函数 实变函数 随机函数 凸函数
相关函数 形函数
应力函数
函数概念梳理——王雪
1. 小学涉及函数思想的内容 1.1北师大版小学教材
北师大版教材，四年级下册，第七章《方程的认识》
北师大版教材，六年级下册，第二章《正比例和反比例》
1.2人教版小学教材
人教版教材，五年级上册，第四章《简易方程、找规律、量一量》
人教版教材，六年级上册，第七章《数学广角》
人教版教材，六年级下册，第三章《比例、自行车里的数学》第二节《正比例和反比例的意义》
1.3苏教版教材
苏教版，五年级下册，第一章《方程》 苏教版，六年级上册，第一章《方程》
苏教版，六年级下册，第五章《正比例与反比例》
综合以上三版的教材，得出这样的结论：小学阶段并未对函数做概念的界定，
只
是将函数的思考方式逐步渗透到数学课程当中，主要集中在第二学段（4-6），函数思想的集中体现在：式与方程、正比例反比例、探索规律。
小学阶段的函数可以概括如下两点：第一，探索两者之间的简单的关系，通过已知求未知；第二，探索两个量之间的变化趋势。 2. 初中涉及函数思想及函数概念相关内容 2.1北师大版教材
北师大版教材，七年级上册，第三章《字母表示数》 北师大版教材，七年级上册，第五章《一元一次方程》 北师大版教材，七年级下册，第六章《变量之间的关系》
在本章中引入“自变量”和“因变量”具体表述为：支撑物高度h 和小车下滑时间t 都在变化，他们都是自变量（variable ）, 其中t 随h 的变化而变化，h 是自变量（inpendent variable），t 是因变量（dependent variable）。 北师大版教材，八年级上册，第六章《一次函数》
在本章第一节课界定函数的概念，具体表述为：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定一个y 值，那么我们称y 是x 的一个函数（function ）其中x 是自变量，y 是因变量。
在此，一次函数和正比例函数得到定义，表述为：若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。
北师大版教材，八年级上册，第七章《二元一次方程组》
本章对于是在一元一次方程基础上的进一步深化，本章的重点在技能训练，但本章提到鸡兔同笼问题，而这类问题人教版教材却在小学六年级便提及，可见教材编写者各有用意。
北师大版教材，九年级上册，第五章《反比例函数》 反比例函数的概念表述如下：
北师大版教材，九年级下册，第二章《二次函数》
本章对二次函数概念做了界定，具体表述为：一般地，形如的函数叫做x 的二次函数（quadratic function）。值得一提的是本章建立二次函数与一元二次方程的关系，具体表述如下图所示：
我认为这一环节是联系函数与方程很重要的部分，通过这部分的教学学生会从根本上理解一元一次方程与一元一次函数的关系、联系、及区别，同时会理解一元二次函数与一元二次方程的关系、联系、及区别，本部分内容我认为在初中学习函数阶段是质的飞跃。
综合分析北师大版7—9年级数学教材，关于函数的概念涉及“自变量” “因变量”“函数”“一次函数”“正比例函数”“反比例函数”“二次函数”，定义形式包括描述型定义、决定型定义、和关系型定义，不可否认他们对函数的表述并不
完整准确，但如此定义却能被该学段的学生理解接受，如此看来此类定义尚佳。 研究中学中的函数，并不能只研究以上提及的内容，函数更多的体现的是一种联系的思想，它会渗透到中学教学的点滴之中，我之所以列举如上例子，只是想说明中学“函数的概念”这部分内容，并未对中学函数做研究。 2.2人教版教材
人教版教材，七年级上册，第三章《一元一次方程》 人教版教材，七年级下册，第八章《二元一次方程组》 人教版教材，八年级上册，第十四章《一次函数》
本章提到“变量”具体表述为：在一个变化过程中，我们数值发生变化的量为变量，有些数值始终不变，称为常量。 对于函数的概念，人教版教材做了如下表述：
对比人教版和北师大版的教材对“函数”概念的描述，可以发现很大的不同，北师大版的教材介绍了“自变量”和“因变量”，在讲述x 与y 的关系时，这样写道“给定一个x 值，相应的就有一个确定的y 值”，而人教版的表述更严密“对于每一个确定的x 值，y 都有唯一确定的值与其对应”，尽管表述不同，但具体的含义是相同的，我更倾向于北师大版的表述，它更容易理解。 人教版对“正比例函数”的概念做了如下表述：
对于“一次函数”的概念做了这样的表述：
对比人教版和北师大版对于“一次函数”的概念和“正比例函数”的概念表述基本基本相同，都同样用了决定式的方法。
在此有必要提到人教版与北师大版对于一次函数教学的理解，人教版将一次函数与不等式联系到一起，对于一次函数的理解更深一层次，对于函数图象的应用多一层面，我很赞同。
人教版教材，八年级下册，第十七章《反比例函数》 “反比例函数”的概念具体表述为：
对比两版教材，关于“反比例函数”的概念基本相同。 人教版教材，九年级上册，第十二章《一元二次方程》 人教版教材，九年级下册，第二十六章《二次函数》 本章对“二次函数”做了概念界定，具体表述如下：
3. 高中涉及函数思想及函数概念相关内容 3.1高中教材A 版涉及函数思想及函数概念
人教版A 教材，必修一，第一章《集合与函数概念》 对“函数”的概念做了如下表述：
将初中与高中“函数”概念做比较，可以发现，高中“函数”中出现一下关键词“对应关系f ”“集合A 中的每一个元素”“唯一确定”“定义域”“值域”，这些关键词使得函数概念更接近准确。
人教版A 教材，必修一，第二章《基本初等函数（Ⅰ）》 本章2.2.1《指数函数及性质》给出了“指数函数”的概念
本章2.2.1《对数与对数运算》给出了“对数函数”的概念
本章2.3《幂函数》给出“幂函数”的概念
人教版A 教材，必修一，第三章《函数与方程》 人教版A 教材，必修二，第三章《直线与方程》 人教版A 教材，必修二，第四章《圆与方程》 人教版A 教材，必修四，第一章《三角函数》
人教版A 教材，必修五，第二章《数列》
在数列中涉及的通项公式、求和公式、递推公式都涉及函数思想，在此不列举。 人教版A 教材，选修1-1, 第二章《圆锥曲线与方程》
关于椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 关于双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 人教版A 教材，选修1-1, 第三章《变化率与导数》 关于导数的概念：
一般地，函数在处的瞬时变化率是
我们称它为函数在处的导数，记作或即
当x 取值为某一区间D 时，对于D 中的任意一个x 值，都有唯一确定的导数与之对应，这便是导函数。
3.2高中教材B 版涉及的函数思想及函数概念 人教版教材B 版，必修一，第二章《函数》
对于函数做了这样的表述：设集合A 是一个非空的数集，对A 内任意数x, 按照确定的法则f ，都有唯一确定的数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作。
人教版教材B 版，必修一，第三章《基本初等函数》
关于基本初等函数中“指数函数”“对数函数”“幂函数”的概念与A 版相同。 4. 部分书籍对“函数”概念做的界定
【1】北京教育科学研究院基础教育教学研究中心编. 函数. 首都师范大学出版社,2006.06.
对比初中、高中、和大学对“函数”的定义，可以做这样的理解，初中的函数是站在关系角度来谈函数的，高中的函数是站在集合的角度来谈的，大学的函数是站在映射的角度来谈的，可见数学的学习逐步抽象。 【2】章志敏, 张素亮编著. 函数[M].科学出版社
,1985.
大学的函数可以概括如下：具体定义我会在不断学习中完善。
相
复变函数 关搜
凸函数 索
实变函数 格林函数
复变函数与积分
变换
实变函数与泛函 分析
三角函数
函数
生产函数
函数
贝尔函数类 波函数
泊松密度函数
多元函数
不连续函数
布尔函数
隐藏
布尔函数 超越函数 初等函数 递归函数 非周期函数 传递函数 点散布函数 分布函数
代数体函
数
代数体函数 单调函数 多元函数 多值函数 多元函数 风险函数 风险函数
概率密度函
数
光度函数
哈尔函数 基数函数 解析函数 可微函数 隶属函数 模函数 逆函数 扰动函数 实变函数 随机函数 凸函数 相关函数 形函数
复变函数
光学传递函数 耗散函数 集函数 矩母函数 空间时间函
数
连续函数 模糊函数 判别函数 蠕变函数 试验函数 特殊函数 瓦尔什函数 响应函数 样本函数
复合函数
核函数 阶跃函数 矩阵函数
流函数
莫尔斯势能函数 配分函数 生成函数 数论函数 特征函数 误差函数 协方差函数 样条函数
概率分布函数 灰函数 结构函数 可测函数
麦克斯韦尔一波
尔兹曼密度函数 目标函数 权函数 时间函数 松弛函数 调和函数 相干函数 斜坡函数 隐函数
概率密度
函数
基数函数 解析函数 可微函数
模函数
逆函数
扰动函数 实变函数 随机函数 凸函数
相关函数 形函数
应力函数