如何学好二次函数
《二次函数》是九年级数学中考必考的重点章节，是同学们较为难学的内容之一。它里面涉及了五大学习目标：①会求函数解析式；②会作函数图像；③会说图像性质；④会平移图像；⑤会把一般式配方成顶点式，更涉及了许多思想方法。为了能更好的帮助同学们学好二次函数，本文从以下几方面探讨如何学好二次函数。
一、理解二次函数的内涵及本质
二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 是常数）中含有两个变量x 、y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形. 特别地，若图像上某一点的横坐标为m （字母），那纵坐标可表示成 am 2+bm+c。
二、熟悉几个特殊型二次函数的图像及性质
1. 通过描点，观察y=ax2、y=ax2＋k 、y=a（x ＋h ）2图像的形状及位置，熟悉各自图像的基本特征. 反之，根据图像的特征能迅速判定它是哪一种解析式.
2. 理解图像的平移口诀“括号内加减左右移，括号外加减上下移”. y=ax2→y=a（x ＋h ）2＋k “括号外加减上下移”是针对k 而言的，“括号内加减左右移”是针对h 而言的。
总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同. 由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移. 平移时要区分清楚是在括号内加减，还是在括号外加减。
3. 通过描点画图、图像平移，理解并明确解析式的特征与图像的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中构画出它的图像的基本特征，这才真正意义上做到数形结合。
4. 在熟悉函数图像的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图像来判别二次函数的系数a 、b 、c 、△以及由系数组成的代数式的符号等。在遇到比较复杂的代数式的符号判断时，可采用特殊值法处理。
三、要充分利用抛物线 “顶点”的作用
1. 要能准确灵活地求出“顶点 ” .形如y=a（x ＋h ）2＋k →顶点（－h,k ），对于其他形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点。
2. 理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系. 若顶点为（－h ，k ），则对称轴为x =－h ，y 最大（小）= k；反之，若对称轴为x =m，y 最值=n，则顶点为（m ，n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果。不过这里求函数最值时，有时要考虑自变量的取值范围。
3. 利用顶点画草图. 在大多数情况下，我们可以根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图像（即草图），能帮助我们分析、解决问题就行了。
四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法
一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 .如果方程无实数根，则说明抛物线与x 轴无交点。
从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程. 联系方程的根的判别式，利用根的判别式的值来判定抛物线与x 轴的交点个数 。
五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如已知三个一般条件，可将函数关系式设为一般式；如已知顶点的任何一个坐标，可将函数关系式设为顶点式；如已知两交点坐标，可将函数关系式设为交点式；如顶点在坐标轴或原点时，可将函数关系式设为特殊式等。如能综合利用二次函数的图像与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益。
作者：蔡风山
多做联系, 多联想, 通过联系掌握知识点.
记住二次函数的三种表示形式,
y=ax²+bx+c //一般式
y=a(x+b)²+c //顶点式
y=a(x-b)(x-c) //交点式
不同的表示形式适合不同的场合, 多看看课本上对三种表示形式的解释以及推倒过程.
三种表示形式可以相互转化. 了解各种表示形式的特点以及长处. 比如说定点坐标 与坐标轴的交点, 对称轴等等.
单纯的二次函数在初中阶段掌握这些就差不多了, 关键是与其它的知识点的结合.
1首先是与一元二次方程的结合
求与x 轴的交点就是解一元二次方程的过程
其次判断二次函数与x 轴是否有交点, 有几个交点, 是与判别式Δ=b²-4ac(一般式中的a,b,c) 有关
三种情况Δ>0两个交点;Δ=0,一个交点;Δ
还有对于韦达定理的运用
2 与三角形有关只是的结合, 包括三角函数, 这个牵扯的内容太多, 不细说了 三角形的全等, 相似,RT △的特殊性, 三角函数公式(初中公式不多, 就两个), 3 与圆的结合
圆是初中几何中的重要内容, 基础一定要扎实.
4 与一次函数的结合
二次函数与一次函数求交点的过程是解一元二次方程的过程, 这里还涉及二元一次方程的知识.
大概也就这些内容. 没有什么难点. 难的话或许就是这些知识互相结合. 这样的话, 牵扯的知识几乎可以涵盖整个初中的所有数学内容了.
一句话, 多做多练多想, 务求速成, 日久自然见长.
shuaihaizi007 ∙ 小学二年级 ∙ 1 楼
二次函数
I. 定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0）
则称y 为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II. 二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III. 二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。
IV. 抛物线的性质
1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
2. 抛物线有一个顶点P ，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b²)/4a ]。
当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P 在x 轴上。
3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；
当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）
6. 抛物线与x 轴交点个数
Δ= b²-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b²-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
V. 二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），
即ax²+bx+c=0
此时，函数图象与x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
学理科东西学会求本质 做类推
二次函数都是抛物线函数（它的函数轨迹就像平推出去一个球的运动轨迹，当然这个不重要） 因此 把握它的函数图像就能把握二次函数
在函数图像中 注意几点（标准式y=ax^2+bx+c，且a 不等于0) ：
1、开口方向与二次项系数a 有关 正 则开口向上 反之反是。
2、必有一个极值点，也是最值点。如果开口向上，很容易想象这个极值点应该是最小点 反之反是。且极值点的横坐标为-b/2a。极值点很容易出应用题。
3、不一定和x 轴有交点。当根的判定式Δ=b^2-4ac
ax^2+bx+c=0这个方程式“没有实数解”（不能说没有解！具体你上高中就知道了）如果
Δ=0 那么正好有一个交点，也就是我们说的x 轴与函数图像向切。对应的方程有唯一实数解。Δ>0时，有两个交点，对应方程有2个实数解。
4、不等式。如果你把上面3点搞清楚了 参考函数图像 不等式你就一定会解了。 2011-11-16 09:38:52
如何学好二次函数
平度市万家镇万家中学 楚日峰 2010年8月3日 08:52
如何学好二次函数 二次函数是学习了一次函数，反比例函数之后遇到的又一重要函数，二次函数是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究，将为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验。如何学好二次函数？下面谈几点看法：
一、掌握二次函数的三种形式：1、一般式 y=ax2+bx+c 2、顶点式：y=a(x-h)2 +k
3、交点式y=a(x-x1)(x-x2)
二、掌握以上这三种形式，能写出这种三种形式下图像的性质如开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、函数的变化性，并理解三种解析式中各个字母的意义。 三、能写出以上这三种形式下它们与坐标轴的交点。即分别是在x 为0，和y 为0时对应的值。求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 。
四、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式
1、已知三点或两点求解析式，设一般式。2、已知顶点和另外一点，设顶点式。已知和x 轴的两个交点及另外一点设交点式。
五、就是函数的应用。关于函数的应用主要是两点，一是用来求最值，这需要先求出函数解析式，再利用公式或顶点式来求最值。但须注意在解决实际问题时的特殊情况。如最值是否有实际意义。是否在取值范围之内。二是函数和方程、不
等式的结合，与方程就是已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值。与不等式要结合图像解决。 六、理解图象的平移口诀“上加下减，左加右减” .
y=ax2 → y=a （ x - h ） 2 ＋ k “上加下减”是针对 k 而言的，“左加右减”是针对 h 而言的 .
七、抛物线y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）的性质（1）. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P ， 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
（2）. 抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b²)/4a ]。 当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P 在x 轴上。
（3）. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小
当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口； |a|越大，则抛物线的开口越小。
（4）. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左边；
当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右边。
（5）. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点 抛物线与y 轴交于（0，c ）
与y 轴的正半轴相交 c>0；与y 轴的负半轴相交 c
4、 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a + b + c 的符号：
当x = 1 时表示 抛物线上横坐标为1的点的纵坐标 点在x 轴上方 a + b + c > 0
点在x 轴下方 a + b + c
点在x 轴上 a + b + c = 0
(2)a - b + c 的符号：
由 x = - 1 时抛物线上的点的位置确定
点在x 轴上方 a – b + c > 0
点在x 轴下方 a – b + c
点在x 轴上 a – b + c = 0
5、. 抛物线与x 轴交点个数
Δ= b²-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b²-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
如果y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么AB=|x1-x2|
6、抛物线y=ax2+bx+c在x 轴上下方的条件是什么？
（1）抛物线y=ax2+bx+c在x 轴上方的条件是什么？
a ＞ 0 , b2 - 4ac ＜ 0
变式：不论x 取何值时，函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的值永远是正值的条件是什么？
（2）抛物线y=ax2+bx+c在x 轴下方的条件是什么？
a
变式：不论x 取何值时，函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的值永远是负值的条件是什么？
如何学好二次函数
《二次函数》是九年级数学中考必考的重点章节，是同学们较为难学的内容之一。它里面涉及了五大学习目标：①会求函数解析式；②会作函数图像；③会说图像性质；④会平移图像；⑤会把一般式配方成顶点式，更涉及了许多思想方法。为了能更好的帮助同学们学好二次函数，本文从以下几方面探讨如何学好二次函数。
一、理解二次函数的内涵及本质
二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 是常数）中含有两个变量x 、y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形. 特别地，若图像上某一点的横坐标为m （字母），那纵坐标可表示成 am 2+bm+c。
二、熟悉几个特殊型二次函数的图像及性质
1. 通过描点，观察y=ax2、y=ax2＋k 、y=a（x ＋h ）2图像的形状及位置，熟悉各自图像的基本特征. 反之，根据图像的特征能迅速判定它是哪一种解析式.
2. 理解图像的平移口诀“括号内加减左右移，括号外加减上下移”. y=ax2→y=a（x ＋h ）2＋k “括号外加减上下移”是针对k 而言的，“括号内加减左右移”是针对h 而言的。
总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同. 由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移. 平移时要区分清楚是在括号内加减，还是在括号外加减。
3. 通过描点画图、图像平移，理解并明确解析式的特征与图像的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中构画出它的图像的基本特征，这才真正意义上做到数形结合。
4. 在熟悉函数图像的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图像来判别二次函数的系数a 、b 、c 、△以及由系数组成的代数式的符号等。在遇到比较复杂的代数式的符号判断时，可采用特殊值法处理。
三、要充分利用抛物线 “顶点”的作用
1. 要能准确灵活地求出“顶点 ” .形如y=a（x ＋h ）2＋k →顶点（－h,k ），对于其他形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点。
2. 理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系. 若顶点为（－h ，k ），则对称轴为x =－h ，y 最大（小）= k；反之，若对称轴为x =m，y 最值=n，则顶点为（m ，n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果。不过这里求函数最值时，有时要考虑自变量的取值范围。
3. 利用顶点画草图. 在大多数情况下，我们可以根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图像（即草图），能帮助我们分析、解决问题就行了。
四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法
一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 .如果方程无实数根，则说明抛物线与x 轴无交点。
从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程. 联系方程的根的判别式，利用根的判别式的值来判定抛物线与x 轴的交点个数 。
五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如已知三个一般条件，可将函数关系式设为一般式；如已知顶点的任何一个坐标，可将函数关系式设为顶点式；如已知两交点坐标，可将函数关系式设为交点式；如顶点在坐标轴或原点时，可将函数关系式设为特殊式等。如能综合利用二次函数的图像与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益。
作者：蔡风山
多做联系, 多联想, 通过联系掌握知识点.
记住二次函数的三种表示形式,
y=ax²+bx+c //一般式
y=a(x+b)²+c //顶点式
y=a(x-b)(x-c) //交点式
不同的表示形式适合不同的场合, 多看看课本上对三种表示形式的解释以及推倒过程.
三种表示形式可以相互转化. 了解各种表示形式的特点以及长处. 比如说定点坐标 与坐标轴的交点, 对称轴等等.
单纯的二次函数在初中阶段掌握这些就差不多了, 关键是与其它的知识点的结合.
1首先是与一元二次方程的结合
求与x 轴的交点就是解一元二次方程的过程
其次判断二次函数与x 轴是否有交点, 有几个交点, 是与判别式Δ=b²-4ac(一般式中的a,b,c) 有关
三种情况Δ>0两个交点;Δ=0,一个交点;Δ
还有对于韦达定理的运用
2 与三角形有关只是的结合, 包括三角函数, 这个牵扯的内容太多, 不细说了 三角形的全等, 相似,RT △的特殊性, 三角函数公式(初中公式不多, 就两个), 3 与圆的结合
圆是初中几何中的重要内容, 基础一定要扎实.
4 与一次函数的结合
二次函数与一次函数求交点的过程是解一元二次方程的过程, 这里还涉及二元一次方程的知识.
大概也就这些内容. 没有什么难点. 难的话或许就是这些知识互相结合. 这样的话, 牵扯的知识几乎可以涵盖整个初中的所有数学内容了.
一句话, 多做多练多想, 务求速成, 日久自然见长.
shuaihaizi007 ∙ 小学二年级 ∙ 1 楼
二次函数
I. 定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0）
则称y 为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II. 二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III. 二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。
IV. 抛物线的性质
1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
2. 抛物线有一个顶点P ，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b²)/4a ]。
当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P 在x 轴上。
3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；
当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）
6. 抛物线与x 轴交点个数
Δ= b²-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b²-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
V. 二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），
即ax²+bx+c=0
此时，函数图象与x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
学理科东西学会求本质 做类推
二次函数都是抛物线函数（它的函数轨迹就像平推出去一个球的运动轨迹，当然这个不重要） 因此 把握它的函数图像就能把握二次函数
在函数图像中 注意几点（标准式y=ax^2+bx+c，且a 不等于0) ：
1、开口方向与二次项系数a 有关 正 则开口向上 反之反是。
2、必有一个极值点，也是最值点。如果开口向上，很容易想象这个极值点应该是最小点 反之反是。且极值点的横坐标为-b/2a。极值点很容易出应用题。
3、不一定和x 轴有交点。当根的判定式Δ=b^2-4ac
ax^2+bx+c=0这个方程式“没有实数解”（不能说没有解！具体你上高中就知道了）如果
Δ=0 那么正好有一个交点，也就是我们说的x 轴与函数图像向切。对应的方程有唯一实数解。Δ>0时，有两个交点，对应方程有2个实数解。
4、不等式。如果你把上面3点搞清楚了 参考函数图像 不等式你就一定会解了。 2011-11-16 09:38:52
如何学好二次函数
平度市万家镇万家中学 楚日峰 2010年8月3日 08:52
如何学好二次函数 二次函数是学习了一次函数，反比例函数之后遇到的又一重要函数，二次函数是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究，将为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验。如何学好二次函数？下面谈几点看法：
一、掌握二次函数的三种形式：1、一般式 y=ax2+bx+c 2、顶点式：y=a(x-h)2 +k
3、交点式y=a(x-x1)(x-x2)
二、掌握以上这三种形式，能写出这种三种形式下图像的性质如开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、函数的变化性，并理解三种解析式中各个字母的意义。 三、能写出以上这三种形式下它们与坐标轴的交点。即分别是在x 为0，和y 为0时对应的值。求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 。
四、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式
1、已知三点或两点求解析式，设一般式。2、已知顶点和另外一点，设顶点式。已知和x 轴的两个交点及另外一点设交点式。
五、就是函数的应用。关于函数的应用主要是两点，一是用来求最值，这需要先求出函数解析式，再利用公式或顶点式来求最值。但须注意在解决实际问题时的特殊情况。如最值是否有实际意义。是否在取值范围之内。二是函数和方程、不
等式的结合，与方程就是已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值。与不等式要结合图像解决。 六、理解图象的平移口诀“上加下减，左加右减” .
y=ax2 → y=a （ x - h ） 2 ＋ k “上加下减”是针对 k 而言的，“左加右减”是针对 h 而言的 .
七、抛物线y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）的性质（1）. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P ， 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
（2）. 抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b²)/4a ]。 当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P 在x 轴上。
（3）. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小
当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口； |a|越大，则抛物线的开口越小。
（4）. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左边；
当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右边。
（5）. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点 抛物线与y 轴交于（0，c ）
与y 轴的正半轴相交 c>0；与y 轴的负半轴相交 c
4、 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a + b + c 的符号：
当x = 1 时表示 抛物线上横坐标为1的点的纵坐标 点在x 轴上方 a + b + c > 0
点在x 轴下方 a + b + c
点在x 轴上 a + b + c = 0
(2)a - b + c 的符号：
由 x = - 1 时抛物线上的点的位置确定
点在x 轴上方 a – b + c > 0
点在x 轴下方 a – b + c
点在x 轴上 a – b + c = 0
5、. 抛物线与x 轴交点个数
Δ= b²-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b²-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
如果y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么AB=|x1-x2|
6、抛物线y=ax2+bx+c在x 轴上下方的条件是什么？
（1）抛物线y=ax2+bx+c在x 轴上方的条件是什么？
a ＞ 0 , b2 - 4ac ＜ 0
变式：不论x 取何值时，函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的值永远是正值的条件是什么？
（2）抛物线y=ax2+bx+c在x 轴下方的条件是什么？
a
变式：不论x 取何值时，函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的值永远是负值的条件是什么？