3.证明：如果向量组α1, α2, , αr 线性无关，而α1, α2, , αr , β线性相关，则向量可由
α1, α2, , αr 线性表出. 证 由题设，可以找到不全为零的数k 1, k 2, , k r +1使
k 1α1+k 2α2+ +k r αr +k r +1β=0，显然k r +1≠0. 事实上，若k r +1=0，而k 1, k 2, , k r 不全为
零，使k 1α1+k 2α2+ +k r αr =0成立，这与α1, α2, , αr 线性无关的假设矛盾，即证k r +1≠0.
r
故β=-
∑
i =1
k i k r +1
i ，即向量β可由α1, α2, , αr 线性表出。
4. αi =(αi 1, αi 2, , αin )(i =1, 2, , n ) ，证明：如果ij ≠0，那么α1, α2, , αn 线性无关。证 设
⎧α11k 1+α21k 2+ +αn 1k n =0
⎪
⎪α12k 1+α22k 2+ +αn 2k n =0
有线性关系k 1α1+k 2α2+ +k n αn =0，代入分量，可得方程组⎨
⎪ ⎪αk +αk + +αk =0
2n 2nn n ⎩1n 1
由于ij ≠0，故齐次线性方程组只有零解，从而α1, α2, , αn 线性无关。 5. 设t 1, t 2, , t r 是互不相同的数，r ≤n . 证明：αi =(1,t i , , t i
n -1
)(i =1, 2, , r ) 是线性无关的。证
⎧k 1+k 2+ +k r =0
⎪
⎪t 1k 1+t 2k 2+ +t r k r =0
设有线性关系k 1α1+k 2α2+ +k r αr =0，则⎨，1）当r =n 时，
⎪
⎪t n -1k +t n -1k + +t n -1k =0⎩1122r r
方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即
1t 1t 1t 1
2
1t 2t 2 t 2
n -12
1t n t n t n
n -12
=
∏(t
i
j
-t i ) ≠0，所以方程组有惟一的零解，这就是说α1, α2, , αr 线性
n -1
⎧β1=(1,t 1, t 12, , t 1r -1)
⎪2r -1⎪β2=(1,t 2, t 2, , t 2)
无关。2）当r
⎪ ⎪β=(1,t , t 2, , t r -1) ⎩r r r r
而α1, α2, , αr 是β1, β2, , βr 延长的向量，所以α1, α2, , αr 也线性无关。
6. 设α1, α2, α3线性无关，证明α1+α2, α2+α3, α3+α1也线性无关。证 设由线性关系
k 1(α1+α2) +k 2(α2+α3) +k 3(α3+α1) =0，则(k 1+k 3) α1+(k 1+k 2) α+(k 2+k ) 3α=023
。
⎧k 1+k 3=0
⎪
再由题设知α1, α2, α3线性无关，所以⎨k 1+k 2=0，解得k 1=k 2=k 3=0，所以
⎪k +k =0
3⎩2
线性无关。 α1+α2, α+α, α+α233
7. 已知α1, α2, , αs 的秩为r ，证明：α1, α2, , αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组. 证 设αi 1, αi 2, , αir 是α1, α2, , αs 中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一
, s , 都可由αi 1, αi 2, , αir 线性表出就可以了。事实上，向量组个向量αj (j =1, 2
αi 1, αi 2, , αir , αj 是线性相关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾. 这说明αj 可由αi 1, αi 2, , αir 线
性表出，再由αj 的任意性，即证。
8. 设α1, α2, , αs 的秩为r ，αi , αi , , αi 是α1, α2, , αs 中的r 个向量，使得α1, α2, , αs 中
1
2
r
每个向量都可被它们线性表出，证明：αi 1, αi 2, , αi r 是α1, α2, , αs 的一个极大线性无关组。证 由题设知αi 1, αi 2, , αi r 与α1, α2, , αs 等价，所以αi 1, αi 2, , αi r 的秩与α1, α2, , αs 的秩相等，且等于r . 又因为αi 1, αi 2, , αi r 线性无关，故而αi 1, αi 2, , αi r 是α1, α2, , αs 的一个极大线性无关组。
9. 证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示。若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组. 否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量α不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将α添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的。进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出. 若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）。继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组。
10. 设向量组为α1=(1,-1, 2, 4) ，α2=(0,3,1, 2) ，α3=(3,0, 7,14) ，α4=(1,-1, 2, 0) ，
α5=(2,1,5, 6) 。证明：α1, α2线性无关。把α1, α2扩充成一极大线性无关组。证 1）由于α1, α2的
对应分量不成比例，因而α1, α2线性无关。2）因为α3=3α1+α2，且由k 1α1+k 2α2+k 4α4=0， 可解得k 1=k 2=k 4=0，所以α1, α2, α4线性无关。再令k 1α1+k 2α2+k 4α4+k 5α5=0，代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即
α1, α2, α4, α5线性相关，所以α5可由α1, α2, α4线性表出。这意味着α1, α2, α4就是原向量组的一个
极大线性无关组。 注 此题也可将α1, α2, α4, α5排成5⨯4的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。
12. 证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。证 由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩。
13. 设α1, α2, , αn 是一组维向量，已知单位向量ε1, ε2, , εn 可被它们线性表出，证明：
α1, α2, , αn 线性无关。证 设α1, α2, , αn 的秩为r ≤n ，而ε1, ε2, , εn 的秩为n 。
由题设及上题结果知n ≤r ，从而r =n ，故α1, α2, , αn 线性无关。
14. 设α1, α2, , αn 是一组n 维向量，证明：α1, α2, , αn 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出。证 必要性. 设α1, α2, , αn 线性无关，但是n +1个n 维向量
α1, α2, , αn , β必线性相关，于是对任意n 维向量β，它必可由α1, α2, , αn 线性表出。充分性 任
意n 维向量可由α1, α2, , αn 线性表出，特别单位向量ε1, ε2, , εn 可由α1, α2, , αn 线性表出，于是由上题结果，即证α1, α2, , αn 线性无关。
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
15. 证明：方程组⎨对任何b 1, b 2, , b n 都有解的充分必要条件是系数
⎪ ⎪a x +a x + +a x =b
n 22nn n n ⎩n 11
行列式
a ij ≠0。证 充分性. 由克拉默来姆法则即证。下证必要性. 记
αi =(α1i , α2i , , αni ) (i =1, 2, , n ) β=(b 1, b 2, , b n )
，则原方程组可表示为β=x 1α1+x 2α2+ +x n αn ，
由题设知，任意向量β都可由线性α1, α2, , αn 表出，因此由上题结果可知α1, α2, , αn 线
性无关。进而，下述线性关系k 1α2+k 2α2+ +k n αn =0，仅有惟一零解，故必须有A =a ij ≠0，即证。
16. 已知α1, α2, , αr
与α1, α2, , αr , αr +1, , αs
有相同的秩，证明：与
α1, α2, , αr , αr +1, , αs 等价。证 由于α1, α2, , αr 与α1, α2, , αr , αr +1, , αs 有相同的秩，
因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等. 这样α1, α2, , αr 的极大线性无关组也必为
α1, α2, , αr , αr +1, , αs 的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组。另一方面，因为它
们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。
17. 设β1=α2+α3+ +αr , β2=α1+α3+ +αr , , βr =α1+α2+ +αr -1，证明：
β1, β2, , βr 与α1, α2, , αr 具有相同的秩。证 只要证明两向量组等价即可. 由题设，知β1, β2, , βr 可由α1, α2, , αr 线性表出。现在把这些等式统统加起来，可得
1r -1
(β1+β2+ +βr ) =α1+α2+ +αr ，于是 1r -1
αi =β1+
1r -1
β2+ +(
1r -1
-1) βi + +
1r -1
βr ，(i =1, 2, , r )
即证α1, α2, , αr 也可由β1, β2, , βr 线性表出，从而向量组β1, β2, , βr 与α1, α2, , αr 等价。
⎧x 1-x 2
⎪
x -x 3⎪2⎪
23. 设⎨x 3-x 4
⎪x -x
5
⎪4⎪⎩x 5-x 1
=a 1=a 2=a 4=a 5
⎡1
a 1⎤⎢
0⎥⎢a 2
⎥⎢0a 3⎥→⎢⎥⎢0a 4⎥
⎢⎥a 5⎦⎢0
⎢⎣
-11000
0-1100
00-110
000-10
a 1⎤
⎥a 2
⎥a 3⎥
⎥此时A 的秩为4，A 的a 4⎥5⎥∑a i ⎥
⎥i =1⎦
5
i
5
=a 3证明：此方程组有解的充分必要条件为∑a i =0，在有解的情形，求出它的
i =1
一般解。证 对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
⎡1
⎢0⎢A =⎢0
⎢⎢0⎢-1⎣
-11000
0-1100
00-110
5
000-11
秩为4的充分必要条件是
∑a
i =1
=0，因此，原方程组有解的充分必要条件是∑a i =0。其次，当
i =1
5
∑
i =1
⎧x 1-x 2⎪
⎪x 2-x 3
a i =0时，原方程组与方程组与⎨
⎪x 3-x 4⎪x -x
5⎩4=a 1+x 2+a 3a 4+k =a 2+a 3+a 4+k =a 3+a 4+k =a 4+k =k
=a 1=a 2=a 3=a 4
，同解，所以它的一般解为
⎧x 1
⎪x ⎪2⎪⎨x 3⎪x ⎪4⎪⎩x 5
，其中k 为任意常数。
24. 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设η1, η2, , ηr 是齐次线性方程组的一个基础解系，且a 1, a 2, , a r 与它等价，则
a i (i =1, 2, , r ) 可由η1, η2, , ηr 线性表出，从而a i (i =1, 2, , r ) 也是原齐次线性方程组的解。又
由题设知a 1, a 2, , a r 线性无关，且η1, η2, , ηr 可由a 1, a 2, , a r 线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解β也都可以由a 1, a 2, , a r 线性表出，即证a 1, a 2, , a r 也是方程组的一个基础解系。
⎧α11x 1+α21x 2+ +αn 1x n =0⎪
⎪α12x 1+α22x 2+ +αn 2x n =0
25. 设齐次方程组⎨，的系数矩阵的秩为r ，证明：方程组的任意n -r
⎪ ⎪αx +αx + +αx =0
2n 2nn n ⎩1n 1
个线性无关的解都是它的一个基础解系。证 由于方程组的系数矩阵的秩为r ，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为n -r 。设η1, η2, , ηn -r 是方程组的一个基础解系，ε1, ε2, , εn -r 是方程组的任意n -r 个线性无关的解向量，则向量组η1, η2, , ηn -r , ε1, ε2, , εn -r ，的秩仍为n -r ，且
η1, η2, , ηn -r 是它的一个极大线性无关组，同理ε1, ε2, , εn -r 也是它的一个极大线性无关组，所以η1, η2, , ηn -r 与ε1, ε2, , εn -r 等价，再由上题即证。
26. 证明：如果η1, η2, , ηt 是一线性方程组的解，那么u 1η1+u 2η2+ +u t ηt ，（其中
u 1+u 2+ +u t =1）也是一个解。
αi x + 证 设线性方程组为αi 1x +122+αi x n
程
t
(n =b 1i i , =2,
的
由, m 题) 设，，
现
将
ηj =(x 1, x 2, , x n )(j =1, 2, , t )
t
t
(k
k
(j ) j () j ()
是该方组t 个解
u 1η+1
代
t
u η2 +
入
2t
+u t η(∑=
k =1
u , ∑x 1
k =1
)
, u
程
k (
k
)
, x ∑
2k =1
组
k
k
n
) u x
，
得
(k )
方
t
t
(k ) 2
t
(k ) n
a i 1(∑u k x
k =1t
(k ) 1
) +a i 2(∑u k x
k =1
t
) + +a in (∑u k x
k =1
) =
∑u
k =1
k
(a i 1x 1
(k )
+a i 2x 2
(k )
+ +a in x n )
=
∑u
k =1
k
所以u 1η1+u 2η2+ +u t ηt 仍是方程组的一个解，即证。 b i =b i ∑u k =b i (i =1, 2, , m ) ，
k =1
27. 多项式2x -3x +λx +2与x +λx -3x -1在λ取什么值时有公共根？解 因为f (x ) 与
3242
g (x ) 的结式为
200
R (f , g ) =0
100
-3200010
λ
-320
202
002
000200-1
=(λ+3)(-λ+4λ+28λ+157)
3
2
λ
-32-3
λ
-3-1-3
λ
0-1-3
，故当
λ
01
λ
λ
λ=-3时，有R (f , g ) =(λ+3)(-λ3+4λ2+28λ+157) =0，从而f (x ) 与g (x ) 有公共根。
此外，由R (f , g ) =0还可求得λ的3个根，它们皆可使f (x ) 与g (x ) 有公共根。
8. 如果A B =
B , A A =C ，A 证明：A (B +C ) =(B +C ) A , (B C ) =(B C ) 。C A A 证
A (B +C ) =AB +AC =BA +CA =(B +C ) A ，
A (BC ) =(AB ) C =(BA ) C =B (AC ) =B (CA ) =(BC ) A 。
9. 如果A =
12
(B +E ) ，证明：A 2=A 当且仅当B 2=E 。证 充分性. 若B 2=E ，因为
2
A =[
2
12
(B +E )]=
14
14
(B +2B +E ) =
12
2
14
(2B +2E ) =14
14
12
2
(B +E ) =A ，所以A =A 。必要性.
若A =A ，则
2
(2B +2E ) =(B +E )
，
即B +
2
E =
12
E
，
即证B =E 。
2
10. 矩阵称A 为对称的，如果A =A '. 证明：如果A 是实对称矩阵，且A =0，那么A =0证 设
2
⎛a 11
a 12
A =
a ⎝n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎫
⎪a 2n
⎪则 ⎪⎪a nn ⎪⎭，
*
a 12+a 22+ +a 2n
*
22
2
2
222
⎛a 11+a 12+ +a 1n
*2
A =
*⎝
2
2
**
a 1n +a 2n + +a nn
，
因而必有
2
⎫
⎪
2⎪由A =0有
⎪⎪⎪⎭。
a 1i +a 2i + +a ii +a i , i +1+ +a in =0(i =1, 2, , n ) a 1i +a 2i + +a ii +a i , i +1+ +a in =0(i =1, 2, , n )
2222
，
即证。
11. 设A , B 都是n ⨯n 对称矩阵，证明：A B 也对称当且仅当A , B 可交换。证 当AB =BA 时，有
AB =A 'B '=(BA ) '=(AB ) '，所以A B 是对称矩阵。反之，当AB =(AB ) '时，有 AB =(AB ) '=B 'A '=BA 。
12. 矩阵A 称为反对称的，如果A '=-A ，证明：任一n ⨯n 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。证设A 是任一n ⨯n 矩阵，因为A =
12
A +
12
A +
12
A '-
12
A '=
12
(A +A ') +
12
(A -A ')
，
且
12
(A +A ') 是对称矩阵，
k
k
12
(A -A ') 是反对称矩阵，所以结论成立。
k
13. 设s k =x 1+x 2+ +x n (k =0,1, 2 ) a ij =s i +j -2(i , j =1, 2, n ) . 证明：证 由题设知
s 0
a ij =
s 1 s n -11=
x 1 x 1
n -1
s 1s 2 s n 1x 2 x 2
n -1
s n -1s n s 2n -21
x 1x 2 x n
n
=x 1
x 1+ +x n
n -1
x 1+ +x n x 1+ +x n
n -1
n 2
2
x 1
n -1n
+ +x n
n -1n
x 1+ +x n x 1
2n -2
+ +x n x 1+ +x n
n
+ +x n
2n -n
x 1
n -1n -1
x n x n
n -1
x 2x n
n -1
=
∏
i
(x j -x i ) ∏(x j -x i ) =
i
∏
i
(x i -x j ) 。
2
14. 设A 是n ⨯n 矩阵，证明：存在一个n ⨯n 非零矩阵B 使A B =0的充分必要条件是A =0。证 充分性. 若A =0，则齐次方程组A X =0有非零解X =(b 1, b 2, , b n ) '
，
⎛b 1 b 2
只要取B =
b ⎝n
00 0
0⎫⎪0
⎪≠0即可。必要性. 设B =(B , B , , B ) ≠0，使A B =0，这里
12n
⎪⎪0⎪⎭
。
B 1, B 2, , B n 是B 的列向量。不失一般性，设B 1≠0，则由A B =0，得(AB 1, AB 2, , AB n ) =0
因此，AB 1=0，即A X =0有非零解，从而A =0
。
15. 设A 是n ⨯n 矩阵，如果对任一n 维向量X =(x 1, x 2, , x n ) '都有A X =0，那么A =0。证 证法1 由题设知，n 维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组A X =0的解，故方程组的基础解系含有n 个线性无关的解向量，所以rank (A ) =0，即证A =0。
16设B 为一r ⨯r 矩阵，C 为r ⨯n 矩阵，且rank (C ) =r . 证明：如果B C =0，那么B =0；如果
B C =C ，那么B =E 。证 1）若B C =0，设B =(b ij ) r ⨯r ，C =(c ij ) r ⨯n ，因rank (C ) =r ，不
c 11
失
一
般
性
，
可
设
12
c 1r ≠0c rr
。
由
c r 1
B C =0，得
c 1+b +2c =0b ⎧b i 1+1i 2i 1r
⎪
+c 1+b +2c =0b ⎪b i 12i 2i 2r
⎨
⎪ (i =⎪b c +b c + +b c =0
1r i 22r i ⎩i 1
r r
c c
1 r ,
r
因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有
2, , )
r r
惟一零解，即b i 1=b i 2= =b ir =0(i =1, 2, r )
，
因而B =0。若B C =C ，则
BC -EC =(B -E ) C =0，由1）知B -E =0，因此B =E 。
17. 证明：r a (n k +
A ) ≤B (r a +) n k
=(A 1, A 2, , A n ) ，A (证r a n 设k A B 。
。
B =(B 1, B 2, , B n ) ，则(A +B ) =A (1+B 1A , +B , A n +, B n
22
) 若A i , A i , , A i 与
12r
11
1
则有B j 1, B j 2, , B j r 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，
2
A t =k t 1A i 1+k t 2A i 2+ +k t r A i r B t =l t 1B j 1+l t 2B j 2+ +l t r B j r
2
2
(t =1, 2, , n )
于是A t +B t =k t A i + +k t A i +l t B j + +l t B j
1
1
r 1
r 1
1
1
r 2
r 2
即A +B 的列向量组可(i , j =1, 2, , n ) ，
。。
由A i , , A i , B j , , B j 线性表出，故rank (A +B ) ≤rank (A ) +rank (B )
1
r 1
1
r 2
18. 设A , B 为n ⨯n 矩阵，证明：如果A B =0，那么rank (A ) +rank (B ) ≤n 组为B 1, B 2, , B n ，则AB =A (B 1, B 2, , B n ) =(AB 1, AB 2, , AB n ) =0故有AB 1=AB 2= =AB n =0
证 设B 的列向量
，
。
即方程组A X =0有n 组解B 1, B 2, , B n 。若rank (A ) =r ，
则B 1, B 2, , B n 可由n -r 个线性无关的解向量线性表出，于是rank (B ) =n -r 。因此
r a n (k A ) +
19.
证
明
2
r a n (k ) ≤B +r (-n ) =r 。 n
：
如
果
k -1
A =0
k
，那么
2
(E -A )
-1
=E +A +A + +A
2k -
。
证
(E +A +A + +A
2
)(E -A ) =E +A +A + +A
2
k -1
k -1
-A -A - -A
2k
=E +(A -A ) +(A -A ) + +(A -A
k -1
) -A =E 。即证
k
24. 证明：1）如果A 可逆对称（反对称），那么A 阵。证 1)若A =A '，则A
-1
-1
也对称（反对称）；2）不存在奇数阶的可逆反对称矩
=(A ')
-1
-1
=(A ) '。2）由A =-A '，知
A =(-1) A '=(-1) A
n n
，
所以当n 为奇数时，有A =-A ⇒A =0
，
故A 不可逆。
25. 矩阵A =(a ij ) 称为上（下）三角矩阵，如果当i >j (i
⎛a 11 A =
⎝
a 12a 22
a 1n ⎫⎛b 11
⎪ a 2n
⎪，B =
⎪
⎪ a nn ⎪⎭⎝
b 12b 22
b 1n ⎫⎛c 11
⎪ b 2n c
⎪，假定AB = 21
⎪
⎪ c b nn ⎪⎭⎝n 1
c 12c 22 c n 2
c 1n ⎫
⎪c 2n
⎪ ⎪⎪c nn ⎪⎭，
其中c ij =a i 1b 1j + +a i , i -1b i -1, j +a ii b ij +a i , i +1b i +1, j + +b in b nj 当i >j 时a ij =b ij =0，显然c ij
，中各项均有因子为零，故c ij =0，所以A B 是上三角矩阵。对于A , B 是下三角阵情形同法可证。
⎛a 11
2）令A =
⎝
a ⎛b 111n ⎫
⎪
，设B =
⎪
b ⎪a nn ⎭⎝n 1
b 12 b n 2
1
b n ⎫
⎪
是A 的逆，即AB =E ，比较E 和A B ⎪b nn ⎪⎭
⎧1=a 11b 11+a 12b 21+ +a 1n b n 1
⎪
⎪0=a 22b 21+ +a 2n b n 1⎪
的第一列元素，有⎨
⎪0=a b + +a n -1, n b n 1
n -1, n -1n -1,1
⎪⎪⎩0=a nn b n 1
因而得b n 1=b n -1,1= =b 21=0阵的情形同理可证。 26. 证明：A
*
因为A ≠0，a 11≠0, a 22≠0, , a nn =0，
，
。
同理可得：当i >j 时b jj =0，因而B 是上三角阵。A 是下三角
=A
n -1
，其中A 是n ⨯n 矩阵(n >2) 。证 因为AA
*
=A ， AA =A A ，
n
**
所以当A ≠0时有A
*
=
A A
n
=A
n -1
当A =0时ⅰ) rank (A ) =0, 有A =0, A =0，于是。
*
*
*
A =A
于是A
*
*
n -1
ⅱ）rank (A ) >0，由于A A =A E =0于是A A =0有非零解，故rank (A )
，。
*
n -1
=0，所以此时也有，A =A
，
即证。
⎧n , ⎪*
(A ) =⎨1, 27. 证明：如果A 是n ⨯n 矩阵(n >2) ，那么r a n k
⎪0, ⎩
rank (A ) =n 时，故A =A
*
n -1
当r a n k (A ) =当r a n k (A ) =当r a n k (A )
n
-n 1证 当n -1
*
≠0，所以rank (A ) =n 。当rank (A ) =n -1时，A 至少有一*
个n -1阶子式不为0，所以rank (A ) ≥1于是rank (A ) +rank (A ) ≤n
*
。
另一方面，由A =0，有A A =A E =0
*
*
。
，
所以，rank (A ) ≤1. 故rank (A ) =1。当rank (A )
*
A 的一切n -1阶子式全为0，所以，因而rank (A ) =0
，
即证。
3.证明：如果向量组α1, α2, , αr 线性无关，而α1, α2, , αr , β线性相关，则向量可由
α1, α2, , αr 线性表出. 证 由题设，可以找到不全为零的数k 1, k 2, , k r +1使
k 1α1+k 2α2+ +k r αr +k r +1β=0，显然k r +1≠0. 事实上，若k r +1=0，而k 1, k 2, , k r 不全为
零，使k 1α1+k 2α2+ +k r αr =0成立，这与α1, α2, , αr 线性无关的假设矛盾，即证k r +1≠0.
r
故β=-
∑
i =1
k i k r +1
i ，即向量β可由α1, α2, , αr 线性表出。
4. αi =(αi 1, αi 2, , αin )(i =1, 2, , n ) ，证明：如果ij ≠0，那么α1, α2, , αn 线性无关。证 设
⎧α11k 1+α21k 2+ +αn 1k n =0
⎪
⎪α12k 1+α22k 2+ +αn 2k n =0
有线性关系k 1α1+k 2α2+ +k n αn =0，代入分量，可得方程组⎨
⎪ ⎪αk +αk + +αk =0
2n 2nn n ⎩1n 1
由于ij ≠0，故齐次线性方程组只有零解，从而α1, α2, , αn 线性无关。 5. 设t 1, t 2, , t r 是互不相同的数，r ≤n . 证明：αi =(1,t i , , t i
n -1
)(i =1, 2, , r ) 是线性无关的。证
⎧k 1+k 2+ +k r =0
⎪
⎪t 1k 1+t 2k 2+ +t r k r =0
设有线性关系k 1α1+k 2α2+ +k r αr =0，则⎨，1）当r =n 时，
⎪
⎪t n -1k +t n -1k + +t n -1k =0⎩1122r r
方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即
1t 1t 1t 1
2
1t 2t 2 t 2
n -12
1t n t n t n
n -12
=
∏(t
i
j
-t i ) ≠0，所以方程组有惟一的零解，这就是说α1, α2, , αr 线性
n -1
⎧β1=(1,t 1, t 12, , t 1r -1)
⎪2r -1⎪β2=(1,t 2, t 2, , t 2)
无关。2）当r
⎪ ⎪β=(1,t , t 2, , t r -1) ⎩r r r r
而α1, α2, , αr 是β1, β2, , βr 延长的向量，所以α1, α2, , αr 也线性无关。
6. 设α1, α2, α3线性无关，证明α1+α2, α2+α3, α3+α1也线性无关。证 设由线性关系
k 1(α1+α2) +k 2(α2+α3) +k 3(α3+α1) =0，则(k 1+k 3) α1+(k 1+k 2) α+(k 2+k ) 3α=023
。
⎧k 1+k 3=0
⎪
再由题设知α1, α2, α3线性无关，所以⎨k 1+k 2=0，解得k 1=k 2=k 3=0，所以
⎪k +k =0
3⎩2
线性无关。 α1+α2, α+α, α+α233
7. 已知α1, α2, , αs 的秩为r ，证明：α1, α2, , αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组. 证 设αi 1, αi 2, , αir 是α1, α2, , αs 中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一
, s , 都可由αi 1, αi 2, , αir 线性表出就可以了。事实上，向量组个向量αj (j =1, 2
αi 1, αi 2, , αir , αj 是线性相关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾. 这说明αj 可由αi 1, αi 2, , αir 线
性表出，再由αj 的任意性，即证。
8. 设α1, α2, , αs 的秩为r ，αi , αi , , αi 是α1, α2, , αs 中的r 个向量，使得α1, α2, , αs 中
1
2
r
每个向量都可被它们线性表出，证明：αi 1, αi 2, , αi r 是α1, α2, , αs 的一个极大线性无关组。证 由题设知αi 1, αi 2, , αi r 与α1, α2, , αs 等价，所以αi 1, αi 2, , αi r 的秩与α1, α2, , αs 的秩相等，且等于r . 又因为αi 1, αi 2, , αi r 线性无关，故而αi 1, αi 2, , αi r 是α1, α2, , αs 的一个极大线性无关组。
9. 证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示。若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组. 否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量α不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将α添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的。进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出. 若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）。继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组。
10. 设向量组为α1=(1,-1, 2, 4) ，α2=(0,3,1, 2) ，α3=(3,0, 7,14) ，α4=(1,-1, 2, 0) ，
α5=(2,1,5, 6) 。证明：α1, α2线性无关。把α1, α2扩充成一极大线性无关组。证 1）由于α1, α2的
对应分量不成比例，因而α1, α2线性无关。2）因为α3=3α1+α2，且由k 1α1+k 2α2+k 4α4=0， 可解得k 1=k 2=k 4=0，所以α1, α2, α4线性无关。再令k 1α1+k 2α2+k 4α4+k 5α5=0，代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即
α1, α2, α4, α5线性相关，所以α5可由α1, α2, α4线性表出。这意味着α1, α2, α4就是原向量组的一个
极大线性无关组。 注 此题也可将α1, α2, α4, α5排成5⨯4的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。
12. 证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。证 由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩。
13. 设α1, α2, , αn 是一组维向量，已知单位向量ε1, ε2, , εn 可被它们线性表出，证明：
α1, α2, , αn 线性无关。证 设α1, α2, , αn 的秩为r ≤n ，而ε1, ε2, , εn 的秩为n 。
由题设及上题结果知n ≤r ，从而r =n ，故α1, α2, , αn 线性无关。
14. 设α1, α2, , αn 是一组n 维向量，证明：α1, α2, , αn 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出。证 必要性. 设α1, α2, , αn 线性无关，但是n +1个n 维向量
α1, α2, , αn , β必线性相关，于是对任意n 维向量β，它必可由α1, α2, , αn 线性表出。充分性 任
意n 维向量可由α1, α2, , αn 线性表出，特别单位向量ε1, ε2, , εn 可由α1, α2, , αn 线性表出，于是由上题结果，即证α1, α2, , αn 线性无关。
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
15. 证明：方程组⎨对任何b 1, b 2, , b n 都有解的充分必要条件是系数
⎪ ⎪a x +a x + +a x =b
n 22nn n n ⎩n 11
行列式
a ij ≠0。证 充分性. 由克拉默来姆法则即证。下证必要性. 记
αi =(α1i , α2i , , αni ) (i =1, 2, , n ) β=(b 1, b 2, , b n )
，则原方程组可表示为β=x 1α1+x 2α2+ +x n αn ，
由题设知，任意向量β都可由线性α1, α2, , αn 表出，因此由上题结果可知α1, α2, , αn 线
性无关。进而，下述线性关系k 1α2+k 2α2+ +k n αn =0，仅有惟一零解，故必须有A =a ij ≠0，即证。
16. 已知α1, α2, , αr
与α1, α2, , αr , αr +1, , αs
有相同的秩，证明：与
α1, α2, , αr , αr +1, , αs 等价。证 由于α1, α2, , αr 与α1, α2, , αr , αr +1, , αs 有相同的秩，
因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等. 这样α1, α2, , αr 的极大线性无关组也必为
α1, α2, , αr , αr +1, , αs 的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组。另一方面，因为它
们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。
17. 设β1=α2+α3+ +αr , β2=α1+α3+ +αr , , βr =α1+α2+ +αr -1，证明：
β1, β2, , βr 与α1, α2, , αr 具有相同的秩。证 只要证明两向量组等价即可. 由题设，知β1, β2, , βr 可由α1, α2, , αr 线性表出。现在把这些等式统统加起来，可得
1r -1
(β1+β2+ +βr ) =α1+α2+ +αr ，于是 1r -1
αi =β1+
1r -1
β2+ +(
1r -1
-1) βi + +
1r -1
βr ，(i =1, 2, , r )
即证α1, α2, , αr 也可由β1, β2, , βr 线性表出，从而向量组β1, β2, , βr 与α1, α2, , αr 等价。
⎧x 1-x 2
⎪
x -x 3⎪2⎪
23. 设⎨x 3-x 4
⎪x -x
5
⎪4⎪⎩x 5-x 1
=a 1=a 2=a 4=a 5
⎡1
a 1⎤⎢
0⎥⎢a 2
⎥⎢0a 3⎥→⎢⎥⎢0a 4⎥
⎢⎥a 5⎦⎢0
⎢⎣
-11000
0-1100
00-110
000-10
a 1⎤
⎥a 2
⎥a 3⎥
⎥此时A 的秩为4，A 的a 4⎥5⎥∑a i ⎥
⎥i =1⎦
5
i
5
=a 3证明：此方程组有解的充分必要条件为∑a i =0，在有解的情形，求出它的
i =1
一般解。证 对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
⎡1
⎢0⎢A =⎢0
⎢⎢0⎢-1⎣
-11000
0-1100
00-110
5
000-11
秩为4的充分必要条件是
∑a
i =1
=0，因此，原方程组有解的充分必要条件是∑a i =0。其次，当
i =1
5
∑
i =1
⎧x 1-x 2⎪
⎪x 2-x 3
a i =0时，原方程组与方程组与⎨
⎪x 3-x 4⎪x -x
5⎩4=a 1+x 2+a 3a 4+k =a 2+a 3+a 4+k =a 3+a 4+k =a 4+k =k
=a 1=a 2=a 3=a 4
，同解，所以它的一般解为
⎧x 1
⎪x ⎪2⎪⎨x 3⎪x ⎪4⎪⎩x 5
，其中k 为任意常数。
24. 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设η1, η2, , ηr 是齐次线性方程组的一个基础解系，且a 1, a 2, , a r 与它等价，则
a i (i =1, 2, , r ) 可由η1, η2, , ηr 线性表出，从而a i (i =1, 2, , r ) 也是原齐次线性方程组的解。又
由题设知a 1, a 2, , a r 线性无关，且η1, η2, , ηr 可由a 1, a 2, , a r 线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解β也都可以由a 1, a 2, , a r 线性表出，即证a 1, a 2, , a r 也是方程组的一个基础解系。
⎧α11x 1+α21x 2+ +αn 1x n =0⎪
⎪α12x 1+α22x 2+ +αn 2x n =0
25. 设齐次方程组⎨，的系数矩阵的秩为r ，证明：方程组的任意n -r
⎪ ⎪αx +αx + +αx =0
2n 2nn n ⎩1n 1
个线性无关的解都是它的一个基础解系。证 由于方程组的系数矩阵的秩为r ，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为n -r 。设η1, η2, , ηn -r 是方程组的一个基础解系，ε1, ε2, , εn -r 是方程组的任意n -r 个线性无关的解向量，则向量组η1, η2, , ηn -r , ε1, ε2, , εn -r ，的秩仍为n -r ，且
η1, η2, , ηn -r 是它的一个极大线性无关组，同理ε1, ε2, , εn -r 也是它的一个极大线性无关组，所以η1, η2, , ηn -r 与ε1, ε2, , εn -r 等价，再由上题即证。
26. 证明：如果η1, η2, , ηt 是一线性方程组的解，那么u 1η1+u 2η2+ +u t ηt ，（其中
u 1+u 2+ +u t =1）也是一个解。
αi x + 证 设线性方程组为αi 1x +122+αi x n
程
t
(n =b 1i i , =2,
的
由, m 题) 设，，
现
将
ηj =(x 1, x 2, , x n )(j =1, 2, , t )
t
t
(k
k
(j ) j () j ()
是该方组t 个解
u 1η+1
代
t
u η2 +
入
2t
+u t η(∑=
k =1
u , ∑x 1
k =1
)
, u
程
k (
k
)
, x ∑
2k =1
组
k
k
n
) u x
，
得
(k )
方
t
t
(k ) 2
t
(k ) n
a i 1(∑u k x
k =1t
(k ) 1
) +a i 2(∑u k x
k =1
t
) + +a in (∑u k x
k =1
) =
∑u
k =1
k
(a i 1x 1
(k )
+a i 2x 2
(k )
+ +a in x n )
=
∑u
k =1
k
所以u 1η1+u 2η2+ +u t ηt 仍是方程组的一个解，即证。 b i =b i ∑u k =b i (i =1, 2, , m ) ，
k =1
27. 多项式2x -3x +λx +2与x +λx -3x -1在λ取什么值时有公共根？解 因为f (x ) 与
3242
g (x ) 的结式为
200
R (f , g ) =0
100
-3200010
λ
-320
202
002
000200-1
=(λ+3)(-λ+4λ+28λ+157)
3
2
λ
-32-3
λ
-3-1-3
λ
0-1-3
，故当
λ
01
λ
λ
λ=-3时，有R (f , g ) =(λ+3)(-λ3+4λ2+28λ+157) =0，从而f (x ) 与g (x ) 有公共根。
此外，由R (f , g ) =0还可求得λ的3个根，它们皆可使f (x ) 与g (x ) 有公共根。
8. 如果A B =
B , A A =C ，A 证明：A (B +C ) =(B +C ) A , (B C ) =(B C ) 。C A A 证
A (B +C ) =AB +AC =BA +CA =(B +C ) A ，
A (BC ) =(AB ) C =(BA ) C =B (AC ) =B (CA ) =(BC ) A 。
9. 如果A =
12
(B +E ) ，证明：A 2=A 当且仅当B 2=E 。证 充分性. 若B 2=E ，因为
2
A =[
2
12
(B +E )]=
14
14
(B +2B +E ) =
12
2
14
(2B +2E ) =14
14
12
2
(B +E ) =A ，所以A =A 。必要性.
若A =A ，则
2
(2B +2E ) =(B +E )
，
即B +
2
E =
12
E
，
即证B =E 。
2
10. 矩阵称A 为对称的，如果A =A '. 证明：如果A 是实对称矩阵，且A =0，那么A =0证 设
2
⎛a 11
a 12
A =
a ⎝n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎫
⎪a 2n
⎪则 ⎪⎪a nn ⎪⎭，
*
a 12+a 22+ +a 2n
*
22
2
2
222
⎛a 11+a 12+ +a 1n
*2
A =
*⎝
2
2
**
a 1n +a 2n + +a nn
，
因而必有
2
⎫
⎪
2⎪由A =0有
⎪⎪⎪⎭。
a 1i +a 2i + +a ii +a i , i +1+ +a in =0(i =1, 2, , n ) a 1i +a 2i + +a ii +a i , i +1+ +a in =0(i =1, 2, , n )
2222
，
即证。
11. 设A , B 都是n ⨯n 对称矩阵，证明：A B 也对称当且仅当A , B 可交换。证 当AB =BA 时，有
AB =A 'B '=(BA ) '=(AB ) '，所以A B 是对称矩阵。反之，当AB =(AB ) '时，有 AB =(AB ) '=B 'A '=BA 。
12. 矩阵A 称为反对称的，如果A '=-A ，证明：任一n ⨯n 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。证设A 是任一n ⨯n 矩阵，因为A =
12
A +
12
A +
12
A '-
12
A '=
12
(A +A ') +
12
(A -A ')
，
且
12
(A +A ') 是对称矩阵，
k
k
12
(A -A ') 是反对称矩阵，所以结论成立。
k
13. 设s k =x 1+x 2+ +x n (k =0,1, 2 ) a ij =s i +j -2(i , j =1, 2, n ) . 证明：证 由题设知
s 0
a ij =
s 1 s n -11=
x 1 x 1
n -1
s 1s 2 s n 1x 2 x 2
n -1
s n -1s n s 2n -21
x 1x 2 x n
n
=x 1
x 1+ +x n
n -1
x 1+ +x n x 1+ +x n
n -1
n 2
2
x 1
n -1n
+ +x n
n -1n
x 1+ +x n x 1
2n -2
+ +x n x 1+ +x n
n
+ +x n
2n -n
x 1
n -1n -1
x n x n
n -1
x 2x n
n -1
=
∏
i
(x j -x i ) ∏(x j -x i ) =
i
∏
i
(x i -x j ) 。
2
14. 设A 是n ⨯n 矩阵，证明：存在一个n ⨯n 非零矩阵B 使A B =0的充分必要条件是A =0。证 充分性. 若A =0，则齐次方程组A X =0有非零解X =(b 1, b 2, , b n ) '
，
⎛b 1 b 2
只要取B =
b ⎝n
00 0
0⎫⎪0
⎪≠0即可。必要性. 设B =(B , B , , B ) ≠0，使A B =0，这里
12n
⎪⎪0⎪⎭
。
B 1, B 2, , B n 是B 的列向量。不失一般性，设B 1≠0，则由A B =0，得(AB 1, AB 2, , AB n ) =0
因此，AB 1=0，即A X =0有非零解，从而A =0
。
15. 设A 是n ⨯n 矩阵，如果对任一n 维向量X =(x 1, x 2, , x n ) '都有A X =0，那么A =0。证 证法1 由题设知，n 维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组A X =0的解，故方程组的基础解系含有n 个线性无关的解向量，所以rank (A ) =0，即证A =0。
16设B 为一r ⨯r 矩阵，C 为r ⨯n 矩阵，且rank (C ) =r . 证明：如果B C =0，那么B =0；如果
B C =C ，那么B =E 。证 1）若B C =0，设B =(b ij ) r ⨯r ，C =(c ij ) r ⨯n ，因rank (C ) =r ，不
c 11
失
一
般
性
，
可
设
12
c 1r ≠0c rr
。
由
c r 1
B C =0，得
c 1+b +2c =0b ⎧b i 1+1i 2i 1r
⎪
+c 1+b +2c =0b ⎪b i 12i 2i 2r
⎨
⎪ (i =⎪b c +b c + +b c =0
1r i 22r i ⎩i 1
r r
c c
1 r ,
r
因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有
2, , )
r r
惟一零解，即b i 1=b i 2= =b ir =0(i =1, 2, r )
，
因而B =0。若B C =C ，则
BC -EC =(B -E ) C =0，由1）知B -E =0，因此B =E 。
17. 证明：r a (n k +
A ) ≤B (r a +) n k
=(A 1, A 2, , A n ) ，A (证r a n 设k A B 。
。
B =(B 1, B 2, , B n ) ，则(A +B ) =A (1+B 1A , +B , A n +, B n
22
) 若A i , A i , , A i 与
12r
11
1
则有B j 1, B j 2, , B j r 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，
2
A t =k t 1A i 1+k t 2A i 2+ +k t r A i r B t =l t 1B j 1+l t 2B j 2+ +l t r B j r
2
2
(t =1, 2, , n )
于是A t +B t =k t A i + +k t A i +l t B j + +l t B j
1
1
r 1
r 1
1
1
r 2
r 2
即A +B 的列向量组可(i , j =1, 2, , n ) ，
。。
由A i , , A i , B j , , B j 线性表出，故rank (A +B ) ≤rank (A ) +rank (B )
1
r 1
1
r 2
18. 设A , B 为n ⨯n 矩阵，证明：如果A B =0，那么rank (A ) +rank (B ) ≤n 组为B 1, B 2, , B n ，则AB =A (B 1, B 2, , B n ) =(AB 1, AB 2, , AB n ) =0故有AB 1=AB 2= =AB n =0
证 设B 的列向量
，
。
即方程组A X =0有n 组解B 1, B 2, , B n 。若rank (A ) =r ，
则B 1, B 2, , B n 可由n -r 个线性无关的解向量线性表出，于是rank (B ) =n -r 。因此
r a n (k A ) +
19.
证
明
2
r a n (k ) ≤B +r (-n ) =r 。 n
：
如
果
k -1
A =0
k
，那么
2
(E -A )
-1
=E +A +A + +A
2k -
。
证
(E +A +A + +A
2
)(E -A ) =E +A +A + +A
2
k -1
k -1
-A -A - -A
2k
=E +(A -A ) +(A -A ) + +(A -A
k -1
) -A =E 。即证
k
24. 证明：1）如果A 可逆对称（反对称），那么A 阵。证 1)若A =A '，则A
-1
-1
也对称（反对称）；2）不存在奇数阶的可逆反对称矩
=(A ')
-1
-1
=(A ) '。2）由A =-A '，知
A =(-1) A '=(-1) A
n n
，
所以当n 为奇数时，有A =-A ⇒A =0
，
故A 不可逆。
25. 矩阵A =(a ij ) 称为上（下）三角矩阵，如果当i >j (i
⎛a 11 A =
⎝
a 12a 22
a 1n ⎫⎛b 11
⎪ a 2n
⎪，B =
⎪
⎪ a nn ⎪⎭⎝
b 12b 22
b 1n ⎫⎛c 11
⎪ b 2n c
⎪，假定AB = 21
⎪
⎪ c b nn ⎪⎭⎝n 1
c 12c 22 c n 2
c 1n ⎫
⎪c 2n
⎪ ⎪⎪c nn ⎪⎭，
其中c ij =a i 1b 1j + +a i , i -1b i -1, j +a ii b ij +a i , i +1b i +1, j + +b in b nj 当i >j 时a ij =b ij =0，显然c ij
，中各项均有因子为零，故c ij =0，所以A B 是上三角矩阵。对于A , B 是下三角阵情形同法可证。
⎛a 11
2）令A =
⎝
a ⎛b 111n ⎫
⎪
，设B =
⎪
b ⎪a nn ⎭⎝n 1
b 12 b n 2
1
b n ⎫
⎪
是A 的逆，即AB =E ，比较E 和A B ⎪b nn ⎪⎭
⎧1=a 11b 11+a 12b 21+ +a 1n b n 1
⎪
⎪0=a 22b 21+ +a 2n b n 1⎪
的第一列元素，有⎨
⎪0=a b + +a n -1, n b n 1
n -1, n -1n -1,1
⎪⎪⎩0=a nn b n 1
因而得b n 1=b n -1,1= =b 21=0阵的情形同理可证。 26. 证明：A
*
因为A ≠0，a 11≠0, a 22≠0, , a nn =0，
，
。
同理可得：当i >j 时b jj =0，因而B 是上三角阵。A 是下三角
=A
n -1
，其中A 是n ⨯n 矩阵(n >2) 。证 因为AA
*
=A ， AA =A A ，
n
**
所以当A ≠0时有A
*
=
A A
n
=A
n -1
当A =0时ⅰ) rank (A ) =0, 有A =0, A =0，于是。
*
*
*
A =A
于是A
*
*
n -1
ⅱ）rank (A ) >0，由于A A =A E =0于是A A =0有非零解，故rank (A )
，。
*
n -1
=0，所以此时也有，A =A
，
即证。
⎧n , ⎪*
(A ) =⎨1, 27. 证明：如果A 是n ⨯n 矩阵(n >2) ，那么r a n k
⎪0, ⎩
rank (A ) =n 时，故A =A
*
n -1
当r a n k (A ) =当r a n k (A ) =当r a n k (A )
n
-n 1证 当n -1
*
≠0，所以rank (A ) =n 。当rank (A ) =n -1时，A 至少有一*
个n -1阶子式不为0，所以rank (A ) ≥1于是rank (A ) +rank (A ) ≤n
*
。
另一方面，由A =0，有A A =A E =0
*
*
。
，
所以，rank (A ) ≤1. 故rank (A ) =1。当rank (A )
*
A 的一切n -1阶子式全为0，所以，因而rank (A ) =0
，
即证。