圆中的存在性问题探究
学习目的：通过几个题组学习在圆中如何解决这类问题，体会解题过程中用到的数学思想方法，进一步体会数形结合的思想方法和恒等原理的应用。
试题重现
如果圆(x -a ) 2+(y -a ) 2=4上有且只有一个到直线x +y =1的距离为1的点，则实数a 的取值是
拓展引申
1．如果圆(x -a ) 2+(y -a ) 2=4上存在到直线x +y =1的距离为1的点，则实数a 的取值范围是 ．
2．如果圆(x -a ) 2+(y -a ) 2=4上存在到原点的距离为3的点，则实数a 的取值范围 是 ．
高考链接
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________
总结回顾： 试题重现
已知圆O ：x +y =1，圆C ：(x -2) +(y -4) =1，由两圆外一点P (a , b ) 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如右图，满足|PA |=|PB |.
（1）求实数a 、b 间满足的等量关系；
（2）求切线长|PA |的最小值；
（3）是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由.
B
P
A 2222
1．已知圆C ：x 2+y 2=9，点A (-5, 0) , 直线l ：x -2y =0
（1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
（2）在直线OA 上（O 为坐标原点）是否存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P , 都有
请说明理由。
2．设圆C 1:x 2+y 2-10x -6y +32=0，
动圆C 2:x 2+y 2-2ax -2(8-a ) y +4a +12=0
（1）求证：圆C 1、圆C 2相交于两个定点； PB 为一常数，若存在，试求出所有满足条件的点B 的坐标。若不存在，PA
x 2
+y 2=1上的点，过点P 作圆C 1的一条切线，切点为T 1，过点P （2）设点P 是椭圆4
作圆C 2的一条切线，切点为T 2，问：是否存在点P ，使无穷多个圆C 2，满足PT 1=PT 2？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶
(x +3)2+(y −1) 2=4和圆C 2∶(x −4) 2+(y −5) 2=4．
（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1
截得的弦长为
l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1
和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直
线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条
件的点P 的坐标．
总结回顾：
再试一试
1. 在矩形ABCD 中，已知AD =6，AB =2，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，∆BEG 的外接圆为⊙H ．以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以F 、E 为焦点，DC 和AB 所在直线为准线的椭圆的方程；
（2）求⊙H 的方程；
（3）存在一点P (0, b ) ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，使点M 恰好是线段PN
的中点，求实数b 的取值范围．
．
2. 已知在△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(-2, 0) 和(2, 0) ，点C 在x 轴上方. （Ⅰ）若点C 的坐标为(2, 3) ，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； （Ⅱ）若∠ACB =45，求△ABC 的外接圆的方程；
（Ⅲ）若在给定直线y =x +t 上任取一点P ，从点P 向(Ⅱ)中圆引一条切线，切点为Q .
问是否存在一个定点M ，恒有PM =PQ ？请说明理由.
17．（本小题满分14分）如图，经过B (1,2) 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交y 轴正半轴于点A ，l 2交x 轴正半轴于点C ．
（Ⅰ）若A (0,1)，求点C 的坐标；
（Ⅱ）当直线l 1和l 2的位置发生变化时，直线AC 能否恒过平面上一定点，若能试确定该定点的位置，若不能试说明理由;
（Ⅲ）试问是否总存在经过O , A , B , C 四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，
请说明理由．
参考答案：（1）由直线l 1经过两点A (0,1)，B (1,2) ，得l 1的方程为x -y +1=0．
由直线l 2⊥l 1，且直线l 2经过点B ，得l 2的方程为x +y -3=0．
所以，点C 的坐标为(3,0)．
(2).AC 的方程可化简为(2x +y -2) -k (x -2y +3) +2k 2=0, 显然直线AC 不可能恒过一定点;
(3)因为AB ⊥BC ，OA ⊥OC ，所以总存在经过O , A , B , C 四点的圆，且该圆以AC 为直径．
① 若l 1⊥y 轴，则l 2//y 轴，此时四边形OABC
为矩形，|AC |
② 若l 1与y 轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为-1． k
所以直线l 1的方程为y -2=k (x -1) ，从而A (0,2-k ) ；
直线l 2的方程为y -2=-1(x -1) ，从而C (2k +1,0) ． k
⎧2-k >0, ⎛1⎫⎛1⎫令⎨解得k ∈ -, 2⎪，注意到k ≠0，所以k ∈ -,0⎪ (0,2)． ⎝2⎭⎝2⎭⎩2k +1>0,
此时|AC |=(2-k ) +(2k +1) =5k +5>
5，|AC |> 2222
所以半径的最小值为． 2
21⎫5⎛此时圆的方程为 x -⎪+(y -1) 2=． 2⎭4⎝
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1， |c |
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圆中的存在性问题探究
学习目的：通过几个题组学习在圆中如何解决这类问题，体会解题过程中用到的数学思想方法，进一步体会数形结合的思想方法和恒等原理的应用。
试题重现
如果圆(x -a ) 2+(y -a ) 2=4上有且只有一个到直线x +y =1的距离为1的点，则实数a 的取值是
拓展引申
1．如果圆(x -a ) 2+(y -a ) 2=4上存在到直线x +y =1的距离为1的点，则实数a 的取值范围是 ．
2．如果圆(x -a ) 2+(y -a ) 2=4上存在到原点的距离为3的点，则实数a 的取值范围 是 ．
高考链接
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________
总结回顾： 试题重现
已知圆O ：x +y =1，圆C ：(x -2) +(y -4) =1，由两圆外一点P (a , b ) 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如右图，满足|PA |=|PB |.
（1）求实数a 、b 间满足的等量关系；
（2）求切线长|PA |的最小值；
（3）是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由.
B
P
A 2222
1．已知圆C ：x 2+y 2=9，点A (-5, 0) , 直线l ：x -2y =0
（1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
（2）在直线OA 上（O 为坐标原点）是否存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P , 都有
请说明理由。
2．设圆C 1:x 2+y 2-10x -6y +32=0，
动圆C 2:x 2+y 2-2ax -2(8-a ) y +4a +12=0
（1）求证：圆C 1、圆C 2相交于两个定点； PB 为一常数，若存在，试求出所有满足条件的点B 的坐标。若不存在，PA
x 2
+y 2=1上的点，过点P 作圆C 1的一条切线，切点为T 1，过点P （2）设点P 是椭圆4
作圆C 2的一条切线，切点为T 2，问：是否存在点P ，使无穷多个圆C 2，满足PT 1=PT 2？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶
(x +3)2+(y −1) 2=4和圆C 2∶(x −4) 2+(y −5) 2=4．
（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1
截得的弦长为
l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1
和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直
线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条
件的点P 的坐标．
总结回顾：
再试一试
1. 在矩形ABCD 中，已知AD =6，AB =2，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，∆BEG 的外接圆为⊙H ．以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以F 、E 为焦点，DC 和AB 所在直线为准线的椭圆的方程；
（2）求⊙H 的方程；
（3）存在一点P (0, b ) ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，使点M 恰好是线段PN
的中点，求实数b 的取值范围．
．
2. 已知在△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(-2, 0) 和(2, 0) ，点C 在x 轴上方. （Ⅰ）若点C 的坐标为(2, 3) ，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； （Ⅱ）若∠ACB =45，求△ABC 的外接圆的方程；
（Ⅲ）若在给定直线y =x +t 上任取一点P ，从点P 向(Ⅱ)中圆引一条切线，切点为Q .
问是否存在一个定点M ，恒有PM =PQ ？请说明理由.
17．（本小题满分14分）如图，经过B (1,2) 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交y 轴正半轴于点A ，l 2交x 轴正半轴于点C ．
（Ⅰ）若A (0,1)，求点C 的坐标；
（Ⅱ）当直线l 1和l 2的位置发生变化时，直线AC 能否恒过平面上一定点，若能试确定该定点的位置，若不能试说明理由;
（Ⅲ）试问是否总存在经过O , A , B , C 四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，
请说明理由．
参考答案：（1）由直线l 1经过两点A (0,1)，B (1,2) ，得l 1的方程为x -y +1=0．
由直线l 2⊥l 1，且直线l 2经过点B ，得l 2的方程为x +y -3=0．
所以，点C 的坐标为(3,0)．
(2).AC 的方程可化简为(2x +y -2) -k (x -2y +3) +2k 2=0, 显然直线AC 不可能恒过一定点;
(3)因为AB ⊥BC ，OA ⊥OC ，所以总存在经过O , A , B , C 四点的圆，且该圆以AC 为直径．
① 若l 1⊥y 轴，则l 2//y 轴，此时四边形OABC
为矩形，|AC |
② 若l 1与y 轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为-1． k
所以直线l 1的方程为y -2=k (x -1) ，从而A (0,2-k ) ；
直线l 2的方程为y -2=-1(x -1) ，从而C (2k +1,0) ． k
⎧2-k >0, ⎛1⎫⎛1⎫令⎨解得k ∈ -, 2⎪，注意到k ≠0，所以k ∈ -,0⎪ (0,2)． ⎝2⎭⎝2⎭⎩2k +1>0,
此时|AC |=(2-k ) +(2k +1) =5k +5>
5，|AC |> 2222
所以半径的最小值为． 2
21⎫5⎛此时圆的方程为 x -⎪+(y -1) 2=． 2⎭4⎝
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1， |c |
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