傅莺莺《数学分析II 》
第8章(不定积分)、第9章(定积分)知识点总结
概念:
(1)原函数、不定积分:求导的逆运算
(2)定积分:积分和极限
涉及的概念:分割、介点;
蕴含的思想:分割、近似、求和、取极限
(3)变限积分:积分限的函数
需掌握的定理(结论/证明/应用):
(1)积分的性质(线形性、区间可加性、积分不等式)——结论/应用(用于计算)
(2)积分的算法(N-L 公式、换元法(拆/凑微分) 、分部积分法)——结论/应用(用于计算)
(3)可积准则(见§9.3)——结论/应用(可积性证明)
(4)可积的必要条件、充分条件(可积函数类,见§9.3)——结论/证明/应用(可积性证明)
(5)微积分基本定理(变限积分,见§9.5)——结论/应用(原函数的构造、变限积分求导)
(6)积分第一中值定理(见§9.4)——结论/证明/应用(主要用于定积分相关证明)需掌握的题型:
(1)积分计算(不定积分/定积分):
公式:基本积分公式
算法:N-L 公式、换元法(拆、凑微分)、分部积分法
技巧:(a)有理函数的积分:部分分式分解
(b)三角有理式的积分:万能公式等
(c)消二次根式:根号下配方a -x , x+a , x-a 作代换x=asin t , a tan t , a sec t
(d)利用被积函数的奇偶性、周期性、几何意义简算积分
……
注意:(a)不定积分计算结果要“+C”、进行换元后要回代;
(b)定积分换元变限时,上限对上限、下限对下限。
(2)定积分相关计算
(a)利用定积分求特殊和式极限;
(b)求函数平均值;
……
(3)变限积分相关
(a)利用变限积分构造原函数;
(b)变限积分求导相关:求含有变限积分的分式极限、已知变限积分方程式求函数等
(5)函数可积性判定
(利用定积分定义或可积准则判断函数在指定区间是否可积)
(6)相关证明、综合题
(综合运用积分中值定理等一元积分学知识,也可能涉及一元微分学知识)222222
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傅莺莺《数学分析II 》
第8章(不定积分)、第9章(定积分)知识点总结
概念:
(1)原函数、不定积分:求导的逆运算
(2)定积分:积分和极限
涉及的概念:分割、介点;
蕴含的思想:分割、近似、求和、取极限
(3)变限积分:积分限的函数
需掌握的定理(结论/证明/应用):
(1)积分的性质(线形性、区间可加性、积分不等式)——结论/应用(用于计算)
(2)积分的算法(N-L 公式、换元法(拆/凑微分) 、分部积分法)——结论/应用(用于计算)
(3)可积准则(见§9.3)——结论/应用(可积性证明)
(4)可积的必要条件、充分条件(可积函数类,见§9.3)——结论/证明/应用(可积性证明)
(5)微积分基本定理(变限积分,见§9.5)——结论/应用(原函数的构造、变限积分求导)
(6)积分第一中值定理(见§9.4)——结论/证明/应用(主要用于定积分相关证明)需掌握的题型:
(1)积分计算(不定积分/定积分):
公式:基本积分公式
算法:N-L 公式、换元法(拆、凑微分)、分部积分法
技巧:(a)有理函数的积分:部分分式分解
(b)三角有理式的积分:万能公式等
(c)消二次根式:根号下配方a -x , x+a , x-a 作代换x=asin t , a tan t , a sec t
(d)利用被积函数的奇偶性、周期性、几何意义简算积分
……
注意:(a)不定积分计算结果要“+C”、进行换元后要回代;
(b)定积分换元变限时,上限对上限、下限对下限。
(2)定积分相关计算
(a)利用定积分求特殊和式极限;
(b)求函数平均值;
……
(3)变限积分相关
(a)利用变限积分构造原函数;
(b)变限积分求导相关:求含有变限积分的分式极限、已知变限积分方程式求函数等
(5)函数可积性判定
(利用定积分定义或可积准则判断函数在指定区间是否可积)
(6)相关证明、综合题
(综合运用积分中值定理等一元积分学知识,也可能涉及一元微分学知识)222222
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