万能公式
ααα1-tan 22tan , cos α=, tan α= 例1 求证：sin α=ααα1+tan 21+tan 21-tan 2
222
ααα2sin cos 2tan sin α= 证：1︒sin α==ααα1sin 2+cos 21+tan 2
222
αααcos 2-sin 21-tan 2
cos α= 2︒cos α==ααα1sin 2+cos 21+tan 2
222
ααα2sin cos 2tan sin α= 3︒tan α==αααcos αcos 2-sin 21-tan 2
222
注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。
2︒这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
α 即：f (tan) 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 2
可以使解题过程简洁
3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小
2sin θ+cos θ=-5，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。 例2 已知sin θ-3cos θ
2sin θ+cos θ=-5 ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) 解：∵sin θ-3cos θ
2tan θ+1=-5 解之得：tan θ = 2 ∴tan θ-32tan
3(1-tan 2θ) 4⨯2tan θ3(1-22) 4⨯2⨯27+=+= ∴原式=51+tan 2θ1+tan 2θ1+221+22
3．已知sin x =4x x 355, -) ，且x 是锐角，求sin ±cos 的值。(52255
4．下列函数何时取得最值？最值是多少？
11, y m i n =-) 22
31 2︒y =2sin x -cos 2x (y m a x =, y m i n =-) 22
2ππ3 3︒y =cos(2x +) -2cos(x +) (y m a x =3, y m i n =-) 772
π5．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4 1︒y =sin 2x cos 2x (y m a x =
ππ1-26．求函数f (x ) =cos 2x +sin x 在[-, ]上的最小值。() 442
万能公式
ααα1-tan 22tan , cos α=, tan α= 例1 求证：sin α=ααα1+tan 21+tan 21-tan 2
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ααα2sin cos 2tan sin α= 证：1︒sin α==ααα1sin 2+cos 21+tan 2
222
αααcos 2-sin 21-tan 2
cos α= 2︒cos α==ααα1sin 2+cos 21+tan 2
222
ααα2sin cos 2tan sin α= 3︒tan α==αααcos αcos 2-sin 21-tan 2
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注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。
2︒这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
α 即：f (tan) 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 2
可以使解题过程简洁
3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小
2sin θ+cos θ=-5，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。 例2 已知sin θ-3cos θ
2sin θ+cos θ=-5 ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) 解：∵sin θ-3cos θ
2tan θ+1=-5 解之得：tan θ = 2 ∴tan θ-32tan
3(1-tan 2θ) 4⨯2tan θ3(1-22) 4⨯2⨯27+=+= ∴原式=51+tan 2θ1+tan 2θ1+221+22
3．已知sin x =4x x 355, -) ，且x 是锐角，求sin ±cos 的值。(52255
4．下列函数何时取得最值？最值是多少？
11, y m i n =-) 22
31 2︒y =2sin x -cos 2x (y m a x =, y m i n =-) 22
2ππ3 3︒y =cos(2x +) -2cos(x +) (y m a x =3, y m i n =-) 772
π5．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4 1︒y =sin 2x cos 2x (y m a x =
ππ1-26．求函数f (x ) =cos 2x +sin x 在[-, ]上的最小值。() 442