安徽科技学院学报,2010,24(2):40～43ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｈｕｉＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导
熊德永,马 慧
1
2
(1.贵州师范学院物理与电子科学学院,贵州 贵阳 550018;
2.贵阳医学院物理教研室,贵州 贵阳 550002)
摘 要:利用两角的和与差公式、反三角函数等不同的方法详细推导了两个互相垂直且同频率的二维简谐振动合成的轨迹方程,并以此为基础推导出三个互相垂直且同频率的简谐振动合成轨迹方程,其合成振动的轨迹亦为椭圆,该椭圆的形状和取向由分振动的振幅和初相位决定。关键词:简谐振动;轨迹方程;三维推广
中图分类号:Ｏ42 文献标识码:Ａ 文章编号:1673-8772(2010)02-0040-04
ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎＥｑｕａｔｉｏｎｏｆＳｉｍｐｌｅＨａｒｍｏｎｉｃＭｏｔｉｏｎ
ＰｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｔｏＥａｃｈＯｔｈｅｒｗｉｔｈＳａｍｅＦｒｅｑｕｅｎｃｙ
ＸＩＯＮＧＤｅ-ｙｏｎｇ,ＭＡＨｕｉ
(1.ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓ,ＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｇｅ,Ｇｕｉｙａｎｇ550018,Ｃｈｉｎａ;
2.ＰｈｙｓｉｃａｌＳｔａｆｆＲｏｏｍ,ＧｕｉｙａｎｇＭｅｄｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ,Ｇｕｉｙａｎｇ550002,Ｃｈｉｎａ)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ,ｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｗｏｈａｒｍｏｎｉｃｍｏｔｉｏｎｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｔｏｅａｃｈｏｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅｓａｍｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｓｄｅｒｉｖｅｄｉｎｖａｒｉｏｕｓｍｅｔｈｏｄｓ,ａｎｄｔｈｉｓｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｅｘｔｅｎｄｅｄｇｅｎｅｒａｌｌｙｉｎｔｏｔｈｅｃａｓｅｏｆ3ｄｉｍｅｎ-ｓｉｏｎｓ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:Ｓｉｍｐｌｅｈａｒｍｏｎｉｃｍｏｔｉｏｎ;Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｅｑｕａｔｉｏｎ;3-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｅｘｔｅｎｓｉｏｎ
在大学普通物理教学中,很多教材都讨论了质点参与两个同频率互相垂直的简谐振动相垂直的同频率的简谐振动,它们振动的方向分别沿着ｘ轴和ｙ轴,其简谐振动方程为:
ｘ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α) ｙ=Ｂｃｏｓ(ωｔ+β)
由以上两式消去ｔ,就得到合振动的轨迹方程。其在Ｏｘｙ平面运动的轨迹为ｘｙ2
ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)ＢＡＢＡ
2
2
[1-4]
1
2
,设两个互
(1)
(2)
式(2)是椭圆方程,所以在一般情况下,两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成,其合振动的轨迹为一个椭圆,而椭圆的形状决定于分振动的相位差(β-α),然后讨论了几种特殊情况下合振动的轨迹。
但是除了直接写出轨迹方程外都未对其进行详细的推导,由于该推导过程牵涉到复杂的三角函数运算,很多同学感到非常困难,老师在推导过程中也要花较长的时间。为此本文讨论了用不同方法推导该轨迹方程的详细推导过程以及推广到三维的情况的轨迹方程及合成轨道。
1 用两角的和与差公式推导
先将(1)式利用两角的和差公式改写成下面的形式ｘ=ｃｏｓωｔｃｏｓα-ｓｉｎωｔｓｉｎαＡ
收稿日期:2009-11-13
作者简介:熊德永(1976-),男,贵州省石阡县人,硕士,讲师,主要从事物理教学与研究。
(3)
第24卷第2期 熊德永,等 互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导
41(4)
ｙ
=ｃｏｓωｔｃｏｓβ-ｓｉｎωｔｓｉｎβＢ
(3)式乘以式ｃｏｓβ,(4)式乘以式ｃｏｓα得ｘｏｓβ=ｃｏｓωｔｃｏｓαｃｏｓβ-ｓｉｎωｔｓｉｎαｃｏｓβＡ
ｙｏｓα=ｃｏｓωｔｃｏｓβｃｏｓα-ｓｉｎωｔｓｉｎβｃｏｓαＢ
ｘｙ
将两式相减得ｃｏｓβｏｓα=ｓｉｎωｔｓｉｎ(β-α)
ＡＢ(3)式乘以式ｓｉｎβ,(4)式乘以式ｓｉｎα得ｘ
ｉｎβ=ｃｏｓωｔｃｏｓαｓｉｎβ-ｓｉｎωｔｓｉｎαｓｉｎβＡ
ｘｉｎα=ｃｏｓωｔｃｏｓβｓｉｎα-ｓｉｎωｔｓｉｎβｓｉｎαＢ
将两式相减得
ｘｘｉｎβｓｉｎα=ｃｏｓωｔｓｉｎ(β-α)ＡＢ
将式(7)和式(10)分别平方,然后相加,就得到合振动的轨迹方程ｘｙ2
ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)ＢＡＢＡ
由(11)式可知,合振动的轨迹为椭圆。
2
2
(5)(6)(7)
(8)(9)
(10)
(11)
2 利用反三角函数推导
先将(1)式利用反三角函数公式改写成下面的形式ｘ
ａｒｃｃｏ=(ωｔ+α)
Ａｙａｒｃｃｏ=(ωｔ+β)
Ｂ
ｘｙ
将所得两式相减得 ａｒｃｃｏ-ａｒｃｃｏ=β-α
ＡＢ将(13)式两边同时取ｓｉｎ得
ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｘ-ａｒｃｃｏｙ)=ｓｉｎ(β-α)
ＡＢ将(14)式两边同时平方得
2ｘｙｘｙ2
ｓｉｎ[ｓｉｎａｒｃｃｏｃｏｓａｒｃｃｏ-ｃｏｓａｒｃｃｏｉｎａｒｃｃｏ]=ｓｉｎ(β-α)
ＡＢＡＢ
(12)(13)
(14)
(15)
化简就得到合振动的轨迹方程
2ｘｙｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)22ＢＡＢＡ2
2
3 推广到三维坐标
3.1 3个同频率互相垂直简谐振动的合成
设有三个互相垂直的同频率的简谐振动,它们振动的方向分别沿着ｘ轴、ｙ轴和ｚ轴,其简谐振动方程为ｘ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α) ｙ=Ｂｃｏｓ(ωｔ+β) ｚ=Ｃｃｏｓ(ωｔ+γ)
2ｚｘｃｏｓ(γ-α)=ｓｉｎ(γ-α)ＡＣＡＣ2
2
(16)
根据上面两种推导方法,由以上三式消去ｔ,就得到合振动的轨迹方程。其在Ｏｘｙｚ平面运动的轨迹为
(17)
42
2
2
安徽科技学院学报 2010年
ｙｘ2
ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)ＡＢＡＢ
ｘｙｚ或222ｃｏｓ(β-α)ｏｓ(γ-β)ｏｓ(α-γ)
ＢＢＣＣＡＡＢＣＡ=ｓｉｎ(β-α)+ｓｉｎ(γ-β)+ｓｉｎ(α-γ)
2
2
2
2
2
2
(18)
(19)
该轨迹方程也是以原点为中心的椭圆,并且总能经过坐标系的旋转使之成为ｘＯ'ｙ'(或ｚＯ'ｙ'、ｘＯ'ｚ')平面上的椭圆。因此,三个互相垂直的同频率的简谐振动的合成经过坐标系旋转可等效为两个同频率位相差恒定相互垂直的简谐振动的合成。3.2 多个三维同频率简谐振动的合成
设质点在ｘｙｚ三维坐标系内同时参与ｎ个同频率简谐振动,对应的运动方程分别为:
ｉ
ｒ=Ａｃｏｓ(ωｔ+φｅ=1,2,…,ｎｉｉ)ｉ,ｉ
其中ｅ个简谐振动方向上的单位向量,它可按空间笛卡儿坐标分解为:ｉ为第ｉ
ｉ
(20)(21)
ｅ=ｃｏｓαｉ+ｃｏｓβｉｊ+ｃｏｓγｋ,ｉ=1,2,…,ｎｉｉ因此,合振动为
ｎ
[5]
:
ｎ
ｒ=ｒｘｉ+ｙｊ+ｚｋ=Ａｃｏｓ(ωｔ+φ(ｃｏｓαｉ+ｃｏｓβｉｊ+ｃｏｓγｋ)=ｉ=ｉｉ)ｉｉ
ｉ=1ｉ=1
ｎ
Ａｃｏｓαｃｏｓ(ωｔ+φ)ｉ+Ａｃｏｓβωｔ+φ)ｊ+Ａｃｏｓγ(ωｔ+φｋｉｉｉｉｉ(ｉｉｉｉ)ｉ=1ｉ=1ｉ=1
ｎ
ｎ
(22)
式中α、βｉ、γ、ｙ、ｚ轴的夹角。由式(22)可知,合振动的三个分量都是一维同频率振动ｉｉ分别为ｒｉ与ｘ
的合成。先考虑ｘ方向分振动的合成:
ｎｉ=1ｎ
ｎ
Ａｃｏｓαｃｏｓ(ωｔ+φ)=Ａｃｏｓα(ｃｏｓωｔｃｏｓφｓｉｎωｔｓｉｎφ=ｉｉｉｉｉｉ-ｉ)ｉ=1Ａｃｏｓαｃｏｓφｃｏｓωｔ-Ａｃｏｓαｓｉｎφｓｉｎωｔｉｉｉｉｉｉ
ｉ=1
ｎ
2
ｎ
2
1/2
ｎ
ｉ=1
(23)
令 Ａ=[(Ａｃｏｓαｃｏｓφ(Ａｃｏｓαｃｏｓφ)]ｉｉｉ)+ｉｉｉ
ｉ=1ｉ=1
ｎ
ｎ
α=ａｒｃｔｇ[ｉＡｃｏｓαｓｉｎφＡｃｏｓαｃｏｓφ]ｉｉｉ/ｉｉｉ=1ｉ=1
ｎ
ｎ
(24)(25)
则有:Ａｃｏｓα=ＡｃｏｓαｃｏｓφＡｓｉｎα=Ａｃｏｓαｓｉｎφｉｉｉ ｉｉｉ
ｉ=1ｉ=1于是:
ｎｉ=1
Ａｃｏｓαｃｏｓ(ωｔ+φ)=Ａｃｏｓαｃｏｓωｔ-Ａｓｉｎαｓｉｎωｔ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α)ｉｉｉ(26)
同理可得:
ｎｉ=1ｎｉ=1
Ａｃｏｓβｉｃｏｓ(ωｔ+φ)=Ｂｃｏｓ(ωｔ+β)ｉｉ
(27)
Ａｃｏｓγｃｏｓ(ωｔ+φ=Ｃｃｏｓ(ωｔ+γ)ｉｉｉ)
(28)
合振动可以简化为:
ｒ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α)ｉ+Ｂｃｏｓ(ωｔ+β)ｊ+Ｃｃｏｓ(ωｔ+γ)ｋ
上式为矢量形式的合振动轨道的参数方程。由式(28)可知任意多个三维同频率简谐动的合振动是3个相互垂直的同频率简谐振动的叠加。
3.3 三个相互垂直的同频率简谐振动的合成轨道
由(28)式可以推出
ｒ'=-ω[Ａｓｉｎ(ωｔ+α)ｉ+Ｂｓｉｎ(ωｔ+β)ｊ+Ｃｓｉｎ(ωｔ+γ)ｋ],ｒ″=-ω[Ａｃｏｓ(ωｔ+α)ｉ+Ｂｓｉｎ(ωｔ+β)+Ｃｓｉｎ(ωｔ+γ)]=-ωｒｒ'×ｒ″=ω[ＢＣｓｉｎ(β-γ)ｉ+ＣＡｓｉｎ(γ-α)ｊ+ＡＢｓｉｎ(α-β)]ｋ
3
2
2
(29)(30)
第24卷第2期 熊德永,等 互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导
43
显然这是一个常矢量,其大小为:
ｈ= ｒ'×ｒ″ =ω{[ＢＣｓｉｎ(β-γ)]+[ＣＡｓｉｎ(γ-α)]+[ＡＢｓｉｎ(α-β)]}由(29)式可知:
'2 2222ε(ｒ+ｒ)(Ａ+Ｂ+Ｃ)
22
ε也是一个轨道常量,它与ｈ一样不随时间ｔ变化。
根据(28)式与(29)式可得到 ｒ·(ｒ'×ｒ″)=0
这表明合成轨道在以ｒ'×ｒ″为法线的平面内,即是一条平面曲线。由上面的结果容易推出轨道平面的方程为:ＢＣｓｉｎ(β-γ)ｘ+ＣＡｓｉｎ(γ-α)ｙ+ＡＢｓｉｎ(α-β)ｚ=0
合成振动的运动方程(28)式等价于(16)式,(28)式消去参数ｔ后得到222
ｘｙｚｃｏｓ(α-β)ｘｙｃｏｓ(β-γ)ｙｚｃｏｓ(γ-α)ｘｚ
222ＡＢＢＣＡＣＡＢＣ
1222
[ｓｉｎ(α-β)+ｓｉｎ(β-γ)+ｓｉｎ(γ-α)]2
(33)(32)
(31)
(33)等价于(19)式,这是一个椭球面的方程。(32)与(33)两式共同给出了合成轨道的交面式方程,
[6]
容易看出合成后的轨道是一个椭圆。对应的轨道参数为:
ａ=ε+ε-ｈ ｂ=ε-ε-ｈ(34)其中为半长轴,为半短轴。由此还可以进一步推算出轨道曲线的半焦距,离心率和轨道曲线所包围的面积分别为:
ｃ=-ｂ=2
2
2
ε-ｈ
ｃ2ε-ｈｅ=ａ+ε-ｈｓ=πａｂ=πｈ
(34)和(35)两式给出了轨道参数与守恒常量之间的关系。
(35)
4 结论
本文利用两角的和与差公式和反三角函数详细推导了两个互相垂直且同频率的二维简谐振动合成的
轨迹方程,合振动的轨迹为椭圆。在此基础上将此方程推广到三维情况。
三个互相垂直的同频率的简谐振动的合成经过坐标系旋转可等效为两个同频率位相差恒定相互垂直的简谐振动的合成,其合成振动的轨迹亦为椭圆,该椭圆的形状和取向由分振动的振幅和初相位决定。多个任意方向同频率简谐振动的合成可以转化为三个相互垂直的同频率简谐振动的合成。利用二次曲线的不变量和轨道参数方程的守恒常量,可以计算出了相应的轨道参数与守恒常量之间的关系。
参考文献:
[1]马文蔚,解希顺,周玉青.物理学(第五版)下册[Ｍ].北京:高等教育出版社,2006:17-19.[2]程守洙,江之永.普通物理学(第一册)[Ｍ].北京:高等教育出版社,1982:176-178.[3]漆安慎,杜婵英.物理学(第二版)[Ｍ].北京:高等教育出版社,2005.
[4]梁绍荣,刘昌年,盛正华.普通物理学(第三版),第一分册[Ｍ].北京:高等教育出版社,2005:300-302.[5]蓝海江.多个简谐振动的合成[Ｊ].广西科学院学报,2009,(1):22-25.[6]李京颍.同频简谐振动的合成轨道[Ｊ].阜阳师范学院学报,2008,(6):21-23.
(责任编辑:窦 鹏)
安徽科技学院学报,2010,24(2):40～43ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｈｕｉＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导
熊德永,马 慧
1
2
(1.贵州师范学院物理与电子科学学院,贵州 贵阳 550018;
2.贵阳医学院物理教研室,贵州 贵阳 550002)
摘 要:利用两角的和与差公式、反三角函数等不同的方法详细推导了两个互相垂直且同频率的二维简谐振动合成的轨迹方程,并以此为基础推导出三个互相垂直且同频率的简谐振动合成轨迹方程,其合成振动的轨迹亦为椭圆,该椭圆的形状和取向由分振动的振幅和初相位决定。关键词:简谐振动;轨迹方程;三维推广
中图分类号:Ｏ42 文献标识码:Ａ 文章编号:1673-8772(2010)02-0040-04
ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎＥｑｕａｔｉｏｎｏｆＳｉｍｐｌｅＨａｒｍｏｎｉｃＭｏｔｉｏｎ
ＰｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｔｏＥａｃｈＯｔｈｅｒｗｉｔｈＳａｍｅＦｒｅｑｕｅｎｃｙ
ＸＩＯＮＧＤｅ-ｙｏｎｇ,ＭＡＨｕｉ
(1.ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓ,ＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｇｅ,Ｇｕｉｙａｎｇ550018,Ｃｈｉｎａ;
2.ＰｈｙｓｉｃａｌＳｔａｆｆＲｏｏｍ,ＧｕｉｙａｎｇＭｅｄｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ,Ｇｕｉｙａｎｇ550002,Ｃｈｉｎａ)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ,ｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｗｏｈａｒｍｏｎｉｃｍｏｔｉｏｎｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｔｏｅａｃｈｏｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅｓａｍｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｓｄｅｒｉｖｅｄｉｎｖａｒｉｏｕｓｍｅｔｈｏｄｓ,ａｎｄｔｈｉｓｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｅｘｔｅｎｄｅｄｇｅｎｅｒａｌｌｙｉｎｔｏｔｈｅｃａｓｅｏｆ3ｄｉｍｅｎ-ｓｉｏｎｓ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:Ｓｉｍｐｌｅｈａｒｍｏｎｉｃｍｏｔｉｏｎ;Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｅｑｕａｔｉｏｎ;3-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｅｘｔｅｎｓｉｏｎ
在大学普通物理教学中,很多教材都讨论了质点参与两个同频率互相垂直的简谐振动相垂直的同频率的简谐振动,它们振动的方向分别沿着ｘ轴和ｙ轴,其简谐振动方程为:
ｘ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α) ｙ=Ｂｃｏｓ(ωｔ+β)
由以上两式消去ｔ,就得到合振动的轨迹方程。其在Ｏｘｙ平面运动的轨迹为ｘｙ2
ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)ＢＡＢＡ
2
2
[1-4]
1
2
,设两个互
(1)
(2)
式(2)是椭圆方程,所以在一般情况下,两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成,其合振动的轨迹为一个椭圆,而椭圆的形状决定于分振动的相位差(β-α),然后讨论了几种特殊情况下合振动的轨迹。
但是除了直接写出轨迹方程外都未对其进行详细的推导,由于该推导过程牵涉到复杂的三角函数运算,很多同学感到非常困难,老师在推导过程中也要花较长的时间。为此本文讨论了用不同方法推导该轨迹方程的详细推导过程以及推广到三维的情况的轨迹方程及合成轨道。
1 用两角的和与差公式推导
先将(1)式利用两角的和差公式改写成下面的形式ｘ=ｃｏｓωｔｃｏｓα-ｓｉｎωｔｓｉｎαＡ
收稿日期:2009-11-13
作者简介:熊德永(1976-),男,贵州省石阡县人,硕士,讲师,主要从事物理教学与研究。
(3)
第24卷第2期 熊德永,等 互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导
41(4)
ｙ
=ｃｏｓωｔｃｏｓβ-ｓｉｎωｔｓｉｎβＢ
(3)式乘以式ｃｏｓβ,(4)式乘以式ｃｏｓα得ｘｏｓβ=ｃｏｓωｔｃｏｓαｃｏｓβ-ｓｉｎωｔｓｉｎαｃｏｓβＡ
ｙｏｓα=ｃｏｓωｔｃｏｓβｃｏｓα-ｓｉｎωｔｓｉｎβｃｏｓαＢ
ｘｙ
将两式相减得ｃｏｓβｏｓα=ｓｉｎωｔｓｉｎ(β-α)
ＡＢ(3)式乘以式ｓｉｎβ,(4)式乘以式ｓｉｎα得ｘ
ｉｎβ=ｃｏｓωｔｃｏｓαｓｉｎβ-ｓｉｎωｔｓｉｎαｓｉｎβＡ
ｘｉｎα=ｃｏｓωｔｃｏｓβｓｉｎα-ｓｉｎωｔｓｉｎβｓｉｎαＢ
将两式相减得
ｘｘｉｎβｓｉｎα=ｃｏｓωｔｓｉｎ(β-α)ＡＢ
将式(7)和式(10)分别平方,然后相加,就得到合振动的轨迹方程ｘｙ2
ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)ＢＡＢＡ
由(11)式可知,合振动的轨迹为椭圆。
2
2
(5)(6)(7)
(8)(9)
(10)
(11)
2 利用反三角函数推导
先将(1)式利用反三角函数公式改写成下面的形式ｘ
ａｒｃｃｏ=(ωｔ+α)
Ａｙａｒｃｃｏ=(ωｔ+β)
Ｂ
ｘｙ
将所得两式相减得 ａｒｃｃｏ-ａｒｃｃｏ=β-α
ＡＢ将(13)式两边同时取ｓｉｎ得
ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｘ-ａｒｃｃｏｙ)=ｓｉｎ(β-α)
ＡＢ将(14)式两边同时平方得
2ｘｙｘｙ2
ｓｉｎ[ｓｉｎａｒｃｃｏｃｏｓａｒｃｃｏ-ｃｏｓａｒｃｃｏｉｎａｒｃｃｏ]=ｓｉｎ(β-α)
ＡＢＡＢ
(12)(13)
(14)
(15)
化简就得到合振动的轨迹方程
2ｘｙｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)22ＢＡＢＡ2
2
3 推广到三维坐标
3.1 3个同频率互相垂直简谐振动的合成
设有三个互相垂直的同频率的简谐振动,它们振动的方向分别沿着ｘ轴、ｙ轴和ｚ轴,其简谐振动方程为ｘ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α) ｙ=Ｂｃｏｓ(ωｔ+β) ｚ=Ｃｃｏｓ(ωｔ+γ)
2ｚｘｃｏｓ(γ-α)=ｓｉｎ(γ-α)ＡＣＡＣ2
2
(16)
根据上面两种推导方法,由以上三式消去ｔ,就得到合振动的轨迹方程。其在Ｏｘｙｚ平面运动的轨迹为
(17)
42
2
2
安徽科技学院学报 2010年
ｙｘ2
ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)ＡＢＡＢ
ｘｙｚ或222ｃｏｓ(β-α)ｏｓ(γ-β)ｏｓ(α-γ)
ＢＢＣＣＡＡＢＣＡ=ｓｉｎ(β-α)+ｓｉｎ(γ-β)+ｓｉｎ(α-γ)
2
2
2
2
2
2
(18)
(19)
该轨迹方程也是以原点为中心的椭圆,并且总能经过坐标系的旋转使之成为ｘＯ'ｙ'(或ｚＯ'ｙ'、ｘＯ'ｚ')平面上的椭圆。因此,三个互相垂直的同频率的简谐振动的合成经过坐标系旋转可等效为两个同频率位相差恒定相互垂直的简谐振动的合成。3.2 多个三维同频率简谐振动的合成
设质点在ｘｙｚ三维坐标系内同时参与ｎ个同频率简谐振动,对应的运动方程分别为:
ｉ
ｒ=Ａｃｏｓ(ωｔ+φｅ=1,2,…,ｎｉｉ)ｉ,ｉ
其中ｅ个简谐振动方向上的单位向量,它可按空间笛卡儿坐标分解为:ｉ为第ｉ
ｉ
(20)(21)
ｅ=ｃｏｓαｉ+ｃｏｓβｉｊ+ｃｏｓγｋ,ｉ=1,2,…,ｎｉｉ因此,合振动为
ｎ
[5]
:
ｎ
ｒ=ｒｘｉ+ｙｊ+ｚｋ=Ａｃｏｓ(ωｔ+φ(ｃｏｓαｉ+ｃｏｓβｉｊ+ｃｏｓγｋ)=ｉ=ｉｉ)ｉｉ
ｉ=1ｉ=1
ｎ
Ａｃｏｓαｃｏｓ(ωｔ+φ)ｉ+Ａｃｏｓβωｔ+φ)ｊ+Ａｃｏｓγ(ωｔ+φｋｉｉｉｉｉ(ｉｉｉｉ)ｉ=1ｉ=1ｉ=1
ｎ
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(22)
式中α、βｉ、γ、ｙ、ｚ轴的夹角。由式(22)可知,合振动的三个分量都是一维同频率振动ｉｉ分别为ｒｉ与ｘ
的合成。先考虑ｘ方向分振动的合成:
ｎｉ=1ｎ
ｎ
Ａｃｏｓαｃｏｓ(ωｔ+φ)=Ａｃｏｓα(ｃｏｓωｔｃｏｓφｓｉｎωｔｓｉｎφ=ｉｉｉｉｉｉ-ｉ)ｉ=1Ａｃｏｓαｃｏｓφｃｏｓωｔ-Ａｃｏｓαｓｉｎφｓｉｎωｔｉｉｉｉｉｉ
ｉ=1
ｎ
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ｎ
ｉ=1
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令 Ａ=[(Ａｃｏｓαｃｏｓφ(Ａｃｏｓαｃｏｓφ)]ｉｉｉ)+ｉｉｉ
ｉ=1ｉ=1
ｎ
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α=ａｒｃｔｇ[ｉＡｃｏｓαｓｉｎφＡｃｏｓαｃｏｓφ]ｉｉｉ/ｉｉｉ=1ｉ=1
ｎ
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(24)(25)
则有:Ａｃｏｓα=ＡｃｏｓαｃｏｓφＡｓｉｎα=Ａｃｏｓαｓｉｎφｉｉｉ ｉｉｉ
ｉ=1ｉ=1于是:
ｎｉ=1
Ａｃｏｓαｃｏｓ(ωｔ+φ)=Ａｃｏｓαｃｏｓωｔ-Ａｓｉｎαｓｉｎωｔ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α)ｉｉｉ(26)
同理可得:
ｎｉ=1ｎｉ=1
Ａｃｏｓβｉｃｏｓ(ωｔ+φ)=Ｂｃｏｓ(ωｔ+β)ｉｉ
(27)
Ａｃｏｓγｃｏｓ(ωｔ+φ=Ｃｃｏｓ(ωｔ+γ)ｉｉｉ)
(28)
合振动可以简化为:
ｒ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α)ｉ+Ｂｃｏｓ(ωｔ+β)ｊ+Ｃｃｏｓ(ωｔ+γ)ｋ
上式为矢量形式的合振动轨道的参数方程。由式(28)可知任意多个三维同频率简谐动的合振动是3个相互垂直的同频率简谐振动的叠加。
3.3 三个相互垂直的同频率简谐振动的合成轨道
由(28)式可以推出
ｒ'=-ω[Ａｓｉｎ(ωｔ+α)ｉ+Ｂｓｉｎ(ωｔ+β)ｊ+Ｃｓｉｎ(ωｔ+γ)ｋ],ｒ″=-ω[Ａｃｏｓ(ωｔ+α)ｉ+Ｂｓｉｎ(ωｔ+β)+Ｃｓｉｎ(ωｔ+γ)]=-ωｒｒ'×ｒ″=ω[ＢＣｓｉｎ(β-γ)ｉ+ＣＡｓｉｎ(γ-α)ｊ+ＡＢｓｉｎ(α-β)]ｋ
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2
(29)(30)
第24卷第2期 熊德永,等 互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导
43
显然这是一个常矢量,其大小为:
ｈ= ｒ'×ｒ″ =ω{[ＢＣｓｉｎ(β-γ)]+[ＣＡｓｉｎ(γ-α)]+[ＡＢｓｉｎ(α-β)]}由(29)式可知:
'2 2222ε(ｒ+ｒ)(Ａ+Ｂ+Ｃ)
22
ε也是一个轨道常量,它与ｈ一样不随时间ｔ变化。
根据(28)式与(29)式可得到 ｒ·(ｒ'×ｒ″)=0
这表明合成轨道在以ｒ'×ｒ″为法线的平面内,即是一条平面曲线。由上面的结果容易推出轨道平面的方程为:ＢＣｓｉｎ(β-γ)ｘ+ＣＡｓｉｎ(γ-α)ｙ+ＡＢｓｉｎ(α-β)ｚ=0
合成振动的运动方程(28)式等价于(16)式,(28)式消去参数ｔ后得到222
ｘｙｚｃｏｓ(α-β)ｘｙｃｏｓ(β-γ)ｙｚｃｏｓ(γ-α)ｘｚ
222ＡＢＢＣＡＣＡＢＣ
1222
[ｓｉｎ(α-β)+ｓｉｎ(β-γ)+ｓｉｎ(γ-α)]2
(33)(32)
(31)
(33)等价于(19)式,这是一个椭球面的方程。(32)与(33)两式共同给出了合成轨道的交面式方程,
[6]
容易看出合成后的轨道是一个椭圆。对应的轨道参数为:
ａ=ε+ε-ｈ ｂ=ε-ε-ｈ(34)其中为半长轴,为半短轴。由此还可以进一步推算出轨道曲线的半焦距,离心率和轨道曲线所包围的面积分别为:
ｃ=-ｂ=2
2
2
ε-ｈ
ｃ2ε-ｈｅ=ａ+ε-ｈｓ=πａｂ=πｈ
(34)和(35)两式给出了轨道参数与守恒常量之间的关系。
(35)
4 结论
本文利用两角的和与差公式和反三角函数详细推导了两个互相垂直且同频率的二维简谐振动合成的
轨迹方程,合振动的轨迹为椭圆。在此基础上将此方程推广到三维情况。
三个互相垂直的同频率的简谐振动的合成经过坐标系旋转可等效为两个同频率位相差恒定相互垂直的简谐振动的合成,其合成振动的轨迹亦为椭圆,该椭圆的形状和取向由分振动的振幅和初相位决定。多个任意方向同频率简谐振动的合成可以转化为三个相互垂直的同频率简谐振动的合成。利用二次曲线的不变量和轨道参数方程的守恒常量,可以计算出了相应的轨道参数与守恒常量之间的关系。
参考文献:
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(责任编辑:窦 鹏)