二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
2ax +bx +c =0根的分布情况 1、一元二次方程
设方程ax
2
+bx +c =0(a ≠0)的不等两根为x 1, x 2且x 1
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表二：（两根与k 的大小比较）
表三：（根在区间上的分布）
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
(m , n )外，即在区间两侧x 1n ，（图形分别如下）需满足的条件是
⎧⎧⎪f (m )0
（1）a >0时，⎨； （2）a
⎪⎪⎩f (n )0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在
(m , n )内有以下特殊情况：
1︒ 若f (m )=0或f (n )=0，则此时f (m )f (n )
根，然后可以根据另一根在区间
(m , n )内，从而可以求出参数的值。如方程mx 2-(m +2)x +2=0在区间(1,3)上有一根，因为
222
f (1)=0，所以mx 2-(m +2)x +2=(x -1)(mx -2)，另一根为
2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间(m , n )内，即∆=0，此时由∆=0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相
应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x 的取值范围。分析：①由
2
-4mx +2m +6=0有且一根在区间(-3,0)内，求m
得出
f (-3)f (0)
-3
15
14
；②由
∆=0
即
16m 2-4(2m +6)=0得出m =-1或m =
33
，当m =-1时，根x =-2∈(-3, 0)，即m =-1满足题意；当m =时，根22
315
x =3∉(-3, 0)，故m =不满足题意；综上分析，得出-3
142
根的分布练习题
例1、已知二次方程
(2m +1)x 2-2mx +(m -1)=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
1
，从而得-
2
解：由
(2m +1)f (0)
2
例2、已知方程2x 解：由
-(m +1)x +m =0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
∆>0⎧⎧(m +1)2-8m >0⎪⎧⎪⎪m 3+⎪-(m +1)m >-1
⇒0
m >3+ ⇒⇒
->0⎨⎨⎨
m >022⎪⎩⎪⎪m >0
⎩f (0)>0⎪⎩
例3、已知二次函数
y =(m +2)x 2-(2m +4)x +(3m +3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由
(m +2)f (1)
2
1
例4、已知二次方程mx
+(2m -3)x +4=0只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
解：由题意有方程在区间
(0,1)上只有一个正根，则f (0)f (1)
1
即为所求范围。 3
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在
(0,1)内，由∆=0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
2、二次函数在闭区间设
[m , n ]上的最大、最小值问题探讨
f (x )=ax 2+bx +c =0(a >0)，则二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值有如下的分布情况：
（1）若-
（2）若-
离开x 轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。 例1、函数
解：对称轴x 0
（1）当a
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
b ⎧⎫⎧⎫⎛b ⎫⎛b ⎫
∈[m , n ]，则f (x )max =max ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬，f (x )min =min ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬； 2a ⎝2a ⎭⎝2a ⎭⎩⎭⎩⎭b
∉[m , n ]，则f (x )max =max {f (m ), f (n )}，f (x )min =min {f (m ), f (n )} 2a
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值
f (x )=ax 2-2ax +2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a , b 的值。 =1∉[2,3]，故函数f (x )在区间[2,3]上单调。
⎧⎧3a +b +2=5⎧a =1⎪f (x )max =f (3) ⇒ ⎨ ⇒ ⎨； f (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎨f x =f 2()()2+b =2b =0⎪⎩⎩⎩min
>0时，函数
（2）当a
⎧f (x )max =f (2)⎪⎩f (x )min =f (3)
⇒
⎧b +2=5
⎨
⎩3a +b +2=2
⎧a =-1
⇒ ⎨
⎩b =3
例2、求函数
f (x )=x 2-2ax +1, x ∈[1,3]的最小值。 =a
解：对称轴x 0（1）当a
2
3时，y min =f (3)=10-6a
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当a
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当a
（2）当1≤（3）当2≤（4）当a
例3、求函数解：对称轴x 0
≥3时， f (x )max =f (1)=2-2a ，f (x )min =f (3)=10-6a 。
y =x 2-4x +3在区间[t , t +1]上的最小值。
2
当22时，y min =f (t )=t -4t +3； （2）当t ≤2≤t +1即1≤t ≤2时，y min =f (2)=-1； =2 （1）
（3）当2>t +1即t 例4、讨论函数
f (x )=x 2+x -a +1的最小值。
2
解：
⎧x 2+x -a +1, x ≥a 1
，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线x =-，f (x )=x +x -a +1=⎨2
2⎩x -x +a +1, x
11111
，当a
22222
x =
因此，（1）当a
1⎛1⎫3
时，f (x )=f -⎪=-a ； min 2⎝2⎭4
（2）当-
111⎛1⎫3≤a
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
2ax +bx +c =0根的分布情况 1、一元二次方程
设方程ax
2
+bx +c =0(a ≠0)的不等两根为x 1, x 2且x 1
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表二：（两根与k 的大小比较）
表三：（根在区间上的分布）
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
(m , n )外，即在区间两侧x 1n ，（图形分别如下）需满足的条件是
⎧⎧⎪f (m )0
（1）a >0时，⎨； （2）a
⎪⎪⎩f (n )0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在
(m , n )内有以下特殊情况：
1︒ 若f (m )=0或f (n )=0，则此时f (m )f (n )
根，然后可以根据另一根在区间
(m , n )内，从而可以求出参数的值。如方程mx 2-(m +2)x +2=0在区间(1,3)上有一根，因为
222
f (1)=0，所以mx 2-(m +2)x +2=(x -1)(mx -2)，另一根为
2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间(m , n )内，即∆=0，此时由∆=0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相
应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x 的取值范围。分析：①由
2
-4mx +2m +6=0有且一根在区间(-3,0)内，求m
得出
f (-3)f (0)
-3
15
14
；②由
∆=0
即
16m 2-4(2m +6)=0得出m =-1或m =
33
，当m =-1时，根x =-2∈(-3, 0)，即m =-1满足题意；当m =时，根22
315
x =3∉(-3, 0)，故m =不满足题意；综上分析，得出-3
142
根的分布练习题
例1、已知二次方程
(2m +1)x 2-2mx +(m -1)=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
1
，从而得-
2
解：由
(2m +1)f (0)
2
例2、已知方程2x 解：由
-(m +1)x +m =0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
∆>0⎧⎧(m +1)2-8m >0⎪⎧⎪⎪m 3+⎪-(m +1)m >-1
⇒0
m >3+ ⇒⇒
->0⎨⎨⎨
m >022⎪⎩⎪⎪m >0
⎩f (0)>0⎪⎩
例3、已知二次函数
y =(m +2)x 2-(2m +4)x +(3m +3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由
(m +2)f (1)
2
1
例4、已知二次方程mx
+(2m -3)x +4=0只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
解：由题意有方程在区间
(0,1)上只有一个正根，则f (0)f (1)
1
即为所求范围。 3
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在
(0,1)内，由∆=0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
2、二次函数在闭区间设
[m , n ]上的最大、最小值问题探讨
f (x )=ax 2+bx +c =0(a >0)，则二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值有如下的分布情况：
（1）若-
（2）若-
离开x 轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。 例1、函数
解：对称轴x 0
（1）当a
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
b ⎧⎫⎧⎫⎛b ⎫⎛b ⎫
∈[m , n ]，则f (x )max =max ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬，f (x )min =min ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬； 2a ⎝2a ⎭⎝2a ⎭⎩⎭⎩⎭b
∉[m , n ]，则f (x )max =max {f (m ), f (n )}，f (x )min =min {f (m ), f (n )} 2a
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值
f (x )=ax 2-2ax +2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a , b 的值。 =1∉[2,3]，故函数f (x )在区间[2,3]上单调。
⎧⎧3a +b +2=5⎧a =1⎪f (x )max =f (3) ⇒ ⎨ ⇒ ⎨； f (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎨f x =f 2()()2+b =2b =0⎪⎩⎩⎩min
>0时，函数
（2）当a
⎧f (x )max =f (2)⎪⎩f (x )min =f (3)
⇒
⎧b +2=5
⎨
⎩3a +b +2=2
⎧a =-1
⇒ ⎨
⎩b =3
例2、求函数
f (x )=x 2-2ax +1, x ∈[1,3]的最小值。 =a
解：对称轴x 0（1）当a
2
3时，y min =f (3)=10-6a
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当a
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当a
（2）当1≤（3）当2≤（4）当a
例3、求函数解：对称轴x 0
≥3时， f (x )max =f (1)=2-2a ，f (x )min =f (3)=10-6a 。
y =x 2-4x +3在区间[t , t +1]上的最小值。
2
当22时，y min =f (t )=t -4t +3； （2）当t ≤2≤t +1即1≤t ≤2时，y min =f (2)=-1； =2 （1）
（3）当2>t +1即t 例4、讨论函数
f (x )=x 2+x -a +1的最小值。
2
解：
⎧x 2+x -a +1, x ≥a 1
，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线x =-，f (x )=x +x -a +1=⎨2
2⎩x -x +a +1, x
11111
，当a
22222
x =
因此，（1）当a
1⎛1⎫3
时，f (x )=f -⎪=-a ； min 2⎝2⎭4
（2）当-
111⎛1⎫3≤a