基金使用计划
摘要
本文研究的是学校基金的最佳使用计划，文章通过建立线性规划模型得出了不同条件下的基金存入方案，并求出各方案下每年的最高奖金数额。
在问题一的求解过程中，本文不考虑活期和半年期这两种存款方式，第一年初将数额为5000万元的基金以各整年期分别存入银行，第二年到第十年间，每年初将到期的本息全部取出，发完奖金后重新制定存储存入银行，以此建立规划模型，得到每年基金的使用计划，并求得每年最高奖金数额为109.8169万元。
在问题二的条件负荷下，由于国库券发行时间、发行次数不定，因此需要分为不同情况讨论，本文假设该学校只购买每年首次发行的国库券，分别就以下三种情况对基金的使用方案进行讨论。
当国库券在年初发行时，奖金发完后剩余的基金可马上购买国库券，所以我们将问题一中存入二年期、三年期和五年期的基金全部用于购买同年期的国库券，得到每年最高奖金数额为146.8578万元。
当国库券发行时间为上半年或下半年的某月时，本文考虑了活期和半年期两种存款方式，当奖金发放时间距国库券发行时间不足半年时，基金以活期方式存入银行，超过半年时则以一个半年期和活期的组合方式存款，因此国库券各年期周期均增加一年。本文通过对组合方式下各期国库券平均年利率的计算得到新的规划模型，并求得该情况下的最高奖金数额为125.9833万元。
当国库券在年中发行时，实质是上述情况的特例，因而购买国库券的组合方式变为半年期银行存款+整年期国库券+半年期银行存款，在这一组合下重新计算增加一年周期后各期国库券的平均年利率，利用第二种情况的模型求得最高奖金数额为130.0306万元。
问题三要求在第三年举行百年校庆，并且在这一年发放的奖金比其他年度多20%，根据求解问题一、二的结果可知，可存款也可购买国库券得到的利息比单纯存款得到的多，因此问题三只考虑基金可用于购买国库券也可存款的情况，即在问题二的模型基础上增加第三年奖金多20%这一约束，得到三种情况下第三年的奖金数额分别为172.5425万元、148.017万元和152.769万元，其他年度最高奖金数额分别为143.7854万元、123.3475万元和127.3075万元。
关键词：线性规划模型 基金使用计划 平均年利率 最高奖金数额
一 问题重述
随着国民经济的发展，越来越多的学校拥有自己的基金会，并每年发放奖金来鼓励优秀师生。利用数学建模的方法为学校制定合理的基金使用计划能让学校得到最大程度上的奖金数额，对学校的奖金制度十分有意。
现某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同， 且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
1. 只存款不购国库券； 2. 可存款也可购国库券；
3. 学校在基金到位后的第三年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他
二 问题分析
针对问题一，设一笔基金为M,若采用活期储存的方式一年最多可获取利息
0.00792M，采用半年期一年最多获利0.01664M,而一年定期课获得利息0.018M，显然在一年中存一年定期更优。而且该校的奖金发放制度为每年发放，因此在问题一中本文不考虑活期和半年期这两种存款方式。第一年初将5000万元基金按照一年期、二年期、三年期、五年期分别存入银行，第二年初取出到期的本息并发放奖金，将剩下的基金重新分配存入银行，以此类推，至10年末使取出的全部基金数仍等于原基金数额。利用LINGO11求出最佳的基金使用计划，并得出每年的奖金数额。
对于问题二，该校基金可以存款也可用于购买国库券，由于国库券的发行时间不定，但每年至少发行一次，本文假设只购买首次发行的国库券。基于这一条件我们将问题二分为三种情况：分别讨论国库券在年初发行、在每年上半年或下半年的某个月发行和在年中发行。
针对情况一，由于奖金每年年末发放，而国库券年利率明显高于同年期银行存款税后年利率，所以在年初发行时，我们将问题一中存入二年期、三年期、五年期的基金全部改为购买同年期国库券，建立模型与问题一的模型一致。
针对情况二，国库券在上半年或下半年的某个月发行，由于发行时间不确定，会出现当国库券未发行或已到期时还未到奖金发放时间的情况，为了防止基金闲置，我们在这段时期将基金以活期和半年期的组合方式存入银行，不足半年期的时间均存为活期，因此国库券的周期均增加一年，即二年期、三年期、五年期的周期变为三年、四年、六年。
情况三是情况二的特例，当国库券在年中发行时，不考虑活期存款，在等待奖金发放的时间里将基金全部存为半年期。
在问题三百年校庆的要求下，第三年的奖金要比其他年度多20%，通过分析可知，国库券的年利率高于同年期银行存款，即可购买国库券时得到的利息要比只存款得到的多，因此本题沿用问题二的模型，在第四年初存入的基金为第三年末取出的基金减去1.2倍奖金，加上这一约束条件即得到第三问的模型。
三 模型假设
由于问题本身存在诸多不确定因素，为了使问题简化，我们作如下假设： 1. 问题一中，不考虑活期和半年期的存款方式； 2. 到期的本息在年末取出，发完奖金后年初存入，且不考虑两者之间的时间间隔； 3. 每年的奖金相同，第10年末基金数额等于5000万元； 4. 第10年末能将全部基金取出；
5. 该校只购买每年首次发行的国库券； 6. 基金到期后才能将本息一起取出； 7. 每年的年利率不变。
四 符号说明
xij：:第i年以j年期存款方式存入的基金额，
pmn 第m年n年期存款方式的税后年利率 p0 活期的税后年利率 p1 半年期的税后年利率 c 每年的奖金数额
五 模型建立与求解
5.1 单一存款类优化模型
5.1.1 模型建立
根据问题一的分析，在单纯存款的条件下我们只考虑一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式，税后年利率分别为0.018、0.01994、0.0216、0.02304，由此得到以下约束条件：
约束（一）：第一年将数额为M的基金全部存入银行，因此各种存款方式的基金存入额之和等于5000万元。则：∑x1j=M(j=1,2,3,5)
约束（二）：由于本文采用的是每年存款方式，当年初发完奖金后剩下的基金需要重新存入银行，即每年年初存入的基金数等于取出的基金减去上一年的奖金数。
则：∑xij=
m+n=i
∑x
mn
(1+n⨯pmn)-c(n=j=1,2,3,5;i=2,3...11;m=1,2...10)
约束二中对m+n=i的解释为：m为基金存入的年份，n代表以n年期方式存入，i代表基金取出的年份，因此取出基金的年份等于基金存入的年份加上存储期限，即m+n=i。
约束（三）：至第10年末基金数额仍保留原基金数额，即第10年发完奖金后剩下的基金数额仍为M。
则：
m+n=11
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c=M
约束（四）：第10年末所有基金能全部取出，即任何一年的存入年份加上存款年限不能大于11，例如：第9年至多能存入二年期，这样第11年初（10年末）取出所有本息并发放奖金，如果大于11则不能在10年末取出全部基金，将会与模型假设相矛盾。
则：i+j
在获得最高奖金的目标下，得到以下基金使用的优化模型[1]：
maxc
s..t
∑x
5
1j
=M
ij
∑x
j=1m+n=11
=
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c=M,
i+j≤11
xij≥0xij≤M
n,j∈{1,2,3,5};i=2,3, ,11;m=1,2...10
5.1.2 模型求解
在LINGO [2]中，输入目标函数和约束条件，得到每年基金的使用情况，如下表：
表5.1
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 第7年 第8年 第9年 第10年
396.7621
0 0 0 0 0 0 0 0 0
200.4946
0 0 0 0 0 0 0 0 0
195.614 195.614 0 0 0 0 0 0 0 0
4207.129 98.47287 98.47287 98.47287 98.47287 4581.974
0 0 0 0
按表5.1的方案使用基金得到每年的最高奖金为109.8169万元。 5.2 混合存款类优化模型 5.2.1 国库券在年初发行
当国库券在年初发行时，根据问题分析对于同年期的银行存款和国库券，购买国库券获得的利息要比银行存款高，因此我们将问题一中存入二、三、五年期的存款全部改为购买同年期的国库券，得到每年可选用的存入方式为银行存款一年期、国库券二年期、三年期和五年期，年利率分别为0.018、0.0255、0.0289、0.0314，则可建立与问题一相同的数学模型。
该种情况与问题一选择的存入方式不同，用同年期国库券代替银行存款，因此得到
的利息必定会比问题一的存入方式下得到的多，每年可发放的奖金也更多。在LINGO11软件中修改数据求得国库券年初发行时每年的最高奖金为146.8578万元，虽然该种情况在实际中比较特殊，但我们并不能忽略其发生的可能性，因此本文也求出了其每年基金的使用方案。具体情况见附表5.2.1。
5.2.2 国库券在上半年或下半年的某个月发行
由于国库券的发行时间不确定，因此年末发完奖金后并不能马上购买国库券，为了不让基金闲置，当国库券在上半年发行时，我们将国库券发行前不满半年的时间存为银行活期，待国库券发行后立即取出购买国库券，至国库券到期时取出本息转存为半年期，到期后转存为活期，最终得到活期+国库券+半年期+活期的组合方式，等到年末取出本息发放奖金；当国库券在下半年发行时同理可得半年期+活期+国库券+活期的组合方式。综合两种情况可知活期的存入时间都刚好为半年，因此各期国库券的周期均增加一年，通过以上分析得到本题存款的方式为一年期、二年期、三年期、四年期、五年期和六年期。
1) 模型准备（国库券年利率的重新计算）
由于国库券的周期增加一年，当存款方式为一、二年期时只能选择银行存款，税后年利率为0.018和0.01944；
当存入时间大于三年期时，我们首先计算国库券周期增加后的平均年利率，计算公式为((p0+p1)2+n⨯pmn)/(n+1)，求得国库券三年期、四年期、六年期的年利率分别为0.021093、0.024745、0.028213，由此可以看出三年期国库券的年利率少于三年期银行存款税后年利率，所以当基金存入时间为三年期时选择银行存款。
因此得到基金的存入方式可有一年期、二年期、三年期和五年期银行存款，四年期和六年期购买国库券。
2) 模型建立与求解
该情况下每年基金的存入方式有六种选择，由此建立以下模型：
maxc
s..t
∑x∑x
j=1m+n=116
1j
=M=
ij
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c=M
i+j
xij>=0xij
n=j=1,2,3,4,5,6;i=2,3...11;m=1,2...10
求得第二种情况下每年最高奖金额为125.9833万元，具体存入方案见表5.2.2：
表5.2.2 国库券在上半年或下半年某个月发行
xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期
0 107.7905 第1年 342.2499 225.0248 219.5472 4105.388
0 0 0 114.6366 0 107.7905 第2年
0 0 0 0 0 107.7905 第3年
0 0 0 0 0 107.7905 第4年
0 0 0 0 0 4385.756 第5年
0 0 0 0 0 0 第6年
0 0 0 0 0 0 第7年
0 0 0 0 0 0 第8年
0 0 0 0 0 0 第9年
0 0 0 0 0 0 第10年
5.2.3 国库券在年中发行
当国库券在年中发行时，我们可以选择两个半年期和国库券的组合，年初将本息存为半年期，待到年中国库券发行时购买国库券，到期后取出本息再转存为半年期，半年后取出本息并发放奖金。该情况实际是第二种情况的特例，年利率的计算公式为
(p1+n⨯pmn)/(n+1)，由此求出国库券三年期、四年期、六年期的利率分别为0.022547、
0.025835、0.02894。利用情况二的模型求得国库券在年中发行时每年最高奖金为130.0306万元，每年本息的存入方案见附(表5.2.3)。 5.3 基于百年校庆的优化模型
问题三是在问题二的模型上增加了一个约束条件，即在第三年末发放的奖金要比其他年度多20%，因此在第四年初用于分配的基金为取出的本息扣除其他年度奖金的1.2倍，于是当i=4时，约束条件改为x4j=
m+n=4
∑
xmn(1+n⨯pmn)-1.2c
.
1) 国库券在年初发行时，所建立的模型和问题二情况一的模型相对应，加上上述约束条件，将约束∑xij=
j=15
m+n=i
∑x
5
mn
(1+n⨯pmn)-c作如下修改：
∑x
j=1
ij
=
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
(i≠4)
x4j=
m+n=4
∑
xmn(1+n⨯pmn)-1.2c
求得第三年奖金数额为172.5425万元，其余每年的最高奖金为143.7854万元，存入方案见附表5.3.1。
2) 国库券在上半年或下半年的某月发行，模型与问题二情况而对应，同理，将约束∑xij=
j=16
m+n=i
∑x
mn
(1+n⨯pmn)-c改为：
∑x
j=1
6
ij
=
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
(i≠4)
x4j=
m+n=4
∑
xmn(1+n⨯pmn)-1.2c
求得第三年的奖金额为148.017万元，其余每年奖金数额为123.3475万元，每年基金使用计划见表5.3.2：
表5.3.2国库券在上半年或下半年的某月发行
xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期
0 105.5352 第1年 335.0892 220.3168 238.1219 4100.937
0 0 0 112.2381 0 105.5352 第2年
0 0 0 0 0 105.5352 第3年
0 0 0 0 0 105.5352 第4年
0 0 0 0 0 4383.5 第5年
0 0 0 0 0 0 第6年
0 0 0 0 0 0 第7年
0 0 0 0 0 0 第8年
0 0 0 0 0 0 第9年
0 0 0 0 0 0 第10年
3) 国库券在年中发行，建立规划模型同上，求得第三年奖金为152.769万元，其余每年为127.3075万元，每年基金使用计划见附表5.3.3
六 结果分析与模型检验
本文要求在n年末仍保留原基金数额，即用n年内基金的所有利息提供奖金，在投资过程中要使利润回报最大化，则在相应时间内我们应该选择年利率更大的投资组合，根据线性规划模型的求解结果可知：对于本文的任何一种情况，在保证每年奖金数额的前提下，基金都优先考虑以最长年期的方式存入，这与以更高年期存入的年利率更高，能得到更多利息的现实情况相吻合。
针对问题一存在两种极端形式，当基金全部以一年期方式存入时，获得利息最少，每年可提供奖金数额仅83.2万元；当基金全部以五年期方式存入时，获得利息最大，每年可提供奖金数额为115.2万元。本文通过问题一的模型求解得到结果为，每年获得最高奖金109.8169万元，这一结果在两种极端形式之间，所以问题一只存款的优化模型是合理的、有效可行的。
针对问题二，将不确定的国库券发行时间使用概率知识确定化，根据国库券不同的发行时间分三种情况进行讨论，得到的奖金数额相比问题一的结果有所增加，这与国库券年利率比银行存款税后年利率更高的实际情况相符合。
针对问题三，仅仅在问题二的模型中加入了第三年的奖金比其他年度多20%的约束条件，比较计算结果可知：在三种情况下，问题三模型的计算结果中第一年以三年期方式存入的基金比问题二多，这与学校第三年要举行百年校庆需要更多的奖金的实际情况相吻合，模型合理可行。
40,60, 时，利用文中的模型进行求解，由结果可知随着存款本文还考虑当n 20,
年数n值的增加，每年所发放的奖金额也会随之增加，当n增加到一定年限的时候每年
的奖金额会接近一个常数。
七 模型改进与推广
本文假设10年内银行存款的年利率不变，但在实际情况中，通货膨胀、国家宏观经济调控政策等都会导致年利率发生改变，本文的模型在此方面具有很好的扩展性，只需根据实际情况调整pmn的数值利用相同的模型便可得到年利率发生改变时的基金使用
计划。
本文假设国库券的利息支付方式同银行存款一样，基金到期后一同支付，若国库券利息为每年支付一次，只需对模型稍加改动并对m、n的取值进行限制，即可得到相应的线性规划模型，以混合存款类优化模型中国库券在年初发行的情况为例，将原模型中的约束二、三改为以下约束条件，即为国库券利息每年支付一次的规划模型。
∑
5
j=1ij
x=
m+n=i
∑
xmn+
m+n≥i
∑
xmnpmn-c
m+n=11
∑
xmn
m+n≥11
∑
xmnpmn-c=M
本文假设每年的奖金额相等，但题中仅仅要求大致相同。在实际情况中，师生人数的波动，政策的改变等原因都会影响到奖金额的需求，这时只需在原模型中加入奖金额的波动系数βi(βi∈[1-ε，1+ε])，根据每年的奖金额需求确定βi，以βci代表第i年的奖金，利用原模型即可得到每年奖金额有所波动的数学模型。
本文采用线性优化模型[3]，方便的解决了基金的使用计划问题，模型原理简单，可推广到任意金额，任意年限或其他存款方式的基金使用计划问题中，适用于各类基金会的管理、风险投资、多股份经营等领域。
八 参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶峻，数学模型[M]，北京：高等教育出版社，2006.
[2] 谢金星，薛毅，优化模型与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社,2004. [3] 束金龙，线性规划理论与模型运用，北京：科学出版社，2003.
附件：
问题二基金使用方案表：
表5.2.1国库券在年初发行（第八年开始不再存款）
xij 一年期 二年期 三年期 第1年 277.0126 260.502 490.7406 第2年 0 0 135.1411 第3年 0 0 0 第4年 0 0 259.5002 第5年 0 0 0 第6年 0 0 0 第7年 0 0 135.1411 表5.2.3国库券在年中发行（第六年开始不再存款） xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 第1年 352.3331 231.8105 225.5658 4079.498 0 第2年 0 0 0 117.8518 0 第3年 0 0 0 0 0 第4年 0 0 0 0 0 第5年 0 0 0 0 0
问题三基金使用方案表：
表5.3.1国库券在年初发行（第八年开始不再存款）
xij 一年期 二年期 三年期 第1年 271.2172 255.052 506.9365 第2年 0 0 132.3138 第3年 0 0 0 第4年 0 0 254.0712 第5年 0 0 0 第6年 0 0 0 第7年 0 0 132.3138
五年期
3966.794
0 124.2743 124.2743
0 4445.795
0 六年期 108.4724 108.4724 108.4724 108.4724 4368.723 五年期 3971.745
0 126.9298 126.9298
0 4448.451
0 六年期 110.7926 110.7926 110.7926 110.7926 4371.043
表5.3.3国库券在年中发行（第六年开始不再存款）
xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 第1年 344.9544 226.9558 244.6903 4074.927 0 第2年 0 0 0 115.3838 0 第3年 0 0 0 0 0 第4年 0 0 0 0 0 第5年 0 0 0 0 0
基金使用计划
摘要
本文研究的是学校基金的最佳使用计划，文章通过建立线性规划模型得出了不同条件下的基金存入方案，并求出各方案下每年的最高奖金数额。
在问题一的求解过程中，本文不考虑活期和半年期这两种存款方式，第一年初将数额为5000万元的基金以各整年期分别存入银行，第二年到第十年间，每年初将到期的本息全部取出，发完奖金后重新制定存储存入银行，以此建立规划模型，得到每年基金的使用计划，并求得每年最高奖金数额为109.8169万元。
在问题二的条件负荷下，由于国库券发行时间、发行次数不定，因此需要分为不同情况讨论，本文假设该学校只购买每年首次发行的国库券，分别就以下三种情况对基金的使用方案进行讨论。
当国库券在年初发行时，奖金发完后剩余的基金可马上购买国库券，所以我们将问题一中存入二年期、三年期和五年期的基金全部用于购买同年期的国库券，得到每年最高奖金数额为146.8578万元。
当国库券发行时间为上半年或下半年的某月时，本文考虑了活期和半年期两种存款方式，当奖金发放时间距国库券发行时间不足半年时，基金以活期方式存入银行，超过半年时则以一个半年期和活期的组合方式存款，因此国库券各年期周期均增加一年。本文通过对组合方式下各期国库券平均年利率的计算得到新的规划模型，并求得该情况下的最高奖金数额为125.9833万元。
当国库券在年中发行时，实质是上述情况的特例，因而购买国库券的组合方式变为半年期银行存款+整年期国库券+半年期银行存款，在这一组合下重新计算增加一年周期后各期国库券的平均年利率，利用第二种情况的模型求得最高奖金数额为130.0306万元。
问题三要求在第三年举行百年校庆，并且在这一年发放的奖金比其他年度多20%，根据求解问题一、二的结果可知，可存款也可购买国库券得到的利息比单纯存款得到的多，因此问题三只考虑基金可用于购买国库券也可存款的情况，即在问题二的模型基础上增加第三年奖金多20%这一约束，得到三种情况下第三年的奖金数额分别为172.5425万元、148.017万元和152.769万元，其他年度最高奖金数额分别为143.7854万元、123.3475万元和127.3075万元。
关键词：线性规划模型 基金使用计划 平均年利率 最高奖金数额
一 问题重述
随着国民经济的发展，越来越多的学校拥有自己的基金会，并每年发放奖金来鼓励优秀师生。利用数学建模的方法为学校制定合理的基金使用计划能让学校得到最大程度上的奖金数额，对学校的奖金制度十分有意。
现某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同， 且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
1. 只存款不购国库券； 2. 可存款也可购国库券；
3. 学校在基金到位后的第三年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他
二 问题分析
针对问题一，设一笔基金为M,若采用活期储存的方式一年最多可获取利息
0.00792M，采用半年期一年最多获利0.01664M,而一年定期课获得利息0.018M，显然在一年中存一年定期更优。而且该校的奖金发放制度为每年发放，因此在问题一中本文不考虑活期和半年期这两种存款方式。第一年初将5000万元基金按照一年期、二年期、三年期、五年期分别存入银行，第二年初取出到期的本息并发放奖金，将剩下的基金重新分配存入银行，以此类推，至10年末使取出的全部基金数仍等于原基金数额。利用LINGO11求出最佳的基金使用计划，并得出每年的奖金数额。
对于问题二，该校基金可以存款也可用于购买国库券，由于国库券的发行时间不定，但每年至少发行一次，本文假设只购买首次发行的国库券。基于这一条件我们将问题二分为三种情况：分别讨论国库券在年初发行、在每年上半年或下半年的某个月发行和在年中发行。
针对情况一，由于奖金每年年末发放，而国库券年利率明显高于同年期银行存款税后年利率，所以在年初发行时，我们将问题一中存入二年期、三年期、五年期的基金全部改为购买同年期国库券，建立模型与问题一的模型一致。
针对情况二，国库券在上半年或下半年的某个月发行，由于发行时间不确定，会出现当国库券未发行或已到期时还未到奖金发放时间的情况，为了防止基金闲置，我们在这段时期将基金以活期和半年期的组合方式存入银行，不足半年期的时间均存为活期，因此国库券的周期均增加一年，即二年期、三年期、五年期的周期变为三年、四年、六年。
情况三是情况二的特例，当国库券在年中发行时，不考虑活期存款，在等待奖金发放的时间里将基金全部存为半年期。
在问题三百年校庆的要求下，第三年的奖金要比其他年度多20%，通过分析可知，国库券的年利率高于同年期银行存款，即可购买国库券时得到的利息要比只存款得到的多，因此本题沿用问题二的模型，在第四年初存入的基金为第三年末取出的基金减去1.2倍奖金，加上这一约束条件即得到第三问的模型。
三 模型假设
由于问题本身存在诸多不确定因素，为了使问题简化，我们作如下假设： 1. 问题一中，不考虑活期和半年期的存款方式； 2. 到期的本息在年末取出，发完奖金后年初存入，且不考虑两者之间的时间间隔； 3. 每年的奖金相同，第10年末基金数额等于5000万元； 4. 第10年末能将全部基金取出；
5. 该校只购买每年首次发行的国库券； 6. 基金到期后才能将本息一起取出； 7. 每年的年利率不变。
四 符号说明
xij：:第i年以j年期存款方式存入的基金额，
pmn 第m年n年期存款方式的税后年利率 p0 活期的税后年利率 p1 半年期的税后年利率 c 每年的奖金数额
五 模型建立与求解
5.1 单一存款类优化模型
5.1.1 模型建立
根据问题一的分析，在单纯存款的条件下我们只考虑一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式，税后年利率分别为0.018、0.01994、0.0216、0.02304，由此得到以下约束条件：
约束（一）：第一年将数额为M的基金全部存入银行，因此各种存款方式的基金存入额之和等于5000万元。则：∑x1j=M(j=1,2,3,5)
约束（二）：由于本文采用的是每年存款方式，当年初发完奖金后剩下的基金需要重新存入银行，即每年年初存入的基金数等于取出的基金减去上一年的奖金数。
则：∑xij=
m+n=i
∑x
mn
(1+n⨯pmn)-c(n=j=1,2,3,5;i=2,3...11;m=1,2...10)
约束二中对m+n=i的解释为：m为基金存入的年份，n代表以n年期方式存入，i代表基金取出的年份，因此取出基金的年份等于基金存入的年份加上存储期限，即m+n=i。
约束（三）：至第10年末基金数额仍保留原基金数额，即第10年发完奖金后剩下的基金数额仍为M。
则：
m+n=11
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c=M
约束（四）：第10年末所有基金能全部取出，即任何一年的存入年份加上存款年限不能大于11，例如：第9年至多能存入二年期，这样第11年初（10年末）取出所有本息并发放奖金，如果大于11则不能在10年末取出全部基金，将会与模型假设相矛盾。
则：i+j
在获得最高奖金的目标下，得到以下基金使用的优化模型[1]：
maxc
s..t
∑x
5
1j
=M
ij
∑x
j=1m+n=11
=
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c=M,
i+j≤11
xij≥0xij≤M
n,j∈{1,2,3,5};i=2,3, ,11;m=1,2...10
5.1.2 模型求解
在LINGO [2]中，输入目标函数和约束条件，得到每年基金的使用情况，如下表：
表5.1
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 第7年 第8年 第9年 第10年
396.7621
0 0 0 0 0 0 0 0 0
200.4946
0 0 0 0 0 0 0 0 0
195.614 195.614 0 0 0 0 0 0 0 0
4207.129 98.47287 98.47287 98.47287 98.47287 4581.974
0 0 0 0
按表5.1的方案使用基金得到每年的最高奖金为109.8169万元。 5.2 混合存款类优化模型 5.2.1 国库券在年初发行
当国库券在年初发行时，根据问题分析对于同年期的银行存款和国库券，购买国库券获得的利息要比银行存款高，因此我们将问题一中存入二、三、五年期的存款全部改为购买同年期的国库券，得到每年可选用的存入方式为银行存款一年期、国库券二年期、三年期和五年期，年利率分别为0.018、0.0255、0.0289、0.0314，则可建立与问题一相同的数学模型。
该种情况与问题一选择的存入方式不同，用同年期国库券代替银行存款，因此得到
的利息必定会比问题一的存入方式下得到的多，每年可发放的奖金也更多。在LINGO11软件中修改数据求得国库券年初发行时每年的最高奖金为146.8578万元，虽然该种情况在实际中比较特殊，但我们并不能忽略其发生的可能性，因此本文也求出了其每年基金的使用方案。具体情况见附表5.2.1。
5.2.2 国库券在上半年或下半年的某个月发行
由于国库券的发行时间不确定，因此年末发完奖金后并不能马上购买国库券，为了不让基金闲置，当国库券在上半年发行时，我们将国库券发行前不满半年的时间存为银行活期，待国库券发行后立即取出购买国库券，至国库券到期时取出本息转存为半年期，到期后转存为活期，最终得到活期+国库券+半年期+活期的组合方式，等到年末取出本息发放奖金；当国库券在下半年发行时同理可得半年期+活期+国库券+活期的组合方式。综合两种情况可知活期的存入时间都刚好为半年，因此各期国库券的周期均增加一年，通过以上分析得到本题存款的方式为一年期、二年期、三年期、四年期、五年期和六年期。
1) 模型准备（国库券年利率的重新计算）
由于国库券的周期增加一年，当存款方式为一、二年期时只能选择银行存款，税后年利率为0.018和0.01944；
当存入时间大于三年期时，我们首先计算国库券周期增加后的平均年利率，计算公式为((p0+p1)2+n⨯pmn)/(n+1)，求得国库券三年期、四年期、六年期的年利率分别为0.021093、0.024745、0.028213，由此可以看出三年期国库券的年利率少于三年期银行存款税后年利率，所以当基金存入时间为三年期时选择银行存款。
因此得到基金的存入方式可有一年期、二年期、三年期和五年期银行存款，四年期和六年期购买国库券。
2) 模型建立与求解
该情况下每年基金的存入方式有六种选择，由此建立以下模型：
maxc
s..t
∑x∑x
j=1m+n=116
1j
=M=
ij
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c=M
i+j
xij>=0xij
n=j=1,2,3,4,5,6;i=2,3...11;m=1,2...10
求得第二种情况下每年最高奖金额为125.9833万元，具体存入方案见表5.2.2：
表5.2.2 国库券在上半年或下半年某个月发行
xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期
0 107.7905 第1年 342.2499 225.0248 219.5472 4105.388
0 0 0 114.6366 0 107.7905 第2年
0 0 0 0 0 107.7905 第3年
0 0 0 0 0 107.7905 第4年
0 0 0 0 0 4385.756 第5年
0 0 0 0 0 0 第6年
0 0 0 0 0 0 第7年
0 0 0 0 0 0 第8年
0 0 0 0 0 0 第9年
0 0 0 0 0 0 第10年
5.2.3 国库券在年中发行
当国库券在年中发行时，我们可以选择两个半年期和国库券的组合，年初将本息存为半年期，待到年中国库券发行时购买国库券，到期后取出本息再转存为半年期，半年后取出本息并发放奖金。该情况实际是第二种情况的特例，年利率的计算公式为
(p1+n⨯pmn)/(n+1)，由此求出国库券三年期、四年期、六年期的利率分别为0.022547、
0.025835、0.02894。利用情况二的模型求得国库券在年中发行时每年最高奖金为130.0306万元，每年本息的存入方案见附(表5.2.3)。 5.3 基于百年校庆的优化模型
问题三是在问题二的模型上增加了一个约束条件，即在第三年末发放的奖金要比其他年度多20%，因此在第四年初用于分配的基金为取出的本息扣除其他年度奖金的1.2倍，于是当i=4时，约束条件改为x4j=
m+n=4
∑
xmn(1+n⨯pmn)-1.2c
.
1) 国库券在年初发行时，所建立的模型和问题二情况一的模型相对应，加上上述约束条件，将约束∑xij=
j=15
m+n=i
∑x
5
mn
(1+n⨯pmn)-c作如下修改：
∑x
j=1
ij
=
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
(i≠4)
x4j=
m+n=4
∑
xmn(1+n⨯pmn)-1.2c
求得第三年奖金数额为172.5425万元，其余每年的最高奖金为143.7854万元，存入方案见附表5.3.1。
2) 国库券在上半年或下半年的某月发行，模型与问题二情况而对应，同理，将约束∑xij=
j=16
m+n=i
∑x
mn
(1+n⨯pmn)-c改为：
∑x
j=1
6
ij
=
m+n=i
∑
xmn(1+n⨯pmn)-c
(i≠4)
x4j=
m+n=4
∑
xmn(1+n⨯pmn)-1.2c
求得第三年的奖金额为148.017万元，其余每年奖金数额为123.3475万元，每年基金使用计划见表5.3.2：
表5.3.2国库券在上半年或下半年的某月发行
xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期
0 105.5352 第1年 335.0892 220.3168 238.1219 4100.937
0 0 0 112.2381 0 105.5352 第2年
0 0 0 0 0 105.5352 第3年
0 0 0 0 0 105.5352 第4年
0 0 0 0 0 4383.5 第5年
0 0 0 0 0 0 第6年
0 0 0 0 0 0 第7年
0 0 0 0 0 0 第8年
0 0 0 0 0 0 第9年
0 0 0 0 0 0 第10年
3) 国库券在年中发行，建立规划模型同上，求得第三年奖金为152.769万元，其余每年为127.3075万元，每年基金使用计划见附表5.3.3
六 结果分析与模型检验
本文要求在n年末仍保留原基金数额，即用n年内基金的所有利息提供奖金，在投资过程中要使利润回报最大化，则在相应时间内我们应该选择年利率更大的投资组合，根据线性规划模型的求解结果可知：对于本文的任何一种情况，在保证每年奖金数额的前提下，基金都优先考虑以最长年期的方式存入，这与以更高年期存入的年利率更高，能得到更多利息的现实情况相吻合。
针对问题一存在两种极端形式，当基金全部以一年期方式存入时，获得利息最少，每年可提供奖金数额仅83.2万元；当基金全部以五年期方式存入时，获得利息最大，每年可提供奖金数额为115.2万元。本文通过问题一的模型求解得到结果为，每年获得最高奖金109.8169万元，这一结果在两种极端形式之间，所以问题一只存款的优化模型是合理的、有效可行的。
针对问题二，将不确定的国库券发行时间使用概率知识确定化，根据国库券不同的发行时间分三种情况进行讨论，得到的奖金数额相比问题一的结果有所增加，这与国库券年利率比银行存款税后年利率更高的实际情况相符合。
针对问题三，仅仅在问题二的模型中加入了第三年的奖金比其他年度多20%的约束条件，比较计算结果可知：在三种情况下，问题三模型的计算结果中第一年以三年期方式存入的基金比问题二多，这与学校第三年要举行百年校庆需要更多的奖金的实际情况相吻合，模型合理可行。
40,60, 时，利用文中的模型进行求解，由结果可知随着存款本文还考虑当n 20,
年数n值的增加，每年所发放的奖金额也会随之增加，当n增加到一定年限的时候每年
的奖金额会接近一个常数。
七 模型改进与推广
本文假设10年内银行存款的年利率不变，但在实际情况中，通货膨胀、国家宏观经济调控政策等都会导致年利率发生改变，本文的模型在此方面具有很好的扩展性，只需根据实际情况调整pmn的数值利用相同的模型便可得到年利率发生改变时的基金使用
计划。
本文假设国库券的利息支付方式同银行存款一样，基金到期后一同支付，若国库券利息为每年支付一次，只需对模型稍加改动并对m、n的取值进行限制，即可得到相应的线性规划模型，以混合存款类优化模型中国库券在年初发行的情况为例，将原模型中的约束二、三改为以下约束条件，即为国库券利息每年支付一次的规划模型。
∑
5
j=1ij
x=
m+n=i
∑
xmn+
m+n≥i
∑
xmnpmn-c
m+n=11
∑
xmn
m+n≥11
∑
xmnpmn-c=M
本文假设每年的奖金额相等，但题中仅仅要求大致相同。在实际情况中，师生人数的波动，政策的改变等原因都会影响到奖金额的需求，这时只需在原模型中加入奖金额的波动系数βi(βi∈[1-ε，1+ε])，根据每年的奖金额需求确定βi，以βci代表第i年的奖金，利用原模型即可得到每年奖金额有所波动的数学模型。
本文采用线性优化模型[3]，方便的解决了基金的使用计划问题，模型原理简单，可推广到任意金额，任意年限或其他存款方式的基金使用计划问题中，适用于各类基金会的管理、风险投资、多股份经营等领域。
八 参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶峻，数学模型[M]，北京：高等教育出版社，2006.
[2] 谢金星，薛毅，优化模型与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社,2004. [3] 束金龙，线性规划理论与模型运用，北京：科学出版社，2003.
附件：
问题二基金使用方案表：
表5.2.1国库券在年初发行（第八年开始不再存款）
xij 一年期 二年期 三年期 第1年 277.0126 260.502 490.7406 第2年 0 0 135.1411 第3年 0 0 0 第4年 0 0 259.5002 第5年 0 0 0 第6年 0 0 0 第7年 0 0 135.1411 表5.2.3国库券在年中发行（第六年开始不再存款） xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 第1年 352.3331 231.8105 225.5658 4079.498 0 第2年 0 0 0 117.8518 0 第3年 0 0 0 0 0 第4年 0 0 0 0 0 第5年 0 0 0 0 0
问题三基金使用方案表：
表5.3.1国库券在年初发行（第八年开始不再存款）
xij 一年期 二年期 三年期 第1年 271.2172 255.052 506.9365 第2年 0 0 132.3138 第3年 0 0 0 第4年 0 0 254.0712 第5年 0 0 0 第6年 0 0 0 第7年 0 0 132.3138
五年期
3966.794
0 124.2743 124.2743
0 4445.795
0 六年期 108.4724 108.4724 108.4724 108.4724 4368.723 五年期 3971.745
0 126.9298 126.9298
0 4448.451
0 六年期 110.7926 110.7926 110.7926 110.7926 4371.043
表5.3.3国库券在年中发行（第六年开始不再存款）
xij 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 第1年 344.9544 226.9558 244.6903 4074.927 0 第2年 0 0 0 115.3838 0 第3年 0 0 0 0 0 第4年 0 0 0 0 0 第5年 0 0 0 0 0