数量关系”常用数学公式汇总（系统版）
一、（2、4、8）整除及余数判定基本法则
一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除； 一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除； 一个是能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。 一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。 一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。 一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。 二、（3、9）整除及余数判定基本法则
一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除； 一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除； 一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；； 一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。 三、整除与余数问题
1、被除数÷除数=商„余数（0≤余数＜除数）； 2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期；
余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6 余1，则取1，表示为60n+1； 和同：一个数除以4余3，除以5余2，除以6 余1，则取7，表示为60n+7； 差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6 余3，则取-3，表示为60n-3； 四、奇偶特征
1、二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数； 2、两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；
3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。 五、基础代数公式
1. 平方差公式：（a ＋b ）·（a-b ）＝a 2-b 2 2. 完全平方公式：（a ±b) 2＝a 2±2ab ＋b 2 3. 完全立方公式：（a ±b) 3=（a ±b ）(a2 ab+b2) 4. 立方和差公式：a 3+b3=(a b)(a2+ ab+b2)
5. am ·a n ＝a m ＋n a m ÷a n ＝a m －n (am ) n =amn (ab)n =an ·b n 六、等差数列 1.
＝ ＝na 1+ n(n-1)d；
2. ＝a 1＋（n －1）d ；
3. 项数n ＝ ＋1；
4. 若a,b,c 成等差数列，则：2b ＝a+c； 5. 若m+n=k+i，则：
；
6. 前n 个奇数：1，3，5，7，9，„（2n-1）之和为
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差， 为等差数列前n 项的和） 七、等比数列 1. ； 2.
＝ （q 1）
3. 若a,b,c 成等比数列，则：b 2＝ac ； 4. 若m+n=k+i，则：a m ·a n =ak ·a i ； 5. ＝q
(m-n)
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比， 为等比数列前n 项的和） 八、不等式
1. 一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中： （b 2-4ac 0） 根与系数的关系：x 1+x2=- ，x 1·x 2=
2. （a 、b ，当且仅当a=b时取等号） 3. （a 、b ）
4. (a、b 、c ，当且仅当a=b=c时取等号)
5. 一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。 6. 两项分母列项公式： =( — )× 三项分母裂项公式： =[ — ]× 九、基础几何公式
1. 勾股定理：a 2+b2=c2(其中：a 、b 为直角边，c 为斜边)
2. 正方形＝ 长方形＝ 三角形＝ 梯形＝
圆形＝ R2 平行四边形＝ 扇形＝ R2 3. 表面积：
正方体＝6 长方体＝ 圆柱体＝2πr 2＋2πrh 球的表面积＝4 R2 4. 体积公式
正方体＝ 长方体＝ 圆柱体＝Sh ＝πr 2h 圆锥＝ πr 2h 球＝
5. 若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积：S 侧＝πr ； 6. 图形等比缩放型：
一个几何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则： (1)所有对应角度不发生变化； (2)所有对应长度变为原来的m 倍； (3)所有对应面积变为原来的m 2倍； (4)所有对应体积变为原来的m 3倍。 7. 几何最值型：
(1)平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。 (2)平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 (3)立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 (4)立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。 十、工程问题
1、核心思想：转化归一或最小公倍数 2、基础公式：
工作量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作量÷工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和；
十一、几何边端问题 1、方阵问题：
(1)实心方阵：方阵总人数＝（外圈人数÷4+1）2=N2
最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
(2)空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数-层数）×层数×4 ★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。 (3)实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4 (4)方阵：总人数=N2 外圈人数=4N-4
例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人）
2、排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人
3、爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬 层。 十二、利润问题
1、利润＝销售价（卖出价）－成本； 利润率＝ ＝ ＝ －1；
销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。 2、利息＝本金×利率×时期；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）= ；
月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。
例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‟（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多 少元？”
2400×（1+10．2‟×36） =2400×1．3672 =3281．28（元） 十三、排列组合
1、解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”。
2、排列公式：P ＝n （n －1）（n －2）„（n －m ＋1），（m ≤n ）。 组合公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1）。
3、相邻问题---捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体； 不邻问题---抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。 十四、概率问题
1、概率=满足条件的情况数/总的情况数 2、总体概率=满足条件的各种情况概率之和； 3、分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。 4、某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。 十五、年龄问题
1、年龄问题的三大规律： （1）两人的年龄差是不变的； （2）两人年龄的倍数关系是变化的量；
（3）随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量； 2、关键是年龄差不变；
（1）几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄
（2）几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差 十六、边端问题
1、基本思想：牢记各类题型当中的“±1关系”，是解答“边端问题”的关键。 2、基础公式：
（1）单边线形植树：棵数＝总长 间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔 （2）单边环形植树：棵数＝总长 间隔； 总长= 棵数×间隔 （3）单边楼间植树：棵数＝总长 间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
（5）剪绳问题：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2N ×M ＋1）段。
十七、行程问题
1、平均速度型：平均速度＝
2、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间
追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间
背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 3、流水行船型：
顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。
顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间
逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间 4、火车过桥型：
列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度
列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间 5、环形运动型：
反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间
同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间 6、扶梯上下型：
扶梯级数=(人速+扶梯速度) ×顺行运动所需时间=人走的级数+扶梯运行级数(顺行)
扶梯级数=(人速-扶梯速度) ×逆行运动所需时间=人走的级数-扶梯运行级数(逆行) 7、队伍行进型：
对头 队尾：队伍长度=（u 人+u队）×时间 (人和队伍同向而行)
队尾 对头：队伍长度=（u 人－u 队）×时间（人和队伍反向而行） 8、典型行程模型：
等距离平均速度： （ 分别代表往、返速度）
等发车前后过车核心公式：发车时间间隔：
无动力顺水漂流：漂流所需时间= （其中t 顺和t 逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间） 十八、钟表问题基本常识：
①钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及 。
②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o 22次。 ③钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（300），分针每小时转12格（3600）
④时针一昼夜转两圈（7200），1小时转 圈（300）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。
⑤钟面上每两格之间为300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。
追及公式： ；T 为追及时间，T 0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间）。 十九、容斥原理
1、两集合标准型：满足条件I 的个数+满足条件II 的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数。
2、三集合标准型：|A∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B ∩C|
3、三集和图标标数型： 利用图形配合，标数解答
(1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 (2)特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 (3)标数时，注意由中间向外标记 4、三集合整体重复型：
三集合整体重复型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。
假如满足三个条件的元素数量分别为A 、B 、C ，总量为M ，满足两个条件的总和为x ，满足三个条件的个数为y ，三者都不满足的条件为p ，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。 二十、牛吃草问题 核心公式：y=(N-x)T
原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X 。 注意：如果草场面积有区别，如“M 头牛吃W 亩草时”，N 用 代入，此时N 代表单位面积上的牛数。 二十一、弃九推断
在整数范围内的＋、－、×三种运算中，可以使用此法 1、计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。 2、计算时如有数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0-8之间。 3、将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。
备注：弃九法不用考虑数字当中的小数点，可以直接忽视。另外，两个数相乘，如果其中一个除以9余数是0，另外一个就不再需要计算了。 二十二、乘方尾数
口诀：“底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）”。 二十三、除以“7”乘方余数核心口诀 注：只对除数为7的求余数有效 1、底数除以7留余数
2、指数除以6留余数（余数为0则看作6） 注：“尾数”即除以10之后的余数。 二十四、指数增长
如果有一个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么N 个周期后就是最开始的A N 倍，一个周期前应该是当时的 。 二十五、溶液问题
1、溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质÷溶液 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度
2、浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M 、N ，交换质量L 后浓度都变成c%，则 ① ② 3、混合稀释型
①溶液倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为 ②溶液加入比例为a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为 二十六、调和平均数 1、调和平均数公式：
2、等价钱平均价格核心公式： （P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格） 3、等溶质增减溶质核心公式： （其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度）
二十七、同余问题
核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”
1、余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1” 2、和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7” 3、差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3” 选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n ）都满足条件。 注意：n 的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。 二十八、星期日期问题
★星期推断：
注意：N+1)天”。 二十九、循环周期问题
核心提示：若一串事物以T 为周期，且A ÷T=N„a ，那么第A 项等同于
第a 项。
三十、典型数列前N 项和 1、 2、 3、 4、
三十一、常用平方、立方及多次方数
★1既不是质数也不是合数
1、 20以内的质数包括：2、3、5、7、11、13、17和19； 20以内的合数包括：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18和20。 2、典型形似质数分解
1、数字0的变换: 2、数字1的变换：
3、特殊数字变换： 4、个位幂次数字： 三十四、比赛问题
N 支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行（N-1）场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场应该为N(N-1)/2。 三十五、乘船过河问题
核心公式：M 个人过河，船上能载N 个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1次，（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n 个人划船就要同时减去n ）。
三十六、正四面体常用参数
侧/底面高： 侧/底面面积： 底面内切圆半径： 高： 体积： 截面ADP 面积： 底面外接圆半径： 三十七、页码问题
1、 三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字/3+36； 2、对多少页出现多少1或2的公式
如果是X 千里找几，公式是 1000+X00 3 如果是X 百里找几，就是100+X0 2，X 有多少个0 就 多少。依次类推，请注意，要找的数一定要小于X ，如果大于X 就不要加1000或者100一类的了，
比如，7000页中有多少3 就是 1000+700 3=3100(个) 20000页中有多少6就是 2000 4=8000 (个)
提示：如3000页中有多少3，就是300 3+1=901，请不要把3000的3忘了 三十八、图色公式
公式：(大正方形的边长的3次方) —(大正方形的边长—2) 的3次方。 三十九、抽屉原理
最不利原则：考虑对于需要满足的条件“最不利、最倒霉”的情况，最后加1即可；
四十、其他问题 1、空瓶换酒型
（N 即是每N 瓶换1 瓶中的N ，式子的结果只取整数部分）； 2、分割求解型
将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解。
3、青蛙跳井问题
完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米)
例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)
②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)
数量关系”常用数学公式汇总（系统版）
一、（2、4、8）整除及余数判定基本法则
一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除； 一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除； 一个是能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。 一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。 一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。 一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。 二、（3、9）整除及余数判定基本法则
一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除； 一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除； 一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；； 一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。 三、整除与余数问题
1、被除数÷除数=商„余数（0≤余数＜除数）； 2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期；
余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6 余1，则取1，表示为60n+1； 和同：一个数除以4余3，除以5余2，除以6 余1，则取7，表示为60n+7； 差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6 余3，则取-3，表示为60n-3； 四、奇偶特征
1、二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数； 2、两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；
3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。 五、基础代数公式
1. 平方差公式：（a ＋b ）·（a-b ）＝a 2-b 2 2. 完全平方公式：（a ±b) 2＝a 2±2ab ＋b 2 3. 完全立方公式：（a ±b) 3=（a ±b ）(a2 ab+b2) 4. 立方和差公式：a 3+b3=(a b)(a2+ ab+b2)
5. am ·a n ＝a m ＋n a m ÷a n ＝a m －n (am ) n =amn (ab)n =an ·b n 六、等差数列 1.
＝ ＝na 1+ n(n-1)d；
2. ＝a 1＋（n －1）d ；
3. 项数n ＝ ＋1；
4. 若a,b,c 成等差数列，则：2b ＝a+c； 5. 若m+n=k+i，则：
；
6. 前n 个奇数：1，3，5，7，9，„（2n-1）之和为
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差， 为等差数列前n 项的和） 七、等比数列 1. ； 2.
＝ （q 1）
3. 若a,b,c 成等比数列，则：b 2＝ac ； 4. 若m+n=k+i，则：a m ·a n =ak ·a i ； 5. ＝q
(m-n)
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比， 为等比数列前n 项的和） 八、不等式
1. 一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中： （b 2-4ac 0） 根与系数的关系：x 1+x2=- ，x 1·x 2=
2. （a 、b ，当且仅当a=b时取等号） 3. （a 、b ）
4. (a、b 、c ，当且仅当a=b=c时取等号)
5. 一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。 6. 两项分母列项公式： =( — )× 三项分母裂项公式： =[ — ]× 九、基础几何公式
1. 勾股定理：a 2+b2=c2(其中：a 、b 为直角边，c 为斜边)
2. 正方形＝ 长方形＝ 三角形＝ 梯形＝
圆形＝ R2 平行四边形＝ 扇形＝ R2 3. 表面积：
正方体＝6 长方体＝ 圆柱体＝2πr 2＋2πrh 球的表面积＝4 R2 4. 体积公式
正方体＝ 长方体＝ 圆柱体＝Sh ＝πr 2h 圆锥＝ πr 2h 球＝
5. 若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积：S 侧＝πr ； 6. 图形等比缩放型：
一个几何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则： (1)所有对应角度不发生变化； (2)所有对应长度变为原来的m 倍； (3)所有对应面积变为原来的m 2倍； (4)所有对应体积变为原来的m 3倍。 7. 几何最值型：
(1)平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。 (2)平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 (3)立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 (4)立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。 十、工程问题
1、核心思想：转化归一或最小公倍数 2、基础公式：
工作量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作量÷工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和；
十一、几何边端问题 1、方阵问题：
(1)实心方阵：方阵总人数＝（外圈人数÷4+1）2=N2
最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
(2)空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数-层数）×层数×4 ★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。 (3)实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4 (4)方阵：总人数=N2 外圈人数=4N-4
例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人）
2、排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人
3、爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬 层。 十二、利润问题
1、利润＝销售价（卖出价）－成本； 利润率＝ ＝ ＝ －1；
销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。 2、利息＝本金×利率×时期；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）= ；
月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。
例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‟（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多 少元？”
2400×（1+10．2‟×36） =2400×1．3672 =3281．28（元） 十三、排列组合
1、解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”。
2、排列公式：P ＝n （n －1）（n －2）„（n －m ＋1），（m ≤n ）。 组合公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1）。
3、相邻问题---捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体； 不邻问题---抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。 十四、概率问题
1、概率=满足条件的情况数/总的情况数 2、总体概率=满足条件的各种情况概率之和； 3、分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。 4、某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。 十五、年龄问题
1、年龄问题的三大规律： （1）两人的年龄差是不变的； （2）两人年龄的倍数关系是变化的量；
（3）随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量； 2、关键是年龄差不变；
（1）几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄
（2）几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差 十六、边端问题
1、基本思想：牢记各类题型当中的“±1关系”，是解答“边端问题”的关键。 2、基础公式：
（1）单边线形植树：棵数＝总长 间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔 （2）单边环形植树：棵数＝总长 间隔； 总长= 棵数×间隔 （3）单边楼间植树：棵数＝总长 间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
（5）剪绳问题：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2N ×M ＋1）段。
十七、行程问题
1、平均速度型：平均速度＝
2、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间
追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间
背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 3、流水行船型：
顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。
顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间
逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间 4、火车过桥型：
列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度
列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间 5、环形运动型：
反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间
同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间 6、扶梯上下型：
扶梯级数=(人速+扶梯速度) ×顺行运动所需时间=人走的级数+扶梯运行级数(顺行)
扶梯级数=(人速-扶梯速度) ×逆行运动所需时间=人走的级数-扶梯运行级数(逆行) 7、队伍行进型：
对头 队尾：队伍长度=（u 人+u队）×时间 (人和队伍同向而行)
队尾 对头：队伍长度=（u 人－u 队）×时间（人和队伍反向而行） 8、典型行程模型：
等距离平均速度： （ 分别代表往、返速度）
等发车前后过车核心公式：发车时间间隔：
无动力顺水漂流：漂流所需时间= （其中t 顺和t 逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间） 十八、钟表问题基本常识：
①钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及 。
②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o 22次。 ③钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（300），分针每小时转12格（3600）
④时针一昼夜转两圈（7200），1小时转 圈（300）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。
⑤钟面上每两格之间为300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。
追及公式： ；T 为追及时间，T 0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间）。 十九、容斥原理
1、两集合标准型：满足条件I 的个数+满足条件II 的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数。
2、三集合标准型：|A∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B ∩C|
3、三集和图标标数型： 利用图形配合，标数解答
(1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 (2)特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 (3)标数时，注意由中间向外标记 4、三集合整体重复型：
三集合整体重复型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。
假如满足三个条件的元素数量分别为A 、B 、C ，总量为M ，满足两个条件的总和为x ，满足三个条件的个数为y ，三者都不满足的条件为p ，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。 二十、牛吃草问题 核心公式：y=(N-x)T
原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X 。 注意：如果草场面积有区别，如“M 头牛吃W 亩草时”，N 用 代入，此时N 代表单位面积上的牛数。 二十一、弃九推断
在整数范围内的＋、－、×三种运算中，可以使用此法 1、计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。 2、计算时如有数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0-8之间。 3、将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。
备注：弃九法不用考虑数字当中的小数点，可以直接忽视。另外，两个数相乘，如果其中一个除以9余数是0，另外一个就不再需要计算了。 二十二、乘方尾数
口诀：“底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）”。 二十三、除以“7”乘方余数核心口诀 注：只对除数为7的求余数有效 1、底数除以7留余数
2、指数除以6留余数（余数为0则看作6） 注：“尾数”即除以10之后的余数。 二十四、指数增长
如果有一个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么N 个周期后就是最开始的A N 倍，一个周期前应该是当时的 。 二十五、溶液问题
1、溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质÷溶液 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度
2、浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M 、N ，交换质量L 后浓度都变成c%，则 ① ② 3、混合稀释型
①溶液倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为 ②溶液加入比例为a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为 二十六、调和平均数 1、调和平均数公式：
2、等价钱平均价格核心公式： （P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格） 3、等溶质增减溶质核心公式： （其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度）
二十七、同余问题
核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”
1、余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1” 2、和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7” 3、差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3” 选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n ）都满足条件。 注意：n 的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。 二十八、星期日期问题
★星期推断：
注意：N+1)天”。 二十九、循环周期问题
核心提示：若一串事物以T 为周期，且A ÷T=N„a ，那么第A 项等同于
第a 项。
三十、典型数列前N 项和 1、 2、 3、 4、
三十一、常用平方、立方及多次方数
★1既不是质数也不是合数
1、 20以内的质数包括：2、3、5、7、11、13、17和19； 20以内的合数包括：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18和20。 2、典型形似质数分解
1、数字0的变换: 2、数字1的变换：
3、特殊数字变换： 4、个位幂次数字： 三十四、比赛问题
N 支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行（N-1）场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场应该为N(N-1)/2。 三十五、乘船过河问题
核心公式：M 个人过河，船上能载N 个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1次，（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n 个人划船就要同时减去n ）。
三十六、正四面体常用参数
侧/底面高： 侧/底面面积： 底面内切圆半径： 高： 体积： 截面ADP 面积： 底面外接圆半径： 三十七、页码问题
1、 三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字/3+36； 2、对多少页出现多少1或2的公式
如果是X 千里找几，公式是 1000+X00 3 如果是X 百里找几，就是100+X0 2，X 有多少个0 就 多少。依次类推，请注意，要找的数一定要小于X ，如果大于X 就不要加1000或者100一类的了，
比如，7000页中有多少3 就是 1000+700 3=3100(个) 20000页中有多少6就是 2000 4=8000 (个)
提示：如3000页中有多少3，就是300 3+1=901，请不要把3000的3忘了 三十八、图色公式
公式：(大正方形的边长的3次方) —(大正方形的边长—2) 的3次方。 三十九、抽屉原理
最不利原则：考虑对于需要满足的条件“最不利、最倒霉”的情况，最后加1即可；
四十、其他问题 1、空瓶换酒型
（N 即是每N 瓶换1 瓶中的N ，式子的结果只取整数部分）； 2、分割求解型
将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解。
3、青蛙跳井问题
完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米)
例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)
②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)