２００８年第４７卷第８期
数学通报
１７
利用三角函数求一些函数的周期
韩雪涛
杨守艾
（山东省苍山县实验中学２７７７００）
众所周知，三角函数都具有周期性．本文就利用三角函数的周期性求一些函数的周期作一些探讨，以起抛砖引玉的作用．
１
～—ｆ３—＋ｉ３一ｆ（ｘ），其周期为６ｎ．
３－－４３｝ｋｚ）
（５）当ｋ＝４时函数方程是ｆ（ｚ＋ａ）一
由诱导公式抽象出具有周期性的函数
｝｝爱骞，其周期为４ｎ．
（１）由函数，（ｚ）２ｔａｎ丢ｚ或，（ｚ）ＣＯｔ丢ｚ（丑∈Ｒ＋）知周期为２ａ，且ｔａｎ丢（ｚ＋口）。ｔａｎ丢ｚ
＝一１或ｃ。ｔ丢（ｚ＋ｎ）ＣＯｔ参２—１，从而抽象函
堑型型，其周期为３ｎ．
１－４３厂（ｚ）
ｋａ
（ｉ）当ｋ＝３时ｉ函数方程是，（ｚ＋ａ）一
由函数厂（ｚ）。ｃＯｔ乏ｚ可知周期为ｋ口，且
数方程厂（ｚ＋口）＝一而１
证明
，其周期为２ｎ・
（略，以下同）：
ｃｏｔ三（工＋ｎ）＝——堕——Ｌ，从而抽象出以
ｃｏｔ－丌Ｕ＋ｃｏｔ三ｚ
下结论．
（７，）当志一６时，函数方程是厂（ｚ＋ａ）一
ｃｏｔ三ｃｏｔ；一１
（２）由函数，（ｚ）一ｓｉｎ詈ｚ或，（ｚ）２ｃｏＳ口丌－－－ｘ
知周期为２ｎ，且有ｓｉｎ旦（ｚ＋Ⅱ）＝一ｓｉｎ旦ｚ或
ｎ口
‘］。ｒ３≮ｆ（万ｘ干）－－丁１，其周期为６口．
ｃｏｓ旦（ｚ＋口）＝一ＣＯＳ旦ｚ，从而抽象出函数方程
口ａ厂（ｚ＋口）＝－－ｆ（ｘ）其周期是２ｎ．
（３）由函数，（ｚ）
（８）当ｋ一４时，函数方程是ｆ（ｚ＋ａ）＝
了ｆ（石ｘＦ）－－再１，其周期为４口－
．
ＣＯＳ詈工知周期为２ａ，且
（９）当ｋ一３时，函数方程是ｆ（ｚ＋口）＝ｖｒ一３ｆ（ｘ）＝３＿，其周期为３ｎ．
√３十３，【ｚ）３
有ＣＯＳ三（ｚ＋口）＝ＣＯＳ旦（ｚ～口），从而抽象出函口口数方程，（ｚ＋口）＝ｆ（ｘ－－ａ），其周期为２ｎ．
２
由余弦函数的和差化积公式抽象出具有周期
．
由两角和的正切（余切）公式抽象出具有周期
性的函数
性的函数。
由函数厂（ｚ）＝ＣＯＳｇ“－２ｘ可知周期为２ｈａ，且
Ｋ●＾
由函数厂（工）＝ｔａｎｉ－“２ｘ，（忌∈Ｎ，且ｋ＞１，以
托“
。
ＣＯＳ三（ｚ＋ｎ）＋ＣＯＳ三（ｚ一口）一２ｃｏｓ三ｚｃｏｓ－丌－Ｅ，ｋａｋａｌｅａ
“
下同），可知周期是ｋ口，且有ｔａｎ乏（ｚ＋口）＝
从而抽象出函数方程．
（１０）当愚＝６时，函数方程是厂（ｚ＋口）＋ｆ（ｘ
ｔａｎ－差ｉｆ＋ｔａｎ赢ｉａｘ，从而抽象出以下结论：
１一ｔａｎ
－－ａ）＝ｕ／＇３ｆ（ｘ），其周期为１２ａ．
（１１）当ｋ一４时，函数方程是厂（ｚ＋口）＋ｆ（ｘ
ｋｔａｎ旦ｋａｚ
（４）当ｋ＝６时，函数方程是厂（．２７＋ａ）＝
－－ａ）一仍（ｚ），其周期是８ｎ．
万方数据
１８
数学通报
２００８年第４７卷第８期
（１２）当ｋ＝３时，函数方程是厂（ｚ＋ａ）＝
厂（ｚ），其周期为６ｎ．
（１３）当ｋ＝２时，函数方程是厂（ｚ＋ａ）＝一，（ｚ一口），其周期为４ｎ．（上接第１６页）
世界，激发学习几何的兴趣．
３．５开展项目学习活动，提高学生实际操作能力
项目学习是指：一套能使学习者在一定的指导下，对真实世界主题进行深入研究的教学模式．学习者围绕具体的项目活动主题，以完成某一种或多种产品为目标，充分选择和利用最优化的学习资源，在探索、体验、操作、制作等实践活动中，获得较为完整而具体的知识，形成专门的技能并促进各项能力的发展．项目学习具有真实性、开放性和实践性的特点［４］．
针对立体几何的特点，在教学中可以开展一些相应的项目学习活动．华东师范大学出版社组织的２００６年“快乐数学”夏令营活动中有些项目学习活动可以给我们很多有益的启示．在“多姿多彩的多面体”的项目学习中，教师向学生展示各种各样的多面体，学生要通过观察，简单的几何推理设计多面体的展开图，制作这些多面体，并与大家分享多面体制作的方法，挖掘作品中的数学知识．其后，教师展示如下的多面体，让学生观察，并说说这些多面体的组合方式．
学生对多面体观察并做出猜想后，教师可以用多媒体信息技术向学生展示动态的多面体，从而初步验证他们的猜想ｎ］．其后，让学生制作这些
新的几何体，并能根据学孔的方法设计制作自己
的几何体，从而做到学以致用．
在“放飞热气球”的项目学习中，整个活动划分成“知识讲解”和“动手制作”两个阶段．在“知识讲解”阶段，根据学生的年龄特点和知识结构，向学生简单讲解热气球升空的物理原理．接下来，学
万方数据
（１４）当惫＝虿３时，函数方程ｆ（ｘ＋口）＋厂（ｚ一
口）：一／：ｚ），其周期为３口．７
生要根据自己所选择的热气球的形状，计算保证热气球升空的最小边长．在这个过程中，学生不仅经历了“设想一尝试一验证一改进一做决定”的数学过程，还要应用数学知识来设计纸张的合理拼接和使用，对他们来说是对数学素养的综合考察．
这种学习方式，以真实的情境为问题的出发点，并在解决过程中需要学生有效地交流与合作，而这种能力是ＰＩＳＡ评价中十分注重考察的内容．如果使学生把几何学习单纯的理解成了解决各种给定的题目，那么学生的创造性思维的培养从何谈起？学生至多是题目的解法或是思路上有些改变，这和参与实践活动中解决问题需要进行的思考完全是两个层次的思考水平．在教学中开展相关活动是很有必要的．
４小结
本文试从ＰＩＳＡ评价中对于数学素养的界定和评价方式出发，表明了在“空间几何体”这一节的教学中，应注重学生整体素养的培养．在教学中，注重引导学生去发现和研究生活中的数学现象，并能通过课外书及其计算机的作用深化对于课本所学知识的认识；通过相应的项目学习活动，提高学生解决问题的能力，在动手实践及其活动交流中提高自己的数学素养．
参考文献
１
吕世虎．史宁中，陈婷．《标准》与《大纲》中几何部分内容难度的比较研究．课程・教材・教法，２００６，８
２
田载今．应继续重视几何教学的理性特征．课程・教材・教法，２００４，７
３鲍建生．几何的教育价值与课程目标体系．教育研究，２０００，４４詹传玲．项目导向数学教学设计的要素．全国高师数学教育研
究会２００６年学术年会论文
５
黎文娟．数学项目活动的设计与实施．全国高师数学教育研究会２００６年学术年会论文
２００８年第４７卷第８期
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利用三角函数求一些函数的周期
韩雪涛
杨守艾
（山东省苍山县实验中学２７７７００）
众所周知，三角函数都具有周期性．本文就利用三角函数的周期性求一些函数的周期作一些探讨，以起抛砖引玉的作用．
１
～—ｆ３—＋ｉ３一ｆ（ｘ），其周期为６ｎ．
３－－４３｝ｋｚ）
（５）当ｋ＝４时函数方程是ｆ（ｚ＋ａ）一
由诱导公式抽象出具有周期性的函数
｝｝爱骞，其周期为４ｎ．
（１）由函数，（ｚ）２ｔａｎ丢ｚ或，（ｚ）ＣＯｔ丢ｚ（丑∈Ｒ＋）知周期为２ａ，且ｔａｎ丢（ｚ＋口）。ｔａｎ丢ｚ
＝一１或ｃ。ｔ丢（ｚ＋ｎ）ＣＯｔ参２—１，从而抽象函
堑型型，其周期为３ｎ．
１－４３厂（ｚ）
ｋａ
（ｉ）当ｋ＝３时ｉ函数方程是，（ｚ＋ａ）一
由函数厂（ｚ）。ｃＯｔ乏ｚ可知周期为ｋ口，且
数方程厂（ｚ＋口）＝一而１
证明
，其周期为２ｎ・
（略，以下同）：
ｃｏｔ三（工＋ｎ）＝——堕——Ｌ，从而抽象出以
ｃｏｔ－丌Ｕ＋ｃｏｔ三ｚ
下结论．
（７，）当志一６时，函数方程是厂（ｚ＋ａ）一
ｃｏｔ三ｃｏｔ；一１
（２）由函数，（ｚ）一ｓｉｎ詈ｚ或，（ｚ）２ｃｏＳ口丌－－－ｘ
知周期为２ｎ，且有ｓｉｎ旦（ｚ＋Ⅱ）＝一ｓｉｎ旦ｚ或
ｎ口
‘］。ｒ３≮ｆ（万ｘ干）－－丁１，其周期为６口．
ｃｏｓ旦（ｚ＋口）＝一ＣＯＳ旦ｚ，从而抽象出函数方程
口ａ厂（ｚ＋口）＝－－ｆ（ｘ）其周期是２ｎ．
（３）由函数，（ｚ）
（８）当ｋ一４时，函数方程是ｆ（ｚ＋ａ）＝
了ｆ（石ｘＦ）－－再１，其周期为４口－
．
ＣＯＳ詈工知周期为２ａ，且
（９）当ｋ一３时，函数方程是ｆ（ｚ＋口）＝ｖｒ一３ｆ（ｘ）＝３＿，其周期为３ｎ．
√３十３，【ｚ）３
有ＣＯＳ三（ｚ＋口）＝ＣＯＳ旦（ｚ～口），从而抽象出函口口数方程，（ｚ＋口）＝ｆ（ｘ－－ａ），其周期为２ｎ．
２
由余弦函数的和差化积公式抽象出具有周期
．
由两角和的正切（余切）公式抽象出具有周期
性的函数
性的函数。
由函数厂（ｚ）＝ＣＯＳｇ“－２ｘ可知周期为２ｈａ，且
Ｋ●＾
由函数厂（工）＝ｔａｎｉ－“２ｘ，（忌∈Ｎ，且ｋ＞１，以
托“
。
ＣＯＳ三（ｚ＋ｎ）＋ＣＯＳ三（ｚ一口）一２ｃｏｓ三ｚｃｏｓ－丌－Ｅ，ｋａｋａｌｅａ
“
下同），可知周期是ｋ口，且有ｔａｎ乏（ｚ＋口）＝
从而抽象出函数方程．
（１０）当愚＝６时，函数方程是厂（ｚ＋口）＋ｆ（ｘ
ｔａｎ－差ｉｆ＋ｔａｎ赢ｉａｘ，从而抽象出以下结论：
１一ｔａｎ
－－ａ）＝ｕ／＇３ｆ（ｘ），其周期为１２ａ．
（１１）当ｋ一４时，函数方程是厂（ｚ＋口）＋ｆ（ｘ
ｋｔａｎ旦ｋａｚ
（４）当ｋ＝６时，函数方程是厂（．２７＋ａ）＝
－－ａ）一仍（ｚ），其周期是８ｎ．
万方数据
１８
数学通报
２００８年第４７卷第８期
（１２）当ｋ＝３时，函数方程是厂（ｚ＋ａ）＝
厂（ｚ），其周期为６ｎ．
（１３）当ｋ＝２时，函数方程是厂（ｚ＋ａ）＝一，（ｚ一口），其周期为４ｎ．（上接第１６页）
世界，激发学习几何的兴趣．
３．５开展项目学习活动，提高学生实际操作能力
项目学习是指：一套能使学习者在一定的指导下，对真实世界主题进行深入研究的教学模式．学习者围绕具体的项目活动主题，以完成某一种或多种产品为目标，充分选择和利用最优化的学习资源，在探索、体验、操作、制作等实践活动中，获得较为完整而具体的知识，形成专门的技能并促进各项能力的发展．项目学习具有真实性、开放性和实践性的特点［４］．
针对立体几何的特点，在教学中可以开展一些相应的项目学习活动．华东师范大学出版社组织的２００６年“快乐数学”夏令营活动中有些项目学习活动可以给我们很多有益的启示．在“多姿多彩的多面体”的项目学习中，教师向学生展示各种各样的多面体，学生要通过观察，简单的几何推理设计多面体的展开图，制作这些多面体，并与大家分享多面体制作的方法，挖掘作品中的数学知识．其后，教师展示如下的多面体，让学生观察，并说说这些多面体的组合方式．
学生对多面体观察并做出猜想后，教师可以用多媒体信息技术向学生展示动态的多面体，从而初步验证他们的猜想ｎ］．其后，让学生制作这些
新的几何体，并能根据学孔的方法设计制作自己
的几何体，从而做到学以致用．
在“放飞热气球”的项目学习中，整个活动划分成“知识讲解”和“动手制作”两个阶段．在“知识讲解”阶段，根据学生的年龄特点和知识结构，向学生简单讲解热气球升空的物理原理．接下来，学
万方数据
（１４）当惫＝虿３时，函数方程ｆ（ｘ＋口）＋厂（ｚ一
口）：一／：ｚ），其周期为３口．７
生要根据自己所选择的热气球的形状，计算保证热气球升空的最小边长．在这个过程中，学生不仅经历了“设想一尝试一验证一改进一做决定”的数学过程，还要应用数学知识来设计纸张的合理拼接和使用，对他们来说是对数学素养的综合考察．
这种学习方式，以真实的情境为问题的出发点，并在解决过程中需要学生有效地交流与合作，而这种能力是ＰＩＳＡ评价中十分注重考察的内容．如果使学生把几何学习单纯的理解成了解决各种给定的题目，那么学生的创造性思维的培养从何谈起？学生至多是题目的解法或是思路上有些改变，这和参与实践活动中解决问题需要进行的思考完全是两个层次的思考水平．在教学中开展相关活动是很有必要的．
４小结
本文试从ＰＩＳＡ评价中对于数学素养的界定和评价方式出发，表明了在“空间几何体”这一节的教学中，应注重学生整体素养的培养．在教学中，注重引导学生去发现和研究生活中的数学现象，并能通过课外书及其计算机的作用深化对于课本所学知识的认识；通过相应的项目学习活动，提高学生解决问题的能力，在动手实践及其活动交流中提高自己的数学素养．
参考文献
１
吕世虎．史宁中，陈婷．《标准》与《大纲》中几何部分内容难度的比较研究．课程・教材・教法，２００６，８
２
田载今．应继续重视几何教学的理性特征．课程・教材・教法，２００４，７
３鲍建生．几何的教育价值与课程目标体系．教育研究，２０００，４４詹传玲．项目导向数学教学设计的要素．全国高师数学教育研
究会２００６年学术年会论文
５
黎文娟．数学项目活动的设计与实施．全国高师数学教育研究会２００６年学术年会论文